grundkurs physik 2 - universität...
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1
Schwingungen
Außerplanmäßig nächste WocheDienstag, 8.4.08 7:30 Uhr Vorlesung, Kleiner Hörsaal Physik
Mittwoch, 9.4.08 13 Uhr, Übung, Hörsaal Schutow
www-Bereich Lehre in Arbeitsgruppe Cluster und Nanostrukturen
Grundkurs Physik 2login: P4LA
passwd: cluster
2
Harmonische Schwingung
Zeitliche Änderung einer physikalischen Größe, die mit einer Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben
werden kann.
Harmonische Schwingungen sind die am häufigsten Oszillationen im Alltag
Alle System, die dem Hookschen Gesetz genügen, führen harmonische Schwingungen aus.
Jedes System, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt harmonisch
um den Ruhepunkt.
Stabiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage
Labiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage
Indifferentes GleichgewichtKeine Kraftwirkung bei Auslenkung
3
Beispiele für schwingende Systeme
Fadenpendel
Hydrometer
Torsionspendel Masse an Feder
Helmholtzresonantor
Elektrischer Schwingkreis
Flüssigkeit in U-Rohr
Masse durch Zugkräfte gehalten
4
Hase und Jägerim ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert
Gegenseitige AbhängigkeitenSchneehasenS(t) BeutepopulationdS(t)/dt zeitliche Änderung der BeutepopulationS1(t)S(t) natürliche Entwicklung der BeutepopulationS2S(t)L(t) Entwicklung der Beutepopulation in
Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber
Luchse L(t) RäuberpopulationdL(t)/dt zeitliche Änderung der RäuberpopulationL1(t)L(t) natürliche Entwicklung der RäuberpopulationL2S(t)L(t) Entwicklung der Räuberpopulation in
Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere
)(L)()(L)(
)()(S)(S)(
21
21
tLtLtSdt
tdL
tLtStSdt
tdS
−=
−=
Gekoppelte Differentialgleichung
Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden
5
Hooksches GesetzAuslenkung aus der Ruhelage nach rechts
x positiv
Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF negativ
GleichgewichtspositionKraftwirkung verschwindet
Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF positiv
kxFS −=Gesetz Hooksches
Auslenkung aus der Ruhelage nach linksx negativ Robert Hooke
(1635-1703)
6
Einfache harmonische Bewegung
Newtonsche Bewegungsgleichung
xmka
kxmaamF
x
x
−=
−=
=∑ rr
Experimentelle Beobachtung:Beschleunigung a ist proportional der Auslenkung xRichtung von a ist entgegengesetzt zu x
Die Bewegung von Systemen, die sich in dieser Weise verhalten, nennt man einfache harmonische Bewegungen
oderEin Körper führt eine einfache harmonische Bewegung aus, wenn die Beschleunigung proportional der Auslenkung und
entgegengesetzt der Richtung der Auslenkung ist.
wechseltVorzeichen da ,0 bei maximalgkeit Geschwindi
beimaximalgchleunigunAnfangsbes
ax
Amk
Ax
=
−
=
Vertikale Auslenkung reibungsfrei
Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsformen
7
Objekt an Feder, jetzt vertikalmacht es einen Unterschied, dass die Feder gespannt wird?
Gleichgewichtsposition der Feder ohne angehängtes Gewicht
kmgxx
kxF
S
SS
−=
−= kxmgk
mgxkFF gS −=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=−
Gleichgewichtsposition der Feder mit angehängtem Gewicht
x Sx
Gleichgewichtsposition
Kein Unterschied in der Beschreibung der Bewegung
mit Gewicht
ohne Gewicht
8
Mathematische Beschreibung
xx
mk
xmkx
dtd
²dt²d²
Definiere²²
2
ω
ω
−=
=
−=
Gesucht: Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (mal einer Konstante)
( )
( )
( )
)(²)(²²
cos²)(²²
sin)(
cos)(
txtxdtd
tAtxdtd
tAtxdtd
tAtx
ω
φωω
φωω
φω
−=
+−=
+=
+=
Ansatz cos
Newtonsche Bewegungsgleichung
Amplitude A
φω +tPhase
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
sradEinheit
mkωKreisfrequenz
Sinus- und Kosinusfunktionen
erfüllen solche Anforderungen
Phasenwinkel[ ]radEinheit
0≠φ
0=φ
9
Harmonische Bewegung eines Oszillators
Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzwKosinusfunktion auf gleichmäßig bewegtem Papier
10
Jupitermonde
Aus Sicht der Erde führen die Jupitermonde eine harmonische Schwingung aus
Hinweis auf heliozentrisches Weltbild
11
Amplitude
Die Amplitude definiert die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage
Auslenkung = Längenänderung
Auslenkung = Winkeländerung
Der Grad der Auslenkung kann unterschiedlich bestimmt werden
( )φω += tAtx cos)(
12
Phase
Steve Reich - Violin Phase (1967)Musikstück für vier Violinen
oder eine Violine und Tonband
Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen
Position der größten Auslenkung ist gegenüber dem anderen System um einen gewissen Betrag
verschoben
Maximaler Unterschied (Phasenwinkel) ist 2π
π2
( )φω += tAtx cos)(
13
Periode und Frequenz
Definition der PeriodeEin vollständiger Zyklus der Bewegung
Position des Körpers identisch bei t und t+T
Kosinusfunktion 2ππ2
( )( ) ( )
ωππω
πφωφω
22
2
=
=⇓
=+−++
T
T
tTt
πω2
1==
Tf
PeriodeSI Einheit [s]
FrequenzSI Einheit [1/s=1 Hz]
Tf ππω 22 == Kreisfrequenz
SI Einheit [1 rad/s]
mk
Tf
kmT
π
πωπ
211
22
==
==Frequenz der Oszillation hängt nur von der Masse m des Körpers und der Federkonstante k ab und nicht
von den Parameter der Schwingung wie Amplitude A und Phase φ
( )φω += tAtx cos)(
14
Geschwindigkeit und Beschleunigung
( )( )
( )φωω
φω
+−=
+==
tA
tAdtdx
dtd
sinv
cosv
Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation
mkA
A
±=
±=
max
max
v
v ω
mkAa
Aa
±=
±=
max
max ²ω
( )( )
( )φωω
φω
+=
+==
tAa
tAdt²d²x
dt²d²a
cos²
cos
x(t)
v(t)
a(t)
für eine willkürlich gewählte Phase
Beschleunigung maximal, wenn Auslenkung maximal
Geschwindigkeit maximal wenn Beschleunigung minimal
( )φω += tAtx cos)(
15
Anfangsbedingung IFeder gespannt
0sin)0(cos0
ungRandbeding
=−===φωφ
AvAA)x(
Als Phase wählen wir φ=0,damit die Gleichung oben erfüllt ist
t=0x(0)=Αv=0
tAx ωcos=Lösung
( )φω += tAtx cos)(
16
Anfangsbedingung IIDurchgang durch die Gleichgewichtslage
ωφω
πφφ
ii AA
A)x(
vvsin)0(v
20cos0
m=⇒=−=
±=⇒==
t=0x(0)=Αv=0
t=0x(0)=0v=v0
2--1sin
positivA und 0vungRandbeding
πφφ =⇒=
↓
>i
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
2cosv πω
ωtx i
Lösung
resultierende Amplitude
Phase um π/4 verschoben
Anfangsbedingung I
( )φω += tAtx cos)(
17
Schlagloch
Masse des Trabant620 kg
Federkonstante der Einzelfeder15000 N/m
Fall BZusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer
insgesamt 250 kg
Hz 23.1250kg620kg
mN 00600
21
21
=
+=
+=
voll
PersonenTrabi
effvoll
fmm
kf
ππHz 75.1
620kgmN 00600
21
21
=
==
leer
Trabi
effleer
fmk
fππ
( )
mN 00600
mN 001504
=
⋅=
−=−=−= ∑∑
eff
eff
effres
k
k
xkxkkxF
Fall AOszillationsfrequenz des leeren Trabant
18
Energie des einfachen harmonischen Oszillators
Erinnerung an die Vorlesung MECHANIKViele Probleme lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen
Kinetische Energie des harmonischen Oszillators ( )
( )
( ) ( )( )
2
1cossin
222
222
222
21
cossin21
cos21
21
sin21²v
21
22
kAE
ttkAE
PEKEE
tkAkxPE
tAmmKE
=
⇓
+++=
+=
+==
+==
=Θ+Θ
φωφω
φω
φωω
Gesamtenergie des harmonischen Oszillators
( )( )φωω
Elastische Energie des harmonischen Oszillators
φω+=+=tAt
tAtxsin)(v
cos)(Ausgangslage schon berechnet
Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zum Quadrat der Amplitude
BemerkungSowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv
19
Energie des harmonischen Oszillators
2
222ax
21
21
21v
21
00Position Betrachte
kAE
AmkmAmmE
PEx
m
=
===
==
ω
0=x
Austausch von kinetischer und elastischer Energie im harmonischen Oszillator
Beitrag von KE und PE als Funktion der Amplitude der Schwingung
20
Energie des harmonischen Oszillators
0=x
2x
21
41
2
21
21
giltder bei Amplitude Suche
22
Bedingung
2
2
A
kxkA
PEE
kxPE
kAE
=
=
=
⇓
=
=
21
Potentielle vs kinetische Energie
PE max
PE max
PE max
KE max
KE max
22
Geschwindigkeit v(x)
( )
( )22
²
22
222
v
mkv
21v
21
21
xA
xA
mxmkA
PEKEE
mk
−±=
⇓
−±=
=+=
⇓
+=
=
ω
ω
A
x
ω±=⇓
=
v
0
( ) 0v 22 =−±=
⇓
=
AAA
Ax
ω
Check für Extremalpositionen
Nutze Energiesatz um Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen
Geschwindigkeit an Position x
Maximal am Gleichgewichtspunkt Minimal am Umkehrpunkt
23
Hooksches Gesetzeinfacher Ansatz für globale Probleme
Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x
Hooksches Gesetz
Für größere Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt
Für nahezu ALLE physikalischen Systeme in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer
Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung gewählt werden, der dem Hookschen Gesetz
entspricht. Man muß sich aber darüber klar sein, dass
diese Näherung möglicherweise nur in einem engen Bereich gültig ist.
Einige Beispiele außerhalb der MechanikVibration von Molekülen
akustische Schwingungen im Festkörper (Phononen), Metallische Elektronen in Metallen
Elektronen in einem PlasmaSchwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen)
24
Harmonische Näherung
In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel
Typischer Potentialverlauf
25
Anwendung Lennard-Jones Potential für Moleküle
Harmonische Näherung
Lennard-Jones Potential
von einfach zu komplex
Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen
Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atomen wie zum Beispiel im Festkörper
26
Harmonische Schwingung vs Kreisbewegung
Schwingungsbewegung
Objekt rotiert auf Scheibe
Schatten führt Oszillation aus
Kreisbewegung
27
Harmonische Schwingung vs Kreisbewegung
Konstante Winkelgeschwindigkeit
( )φω += tAx cos
TtAxA
<<<<−
0für
( )φcosAx =Oszillation von x in den Grenzen
Referenzkreis
Eine einfache harmonische Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung
auf einen Referenzkreis
Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kombination von
zwei einfachen harmonischen Schwingungen eine entlang der x-und eine entlang der y-Achse
rω=vMechanik
rrr
r²²²²va
Mechanik
ωω===
( )φωω +−= tAx sinvx-Komponente ( )φωω +−= tAx cos²a
28
Mathematisches PendelOszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation
Θ−=Θ
Θ=
Θ
⇓
Θ−==
Θ=
sin
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
Lg
dtd
dtdmL
dtLdm
mgdt
sdmF
Ls
t
Näherung für geringe Auslenkungen
Bewegungsgleichung für die Tangentialkomponente
Θ−=Θ
⇓
Θ≈Θ
Lg
dtd
2
2
sin
( )φω +Θ=Θ tcosmax
Lösungsansatz harmonische Schwingung
( )
Lg
Lg
dtd
tdtd
=
⇓
Θ−=Θ−=Θ
+Θ−=Θ
ω
ω
φωω
22
2
max2
2
2
cos
Einsetzen des Lösungsansatzes
gLT π
ωπ 22==
Die Frequenz und die Periode eines mathematischen Pendels hängt nicht von der Masse sondern nur von der
Länge des Fadens und der Gravitation ab. Am selben Ort (gleiches g) und
gleichem L schwingen alle Objekte mit derselben Periode!
29
Eine-Sekunde Pendel
GravimetrieGeophysikalische Verfahren zur Auffindung von Bodenschätzen
Christian Huygens Idee:Ein Pendel mit einer Periode von einer Sekunden als Zeitnormal
0.248m4ππ
1ss²m9.81
4
1
21
=⋅
=
=
s
s
L
gTLπ
Länge der Pendelschnur etwa ein Viertel eines Meters
s²m 2.39
1sm 14π
4
2
2
==
=
planet
planet
g
TLg π
Gesucht ein Planet auf dem die Periode des Pendels mit einem Meter Aufhängung genau eine Sekunde beträgt
Zum Vergleich Jupiter
s²m 24.8 =Jupiterg
30
Physikalisches Pendel
( )
Imgd
t
Imgd
dtd
dtdImgd
=
⇓
+Θ=Θ
Θ−=Θ−=Θ
⇓
Θ=Θ−
Θ≈Θ
ω
φω
ω
cosatzLösungsans
sin
max
22
2
sin
2
2Bewegungsgleichung
Drehmoment bewirkt, dass sich der Schwerpunkt
bewegt
∑ = ατ IRotation
Mechanik Newtonsche
mgdIT π
ωπ 22==
Periode des physikalischen Pendels
gd
mgdmdT
mdI
ππ 222
2
==
⇓
=Masse konzentriert in einem Punkt
Lösung für das physikalische Pendel
AnwendungBestimmung eines
Trägheitsmonents I aus der Periodendauer T
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