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Ilaus Schindler
Mathematik für Ökonomen Grundlagen für Betriebswirte, Volkswirte und Wirtschaftsingenieure .
2.luflage
f""j)fl r7\[J DeutscherUniversitätsVerlag ~ GABLER·V1EWEG·WESTDEUTSCHER VERLAG
Die Deutsche Bibliothek - ClP-Einheitsaufnahme
Schindler, Klaus: Mathematik für Ökonomen: Grundlagen für Betriebswirte, Volkswirte und Wirtschaftsingenieure / Klaus Schindler. -Wiesbaden: DUV, Dt. Univ.-Verl., 2. Auf!. 1996
(DUV: Wirtschaltswissenschalt) ISBN 978-3-8244-0316-5 ISBN 978-3-322-97627-7 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-97627-7
Der Deutsche Universitäts-Verlag ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation.
© Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden 1996 Lektorat: Monika Mülhausen
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuI.ässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Ubersetzungen, Mikroverlilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Gedruckt auf chlorarm gebleichtem und säurefreiem Papier
ISBN 978-3-8244-0316-5
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI
Vorwort ..... . .............. XI
Verzeichnis ausgewählter Symbole und Abkürzungen XV
1 Formale Logik
Aussageformen
Quantoren und Junktoren
Beweisverfahren . . . .
Vollständige Induktion
2 Mengenlehre
1
3
4
13
14
17
Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
Äquivalenzrelationen, Ordnung ........................ 30
Supremum, Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
VIII
3 Algebraische Strukturen 33
Gruppen und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33
Vektorräume und Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42
4 Abbildungen 47
Injektivität, Surjektivität, Bijektivität von Abbildungen. . . . . . . . . .. 49
Invertierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
Folgen und Reihen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
Monotone Funktionen ....................... 59
Konvexe und konkave Funktionen ...................... 60
Homogene und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
Beispiele ökonomischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Finanzmathematik 71
Nachschüssige und vorschüssige Zinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Gemischte Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
Effektiver und stetiger Zinssatz ................ 80
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . .. 83
Rentenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
Investitionsrechnung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., 93
Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99
6 Stetigkeit
Die euklidische Norm
Folgengrenzwert .
Cauchy-Folgen .
Funktionsgrenzwert und Stetigkeit.
Zwischenwertsatz ......... .
7 Differenzierbarkeit
Ableitung, Differential
Elastizität . . . . . .
Partielle Ableitungen
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Satz von Taylor . . .
Satz von L'Hospital .
Fixpunktsatz, Newtonverfahren
Impliziter Funktionensatz
Monotone, konvexe und konkave Funktionen
Lokale und globale Extremwerte . .
Lagrangesche Multiplikatorenregel .
Ökonomische Anwendungen ....
IX
105
106
108
117
122
128
133
134
139
142
144
162
166
169
177
181
191
202
207
x
8 Integrationstheorie
Das Riemann~Integral
Maßräume ...... .
Das Lebesgue~Integral
Das Lemma von Fatou
Dominierte Konvergenz .
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung
Der Hauptsatz der Integralrechnung . . .
Partielle Integration und Integration durch Substitution.
Literaturhinweise
Index
211
213
220
225
235
238
242
243
247
254
258
XI
Vorwort
In den letzten Jahrzehnten ist die Mathematik eines der wichtigsten Hilfsmittel der mo
dernen Ökonomie geworden, da es nur mit (wenn auch idealisierten) mathematischen
Modellen möglich ist, die Wechselwirkungen komplexer wirtschaftlicher Situationen zu
beschreiben. Die Entwicklung von speziell auf die Bedürfnisse von Ökonomen zugeschnit
tenen mathematischen Instrumentarien hat teilweise sogar zur Entwicklung eigener ma
thematischer Disziplinen geführt und einen dementsprechend starken Einfluß auf die Ma
thematik ausgeübt (z.B. Lineare und nichtlineare Optimierung, Statistik, Spieltheorie). So
reicht das mathematische Spektrum des Wirtschaftswissenschaftlers von der elementaren
Analysis bis hin zu den modernsten Methoden der Funktionalanalysis.
Dies hat dazu geführt, daß in allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften nicht nur
Fachwissen, sondern auch die entsprechende Vertrautheit mit mathematischen Methoden
und Denkweisen verlangt wird, was eine solide mathematische Grundausbildung erfordert,
wenn nicht von vornherein bestimmte ökonomische Disziplinen verschlossen bleiben sollen.
Dem wird (zumindest in der deutschsprachigen Literatur) zu wenig Rechnung getragen.
Nur selten wird dem später mehr quantitativ orientierten Studenten eine mathematisch
ausreichende Basis zur Verfügung gestellt.
Man ist sich zwar in der Auswahl der mathematischen Grundinhalte weitgehend einig,
jedoch herrscht Uneinigkeit hinsichtlich der Art und Weise ihrer Vermittlung. Allzu häufig
wird die Mathematik durch Plausibilitätsbetrachtungen und mechanisches Trainieren von
Rechenregeln anhand ökonomischer Beispiele nähergebracht. Dies führt immer dann zu
Schwierigkeiten, wenn später mathematische Modelle analysiert oder weiterentwickelt wer
den sollen, bzw. wenn auf fortgeschrittene mathematische Methoden zurückgegriffen wird.
Da die Methoden der Mathematik aber nur durch das Studium der Beweise mathema
tischer Aussagen vermittelt werden können, werden in dem vorliegenden Buch fast al
le Aussagen bewiesen. Die Verwendung der einzelnen Voraussetzungen in den Beweisen
macht klar, daß mathematische Sätze nicht voraussetzungslos angewendet werden können
und zeigen die Grenzen der Anwendung. So ist z.B. f'(xo) = 0 keine notwendige Voraus
setzung für ein lokales Extremum der Funktion f im Punkt xo. Dies ist nur richtig, wenn
die Funktion f differenzierbar und Xo ein innerer Punkt des Definitionsbereiches ist.
XII
Weiterhin wurde darauf geachtet, daß der Text in sich vollständig ist, d.h. ohne Fremd
lektüre gelesen werden kann, so daß sich das Buch auch zum Selbststudium eignet. Eine
große Anzahl erläuternder und weiterführender Beispiele erleichtert dem Studierenden
hierbei das Verständnis und gestattet auch demjenigen die Lektüre, der an der Mathema
tik nur als reinem Handwerksgerät interessiert ist.
Der Text ist aus meinen einführenden Vorlesungen "Mathematik für Wirtschaftswissen
schaftler" an der Universität des Saarlandes hervorgegangen. Dennoch richtet sich dieses
Buch nicht nur an Studierende der Wirtschaftswissenschaften, sondern auch an Mathe
matiker, die an ökonomischen Aspekten ihres Fachgebietes interessiert sind. Es wurde
versucht, den ökonomischen Sprachgebrauch mathematisch zu fundieren und so die (nicht
gerade sehr ökonomische) Überfrachtung mit Fachbegriffen auf ein Minimum zu reduzie
ren. Sicherlich hat jeder ökonomische terminus technicus in den Situationen, aus denen
heraus er entwickelt wurde, seine Daseinsberechtigung, doch stellt der teilweise Verzicht
auf eine einheitliche Sprache (nicht nur) für den Lernenden ein großes Hemmnis dar.
Beispielsweise ist nur schwer einzusehen, warum eine vorschüssige und eine nachschüssige
Rentenrechnung (inklusive Formeln und Bezeichnungen) entwickelt werden soll, wenn sich
der vorschüssige Formalismus durch eine Verschiebung der Zeiteinheit um Eins aus der
nachschüssigen Rechnung (und umgekehrt) ergibt. Um ein anderes Beispiel zu nennen:
Warum soll der Student in den Fällen, in denen der Grenznutzen, die Grenzkosten, der
Grenzertrag o.ä. gleich 3 sind, die jeweiligen Sachverhalte gesondert interpretieren, obwohl
dies in allen Fällen lediglich bedeutet, daß die Steigungen der entsprechenden Funktionen
gleich 3 sind (oder marginal: die Änderung der Eingangsvariable um eine infinitesimale
Einheit eine Veränderung des Funktionswertes um drei Einheiten bewirkt)?
Aus diesem Grund und wegen der Schwierigkeiten, die der Übergang zur wissenschaftli
chen Ausdrucksweise bereitet, wird in den ersten beiden Kapiteln eine ausführliche Dar
stellung von logischen und mathematischen Grundbegriffen gegeben.
Im Bereich der Mengenlehre (Kapitel 2) wird nur sehr kurz auf Zahlenmengen eingegan
gen, weil die Studierenden mit diesen Mengen von der Schule her vertraut sind. Relationen
werden hingegen recht ausführlich behandelt, da sich aus ihnen der Begriff der Funktion
ableitet und sie zum Verständnis der Nutzentheorie unumgänglich sind. Außerdem sind
Ordnungsrelationen im Bereich der Datenverarbeitung unverzichtbar geworden.
XIII
Auch die Betrachtung algebraischer Strukturen in Kapitel 3 erweist sich als sinnvoll, wenn
an Datenverarbeitung, Matrizenrechnung oder an moderne Texte der Wirtschaftstheorie
gedacht wird.
In Kapitel 4 werden Funktionen und Abbildungen definiert und verschiedene Eigenschaf
ten (Konvexität, Konkavität, Monotonie, Homogenität u.ä.) untersucht. Insbesondere
wird der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen geklärt.
In der Finanzmathematik (Kapitel 5) wird die gesamte Zinsrechnung auf das Prinzip der
einfachen Zinsrechnung zurückgeführt, so daß kein Bruch zwischen reiner Zinseszinsrech
nung, gemischter und einfacher Zinsrechnung entsteht. Außerdem gestattet dies eine klare
Definition der finanzmathematischen Begriffe. Hervorzuheben ist in diesem Kapitel vor
allem die konsequente Verwendung des Äquivalenzprinzips in Form einer mathematischen
Äquivalenzrelation. Dies liefert ein im Bereich der Finanzmathematik überraschend leicht
handhabbares Rechenkalkül, mit dem alle finanzmathematischen Entscheidungs- bzw.
Investitionsprobleme übersichtlich gelöst werden können.
Kapitel 6 behandelt zunächst den Grenzwertbegriff, dessen Verständnis für die gesamte
Differential- und Integralrechnung unumgänglich ist, und endet mit der Untersuchung
stetiger Abbildungen. Hier wird u.a. gezeigt, daß eine stetige Funktion auf einer kom
pakten Menge Minimum und Maximum annimmt. Dieser Existenzsatz ist vor allem im
Rahmen der Optimierung von außerordentlicher Wichtigkeit. Erwähnt sei auch der Zwi
schenwertsatz, der für die numerische Lösung von Gleichungen von großer Bedeutung
ist.
Kapitel 7 beginnt mit der Differentialrechnung, wobei - ausgehend vom eindimensio
nalen Fall - die Definition der Diffenzierbarkeit auf dem Begriff der linearen Appro
ximation aufgebaut wird, weil damit ohne Bruch (d.h. zunächst unter Vermeidung der
partiellen Ableitungen) der Übergang zum mehrdimensionalen Fall möglich ist. Neben
Methoden zur numerischen Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen (Fixpunkt
satz, Newtonverfahren u.ä.) werden nach dem impliziten Funktionensatz u.a. auch die für
die wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen so wichtigen Optimierungsprobleme mit
und ohne Nebenbedingungen (Lagrange, Kuhn-Tucker) behandelt. Ergänzend finden sich
in diesem Kapitel eine größere Anzahl von Beispielen aus dem Bereich der Ökonomie.
XIV
In Kapitel 8 wird ausgehend vom Riemann-Integral die Lebesguesche Integrationstheo
rie entwickelt und u.a. gezeigt, daß das Lebesgue-Integral eine Verallgemeinerung des
Riemann-Integrals darstellt. Diese Vorgehensweise wurde gewählt, weil in den späteren
Statistikvorlesungen eine entsprechend allgemeine Integrationstheorie benötigt wird.
Zum Abschluß möchte ich meinen Mitarbeitern Herrn Dipl.-Kfm. Torsten Daenert und
Herrn Dipl.-Kfm. Jens W. Meyer für die eingehende Diskussion des dem Buch zugrunde
liegenden Stoffes, die gelungene Umsetzung und ihr großes Engagement danken.
Saarbrücken, im Mai 1993 K. Schindler
Vorwort zur zweiten Auflage
Die vorliegende zweite Auflage weist gegenüber der ersten nur an einigen Stellen we
sentliche Änderungen auf, die zumeist aus didaktischen Gründen aufgenommen wurden.
Außerdem wurde eine erhebliche Anzahl von Druckfehlern beseitigt, auf die ich zum Teil
von Kollegen und von Hörern meiner Vorlesung aufmerksam gemacht wurde.
Saarbrücken, im August 1996 K. Schindler
xv
Verzeichnis ausgewählter Symbole und Abkürzungen
Abb.
BGB
bzgl.
bzw.
d.h.
etc.
GE
i.a.
ME
m.E.
o.ä.
o.B.d.A.
0.E.
p.a.
PAngV
S.
u.a.
usw.
vgl.
z.B.
1\
V
Abbildung
Bürgerliches Gesetzbuch
bezüglich
beziehungsweise
das heißt
et cetera
Geldeinheiten
im allgemeinen
Mengeneinheiten
meines Erachtens
oder ähnliches
ohne Beschränkung der Allgemeinheit
ohne Einschränkung
pro anno
Preisangabenverordnung
Seite
unter anderem
und so weiter
vergleiche
zum Beispiel
definiert als
gleich
ungefähr
logisches "und" .......................................... 1.11
logisches "oder" ......................................... 1.11
Subjunktion ............................................. l.l5
Implikation .............................................. 1.18
Bijunktion ............................................... 1.15
Äquivalenz .............................................. 1.18
XVI
E bzw. rt c C/J
P(M) U ModerUM
MEM
U ModernM MEM
-A B , CA(B) bzw. A\B
n A x B bzw. TI A j
j=l
lN, 7l, Q, ffi
[a, b], ja, b[, [a, b[, ja, bj
[ä,b], jä,b[, [ä, b[, jä, bj
(al, ... ,aN)
supM
inf M
maxM
minM
Ixl lxJ lxi, lxi sgn(x)
o o
E
A = (a'j),=l . . M )=1, .. ,N
det(A)
QA(i)
Element bzw. nicht Element von ...................... 2.1
Teilmenge ......................................... 2.4 a)
Leere Menge ....................................... 2.2 ii)
Potenzmenge der Menge M ........................... 2.6
Vereinigung des Mengensystems M ................ 2.9 a)
Durchschnitt des Mengensystems M ............... 2.9 b)
relatives Komplement von B in A (Differenz) ........ 2.14
kartesisches Produkt der Mengen A, B bzw. A j ...... 2.20
natürliche, ganze, rationale, reelle Zahlen .......... 2.2 iii)
Intervall von abis b (mit bzw. ohne Randpunkt) ..... 3.15
Strecke von ä bis b .................................. 4.27
geordnetes N-Tupel ................................. 2.20
kleinste obere Schranke der Menge M ............. 2.28 a)
größte untere Schranke der Menge M ............. 2.28 a)
Maximum der Menge M .......................... 2.28 a)
Minimum der Menge M .......................... 2.28 a)
kleinste ganze Zahl größer oder gleich x ............ 4.2 v)
größte ganze Zahl kleiner oder gleich x ............. 4.2 v)
Betrag von x bzw. Norm des Vektors x ............ .4.2 ii)
Signum (Vorzeichen) von x ........................ 4.2 iii)
Nullvektor ........................................ 3.19 i)
Nullmatrix ........................................ 3.2 iv)
j-ter kanonischer Einheitsvektor des ffiN .......... 3.22 ii)
Einheitsmatrix .................................... 3.2 v)
(M x N)-Matrix mit den Elementen a'j ........... 2.2 iv)
zu A transponierte Matrix ......................... 3.20 i)
Determinante der Matrix A ....................... 4.2 vi)
Skalarprodukt der Vektoren x, iJ E ffiN ............ 3.20 ii)
Quadratische Form der Matrix A ............ 4.2 vi)! 7.44
i nach bzw. i vor
'lnom
q:= 1 + i
(t I K), Kt. K(t)
[t I K]
(xn)n~1 bzw. (in)n~1
lim Xn n-+oo
liminfxn n-+oo
limsupxn n-+oo
00
XVII
nach- bzw. vorschüssiger Periodenzinssatz ................. 5.3
nominaler Periodenzinssatz ........................... 5.10 a)
zum Zinssatz i gehöriger Zinsfaktor ................... 5.6 iii)
effektiver Periodenzinssatz ...................... 5.10 b), 5.12
Zahlung in Höhe K zum Zeitpunkt t ...................... 5.1
zur Zahlung (tIK) gehörende Äquivalenzklasse ........... 5.15
Zahlen- bzw. Vektorfolge ................................ 4.16
Grenzwert der Folge (xn)n~1 .............................. 6.3
Limes inferior der Folge (xn)n~1 ....................... 6.8 ix)
Limes superior der Folge (xn)n~l ...................... 6.8 ix)
L X n (unendliche) Reihe .................................... 6.4 iv) n=l
liIll f(i) Funktionsgrenzwert ................................... 6.19 a) x--txo
Tn(x) Taylorpolynom n-ter Ordnung ....................... 7.27 iv)
f- I Urbildmengen-/Umkehrabbildung ............. ." ..... 4.6/4.11
( nk) Binomialkoeffizient ...................................... 4.20
1', df, Df, :~ Totale Ableitung (Differential) von f ...................... 7.1
Dn f, ~~, f(n) Totale Ableitung n-ter Ordnung von f .................. 7.22
::' Djf, fXj Partielle Ableitung von f nach der Variablen Xj ...... 7.7,7.8 J
gradf bzw. V' f Gradient von f ........................................... 7.7
Hf(i) Hesse-Matrix von f ..................................... 7.23
Ef(x) Elastizität von f im Punkt x ............................. 7.4
A Lebesgue-Maß .......................................... 8.15
J.l Maß .................................................... 8.11
XM charakteristische Funktion der Menge M .............. 4.3 iii)
*f(x) dx, /f(x) dx Riemann-Integral von f ............................ 8.1,8.28
/fdA, /f(x)dx Lebesgue-Integral von f ................................. 8.17
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