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Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Diskrete Mathematik IIVorlesung 7

SS 2001

Voronoi-Diagramme,Konstruktion der Voronoi-Diagramme I

Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7

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Übersicht I

• Voronoi-Diagramm: Motivation• Zu Beginn eine interaktive Animation• Voronoi-Diagramm• Anwendungen• Konvexe Menge, konvexe Hülle• Voronoi-Regionen (Polygone)• Konstruktion des Voronoi-Diagramms• Was ist der schwierigste Teilschritt?

• Aufteilung der Menge P in P1 und P2

• Voronoi-Diagramm von P1

• Voronoi-Diagramm von P2

• Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge• Konstruktion des trennenden Kantenzuges

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Übersicht I

• Tangente• Tangente – konvexe Hülle• Konvexe Hülle• Vereinigung• Löschen der überflüssigen Segmente• Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P• Datenstruktur für Voronoi-Diagramm• Kosten• Länge des Kantenzuges im Worst Case• Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case• O(n) * O(n) = O(n2) ?• „Investitionen müssen sich amortisieren“

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Voronoi-Diagramm: Motivation

Welcher Löwe fängt die Gazelle?

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Voronoi-Diagramm: Motivation

Welcher Löwe fängt die Gazelle?

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Voronoi-Diagramm: Motivation

Welcher Löwe fängt die Gazelle?

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Zu Beginn eine interaktive Animation

Quelle: Fern Universität Hagenhttp://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/

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Voronoi-Diagramm

• Gegeben ist eine Menge von n Punkten• Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in

Gebiete gleicher nächster Nachbarn• Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle

Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen

• Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi-Knoten und –Kanten

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Anwendungen

• Kollisionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge, ...)

• Das Filialenschließungsproblem: welches Paar von Filialen macht sich gegenseitig die größte Konkurrenz ...

• Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus, ...)

• Einzugs- und Einflussgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe)

• Bewertung von Standorten• Biologie• Archäologie

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Konvexe Menge, konvexe Hülle

• Eine Menge P von Punkten ist konvex, wenn zu jedem Punktepaar p und q auch die verbindende Strecke pq ganz in P enthalten ist

• Die konvexe Hülle CH(P) einer Punktemenge P ist die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte aus P enthält

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Voronoi-Regionen (Polygone)

beschränkte Voronoi-Regionen

unbeschränkte Voronoi-Regionen

Übung:Die Konvexe Hülle ver-bindet die unbeschränktenVoronoi-RegionenÜbung:

Jede Voroni-Region ist konvex!

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Konstruktion des Voronoi-Diagramms

„Divide and Conquer“

1. Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten

2. Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2

3. Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2

4. Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme

5. Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene

Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen?

log n mal

O(n * log n)wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,

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Was ist der schwierigste Teilschritt?

• Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen– Sortieren nach x-Koordinate– Bilden des Medians– Einfach

• Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges

• Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt;der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte

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P1

P2

Aufteilung der Menge P in P1 und P2

P

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Voronoi-Diagramm von P1

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Voronoi-Diagramm von P2

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Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge

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Konstruktion des trennenden Kantenzuges

Was wissen wir über den trennenden Kantenzug?• monoton in Nord-Süd-Richtung• jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte)

zwischen einer roten und einer grünen Region• Problem: sukzessive Identifikation der

benachbarten roten und grünen Punkte• die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind

unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden

dort unbeschränkte Voronoi-Regionen• sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen

konvexen Hülle• beginnen wir also mit den beiden Tangenten

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Tangente

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20 20

Tangente – konvexe Hülle

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21 21

Konvexe Hülle

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Vereinigung

Mittelsenkrechte bilden

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23 23

Vereinigung

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24 24

Vereinigung

Aktive Voronoi-Diagramme

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen

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25 25

Vereinigung

Aktive Voronoi-Diagramme

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen

Neues aktives VD

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Vereinigung

Aktive Voronoi-Diagramme

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen

Neues aktives VD

Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD

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Vereinigung

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28 28

Vereinigung

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Vereinigung

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Vereinigung

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Mittelsenkrechte deraktiven VD

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Vereinigung

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33 33

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Vereinigung

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Vereinigung

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Vereinigung

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Vereinigung

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Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang

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Vereinigung

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Löschen der überflüssigen Segmente

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Löschen der überflüssigen Segmente

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Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P

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Datenstruktur für Voronoi-Diagramm

• Doppelt verkettete Kantenliste• Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit• Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen

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Kosten

• wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges?

• Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges• Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den

benachbarten Voronoi-Regionen

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O(n)

Länge des Kantenzuges im Worst Case

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Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case

O(n)

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O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

war jetzt alles umsonst?

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O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!

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„Investitionen müssen sich amortisieren“

• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens

zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im

Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!