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Kapitel 4.2:
Offentliche Guter1
Dr. Jorg Franke
Technische Universitat Dortmund
Sommersemester 2010
1Diese Folien dienen der Erganzung des Vorlesungsstoffes im Rahmen der Vor-und Nachbereitung. Sie stellen kein Skript dar; es wird keine Gewahr fur Richtigkeitund/oder Vollstandigkeit ubernommen.
Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
2. Bereitstellung im Markt
Verfahren:
▸ Konsument i finanziert Anteil yi am offentliches Gutdurch freiwilligen Konsumverzicht des privaten Gutes
▸ Summe individueller Anteile zur Produktion desoffentlichen Gutes benutzt: y = ∑
ni=1 yi .
Aus der Perspektive von Konsument i :
maxxi ,yi
vi(y) + xi
NB: xi + yi = xi
y = ∑ni=1 yi
⇒ maxyi
vi(yi +∑j≠i yj) + xi − yi
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Losung des Nutzenmaximierungsproblems:
Nutzenmaximierender Anteil yi erfullt B.1.O.:
v ′i (yi +∑j≠i
yj) = 1
Im Allgemeinen: Konsument i setzt Beitrag yi so daß
GRSi ∣xy = GRTS ∣xy
Wie reagiert Konsument j ≠ i? 3 Falle:1. v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1: Konsument j belasst yj
unverandert.2. v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) < 1: Konsument j reduziert yj auf yj
bis entweder: yj = 0 oder v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1.3. v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) > 1: Konsument j erhoht yj auf yj
solange bis v ′j (yi + yj +∑k≠i ,j yk) = 1.Konsument i wird seinen Anteil ebenfalls auf yi anpassen...
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Ende des Anpassungsprozesses: Gesamtmenge y desoffentlichen Gutes charakterisiert durch:
i. v ′i (y) = 1 fur mindestens ein i = 1, . . . , n.ii. v ′i (y) ≤ 1 fur alle i = 1, . . . , n.iii. v ′i (y) > 0 fur alle i = 1, . . . , n.iv. Fur alle i mit v ′i (y) = 1 gilt: y = ∑i yi .v. Fur alle j mit v ′j (y) < 1 gilt: yj = 0.
Beispiel:
y
vi(y)
v1(y)
v2(y)
v3(y)
y = y3 3 / 27
Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Summation uber alle i = 1, . . . , n ergibt:n
∑i=1
v ′i (y) > 1
Vergleich mit pareto-optimaler Bereitstellung y∗,charakterisiert durch Samuelson’sche Optimalitatsbedingung:
n
∑i=1
v ′i (y∗) = 1
Fazit: Unterproduktion des offentlichen Gutes: y < y∗.
y
v ′i (y)
v ′3(y)
∑ni=1 v ′i (y)
1
y∗y4 / 27
Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Satz
Die im Markt (in dezentraler Privatinitiative) bereitgestellteMenge des offentlichen Gutes ist suboptimal, es kommt zuUnterproduktion des offentlichen Gutes.
Grund: Free rider- bzw. Freifahrerverhalten
▸ Ein (wenige) Marktteilnehmer produziert offentliches Gut,d.h. verzichtet freiwillig auf privaten Konsum.
▸ Alle anderen Marktteilnehmer profitieren vonBereitstellung des offentlichen Gutes, ohne auf privatenKonsum zu verzichten.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Auswertung Exerperiment 3
Despriktive Statistik:
▸ 25 Teilnehmer
▸ Studiengange: 52% WiWi, 20% WiMa, 8% Nat, 20%Sonst.
▸ Geschlecht: 56% weiblich, 44% mannlich.
▸ Augenfarbe: 25% Blau, 54% braun, 21% grun.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Theoretische Analyse:
▸ Induzierte Nutzenfunktion quasi-linear:
ui(xi , yi) =180
25
¿ÁÁÀ
25
∑j=1
yj + 1, 5xi = 7, 2
¿ÁÁÀ
25
∑j=1
yj + 1, 5xi
▸ Budgetrestriktion: xi + yi = 100
Einsetzen der Restriktion ergibt:
ui(yi) = 7, 2
¿ÁÁÀ
25
∑j=1
yj + 150 − 1, 5yi
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
1. Herleitung der effizienten Allokation:
Definition: Aggregierter Surplus (AS):
AS(y) =25
∑i=1
⎛
⎝
180
25
¿ÁÁÀ
25
∑j=1
yj − 1, 5yi
⎞
⎠= 180
√y − 1, 5y
Pareto-optimale Menge des offentlichen Gutes:
maxy
AS(y) = 180√
y − 1, 5y
NB: y = ∑25i=1 yi ≤ 25 ∗ 100 = 2500
B.1.O.: 90√y − 1, 5 = 0 fur y ≤ 2500
▸ Optimale Menge des offentlichen Gutes: y∗ = 2500.▸ Teilnehmer i sollte gesamtes Anfangsvermogen in Y
investieren: y∗i = 100.8 / 27
Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
2. Herleitung der Marktallokation:
Marktteilnehmer i investiert als Nutzenmaximierer:
maxyi
7, 2
¿ÁÁÀ
25
∑j=1
yj + 150 − 1, 5yi
B.1.O.:3, 6√
y− 1, 5 = 0
▸ Nutzenmaximierende Menge des offentlichen Gutes:y = 5,76.
▸ Individueller nutzenmaximierende Beitrag:yi = max{5,76 −∑j≠i yj,0}.
▸ Unter Annahme symmetrischen Verhaltens: yi = 0,23
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Theoretische Vorhersagen:
▸ Suboptimale Bereitstellung des offentl. Gutes im Markt:y = 5, 76 < y∗ = 2500.
▸ Freifahrerverhalten der Individuen: yi = 0, 23 < y∗i = 100.
▸ Grad des Freifahrerverhaltens ausgedruckt durchFreifahrer-Index yi ,i.e. realisiertes Investment von i inY :
▸ extremes Freifahrerverhalten: yi = 0, 23▸ kein Freifahrerverhalten: yi = 100
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Auswertung 1:▸ Durchschnittlicher Freifahrer-Index: yi = 46.64▸ Signifikant unterschieden von y∗i = 100 und yi = 0, 23
Histogramm: Freifahrer-Index
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Y
Häu
figke
it
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Auswertung 2: Studiengange
Studiengang Mittelwert Standard-Abweichung
WiWi 40 9,61
WiMa 53,2 18,50
Nat 50 30
Sonst 56 20,40
Resultat 2:
▸ Freifahrer-Index fur WiWi-Studierende am geringsten.
▸ Paarweise Unterschiede jedoch statistisch nichtsignifikant.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Auswertung 3: Geschlecht
Geschlecht Mittelwert Standard-Abweichung
W 57,21 9,83
M 33,18 10,22
Differenz 24,03 14,33
Resultat 3:
▸ Freifahrer-Index fur mannliche geringer als fur weiblicheTeilnehmer.
▸ Differenz signifikant auf 6 Prozent Signifikanzniveau(einseitiger t-test).
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Auswertung 4: Augenfarbe (genetische Disposition)
Augenfarbe Mittelwert Standard-Abweichung
Blau 38 10,86
Braun 57,77 11,28
Grun 41 20,15
Resultat 4:
▸ Freifahrer-Index fur blau-augige am geringsten.
▸ Paarweise Unterschiede nicht signifikant.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Zusammenfassung Experiment 3▸ Pareto-effiziente Allokation nicht freiwillig bzw. dezentral
realisierbar.▸ Freifahrerverhalten experimentell beobachtbar:
▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpurem eigennutzbasierten Vorhersagen.
▸ Experimentelles Verhalten signifikant unterschieden vonpareto-effizientem Verhalten.
▸ Signifikante Geschlechtsunterschiede: Freifahrerverhaltendeutlich geringer bei weiblichen Teilnehmern.
▸ Resultate aus Marwell and Ames (1981)”Economists free
ride, does anyone else?“, Journal of Public Economics,weitgehend bestatigt:
yi ∈ (40, 60)
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Offentliche Bereitstellung des Offentlichen Gutes
▸ Private dezentrale Bereitstellung nicht effizient:Unterproduktion.
▸ Ausweg: Staat stellt offentliches Gut y zentralisiert bereit.
▸ Kostendeckung durch anteilige Steuern unter Berucksich-tigung des jeweiligem individuellen Nutzens aus demKonsum des offentlichen Gutes:
▸ Fairnessgrunde,▸ Im Wettbewerbsmarkt ist Nutzen aus privaten Gutern
ebenfalls mit zu zahlenden Preisen verknupft.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Intuition
▸ Preis fur offentliches Gut y (als entgangener privaterKonsum) zu hoch.
▸ Anteilige Subventionierung des Konsums von y (effektivePreissenkung), so dass Ausbringungsmenge steigt.
▸ Jeder Marktteilnehmer konsumiert y : Steuererhebung aufKonsum aller Marktteilnehmer.
▸ Besteuerung des jeweiligen Marktteilnehmer anteiligabgestimmt:
▸ Anteil von i an Kosten aus Produktion von y: ti .▸ Produktion von y : Steuerschuld des i : tiy .▸ Staatliche Bereitstellung durchfuhrbar bei
Kostendeckung: ∑ni=1 ti = 1.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Frage: Existieren Steuern ti , so dass Konsumenten diepareto-effiziente Ausbringungsmenge des offentlichen Gutesnachfragen?▸ Staat kennt Nutzenfunktionen (u1(y , x1) . . . un(y , xn))
▸ Basierend auf Information wird fiktives optimales y∗
bestimmt uber Samuelson’sche Bedingung:
n
∑i=1
v ′i (y∗) = 1.
▸ Implementierter Steuerersatz: ti = v ′i (y∗)
▸ Falls tatsachlich y∗ nachgefragt wurde, warekostendeckende staatliche Bereitstellung moglich:
n
∑i=1
ti =n
∑i=1
v ′i (y∗) = 1.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Frage: Welche Menge y wird Konsument i bei Steuersatzti = v ′i (y
∗) nachfragen?
maxxi ,y
vi(y) + xi
NB: xi + tiy = xi
⇒ maxy
vi(y) + xi − tiy
Nutzenmaximum charakterisiert durch B.1.O.: v′i(y) = ti
Fur ti = v ′i (y∗) gilt daher:
v ′i (y) = ti = v ′i (y∗) ⇒ y = y∗
Fazit: Alle Konsumenten i = 1 . . . n fragen pareto-optimaleMenge des offentlichen Gutes nach!
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Definition (Lindahl Gleichgewicht)
System von personalisierten Steuern (Preisen) (t1 . . . tn, y∗)heisst Lindahl Gleichgewicht, wenn:
▸ Konsument i , gegeben personalisierte Steuer ti , gerade y∗
nachfragt.
▸ Ausbringungsmenge y∗ durch Steuereinnahmenkostendeckend bereitgestellt werden kann:
n
∑i=1
tiy∗ = y∗
Satz
Die Ausbringungsmenge des offentlichen Gutes in einemLindahl-Gleichgewicht ist pareto-optimal!
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Intuition
Im Lindahl-Gleichgewicht gelten fur jedes Individuumindividuelle Preise fur den Konsum des offentlichen Gutes:
▸ Private Bereitstellung des offentlichen Gutes: v ′i (y) = 1
▸ Im Lindahl-Gleichgewicht: ti = v ′i (y∗) < v ′i (y) = 1, da
∑ni=1 ti = ∑
ni=1 v ′i (y
∗) = 1. Daraus folgt:▸ Unterproduktion wird reduziert: y∗ > y .▸ Unterproduktion wird vollstandig reduziert: y∗ erfullt
Samuelson’sche Bedingung und ist daher pareto-optimal.
▸ Hohere Wertschatzung impliziert hohere Steuerbeitrage:
v ′i (y∗) > v ′j (y
∗)⇒ ti > tj .
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Praktische Relevanz des Lindahl-Gleichgewichts:
▸ Eher gering wegen hoher Informationsanforderung: Staatinformiert uber Nutzenfunktionen der Konsumenten.
▸ Konsumenten haben Anreiz jeweilige Nutzenfunktionnicht wahrheitsgemaß zu offenbaren, da Preisfestlegungvon individueller Antwort abhangt: Anreizproblem.
▸ In anderen Worten: Lindahl-Preise fur dasselbe offentlicheGut sind fur unterschiedliche Konsumenten verschieden:Wer zahlt freiwillig hohere Preise fur dasselbe Gut?
▸ Identische Preise fur offentliches Gut konnen daher perDefinition nicht zu effizienter Bereitstellung fuhren.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Alternative Entscheidungsmechanismen:Abstimmungsverfahren
▸ realistischer und praktikabler als Lindahl-Preisfestlegung.
▸ Nachteil: Abweichung von pareto-optimaler Bereitstellung.
Beispiel: Gemeinsame Festlegung der Raumtemperatur
▸ Fiktive Modellannahme: Funktionierende und exaktregelbare Klimaanlage.
▸ Finanziert durch n Benutzer: Jeder zahlt gleichenKostenanteil von 1/n.
▸ Bei gegebener Kostenverteilung hat jeder Nutzer iWunschtemperatur yi .
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Fortsetzung und Spezifikation des Beispiels:
▸ n = 11 Teilnehmer mit folgenden Wunschtemperaturen:
(y1 . . . yi . . . y11) = (16; 16, 5; 17; . . . ; 21)
▸ Entscheidung durch Mehrheitswahl
▸”Gleichgewicht“: Alternative, die bei paarweisen
Abstimmungen gegen jede andere gewinnt.▸ Wahler i hat bei jeder Abstimmung genau eine Stimme:
▸ Erfolgt Abstimmung uber yi , so wahlt i seineWunschtemperatur yi .
▸ Wird uber (yj , yk) mit j , k ≠ i abgestimmt, praferiert idie der Wunschtemperatur yi ”
nahere“ Alternative:
minx∈{j ,k}
∣yx − yi ∣ .
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Frage: Existiert eine Alternative, die bei (allen moglichen)paarweisen Abstimmungen immer gewinnt?
Theorem (Medianwahler-Resultat)
Die bevorzugte Alternative des”Medianwahlers“ gewinnt alle
paarweisen Abstimmungen.
Wer ist der”Medianwahler“ im Beispiel?
Betrachte i = 6 mit y6 = 18, 5:
▸ Genau 5 Wahler bevorzugen kaltere Raumtemperatur.
▸ Genau 5 Wahler bevorzugen warmere Raumtemperatur.
▸ Wahler i = 6 bildet den Median der Reihung der Wahlerentsprechend ihrer praferierten Temperatur.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Implikation: Wahler i = 6 musste mit y6 = 18, 5 jedepaarweise Abstimmung gewinnen.
Test:
▸ y6 = 18, 5 vs. y9 = 20: Fur Wahler i = 1 . . . 5 gilt y6 − yi < y9 − yi .Damit erhalt Alternative y6 bereits mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.
▸ y6 = 18, 5 vs. y5 = 18: Fur Wahler i = 7 . . . 11 gilt yi − y6 < yi − y5.Damit erhalt Alternative y6 wiederum mindestens 6 Stimmen unddamit die Mehrheit.
▸ Generell gilt: Fur jede Abstimmung yi vs. y6 werden mindestens 6Wahler fur y6 stimmen, d.h. Alternative y6 gewinnt alle paarweisenAbstimmungen.
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Kapitel 4.2: Offentliche Guter (Kollektivguter)
MarktgleichgewichtAuswertung Exerperiment 3Lindahl-PreiseMedianwahler
Paarweise Abstimmungsregel
Vorteile: einfach verstandlich, praktikabel, fuhrt immer zu Ergebnis.
Nachteile:
(i) Durchfuhrung zahlreicher Abstimmungen notwendig.
(ii) Ergebnis im Allgemeinen nicht pareto-effizient.Spezialfall: Sei v ′6(y6) =
111 ∑
11i=1 v ′i (y6), dann gilt:
11v ′6(y6) =11
∑i=1
v ′i (y6) = GK(y6)
Samuelson’sche Bedingung in diesem Fall erfullt.
(iii) Abstimmungsregel ist manipulierbar, abhangig von der Reihenfolgeder Abstimmung ⇒ Bestimmung der Geschaftsordnung wichtig!
⇒ Theorie der Kollektiventscheidungen (Social Choice)
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