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Lineare Strahlenoptik
von Simon Schlesinger
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 2
Übersicht
Motivation
Bewegung geladener Teilchen im B-Feld- Klassischer Ansatz
- Herleitung der Bewegungsgleichung
Strahlführungsmagnete- Wirkung der Magnete
- Geometrische Beschaffenheit
Matrizenformalismus- Mögliche Teilchenbahnen
- Beschreibung durch Vektoren+Matrizen
- Beispielkonfiguration: FODO-Element
Zusammenfassung
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 3
Motivation
Analogie zur klassischen Optik
Warum nicht „E-Feld Optik“ ?
Einfachheit des Formalismus (Matrizenmultiplikation)
Anwendung:
- Elektronenmikroskop
- Teilchenbeschleuniger (Linear und Ring)
- Massenspektrometer
- …
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 4
Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (I)
1. Wahl des KoordinatensystemsTeilchenstrahl in Richtung s: (0,0,v)Magnetfeld in Richtung x und z: (Bx,Bz,0)
2. Kräftegleichgewicht zw. Lorentz- und Zentrifugalkraft
3. Taylorentwicklung
zzzs
zsx
L Bp
eB
mv
e
szxRF
R
mvBevF
),,(
12)(
)(!3
1
!2
1 433
32
2
2
0xOx
x
B
p
ex
x
B
p
ex
x
B
p
eB
p
eB
p
e zzzzz
)(!3
1
!2
11 432 xOoxmxkxR
Dipol Quadrupol Sextupol Oktupol
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 5
Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (II)
1. Setze Ursprung des Koordinatensystems auf Orbit und führe Zylinderkoordinaten ein:
2. Zeitliche Ableitungen der Einheitsvektoren:
3. Linearkombination:
Rs
z
tR
tR
s ))(sin(
))(cos(
0100
0)cos()sin(1
0)sin()cos(
0
000
000
T
T
T
dt
d
dz
sd
dt
dz
xR
sx
dt
d
d
sd
Rdt
ds
sR
ss
dt
d
dR
sd
dt
dx
000 zzxxrr
Mit Aufpunkt , für den gilt: 00 ssr 0r
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 6
Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (III)Durch Kenntnis von lässt sich die Bewegungsgleichung der
Teilchen nach Newton aufstellen:000 zzxxrr
00
22 '''1'
21''' zszszss
R
xsx
Rx
R
s
R
xsxsxrm
F
000
2
000
12
1
1
ssR
xsx
Rzzx
R
s
R
xxr
ssR
xzzxxr
00
00
00
z
xR
ss
sR
sx
Erinnere Einheitsvektoren:
Mit Hilfe von folgt: sxsxsxsxsxsxdt
ds
ds
dxsx ''''')(' 2
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 7
Bewegung geladener Teilchen im B-Feld (IV)
mFzszszss
R
xsx
Rx
R
s
R
xsxsxr L
!
00
22 '''1'
21'''
R
xsv 1
R
xB
p
e
s
vz
R
xB
p
e
s
v
RR
xx
x
z
1''
11
1''
0''
11''
2
zkz
p
p
Rxk
Rx
Rzx , 1p
pEinsetzen der lin. Näherung für B und Ausnutzen von und liefert:
Koeffizientenvergleich und Vernachlässigung der s-Beschleunigung ergibt dann:
Wobei und ausgenutzt wurden.mvp
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 8
Strahlführungsmagnete (I)
Wie muss die Beschaffenheit eines Magneten sein, um ein entsprechendes Feld (1/R, k, m,…) zu erzeugen?
Antwort: Liegt in kl. E-Dyn. begründet, denn nach Maxwell gilt:Alle Punkte auf der Oberfläche besitzen dasselbe Potential!
Geben wir einen Feldverlauf G entlang der x-Achse vor, so erhält man mit Hilfe der Laplace - Gleichung einen Ausdruck für das skalare Potential:
Für konventionelle Eisenmagneten können wir nun neben Geometrie auch die Feldstärkegrößen (1/R, k, m…) bestimmen!
T
zz dz
d
dx
dzxBz
dx
xGdzxGzx
),()(
6
1)(),( 3
2
2
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Strahlführungsmagnete (II)
zBzxBxGz 00 ),()(
h
nIB 00
h
nI
p
eB
p
e
R 00
1
Dipolmagnet
•Feldstärkenverlauf auf x-Achse konstant:
•Magnetfeld:
•Dipolmoment:
•Wirkung: Ablenkung unter Radius R
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Strahlführungsmagnete (III)
gxzzxgxGz ),(
Quadrupolmagnet
Feldstärke
xa
nIBz 2
02
202
a
nI
p
e
dx
dB
p
ek z
•Feldstärkenverlauf auf x-Achse linear:
•Magnetfeld:
•Quadrupolmoment:
•Wirkung: Bei k<0 Fokussierung zum Orbit bzw. bei k>0 Defokussierung
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Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (I)
0'' kxx 01
''2
xR
x
)sin()cos()(:0
)(:0
)sinh()cosh()(:0
skBskAsxk
BsAsxk
skBskAsxk
0''
11''
2
zkz
p
p
Rxk
Rx
Bewegungsgleichung der linearen Strahlenopik:
Nicht gekoppelte DGL, daher betrachte z.B. nur horizontale Richtung (x)
und vernachlässige Impulsunschärfe:
Quadrupol (1/R=0) Dipol (k=0)
R
sB
R
sAsx sincos)(
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Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (II)
)cosh(')sinh()('
)sinh('
)cosh()(
00
00
skxskkxsx
skk
xskxsx
sk
0
0
0
')cosh()sinh(
)sinh(1
)cosh(
)('
)(
xM
x
x
kk
sx
sx
k
Beispiel: Quadrupol-Lösung für k>0 mit gelöstem AWP
Setzen wir und schreiben dann in Matrixform:
0'' kxxDie Differentialgleichung liefert dann z.B. die reellen Lösungen:
Mit dieser vektoriellen Beschreibung kennen wir neben der Ablage in x-Richtung auch die Tendenz der Auslenkung (Steigung).
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Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (III)
)cosh()sinh(
)sinh(1
)cosh(
kkM k
10
10
sM k
R
s
R
s
R
R
sR
R
s
M Dipol
cossin1
sincos
)cos()sin(
sin)cos(
k
kM k
Analog findet man Matrizen für weitere DGL Lösungen:
• Defokussierung (k>0):
• Fokussierung (k<0):
• Freie Driftstrecke (k=0):
• Ablenkung (Dipol):
sk
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Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (IV)
Beschreibung des Teilchens komplett mit 4-Komponentenvektor:
2x2 Matrizen gehen über zu 4x4 Matrizen (vgl. DGL)
System vieler Magnete durch Matrixmultiplikation beschrieben, z.B.:
TzzxxX ''
RMM
MM xz
j
xi
440
0
0112233445 XMMMMMMMMMX DQDQDQDQDE
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Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (V)
FODO-Prinzip (Starke Fokussierung)
•Ziel: Möglichst gute Fokussierung eines Teilchenstroms
•Problematik: Ein in x-Richtung fokussierender Quadrupol defokussiert in z-Richtung und umgekehrt!
•Abhilfe: FODO-Optik
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Teilchenbahnen + Matrizenformalismus (VI)
00 )()()()( xmMdMmMdMxMx xk
xd
xk
xdFODOE
FODO-Prinzip (Starke Fokussierung)
•Matrixmultiplikation einer FODO-Zelle:Länge der Driftstrecke: d , Länge eines Magneten: m
•Durch die Kombination von fokussierenden und defokussierenden Quadrupolen erreicht man also eine resultierende Fokussierung zum Orbit!
90°-DrehungQuadrupol
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Zusammenfassung
1. Beschreibung der Bewegung von bewegten Teilchen in linearer Näherung gegeben durch:
2. Wirkung + geometrische Beschaffenheit der Führungsmagnete:i) Dipol: Strahlablenkungii) Quadrupol: Strahl(de)fokussierungiii) (Sextupol: Feldfehlerkompensation…)
3. Matrizenformalismus zur systematischen Ablagebestimmung mit Grundmatrizen zur Ablenkung, (De)Fokussierung und freien Driftstrecken bei beliebigen Anordnungen (z.B. FODO).
0''
11''
2
zkz
p
p
Rxk
Rx
Lineare Strahlenoptik - Simon Schlesinger Seite 18
Literatur
1. Wille, Klaus – „Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen“ – Teubner
2. http://www-ttp.particle.uni-karlsruhe.de/GK/Workshop/Beschleunigerphysik2.pdf
3. http://de.wikipedia.org
Vielen Dank
für Aufmerksamkeit und Interesse!
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