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Kommunizieren und
Argumentieren, zwei Kompetenzen
der Bildungsstandards
Brigitte Dedekind, IPN
Frage :
Wie können wir Lehrende die
Kommunikations- und
Argumentationskompetenz der
Lernenden ansprechen und
erweitern?
Brigitte Dedekind, IPN
Was wollen wir erreichen?
• beide Kompetenzen durch Beschreibungen
differenziert sehen und den Unterschied
herausarbeiten
Brigitte Dedekind, IPN
• anhand von Aufgabenbeispielen
einen Katalog von Fragen, Impulsen,
Anregungen zusammenstellen, die Lernende
zur Kommunikation und Argumentation
herausfordern.
– Mathematikunterricht- Didaktische Aspekte
– Aufgabenbeispiel 0 mit Verschriftlichung
– Beschreibung der Kompetenzen
„Kommunizieren“/“Argumentieren“
– Sprache im Mathematikunterricht – Erweiterung der Verschriftlichung (Aufg. 0)
– Mathematik im Dialog mit der Sache Aufgabenbeispiele 1 – 5
Zusammenstellung der Ergebnisse
Das haben wir vor:
Brigitte Dedekind, IPN
Das Bild über Mathematik des Lerners wird durch
den Mathematikunterricht und durch den
Mathematik-Lernprozess (auch die damit
verbundenen Emotionen und Haltungen)
gebildet.
Das Bild über einen Wissensbereich nennt man
Beliefs.
Entscheidend für die Vermittlung eines
angemessenen Bildes über Mathematik und
deren Nützlichkeit sind die Beliefs der
Lehrenden.
Brigitte Dedekind, IPN
Lernprozess
ES
ICH
WIR
Sachinhalt
DU
Gesammelte Erfahrungen (u.a. die
mathematische Grundvorstellungen/
individuelle Begriffsbildungen) und
persönliche Ressourcen des Lerners
(Geist, Wissen, Urteilskraft,
Verantwortlichkeit) kommen zum Einsatz.
(„Wie soll ICH das machen?“)
Sprache: Singuläre oder
Umgangssprache
In der kommunikativen Phase findet der
Austausch mit gleichgesinnten Lernern
statt. Es wird über Mathematik
gesprochen und die singuläre Sprache
verändert sich: Lernende bedienen sich
dabei immer mehr der mathematischen
Fachsprache (Darstellungen und
Formeln) („Warum machst DU es
anders?“) .
Die Sprache ist fachspezifisch,
ökonomisch und effizient. Sie erfolgt
dann, wenn gesichertes Wissen
vorliegt und in der Rückschau
reflektiert wird („Wie macht man das
eigentlich, oder wie wollen WIR das
handhaben?“)
.
„Lernen heißt einen Dialog
zwischen der singulären
Welt eines einzelnen und
der regulären Welt des
Schulfaches zu führen“
(Gallin/Ruf 1998, S. 27).
„Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen
(Kommunizieren, Argumentieren, Problemlösen,
Modellieren, Darstellen)
zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der
reinen und angewandten Mathematik.
Sie werden in der tätigen Auseinandersetzung erworben.
Bildungsstandards
Brigitte Dedekind, IPN
Kompetenzen sind kognitiv verankerte Fähigkeiten zur
Bewältigung bestimmter Anforderungen. Sie umfassen neben
Kenntnissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten auch Aspekte der
Selbstregulation (u.a. Anstrengungsbereitschaft/Selbstreflexion).
Aufgabe 0
Brigitte Dedekind, IPN
Ich sehe 5 - 2 Ich sehe auch 15 - 2
Einzelarbeit (ICH – Phase):
Ihre Aufgabe ist es, zunächst einmal selbst zu überlegen,
welche der beiden Kompetenzen durch den Stimulus
angesprochen werden und in welcher Form.
Verschriftlichen Sie Ihre Gedanken.
• Zusammenarbeit in der Gruppe (WIR - Phase)
unter folgenden Aspekten:
– Tauschen Sie Ihre Gedanken über die
Unterschiede der beiden Kompetenzen
Kommunikation und Argumentation aus und
verschriftlichen Sie Ihre Beiträge.
– Verschriftlichen Sie Ihre Gedanken (Plakat).
Aufgabe 0
Brigitte Dedekind, IPN
Kommunizieren bedeutet,
• eigene Vorgehensweisen beschreiben,
Lösungswege anderer verstehen und
gemeinsam darüber reflektieren (K1),
• mathematische Fachbegriffe und Zeichen
sachgerecht verwenden (K2),
• Aufgaben gemeinsam bearbeiten, dabei
Verabredungen treffen und einhalten (K3).
Kommunizieren (Bildungsstandards)
Brigitte Dedekind, IPN
Wissen wird stets vom jeweiligen Lernenden aktiv
konstruiert, das heißt auch im sozial-interaktiven
bzw. sozial-kommunikativen Austausch.
Die Auseinandersetzung mit anderen (mehrstimmiger
Dialog) als kooperatives Lernen ist eine
Voraussetzung des individuellen Lernens, weil
dialogische Denkweisen vom Lernenden verinnerlicht
werden.
Dafür müssen gewisse soziale Regularien bestehen,
die einen kommunikativen Austausch zulassen.
Kommunikation
Brigitte Dedekind, IPN
Nonverbale Verständigung (z.B. Gesten, Zeichen)
mündliche und schriftliche Versprachlichung
mithilfe von Worten
unterstützt durch
• handlungsorientierte Arbeitsmittel ( z.B. Steckwürfel,
Rechenschieber, Zentimeterband)
• graphische Darstellungen (z.B. Tabellen,
Diagramme, Skizzen,
• Symbolsprache
Kommunikationsformen
Brigitte Dedekind, IPN
• Regularien zum Gedankenaustausch (z.B. Lautstärke,
Redezeit, Rederegeln)
• didaktische Rahmung zum Erwerb der
Kommunikationsfähigkeit (Rechenkonferenz, Präsentationen,
Lerntagebuch, Wortspeicherübungen)
• mathematisch, gehaltvolle, komplexe Lernumgebungen, durch
die Kommunikationsbedarf und –gelegenheiten gegeben sind
• Fragestellungen, Impulse und Anregungen, die gezielt die
Kommunikation herausfordern
Voraussetzungen zum Kommunizieren
Brigitte Dedekind, IPN
• das „Entschlüssen“ des Aufgabenstimulus (sich unbekannten Ausdrücken
nähern, den Inhalt mit eigenen Worten beschreiben, das Realmodell
entwickeln und darstellen)
• Das Aushandeln von Vorstellungen und Abmachungen
• das Beschreiben der Vorgehensweise (Bearbeitungsstrategien,
Darstellungsformen) des eigenen Lösungsprozesses (Verschriftlichen,
das Führen eines Lerntagebuches)
• mathematische Fachbegriffe und Zeichen sachgerecht verwenden,
• der kommunikative Austausch in der DU - Phase des
Lösungsprozesses (gegenseitige Darstellen des Lösungsweges)
• das Aufspüren und Beschreiben von Entdeckungen
• das Herausarbeiten und Verallgemeinern von implizit benutzter
Methoden und Strategien
• das Präsentieren ( WIR – Phase) des eigenen Lösungsweges als
Diskussionsgrundlage
• _________________________________________________________
_________________________________________________________
________
Kommunikationsanlässe bieten
Brigitte Dedekind, IPN
Argumentieren
• mathematische Aussagen hinterfragen und
auf Korrektheit prüfen (A1),
• mathematische Zusammenhänge erkennen
und Vermutungen entwickeln (A2),
• Begründungen suchen und nachvollziehen
(A3).
Argumentation (Bildungsstandards)
Brigitte Dedekind, IPN
Hat sich der Lerner ein Bild von einer Sache gemacht,
einen Lösungsweg gefunden, muss er zunächst
selbst davon überzeugt sein.
Überzeugung kann er folgendermaßen erreichen:
Dann gelte es, jemanden überzeugen zu wollen, der ihm
wohlgesonnen ist.
Dann gelte es, einen Kritiker überzeugen zu wollen, was
bedeutet, dass man seine Argumente wohlüberlegt vorbringen
muss.
Der Lernende selbst trägt also die Pro- und Contra-
Argumente in sich und führt den Dialog in seinem
Inneren.
Argumentation
Brigitte Dedekind, IPN
Als Argumentation gelten jene (interaktiven) Methoden, mit
denen ein Kind z.B. versucht, seine Aussage zu sichern und
sich selbst oder anderen gegenüber zu vertreten
Argumentation kann somit auch als Lernziel…
ein Schutz vor Fehlern sein
Lernende zu neuen mathematischen Strukturen führen
Argumentieren ist die Angabe von Aspekten, die für oder gegen
eine bestimmte Sichtweise oder Entscheidung sprechen.
Es beinhaltet das Begründen, Überprüfen, Widerlegen von
mathematischen Sachverhalten in vielfältiger Weise
(Gercken,2009).
Das Argumentieren ist als Vorstufe für abstrakte, formale
Beweisführung zu sehen.
Argumentation
Brigitte Dedekind, IPN
• mündliche und schriftliche Versprachlichung
mithilfe von Worten
• handlungsorientierte Arbeitsmittel ( z.B.
Plättchen, Steckwürfel, Rechenschieber,
Zahlenstrahl)
• graphische Darstellungen (z.B. Zeichnungen,
Tabellen, Diagramme, Skizzen,
• Symbolsprache
Argumentationsformen
Brigitte Dedekind, IPN
Unter einer Argumentation wird ein Kommunikationsprozess
verstanden, indem die Beteiligten einen mathematischen
oder auch außermathematischen Begründungsbedarf, dann
im Sinne eines verständigungsorientierten Handelns,
explizit anzeigen, diskutieren und zu befriedigen suchen.
Dass Kinder miteinander über Mathematik sprechen, ist noch
kein Garant für die Argumentationsfähigkeit. Entscheidend
ist, wie miteinander geredet wird: Es reicht nicht aus, eine
Meinung zu haben, sie verständlich darzulegen und sie
einzubringen (Positions- oder Kommunikationskultur). Es
geht um einen dialogischen Forschungsprozess (im
Sinne von Krummheuer).
Abgrenzung zwischen den Kompetenzen
„Kommunizieren“ und „Argumentieren“
Brigitte Dedekind, IPN
Abgrenzung zwischen den Kompetenzen
„Kommunizieren“ und „Argumentieren“
Brigitte Dedekind, IPN
Bei der Argumentation geht es um eine Folge von Äußerungen,
durch welche die Gültigkeit einer anderen Äußerung gestützt
wird.
Eine zu begründende Aussage wird aus einer unbezweifelten
Aussage („Datum“) erschlossen z. B.: Pluspäckchen rechnen
mit ausgewählten (nur geraden) Zahlen, Was entdeckt ihr? Alle
Zahlen sind gerade (Kommunikation).
Aus den „Daten“ wird eine „Konklusion“ abgeleitet, z. B.: Ich
erhalte immer als Summe eine gerade Zahl .(Kommunikation
mit möglichem Argumentationspotential).
Abgrenzung zwischen den Kompetenzen
„Kommunizieren“ und „Argumentieren“
Jetzt müssen Begründungen (Garant) folgen, warum der
Schluss zulässig ist. Frage danach: z. B.: Worauf führst Du
das zurück? (Argumentation)
Sprachliche Ebene: Die Summe zweier gerader Zahlen
lässt sich stets durch zwei teilen.
Darstellende Ebene: Gerade Anzahl wird als Doppelreihe
mit Plättchen oder Steckern gelegt und dann halbiert.
Zeichnerische Ebene: Kästchen werden als Doppelreihe
ausgemalt und durch eine Linie wird das Halbieren
angedeutet.
Symbolische Ebene: 2n + 2m = 2 ● (n + m)
• das Hinterfragen von Lösungswegen,
Entdeckungen, Vermutungen, Begründungen
• Argumentationsanlässe schafft man durch
selbsttätiges Erweitern oder auch vorgegebenes
Ausgestalten der Aufgabe mit Variationen .. – „wackeln“ (geringfügige Veränderungen, z.B. Ziffer austauschen)
– „ersetzen“ (analogisieren: plus, minus, mal, geteilt)
– „ hinzufügen“ (Spezialisieren), „wegnehmen“ ( von Bedingungen)
– „vergleichen“ (in Beziehung setzen von Vorgehensweisen, Transfer
bilden)
– „Blick wechseln“ (z.B. Kann man jede Zahl als Summe nehmen?
– „Behauptungen“ formulieren z.B. Ich behaupte, dass………/ Silke
behauptet:…und Hannes behauptet zum gleichen Thema etwas
anderes
• das Nachdenken über den Sinn der jeweiligen Aufgabe bzw.
über den Lernerfolg
Argumentationsanlässe bieten:
Brigitte Dedekind, IPN
• Zusammenarbeit in der Gruppe (WIR - Phase)
unter folgenden Aspekten :
– Welche Gedanken über die Unterschiede der
beiden Kompetenzen Kommunikation und
Argumentation möchten Sie noch ergänzen?
– Vervollständigen Sie Ihre Ausführungen.
Aufgabe 0
Brigitte Dedekind, IPN
Sprachen im Mathematikunterricht – Umgangssprache: informeller Sprachgebrauch der
Lernenden, ihre Sprachgewohnheiten und –vorerfahrungen
– Fachsprache: Fachtermini und Sprachduktus
– (Symbole und Diagramme: formalisierte und abstrakte
Darstellungen (Tabellen, Baumdiagramme, Symbole)
Funktionen der Sprache
kognitive Funktion: Gewinn von Einsichten
kommunikative Funktion : als Instrument der
Verständigung zwischen Lernenden untereinander und
Lehrkraft und Lernenden
beide Funktionen sind nicht unabhängig voneinander zu
sehen, sie greifen ineinander
Durch die Formulierung von sachbezogenen
mathematischen Fragen – die für den Lernenden
zugleich fassbar und durch eine „Prise“ Fremdheit
herausfordernd sein sollten – kommt es zur
Auseinandersetzung der singulären Welt
(Umgangssprache) des Lernenden mit der regulären
Welt (Fachsprache) des Unterrichtsstoffes.
Der Gebrauch der Fachsprache ist nicht zwingend. Ihr
Gebrauch ist eine natürliche Folge des Verstehens
und nicht umgekehrt (Krauthausen, 2007).
Fortsetzung in der Gruppenarbeit:
Formulieren Sie Aufforderungen zum
Kommunizieren und Argumentieren für das
Aufgabenbeispiel.
Entwickeln Sie zu Variationen weitere
Fragen, Impulse, Anregungen zum
Kommunizieren und Argumentieren.
Mathematik im Dialog mit der Sache
Brigitte Dedekind, IPN
Stimulus (aus dem Katalog der inhaltsbezogenen
mathematischer Kompetenzen (u.a. Aufgabe/
Text/ Darstellung)
Technische
Grundfertigkeiten
Problemstellung (außer- oder innermathematisch
mit oder ohne Fragestellung)
Lerner versucht sich mit der Sache
auseinander zu setzen, Unbekanntes
aufzudecken, einen Lösungsansatz zu finden
(Verschriftlichung durch Sprache oder
Darstellungen)
Richtigkeit wird
überprüft (Ergebnisse
verglichen, Einsatz von
mathematischen
Werkzeugen kontrolliert)
Lösungsansatz wird in Kommunikation mit
dem Partner besprochen, angenommen,
revidiert, erweitert ( Sprache, Material,
Zeichnungen, Symbole) dabei wird
argumentiert (Warum ist der Ansatz, die
Darstellung besser?)
Fertige Lösungen werden im
Klassenverbund präsentiert
(Kommunikation) und
diskutiert (Argumentation).
• Sie erhalten pro Tischgruppe ein Aufgabenblatt (und
Arbeitsmittel).
• Ziel aller Ihrer Bemühungen ist es, Fragen, Impulse,
Anregungen und Veränderungen zu der Aufgabe zu
ersinnen, die die prozessbezogenen Kompetenzen -
insbesondere Kommunikation und Argumentation –
herausfordern.
– Beschäftigen Sie sich zunächst selbst mit der Aufgabe. Notieren
Sie Aufforderungen zum Kommunizieren und Argumentieren.
– Tauschen Sie sich in der Gruppe aus und notieren Sie
verwertbare Formulierungen auf den Karten.
– Wie könnte die Aufgabe variiert werden? Zeichnen oder schreiben
Sie die Variationen auf und notieren Sie die entsprechenden
Fragen, Impulse, Anregungen und Veränderungen auf den
Karten.
Aufgabe:
Brigitte Dedekind, IPN
Aufgabe 1 Zahlendrillinge im
Kalenderblatt
Brigitte Dedekind, IPN
Drei nebeneinander liegende oder untereinanderliegende Zahlen (wie die in
den rot oder grün gekennzeichneten Feldern) nennen wir ein Zahlendrilling.
Ihr könnt viele Drillinge finden, sowohl waagerecht als auch senkrecht
liegende.
Welche Entdeckungen macht ihr?
Zwei Kinder arbeiten zusammen:
• ein Kind erhält die Ziffernkarten 3, 4, 7
• das andere Kind die Ziffernkarten 2, 5, 8
• Jedes Kind hat seine eigenen Ziffernkarten. Sie
dürfen sie nicht untereinander tauschen.
Sucht die Summe, deren Differenz zu Tausend so
klein wie möglich ist.
Aufgabe 2
Brigitte Dedekind, IPN
Aus allen 24 Holzwürfeln sollen
verschiedene nicht deckungsgleiche
Quader gebaut werden.
Findet möglichst viele.
Aufgabe 3
Brigitte Dedekind, IPN
Die Klasse 4a mit ihren 23 Schülerinnen und
Schülern möchte zusammen mit ihrer
Klassenlehrerin am letzten Tag vor den Ferien
ein gesundes Frühstück genießen. Planung und
Organisation liegt in den Händen der Kinder.
• Was ist zu tun?
Aufgabe 4
Brigitte Dedekind, IPN
Drei Schüler werfen mit Murmeln und haben
vereinbart, dass derjenige, dessen fünf Murmeln
am wenigsten weit auseinander liegen,
gewonnen hat. Immer wieder streiten sie sich
darüber, wer nun gewonnen hat.
Aufgabe 5
Brigitte Dedekind, IPN
.
.
.
Entscheidet mit euerm Maß, wer gewonnen hat.
aus: Büchter/ Leuders 2005
Wie kann das Problem gelöst werden?
aus: Büchter/ Leuders 2005
Aufgabe 6
• Hier siehst du ein Wurfergebnis von jedem der drei
Schüler.
Aufgabe 5
Brigitte Dedekind, IPN
.
.
.
Wie kann man den Grad, wie stark die Murmeln streuen, messen oder
berechnen?
Entscheidet mit euerm Maß, wer gewonnen hat.
aus: Büchter/ Leuders 2005
Was muss passieren, damit Kinder miteinander
kommunizieren und argumentieren?
Kinder müssen lernen, über sozial-kommunikative und
sprachliche Fähigkeiten zu verfügen.
Wie erreicht man das ?
Anregende Lerngelegenheiten durch Aufgaben schaffen, die
Lernfreude, fachbezogenes Selbstvertrauen und eine positive
Einstellung neuen Anforderungen gegenüber fördern,
Zusammenarbeit der Kinder mit einander in Klassengespräche
oder Rechenkonferenzen anregen: Wortspeicherübungen nach
Selter (PIK AS), Lerntagebuch, Präsentation,
Vermittlung von Heurismen: (Strategien, Prinzipien,
Darstellungen)
Was muss passieren, damit Kinder miteinander
kommunizieren und argumentieren?
Lehrkräfte müssen in der Lage sein,…
• anregende Gespräche durch herausfordernde Impulse, Fragen
und Aufgabenstellungen zu initiieren.
• Zurückhaltung in Wertung und Intervention, auch mimischer
Art, zu üben.
• für ein angstfreies, ermutigendes Gesprächsklima zu sorgen.
• frei von Erwartungshaltungen zu agieren.
• genügend Zeit den Lernenden zum Überlegen und Entwickeln
von Ideen zur Verfügung stellen.
Für die anregenden Aufgaben gilt, dass sie… • Forscheraufträge enthalten.
• multiple individuelle Lösungsmöglichkeiten erlauben.
• Kinder herausfordern, auf Lernerfahrungen,- Denk- und Lerngewohnheiten -
zurückzugreifen, damit sich Lernstrategien begründen.
• in ihrer Problemstellung unter- oder überbestimmt sind, d.h. bestimmte
Angaben von den Lernenden bei der Bearbeitung selbst generiert bzw. im
Falle zu vieler Angaben ausgewählt werden müssen.
• mehrschrittige und mehrstufige Lösungsprozesse verlangen.
• auf lebensweltliche Kontexte und Materialien verweisen.
• Übersetzungsprozesse erfordern (zwischen Kontexten und Mathematik).
• zur Entwicklung mathematischer Modelle anregen,
• Phasen des Modellierungsprozesses ermöglichen und eigene Aktivitäten
des Vereinfachens/der Problemreduktion und des Interpretierens/ des
Rückbezugs auf den Realkontext herausfordern.
• die bewusste Anwendung von Metawissen fordern.
Brigitte Dedekind, IPN
• KMK (Hg., 2005) Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich).Beschluss vom
15.10.2004. München.
• http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-
Mathe-Primar.pdf
• Gercken, M. (2009). Kompetenzorientierte Aufgaben, Kompetenzbereiche Kommunizieren, Argumentieren .
10.07.2012: http://lehrerfortbildung-
bw.de/faecher/mathematik/gym/fb1/modul9/aufgaben/komp_loes/komp_aufgaben_problemloesen.pdf
• Krauthausen, G. (2007). Sprache und sprachliche Anforderungen im Mathematikunterricht der
Grundschule. In: Schöler, H./ Welling, A. Hrsg. Sonderpädagogik der Sprache. Band 2. S.1022-1034.
Göttingen: Hogrefe.
• Krauthausen, G. & Scherer, P. (2007). Einführung in die Mathematikdidaktik. München: Spektrum. 3. Aufl.
• Lengnink, K., Prediger, S. & Weber, C. (2011). Lernende abholen, wo sie stehen. In: Praxis Mathematik,
Heft, 40, S. 2-7.
• Lersch, R. (2012). Kompetenzorientiertes Lernen ermöglichen. In: Lernende Schule , 58/2012, Frieserich-
Verlag
• Maaß,K. (2006). Bedeutungsdimensionen nützlichkeitsorientierter Beliefs. In: mathemativa didactica 29
(2006) 2. S. 114- 138
• Schupp, H. (2002). Thema mit Variationen. Aufgabenvariationen im Mathematikunterricht, Hildesheim und
Berlin: Franzbecker.
• Winter, H. (1987). Mathematik entdecken. Neue Ansätze für den Unterricht in Grundschule,
Frankfurt/Main: Scriptor.
Literatur:
Brigitte Dedekind, IPN
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