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60 Jahre Yang-Mills Eichtheorien
Die Yang-Mills-Theorie (nach Chen Ning
Yang und Robert L. Mills) ist eine nicht-
Abelsche Eichtheorie, die zur Beschreibung
der starken und der schwachen
Wechselwirkung herangezogen wird. Sie
wurde 1954 von Yang und Mills als SU(2)-
Eichtheorie eingeführt.
• Das Eichprinzip in der Physik:
• Theorie des Elektrons ist eine Eichtheorie
• Transport von Fermionen-Feldern
• Die Eichgruppe SU(N) für Fermi-Felder.
• Die Quantenchromodynamik als SU(3)-Eichtheorie;
• Die Quantenflavourdynamik als SU(2)xU(1)-Eichtheorie.
• Bestätigung im Experiment.
Themen
Theorie des Elektrons
Das Elektron wird qm durch einen Dirac-Spinor Y beschrieben (Spin-up, Spin-down e- und e+):
Diese folgt aus einem Variationsprinzip mit der Lagrangedichte (Lorentz-Skalar):
Globale Eich-Invarianz unter U(1)
Diese U(1)-Invarianz der Lagrangefunktion erzeugt nach dem Noether-Theorem eine erhaltene Ladung – die elektrische Ladung:
Lokale Eich-Transformation U(1)
Die Lagrangefunktion bleibt nur dann invariant, wenn wir die Ableitung der Phasenfunktion durch ein Vektorfeld Aµ(x) kompensieren:
Eich-Prinzip der Maxwell-Theorie
Wir verlangen von der Theorie des Elektrons, dass sie unter der lokalen Phasentransformation
Y(x) Y`(x) = exp[iQc(x)] Y(x) invariant bleibt eine sog. U(1)-Symmetrie. Dies ist unsere Symmetrietransformation, unter der sich die Physik des Elektrons nicht ändern soll, |Y(x)| = invariant. Dies verlangt die Einführung der kovarianten Ableitung Dµ anstelle der partiellen Ableitung.
Das Eich-Prinzip im Allgemeinen Die Forderung, dass die Theorie unter einer lokalen Phasenverschiebung von Y invariant sein soll, hat das Vektorfeld Aµ(x) erzeugt (eine 1-Form), das sich ebenfalls transformieren muss. Dies nennt man das Eichprinzip: Eine lokale Invarianzbedingung erzeugt ein neues Feld, das man entsprechend Eichfeld nennt. Dieses Eichfeld ist ebenfalls dynamisch und führt zum Feldtensor Fµn(x), der die Maxwell-Gleichungen und die Bianchi-Identität erfüllt. Aus der Forderung nach Eichinvarianz folgt eine
Theorie mit Wechselwirkung, die QED.
Die Quantenelektrodynamik QED
Die Theorie des Elektrons wird vollständig durch die Lagrangefunktion beschrieben und kann entsprechend quantisiert werden:
Richard Feynman löste das
Problem 1949 grafisch
Spacetime approach to Quantum Electrodynamics.
In: Physical Review. Band 76, 1949, S. 769–789
Wer ist Richard Feynman ? Richard („Dick“) Feynman wurde 1918 als Sohn jüdischer Eltern in Far Rockaway, einem Viertel im New Yorker Stadtbezirk Queens, geboren. Seine Eltern, deren Vorfahren aus Russland und Polen eingewandert, beschrieb er als Atheisten. Feynman studierte Physik als undergraduate von 1935 bis 1939 am MIT, und von 1939 bis 1943 besuchte er die Universität von Princeton, wo er Assistent von John Archibald Wheeler wurde. In seiner Dissertation bei Wheeler 1942 entwickelte er auch seine Pfadintegral-formulierung der Quantenphysik, wobei er an eine Idee des Nobelpreisträgers Paul Dirac anknüpfte. Nach dem Krieg war er maßgeblich an einer Formulierung der Quantenelektrodynamik beteiligt. Ab 1951 war er Professor am CalTech.
In der Elementarteilchenphysik hat sich neben der Operator-Mathematik eine weitere Darstellungsmethode für Quantenfeldtheorien etabliert, die sog. Feynman-Diagramme. Mit diesen können die Abläufe der Wechselwirkungen anschaulich dargestellt werden, ohne dabei Formeln zu benötigen. Auf der anderen Seite ist es jederzeit möglich, aus einem Feynman-Diagramm die passenden Formeln zu entwickeln. Feynman-Diagramme sind Raum-Zeit-Diagramme, bei denen die Zeit auf der Ordinate und der Raum auf der Abszisse aufgetragen werden (oder umgekehrt). In den Feynman-Diagrammen werden Fermionen als Linien und Bosonen als Wellenform (Photon), gestrichelte Linie (W±-, Z0-Bosonen) und Spirale (Gluonen) dargestellt. Die Linien treffen sich stets in einem Punkt, dem sog. Vertex.
Was sind Feynman-Diagramme ?
Elektronstreuung nach Feynman
Kombiniert man zwei Diagramme erster Ordnung, so ergibt sich ein Diagramm zweiter Ordnung, also eines mit 2 Vertices. Eine solche Wechselwirkung ist z.B. die Elektron-Elektron-Streuung, an der ein virtuelles Photon mit Impuls q beteiligt ist. Impulse bleiben erhalten (SRT).
Elektronstreuung nach Feynman
Vertex
In jedem Vertex sind Energie, Impuls und Ladungen erhalten. EM Wechselwirkung erfolgt durch Austausch virtueller Photonen.
Elektron-Positron Vernichtung
im LEP-Beschleuniger µ+µ-
Elektron und Positron vernichten sich in einem Feuerball (E = 200 GeV), aus dem dann neue Teilchen entstehen können.
Feuerball mit E = 200 GeV
Bei der Einführung der Yang-Mills Theorie im Jahre 1954
war bereits bekannt, dass die Quantenversion der Maxwell-
Theorie – bekannt als Quantenelektrodynamik QED – eine
sehr exakte Beschreibung der quantisierten elektromag-
netischen Felder und Kräfte ergab. War es also möglich eine
Verallgemeinerung dieser Theorie für die Beschreibung der
andern Kräfte der Natur zu finden, insbesondere für die
schwache Wechselwirkung (radioaktive Zerfälle) und die
starken Kernkräfte (zuständig für die Bindung der p und n in
Kernen)?
Es zeigte sich, dass diese Yang-Mills Felder masselos sein
müssen!
Problem: schwache und Kernkräfte sind nicht
langreichweitig!
60 Jahre Yang & Mills Eichtheorien
Neutrino-Streuung an Elektronen
Neutrinos
haben keine
elektrische
Ladung,
jedoch
schwachen
Isospin
Z-Austausch
Fermionen sind die Grundbausteine der Natur.
Sie werden durch Dirac-Felder repräsentiert.
Ladungen erzeugen die Wechselwirkungen.
SU(N) Eichtheorien
Die moderne Auffassung einer Eichtheorie als Folge eines
lokal veränderlichen Phasenfaktors der Wellenfunktion
wird meist Hermann Weyl (1929) zugeschrieben, findet sich
aber auch schon 1926 von Wladimir Fock formuliert. Das
geschah im Rahmen der Diskussion der relativistischen
Wellengleichung für massive skalare Teilchen, wobei das
Vektorpotential über die minimale Kopplung einfließt.
Weyl hatte schon 1919 vor der Entwicklung der
Quantenmechanik im Rahmen eines Versuchs der
Erweiterung der Allgemeinen Relativitätstheorie, die auch
die Elektrodynamik umfasst, einen lokal veränderlichen
Längenmaßstab als Eichfaktor eingeführt. Durch eine
Umformulierung auf komplexe Phasen im Rahmen der
Quantenmechanik gab er 1929 die Formulierung von
Eichtheorien im heutigen Sinn.
Das Eichprinzip – N Ladungen
+ Invarianzforderung
Die auf Yang und Mills zurückgehende Idee der Eichtheorien besteht darin,
anstelle der globalen Invarianz eine lokale Eichinvarianz zu fordern, die Wirkung
S soll also unter ortsabhängigen Eichtransformationen U(x) unverändert bleiben:
Das Eichprinzip Invarianz
der Lagrange-Dichte
Dazu wird die äußere Ableitung ersetzt durch
eine eichkovariante Ableitung „Transport“
Das auffallend Neue an der Quanten-Elektrodynamik
ergibt sich aus der Kombination von zwei Begriffen: dem
des elektromagnetischen Feldes und dem des Photons als
Teilchenaspekt elektromagnetischer Wellen. Da Photonen
auch elektromagnetische Wellen und da diese Wellen
elektromagnetische Felder sind, müssen die Photonen
Manifestationen elektromagnetischer Felder sein. Daher
kommt der Begriff „Quantenfeld“, d.h. ein Feld, das die
Form von Quanten oder Teilchen annehmen kann. Dies ist
tatsächlich ein völlig neuer Begriff, der auf die
Beschreibung aller subatomaren Partikel und ihrer
Wechselwirkungen ausgedehnt wurde, wobei jeder
Teilchentyp einem anderen Feld entspricht.
Quantenelektrodynamik als Eichtheorie
In diesen Quanten-Feldtheorien ist der klassische
Gegensatz zwischen festen Teilchen und dem
umgebenden Raum völlig überwunden. Das
Quantenfeld wird als die fundamentale physikalische
Einheit betrachtet, ein kontinuierliches Medium, das
überall im Raum vorhanden ist. Teilchen sind lediglich
eine örtliche Verdichtung des Feldes, eine Konzentration
von Energie, die kommt und geht und dabei ihren
individuellen Charakter verliert und sich im zu Grunde
liegenden Feld auflöst. Mit den Worten Albert Einsteins:
„Wir können daher Materie als den Bereich des Raumes
betrachten, in dem das Feld extrem dicht ist (…) in dieser
neuen Physik ist kein Platz für beides, Feld und
Materie, denn das Feld ist die einzige Realität.“
Feynman-Diagramm schwache WW
Vertex:
Elektron
tauscht
elektrische
& schwache
Ladung aus
und wird
zu einem
völlig neuen
Teilchen
Die Quantenchromodynamik QCD II
3 starke Ladungen erzeugen 8 Gluonenfelder G
Die Gluonen sind wie Photonen masselos.
Es gibt nicht-triviale Feldkonfigurationen
auch im Vakuum nur im Computer lösbar.
Jülich, 27. März 2015 – Nur weil das Neutron ein ganz
klein wenig schwerer ist als das Proton, haben Atomkerne
genau die Eigenschaften, die unsere Welt und letztlich
unsere Existenz ermöglichen. 80 Jahre nach der
Entdeckung des Neutrons ist es einem Team aus
Frankreich, Deutschland und Ungarn unter Führung des
Wuppertaler Forschers Zoltán Fodor nun endlich
gelungen, diese winzige Massendifferenz zu berechnen. Das
Ergebnis, das in der aktuellen Ausgabe der Fachzeitschrift
"Science" erscheint, wird von vielen Physikern als
Meilenstein und Bestätigung der Theorie der starken
Wechselwirkung angesehen. Entscheidend für die
Simulation war dabei JUQUEEN am Forschungszentrum
Jülich, einer der leistungsstärksten Rechner der Welt.
Massendifferenz Proton - Neutron
• Elektromagnetische, schwache und
starke Wechselwirkung werden erfolg-
reich durch Eichtheorien modelliert.
• Auch der LHC hat zum Test dieser
Vorstellungen beigetragen.
• Diese entsprechen geometrischen
Strukturen auf der RaumZeit – sog.
Faserbündel mit Zusammenhang.
• Es bestehen dadurch fundamentale
geometrische Unterschiede zwischen
Materiefeldern und Kraftfeldern.
Zusammenfassung
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