kristian bredies uttendorf, 14. februar 2005 · yoshizawa akira, ab dann entwicklung komplexer...
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Zentrum fur TechnomathematikFachbereich 03Mathematik / Informatik
Das Falten-und-Schneiden Problem
Kristian Bredies
Uttendorf, 14. Februar 2005
Zentrum fur TechnomathematikFachbereich 03Mathematik / Informatik
InhaltEinleitung
OrigamiDas Falten-und-Schneiden Problem
Mathematische AnalyseFlaches OrigamiLokale EigenschaftenFaltbarkeit
Konstruktion einer L osungLokale FaltmusterZusammensetzen der Teillosungen
Literatur
Zentrum fur TechnomathematikFachbereich 03Mathematik / Informatik
Origami – Die Kunst des Papierfaltens
Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.
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Origami – Die Kunst des Papierfaltens
Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.
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Origami – Die Kunst des Papierfaltens
Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.
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Origami – Die Kunst des Papierfaltens
Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.
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Zur Geschichte des Origami
OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.
Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren
Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren
Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.
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Zur Geschichte des Origami
OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.
Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren
Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren
Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.
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Zur Geschichte des Origami
OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.
Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren
Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren
Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.
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Erweiterung: Falten und Schneiden
BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.
FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?
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Erweiterung: Falten und Schneiden
BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.
FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?
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Erweiterung: Falten und Schneiden
BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.
FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?
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Erweiterung: Falten und Schneiden
BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.
FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?
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Erweiterung: Falten und Schneiden
BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.
FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?
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Erweiterung: Falten und Schneiden
BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.
FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?
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Mathematische Analyse
Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:
I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;
Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]
I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,
Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]
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Mathematische Analyse
Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:
I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;
Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]
I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,
Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]
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Mathematische Analyse
Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:
I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;
Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]
I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,
Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]
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Mathematische Beschreibung
Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.
I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.
DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.
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Mathematische Beschreibung
Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.
I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.
DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.
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Mathematische Beschreibung
Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.
I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.
DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.
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Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.
Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.
Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:
|M − V | = 2 .
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Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.
Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.
Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:
|M − V | = 2 .
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Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.
Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.
Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:
|M − V | = 2 .
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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.
I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.
I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .
I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.
Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.
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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.
I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.
I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .
I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.
Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.
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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.
I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.
I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .
I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.
Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.
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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.
I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.
I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .
I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.
Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.
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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.
I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.
I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .
I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.
Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.
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Der Satz von Maekawa – Folgerungen
I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.
I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.
An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.
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Der Satz von Maekawa – Folgerungen
I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.
I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.
An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.
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Der Satz von Maekawa – Folgerungen
I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.
I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.
An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.
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Der Satz von Maekawa – Folgerungen
I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.
I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.
An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.
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Der Satz von Kawasaki
Bezeichne α1, . . . , α2n die sortierten Winkelzwischen den Kanten. Dann gilt
α1 + α3 + . . . α2n−1 = α2 + α4 + . . . + α2n = π .
Beweis.Im zusammengefalteten Origami wechselt beijeder Falte das Vorzeichen im Winkel, also
α1 − α2 + α3 − . . .− α2n = 0 und naturlich
α1 + α2 + α3 + . . . + α2n = 2π .
Daraus folgt das Obige.
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Der Satz von Kawasaki
Bezeichne α1, . . . , α2n die sortierten Winkelzwischen den Kanten. Dann gilt
α1 + α3 + . . . α2n−1 = α2 + α4 + . . . + α2n = π .
Beweis.Im zusammengefalteten Origami wechselt beijeder Falte das Vorzeichen im Winkel, also
α1 − α2 + α3 − . . .− α2n = 0 und naturlich
α1 + α2 + α3 + . . . + α2n = 2π .
Daraus folgt das Obige.
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Faltbarkeit
I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.
I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.
I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.
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Faltbarkeit
I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.
I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.
I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.
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Faltbarkeit
I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.
I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.
I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.
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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.
1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]
2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]
ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons
Zentrum fur TechnomathematikFachbereich 03Mathematik / Informatik
Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.
1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]
2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]
ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons
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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.
1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]
2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]
ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons
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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.
1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]
2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]
ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons
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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.
I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.
I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.
I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.
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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.
I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.
I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.
I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.
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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.
I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.
I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.
I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.
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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.
I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.
I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.
I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.
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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.
I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.
I Randknoten mussen zum Gitterpassen.
I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.
Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.
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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.
I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.
I Randknoten mussen zum Gitterpassen.
I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.
Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.
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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.
I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.
I Randknoten mussen zum Gitterpassen.
I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.
Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.
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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.
I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.
I Randknoten mussen zum Gitterpassen.
I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.
Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.
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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.
I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.
I Randknoten mussen zum Gitterpassen.
I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.
Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:
Vierecke:
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Vierecke:
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Wie ergibt dies das Gewunschte?
I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.
I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach
obenI Außerhalb von P zeigt nach
unten
I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.
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Wie ergibt dies das Gewunschte?
I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.
I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach
obenI Außerhalb von P zeigt nach
unten
I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.
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Wie ergibt dies das Gewunschte?
I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.
I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach
obenI Außerhalb von P zeigt nach
unten
I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:
I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
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I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
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I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Kann man dies uberhaupt falten?
Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE
I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand
I Konstruiere dualen Molekulbaum TM
I Schneide entlang TE
I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen
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Der letzte Schliff
Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.
I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.
Jetzt kann man Falten und Schneiden.
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Der letzte Schliff
Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.
I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.
Jetzt kann man Falten und Schneiden.
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Der letzte Schliff
Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.
I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.
Jetzt kann man Falten und Schneiden.
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Der letzte Schliff
Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.
I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.
Jetzt kann man Falten und Schneiden.
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Literatur
I Thomas Hull. On the mathematics of flat origamis.Congressus Numerantium 100 (1994) 215–224.
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