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Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Lineare Mehrschrittverfahren (MSV)
Idee: Verwende zur Bestimmung von yi+1 nicht nur den zuletzt zuruckliegendenWerte yi und fi, sondern zusatzlich noch weiter zuruckliegende Werte.
yi+1 =s
∑
k=0
akyi−k +s
∑
k=−1
bkfi−k
Es existieren zwei große Klassen:
• Adams–Varianten basieren auf Quadraturformeln und Integration
• BDF–Varianten basieren auf Interpolation und Differenziation
Im Gegensatz zu konsistenten Einschrittverfahren
• sind MSV nicht automatisch stabil.
• steigt bei MSV der Aufwand mit der Ordnung nicht an.
Mehrschrittverfahren (msv01) 1
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Konsistenz + Stabilitat = Konvergenz
y′ = y, y0 = 1, y1 = eh
konsistent und stabil
yi+1 = yi−1 + 2hfi−1
yi
ti h = 0.2 h = 0.1 exakt
0 1 1 1
0.2 1.2214 1.2214 1.2214
0.4 1.4886 1.4909 1.4918
0.6 1.8168 1.8204 1.8281
0.8 2.2153 2.2227 2.2255
1.0 2.7029 2.7139 2.7183
konsistent, NICHT stabil
yi+1 = −3yi−1 + 4yi − 2hfi−1
yi
ti h = 0.2 h = 0.1 exakt
0 1 1 1
0.2 1.2214 1.3416 1.2214
0.4 1.4856 3.0862 1.4918
0.6 1.7896 15.8534 1.8281
0.8 2.1075 – 2.2255
1.0 2.3454 – 2.7183
Mehrschrittverfahren (msv02) 2
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Mehrschrittverfahren: Adams–Bashforth Methoden (1)
Idee: y′ = f(t, y) ⇐⇒ y(ti+1) = y(ti) +
∫ ti+1
ti
f(t, y) dt
Approximiere∫
mittels einer Quadraturformel unter Verwendung der bekanntenStutzpunkte (ti, fi), . . . , (ti+1−s, fi+1−s).
t(i−3) t(i−2) t(i−1) t(i) t(i+1)
f(t,y)P³(t)
t(i) t(i+1)
Fehler
f(t,y)P³(t)
Mehrschrittverfahren (msv03) 3
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Adams–Bashforth Methoden (explizit) (2)
s : Schrittzahl, p : Ordnung
s = 1, p = 1 : yi+1 = yi + hfi,
s = 2, p = 2 : yi+1 = yi +1
2h (3fi − fi−1) ,
s = 3, p = 3 : yi+1 = yi +1
12h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2) ,
s = 4, p = 4 : yi+1 = yi +1
24h (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3) .
Bei expliziten AB–Methoden gilt: Schrittzahl = Ordnung.
Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung.
Mehrschrittverfahren (msv04) 4
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Andere Klasse von MSV: Adams–Bashforth Methoden
s : Schrittzahl, p : Ordnung
s = 1, p = 1 : yi+1 = yi + hfi,
s = 2, p = 2 : yi+1 = yi +1
2h (3fi − fi−1) ,
s = 3, p = 3 : yi+1 = yi +1
12h (23fi − 16fi−1 + 5fi−2) ,
s = 4, p = 4 : yi+1 = yi +1
24h (55fi − 59fi−1 + 37fi−2 − 9fi−3) .
Bei expliziten AB–Methoden gilt: Schrittzahl = Ordnung.
Es existieren Verfahren beliebiger Ordnung.
Mehrschrittverfahren (msv04) 5
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Adams–Bashforth Methoden: Verschiedene Ordnungen
y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
101
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
AB2AB3AB4
AB2: Adams–Bashforth Verfahren 2ter Ordnung
AB3: Adams–Bashforth Verfahren 3ter Ordnung
AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv05) 6
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Adams–Bashforth Methoden: Verschiedene Ordnungen
Arenstorforbit (vierblattrig)
105
106
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
AB2AB3AB4
AB2: Adams–Bashforth Verfahren 2ter Ordnung
AB3: Adams–Bashforth Verfahren 3ter Ordnung
AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv08) 7
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Adams–Moulton Methoden (implizit)
s = 0, p = 1 : yi+1 = yi + hfi+1,
s = 1, p = 2 : yi+1 = yi +1
2h (fi+1 + fi) ,
s = 2, p = 3 : yi+1 = yi +1
12h (5fi+1 + 8fi − fi−1) ,
s = 3, p = 4 : yi+1 = yi +1
24h (9fi+1 + 19fi − 5fi−1 + 1fi−2) .
Bei impliziten AM–Methoden gilt: Schrittzahl+1 = Ordnung.
Adams–Bashforth–Moulton– / Pradiktor–Korrektor–Methoden
explizit
s = 2, p = 3
y(P )i+1 = yi +
1
2h (3fi − fi−1) ,
yi+1 = yi +1
12h(
5f(
ti+1, y(P )i+1
)
+ 8fi − fi−1
)
.
Mehrschrittverfahren (msv09) 8
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Vergleich: AB– / AM– / ABM–Verfahren
y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
101
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
AB4AM4ABM4
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Funktionsauswertungen
AB4AM4ABM4
AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
AM4: Adams–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv10) 9
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Vergleich: AB– / AM– / ABM–Verfahren
Arenstorforbit (vierblattrig)
104
105
10−5
100
Fehler gegen Anzahl der Schritte
AB4AM4ABM4
104
106
10−5
100
Fehler gegen Funktionsauswertungen
AB4AM4ABM4
AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
AM4: Adams–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv13) 10
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
ABM Methoden: Verschiedene Ordnungen
y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
101
102
103
10−15
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
ABM2ABM3ABM4
ABM2: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 2ter Ordnung
ABM3: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 3ter Ordnung
ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv14) 11
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
ABM Methoden: Verschiedene Ordnungen
Arenstorforbit (vierblattrig)
105
106
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
ABM2ABM3ABM4
ABM2: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 2ter Ordnung
ABM3: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 3ter Ordnung
ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv17) 12
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Vergleich mit Einschrittverfahren
y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
101
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
ABABMRK
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Funktionsauswertungen
ABABMRK
AB: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
ABM: Adams–Bashforth–Moulton Pradiktor–Korrektor Verfahren 4ter Ordnung
RK: explizites Runge–Kutta Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv18) 13
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Vergleich mit Einschrittverfahren
vierblattriger Arenstorforbit
104
106
10−10
10−5
100
Fehler gegen Anzahl der Schritte
ABABMRK
104
106
10−10
10−5
100
Fehler gegen Funktionsauswertungen
ABABMRK
AB: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
ABM: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
RK: explizites Runge–Kutta Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv21) 14
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Mehrschrittverfahren: BDF–Verfahren (1)
Idee: Ersetze y(t) durch ein Interpolationspolynom Ps(t) der Ordnung s mit denStutzstellen (ti+1, yi+1), (ti, yi), . . . , (ti−s+1, yi−s+1), und lose
P ′s(t) = f(t, y(t)).
Dies liefert ein Verfahren der Gestalt
a−1yi+1 + a0yi + a1yi−1 + · · ·+ as−1yi−s+1 = hf (ti+1, yi+1),
oders−1∑
j=−1
ajyi−j = hf (ti+1, yi+1).
Mehrschrittverfahren (msv25) 15
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Mehrschrittverfahren: BDF–Verfahren (2)
s : Schrittzahl, p : Ordnung
1, 1 : hfi+1 = yi+1 − yi,
2, 2 : hfi+1 =3
2yi+1 − 2yi +
1
2yi−1,
3, 3 : hfi+1 =11
6yi+1 − 3yi +
3
2yi−1 −
1
3yi−2,
4, 4 : hfi+1 =25
12yi+1 − 4yi + 3yi−1 −
4
3yi−2 +
1
4yi−3,
5, 5 : hfi+1 =137
60yi+1 − 5yi + 5yi−1 −
10
3yi−2 +
5
4yi−3 −
1
5yi−4
6, 6 : hfi+1 =147
60yi+1 − 6yi +
15
2yi−1 −
20
3yi−2 +
15
4yi−3 −
6
5yi−4 +
1
6yi−5.
Fur s > 6 sind die Verfahren instabil.
Mehrschrittverfahren (msv26) 16
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
BDF Methoden: Verschiedene Ordnungen
y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
101
102
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
BDF2BDF3BDF4
BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung
BDF3: BDF–Verfahren 3ter Ordnung
BDF4: BDF–Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv27) 17
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
BDF Methoden: Verschiedene Ordnungen
Arenstorforbit (vierblattrig)
105
106
10−6
10−4
10−2
Fehler gegen Anzahl der Schritte
BDF2BDF3BDF4
BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung
BDF3: BDF–Verfahren 3ter Ordnung
BDF4: BDF–Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv30) 18
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Vergleich: AB– / ABM– / BDF–Verfahren
y′ = −10ty, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
101
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
AB4ABM4BDF4
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Funktionsauswertungen
AB4ABM4BDF4
AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv31) 19
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Vergleich: AB– / ABM– / BDF–Verfahren
Arenstorforbit (vierblattrig)
104
105
10−5
100
Fehler gegen Anzahl der Schritte
AB4ABM4BDF4
105
106
10−5
100
Fehler gegen Funktionsauswertungen
AB4ABM4BDF4
AB4: Adams–Bashforth Verfahren 4ter Ordnung
ABM4: Adams–Bashforth–Moulton Verfahren 4ter Ordnung
BDF4: BDF Verfahren 4ter Ordnung
Mehrschrittverfahren (msv34) 20
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Einfluss der Anlaufrechnung
y′ = −5t(2 + 3t)y, y(0) = 1, Fehler bei t = 1
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
BDF2BDF3BDF4
RK3–Verfahren
102
103
10−10
10−5
Fehler gegen Anzahl der Schritte
BDF2BDF3BDF4
Heun
102
103
10−8
10−6
10−4
Fehler gegen Anzahl der Schritte
BDF2BDF3BDF4
expliziter Euler
BDF2: BDF–Verfahren 2ter Ordnung
BDF3: BDF–Verfahren 3ter Ordnung
BDF4: BDF–Verfahren 4ter Ordnung
⇒ Fur MSV der Ordnung p Anlaufrechnung mit Ordnung p− 1 notig
Mehrschrittverfahren (msv36) 21
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Was gibt es noch?
Ausblick (stiff01) 22
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
A ”Stiff” Beam (Hairer, Wanner II, p. 8)
Wir betrachten die Schwingung einesStabes der Lange l = 1 unter derEinwirkung einer außeren Kraft
F (t) =
(
Fx(t)
Fy(t)
)
=
(
−α(t)
α(t)
)
mit
α(t) =
{
1.5 sin2(t) fur 0 ≤ t ≤ π,
0 fur t ≥ π
am Stabende s = 1.
Fur die Koordinaten gilt in Abhangigkeit vom Winkel θ = θ(s, t)
x(s, t) =
s∫
0
cos θ(σ, t)dσ, und y(s, t) =
s∫
0
sin θ(σ, t)dσ.
Ausblick (stiff01) 23
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Sei T die kinetische Energie und U die potenzielle Energie des Systems, dann erhalt man mittels
der Lagrange–Funktion L = T − U eine partielle Differentialgleichung fur θ(s, t), welche
Ableitungen zweiter Ordnung nach s und t beinhaltet.
1∫
0
G(s, σ) cos(θ(s, t) − θ(σ, t))θ(σ, t) dσ =
θ′′(s, t) + cos(θ(s, t))Fy(t) − sin(θ(s, t))Fx(t)−
1∫
0
G(s, σ) sin(θ(s, t) − θ(σ, t))(
θ(σ, t))2
dσ
Wie behandelt man solche Gleichungen?(⇒ Finite Differenzen, Finite Elemente,...)
Als erste Idee konnten wir im Ort ebenso wie in der Zeit diskretisieren.
Ausblick (stiff02) 24
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Angenommen man hat folgende Ortsdiskretisierung
1∫
0
f (θ(σ, t)) dσ =1
S
S∑
k=1
f(θk) mit θk = θ
((
k −1
2
)
1
S, t
)
fur k = 1, . . . , S und integriert bezuglich der Ortsvariablen s.Das liefert ein System von S gewohnlichen Differentialgleichungen:
S∑
k=1
alk
··
θk =S4 (θl−1 − 2θl + θl+1) + S
2 (cos θlFy − sin θlFx)−
S∑
k=1
glk sin (θl − θk)·
θ2
k
Fur k = 1, . . . , S mit θ0 = −θ1, θS+1 = θS und den Koeffizienten
alk = glk cos (θl − θk) mit glk = S +1
2− max(l, k).
Dies sollte doch nun problemlos losbar sein...
Ausblick (stiff02b) 25
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
A ”Stiff” BeamVergleich: Explizites/Implizites Eulerverfahren (Newton),
Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5
Explizit: 30000 Zeitschritte Implizit: 500 Zeitschritte
Beobachtung: Implizites Verfahren stabiler
Ausblick (stiff03a) 26
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
A ”Stiff” BeamVerfahren von Heun, Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5
2200 Zeitschritte
2400 Zeitschritte2600 Zeitschritte
Ausblick (stiff05) 27
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
A ”Stiff” BeamKlassisches RK4–Verfahren, Ortsdiskretisierung S = 8, T = 5
421 Zeitschritte425 Zeitschritte 430 Zeitschritte
Beobachtung: Quantitativ hangt die Qualitat stark von der Ordnung abAber: Qualitativ haben all diese expliziten Verfahren StabilitatsproblemeAusweg: Implizite Verfahren
Ausblick (stiff06) 28
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
A ”Stiff” BeamImplizites RK4 (Hammer & Hollingsworth), Newton Iteration, S = 8, T = 5
10 Zeitschritte30 Zeitschritte 50 Zeitschritte
Bemerkung: Bei steifen Problemen mussen implizite Verfahren in Kombination mitder Newton–Iteration verwendet werden
Ausblick (stiff08) 29
Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
⇒ Neue Stabilitatsbegriffe⇒ Behandlung steifer Differentialgleichungen
⇒ Behandlung partieller Differentialgleichungen
Numerik von Differentialgleichungen im Wintersemester 12/13
Ausblick (stiff01) 30
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