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Beamerfolien zu Mathematik 2. Semester fur Maschinenwesen und VerkehrsingenieurwesenAndreas Fischer SS 2019 Version vom 26. 6. 2019
Mathematik 2. Semester
fur Maschinenwesen und Verkehrsingenieurwesen
Sommersemester 2019
Diese Folien enthalten nicht alle Teile des behandelten Stoffes.
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Beamerfolien zu Mathematik 2. Semester fur Maschinenwesen und VerkehrsingenieurwesenAndreas Fischer SS 2019 Version vom 26. 6. 2019
Quadratische Formen
Eine Funktion : Rn→ R mit
q(x) :=n∑
i,j=1(i≤j)
αijxixj fur x := (x1, ..., xn)> ∈ Rn
heißt quadratische Form, wobei αij ∈ R fur alle i, j gegeben ist.
Mit der symmetrischen MatrixA = (aij) ∈ Rn×n gegeben durch
aii := αii und aij := aji =αij
2(fur i ≤ j).
kann man q(x) auch durch
q(x) = x>Ax
darstellen.
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Hauptachsen quadratischer Formen
Die quadratische Form q : Rn → R sei durch die symmetrischeMatrixA ∈ Rn×n gegeben.Die Spalten der orthogonalen MatrixQ = (q1, . . . , qn) aus
Q>AQ = diag(λ1, ..., λn),
also die zu den Eigenwerten λ1, ..., λn von A gehorenden ortho-normalen Eigenvektoren q1, ..., qn, bezeichnet man als Hauptach-sen der quadratischen Form q.
Hauptachsentransformation
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Koordinatensysteme
Sei (c1, . . . , cn) eine Basis des Rn und u ∈ Rn. Dann heißt
(u; c1, . . . , cn)
Koordinatensystem mit dem Ursprung u.
Fur einen Vektor x ∈ Rn gibt es dann stets eindeutig bestimmteα1, . . . , αn ∈ R, so dass
x = u+n∑i=1
αici.
Die Zahlen α1, . . . αn heißen Koordinaten des Vektors x bzgl. desKoordinatensystems (u, c1, . . . , cn).
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Quadriken
SeienA ∈ Rn×n symmetrisch, b ∈ Rn und β ∈ R. Die Menge allerx ∈ Rn mit
x>Ax + b>x + β = 0
bezeichnet man als Quadrik im Rn.
Transformation von Quadriken auf Normalform
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Wichtige Klassen von Quadriken im R2
Normalform Bezeichnung
x2
a2 + y2
b2 − 1 = 0 Ellipse mit den Halbachsen a, b
x2
a2 −y2
b2 − 1 = 0 Hyperbel
x2 − 2py = 0 Parabel
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Geometrie im R3
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Seien
a =
axayaz
∈ R3, b =
bxbybz
∈ R3, c =
cxcycz
∈ R3
Das Standardskalarprodukt von a ∈ R3 und b ∈ R3 ist durch
a · b := a>b = axbx + ayby + azbz
gegeben. Der Betrag (oder die Lange) eines Vektors a ist durch
|a| :=√
a · a
definiert und es gilt
a · b = |a||b| cos(a, b).
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Das Vektorprodukt
DefinitionDas Vektorprodukt oder außere Produkt der Vektoren a ∈ R3 undb ∈ R3 ist definiert durch
a× b :=
aybz − azbyazbx − axbzaxby − aybx
=
∣∣∣∣∣∣∣i j k
ax ay az
bx by bz
∣∣∣∣∣∣∣ ,| · | ist hiersymbolischzu verstehen
wobei
i :=
1
0
0
, j :=
0
1
0
, k :=
0
0
1
die kanonischen Basisvektoren desR3 bezeichnen.
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Eigenschaften des Vektorproduktes
• a× b ∈ R3
• a× b steht senkrecht auf a und b
• |a× b| = |a||b| sin(a, b)
(= Flacheninhalt des von a, b aufgespannten Parallelogramms)
• a× b = o gilt genau dann, wenn a, b parallel sind
• a× b = −(b× a)
• a, b und a× b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem
• a× (b + c) = a× b + a× c, (a + b)× c = a× c + b× c
• (αa)× b = α(a× b) = a× (αb)
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Spatprodukt
DefinitionDie Zahl
(a, b, c) := (a× b) · cheißt Spatprodukt der Vektoren a, b, c und ist gleich dem vorzei-chenbehafteten Volumen des durch a, b, c aufgespannten Paralle-lotops (Spates).
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Gerade
DefinitionSeien p, r ∈ R3 gegeben. Dann heißt die Menge
G := G(p, r) := p + Rr := {p + αr |α ∈ R}
Gerade mit dem Richtungsvektor r.Diese Darstellung wird auch Paremeterdarstellung genannt.
Grundaufgaben
• Ermittlung einer Parameterdarstellung
• Lage von zwei Geraden zueinander
• Abstand Punkt zu Gerade, Gerade zu Gerade, Lotfußpunkte
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Ebene
DefinitionSeien p, r, s ∈ R3 gegeben mit r ∦ s. Dann heißt die Menge
E := E(p, r, s) := p + Rr + Rs := {p + αr + βs |α, β ∈ R}
Ebene mit den Richtungsvektoren r und s.Diese Darstellung wird auch Parameterdarstellung genannt.
Eine Ebene E kann in parameterfreier Form durch eine Gleichung
nxx+ nyy + nzz − c = 0
beschrieben werden. Dabei heißt der Vektor
n :=
nxnynz
Normalenvektor von E und ist senkrecht zu r und s.
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Grundaufgaben
• Ermittlung der Parametdarstellung bzw. parameterfreien Form
• Umwandlung der paramterfreien Darstellung in die Parameter-form und umgekehrt
• Lagebeziehungen zwischen Ebenen, Punkten und Geraden
• Abstand Punkt Ebene, Lotfußpunkt
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Hessesche Normalform
Sei die Ebene E als Losungsmenge der Gleichung
nxx+ nyy + nzz − c = 0
gegeben (parameterfreie Darstellung). Dann heißt
(nxx+ nyy + nzz)− c|n|
= 0
Hessesche Normalform der Ebenengleichung.
Die Zahl
d :=(nxx+ nyy + nzz)− c
|n|gibt den (vorzeichenbehafteten) Abstand von (x, y, z)> zur EbeneE an.
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Gewohnliche Differentialgleichungen (DGL)
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DefinitionEine Gleichung der Art
F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (implizite Form)
bzw.
y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) (explizite Form)
heißt gewohnliche Differentialgleichung (DGL) n-ter Ordnung.
Dabei ist y : [a, b]→ R eine (von x ∈ [a, b] abhangige) Funktion.
Eine n-mal differenzierbare Funktion y∗ : [a, b]→ R heißt Losungder DGL, wenn die DGL fur y := y∗ fur alle x ∈ [a, b] erfullt ist.
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Anfangswertaufgaben
Bedingungen an den Wert von y, y′, . . . y(n) an einer Stelle x ∈[a, b] heißen Anfangsbedingungen, z.B.
y(a) = 0 oder y′(a) = 1, y′′(a) = 2.
Eine DGL mit Anfangsbedingung(en) heißt Anfangswertaufgabe(AWA).
Randwertaufgaben
Bedingungen an den Wert von y, y′, . . . , y(n) an verschiedenenStellen aus [a, b] heißen Randbedingungen, z.B.
y(a) = 1, y(b) = 7 oder y′(a) = 0, y(b) = 2
Eine DGL mit Randbedingung heißt Randwertaufgabe (RWA).
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Ordnung einer DGL
Die Ordnung einer DGL ist definiert als die hochste in der DGLvorkommende Ableitung der gesuchten Funktion.
Partielle Differentialgleichungen
Falls die gesuchte Funktion in einer Differentialgleichung von mehrals einer Variablen abhangt, dann spricht man von einer partiellenDifferentialgleichung (PDGL)→ 2. Studienjahr
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Lineare Differentialgleichungen
Lasst sich eine DGL in der Form
an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y = b(x)
mit gegebenen Funktionen b, a0, a1, . . . , an : [a, b] → R schrei-ben, dann heißt sie linear.
Eine lineare DGL wird homogen genannt, falls b die Nullfunktionist. Andernfalls heißt die lineare DGL inhomogen.
Ist eine DGL nicht linear, so wird sie nichtlinear genannt.
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Richtungsfeld einer Differentialgleichung
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Differentialgleichungen erster Ordnung
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Existenz und Eindeutigkeitssatz
Seien x0, y0 ∈ R und r1, r2 > 0 sowie
D := {(x, y) ∈ R× R | |x− x0| ≤ r1, |y − y0| ≤ r2}
gegeben. Weiter sei f : D → R stetig undM := max(x,y)∈D
f(x, y)
Dann besitzt die Anfangswertaufgabe (AWA)
y′ = f(x, y), y(x0) = y0
im Intervall I := {x ∈ R | |x − x0| ≤ min{r1, r2/M}} minde-stens eine Losung y : I → R.
Ist f außerdem Lipschitz-stetig bzgl. y, d.h. es gibt L > 0, so dass
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1− y2| fur alle (x, y1), (x, y2) ∈ D,
dann besitzt die AWA genau eine Losung in I .
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Trennung der Veranderlichen
Eine Losungsmethode fur gewisse DGLn 1. Ordnung
• Falls moglich, schreiben Sie die DGL in folgenden Formen auf
h(y)y′(x) = g(x) und h(y)dy = g(x)dx.
• Integrieren Sie die letzte Form auf beiden Seiten(nach y bzw. nach x)
• Dadurch entsteht eine Gleichung der Form
H(y) = G(x) + C.
Wenn moglich, losen Sie diese Gleichung nach y = y(x) auf.Andernfalls ist y(x) implizit durch die Gleichung gegeben.
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Lineare DGLn 1. Ordnung
a(x)y′ + b(x)y = c(x)
mit stetigen Funktionen a, b, c : I → R und a(x) 6= 0 in I .
m
y′ + p(x)y = q(x)
mit p(x) :=b(x)
a(x), q(x) :=
c(x)
a(x)fur x ∈ I
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Losungsmethode fur lineare DGLn 1. Ordnung
1. Allgemeine Losung der homogenen DGL
y′ + p(x)y = 0
Trennung der Veranderlichen liefert (fur C ∈ R beliebig)
yh = Ce−P (x) mit einer Stammfunktion P von p
yh heißt allgemeine Losung der homogenen DGL
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2. Variation der Konstanten
Einsetzen des Ansatzes
y := C(x)e−P (x)
in die inhomogene lineare DGL
y′ + p(x)y = q(x)
liefertC(x) =
∫q(x)eP (x)dx
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3. Allgemeine Losung der inhomogenen DGL
yA = e−P (x)∫q(x)eP (x)dx
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Berucksichtigung der Anfangsbedingung y(x0) = y0
• Wahle Stammfunktion P von p.Zum Beispiel so, dass P (x0) = 0:
P (x) =
∫ x
x0
p(t)dt
• Wahle Darstellung der allgemeinen Losung yA, z.B.
yA = e−P (x)
(∫ x
x0
q(t)eP (t)dt + C1
)• Die Anfangsbedingung liefert yA(x0) = y0 und damit C1 = y0
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Die Bernoullische Differentialgleichung
y′ + p(x)y = q(x)yn
• nichtlineare DGL
• mit n ∈ R \ {0, 1} und stetigen Funktionen p, q
• falls n /∈ N mit der zusatzlichen Bedingung y > 0
• fur n ∈ {0, 1} ist die DGL eine homogene lineare DGL,Losung dann mit TdV
Losung durch Uberfuhrung in lineare DGL 1. Ordnungmittels Substitution
z := y1−n
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Spezielle Typen von DGLn 2. Ordnung
F (x, y′, y′′) = 0
y kommt nicht vor
Losung mittels Substitution z := y′
F (y, y′, y′′) = 0
x tritt nicht explizit auf (sondern nur als Argument von y, y′, y′′)
Losung mittels Substitution v(y) := y′
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Eine Klasse linearer Differentialoperatoren
Cn – VR der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen y : R→ RC – VR der stetigen Funktionen y : R→ R
Seien an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ C. Die Abbildung
L : Cn→ C,
die jeder Funktion y ∈ Cn die Funktion L[y] ∈ C mit
L[y] := an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a1(x)y′ + a0(x)y
zuordnet, wird als linearer Differentialoperator bezeichnet.
Fur beliebige y, z ∈ Cn und α ∈ R gilt
L[y + z] = L[y] + L[z], L[αy] = αL[y],
d.h. der Operator L : Cn→ C ist tatsachlich linear.
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Inhomogene lineare DGL
L[y] = b(x)
yp sei eine Losung (partikulare Losung)
Zugehorige homogene lineare DGL
L[y] = 0
yh sei eine Losung (homogene Losung)
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L[yp + yh] = b(x)
Die Summe aus einer partikularen Losung und einer homogenenLosung ist wieder eine partikulare Losung.
L[yp1 − yp2] = 0
Die Differenz von zwei partikularen Losungen ist eine homogeneLosung.
Sei yp eine partikulare Losung. Falls in yh noch alle Integrations-konstanten frei wahlbar sind, so heißt
yA := yp + yh
allgemeine Losung der inhomogenen DGL.
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Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
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Seien an−1, . . . , a1, a0 ∈ R und eine stetige Funktion g : I → R.Dann heißt
y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y
′ + a0y = g(x)
lineare DGL n−ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Das Polynom p : R→ R mit
p(λ) := λn + an−1λn−1 + · · ·+ a1λ+ a0
heißt zugehoriges charakteristisches Polynom und
p(λ) = 0
zugehorige charakteristische Gleichung.
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Definiert man den Differentialoperator Ln : Cn→ C durch
Ln[y] := y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y
′ + a0y,
so kann man die DGL
y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y
′ + a0y = g(x)
schreiben alsLn[y] = g(x)
Die zugehorige homogene DGL lautet damit
Ln[y] = 0.
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Fundamentalsystem einer homogenen linearen DGL
Als Fundamentalsystem der homogenen linearen DGL L[y] = 0
bezeichnet man jede Basis des Kerns
ker L := {y ∈ Cn |L[y] = 0}
des linearen Differentialoperators L : Cn→ C.
Offenbar ist ker L die Losungsmenge der homogenen DGLL[y] = 0.
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Konstruktion eines Fundamentalsystems fur diehomogene DGL mit konstanten Koeffizienten Ln[y] = 0
1. Ist λ relle Nullstelle des charakteristischen Polynoms p mit deralgebraischen Vielfachheit r, so sind die Funktionen y1, . . . , yr mit
y1(x) := eλx, y2(x) := xeλx, . . . , yr(x) := xr−1eλx
Losungen der DGL Ln[y] = 0.
2. Ist (λ, λ) = (a+ bi, a− bi) ein Paar konjugiert komplexer Null-stellen des charakteristischen Polynoms pmit der Vielfachheit r, sosind die Funktionen y1, . . . , y2r mit
y1(x) := eax cos bx, yr+1(x) := eax sin bx,... ...
yr(x) := xr−1eax cos bx, y2r(x) := xr−1eax sin bx
reelle Losungen der DGL Ln[y] = 0.
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SatzDie fur alle reellen Nullstellen des charakteristischen Polynoms pnach 1. und fur alle Paare konjugiert komplexer Nullstellen von pnach 2. konstruierten Funktionen sind linear unabhangig und bil-den ein reelles Fundamentalsystem der homogenen linearen DGLLn[y] = 0.
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Methoden zur Bestimmung einer partikularen Losungfur inhomogene lineare DGLn mit konstanten Koeffizienten
• Variation der Konstanten (analog zu linearen DGLn 1. Ordnung)
• Ansatzmethode fur spezielle Inhomogenitaten
• Laplace-Transformation (nicht Bestandteil der Vorlesung)
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Ansatzmethode fur spezielle Inhomogenitaten
Gestalt der Inhomogenitat g
g(x) = rm(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm
rm ist gegebenes Polynom vom Gradm
⇒ Zugehoriger Ansatz fur partikulare Losung yp
yp(x) := Rm(x) := A0 +A1x+ · · ·+Amxm
Rm ist Polynom vom Gradmmit unbekannten Koeffizienten
Gestalt der Inhomogenitat g
g(x) = rm(x)eαx
⇒ Zugehoriger Ansatz fur partikulare Losung yp
yp(x) := Rm(x)eαx
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Gestalt der Inhomogenitat g
g(x) = rm(x)eαx sin(βx) oder g(x) = rm(x)eαx cos(βx)
⇒ Zugehoriger Ansatz fur partikulare Losung yp
yp(x) := Sm(x)eαx sin(βx) + Tm(x)eαx cos(βx)
Sm, Tm sind Polynome vom Gradm
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Resonanz
Bei einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten
Ln[y] = g(x)
spricht man von Resonanz, wenn der Ansatzes fur yp oderein nichttrivialer Summand dieses Ansatzes die homogene DGLLn[y] = 0 lost.
Der Ansatz ist dann so oft mit x zu multiplizieren bis dieses Verhal-ten nicht mehr auftritt.
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Ist die Inhomogenitat eine Linearkombination obiger Funktionen g,so verwendet man als Ansatz eine Linearkombination der entspre-chenden Ansatze yp
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Lineare Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
Seien FunktionenA : I → Rn×n und g : I → Rn gegeben.Dann heißt
y′ = A(x)y + g(x)
lineares Differentialgleichungssystem 1. Ordnung.Dabei ist y : I → Rn die gesuchte Funktion und y′ : I → Rn ihreAbleitung.
Ausfuhrlich schreibt man das lineare DGL-System wie folgt: y′1...y′n
=
a11(x) · · · a1n(x)... ...
an1(x) · · · ann(x)
y1
...yn
+
g1(x)...
gn(x)
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Losbarkeit linearer Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
SatzDie FunktionenA : I → Rn×n und g : I → Rn seien in I := [a, b]
stetig. Weiter seien x0 ∈ I und y0 := (y01, . . . , y0n)> ∈ Rn.Dann hat die Anfangswertaufgabe
y′ = A(x)y + g, y(x0) = y0
genau eine Losung auf ganz I .
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Homogene lineare DGL Systeme 1. Ordnung
SatzSei A : [a, b] → Rn×n stetig. Dann besitzt das homogene lineareDifferentialgleichungssystem
y′ = A(x)y
auf [a, b] ein Fundamentalsystem von genau n linear unabhangi-gen Losungen y1, y2, . . ., yn.
Jede Losung y des homogenen Systems kann als Linearkombinationdieser Fundamentallosungen dargestellt werden, d.h.
y = c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn (�)
mit reellen oder komplexen Zahlen c1, . . . , cn.Die Darstellung (�) heißt auch allgemeine Losung des homogenenSystems.
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Wronski–Determinante
DefinitionSeien y1, y2,. . . , yn Losungen des homogenen Systems
y′ = A(x)y.
Dann heißt die Matrix
Y (x) := (y1(x) · · · yn(x))
Wronski–Matrix und
W (x) := det Y (x)
Wronski–Determinante.
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Wronski–Test
SatzSeien y1, y2, . . . , yn Losungen des homogenen Systems
y′ = A(x)y
auf dem Intervall [a, b].FallsA : [a, b]→ Rn×n stetig ist, dann gilt entweder
•W (x) = 0 fur alle x ∈ [a, b]
oder
•W (x) 6= 0 fur alle x ∈ [a, b] und die Losungen y1, y2, . . . , yn
bilden ein Fundamentalsystem auf [a, b].
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Homogene Systeme 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Sei A ∈ Rn×n, λ ein Eigenwert von A und v ein zu λ gehorenderEigenvektor. Dann ist die Funktion y : R→ Rn mit
y(x) := eλxv
eine Losung des homogenen DGLsystems
y′ = Ay.
BesitztA die paarweise verschiedenen Eigenwerte λ1, . . . , λn mit zu-gehorigen Eigenvektoren v1, . . . , vn, dann bilden die Losungen
y1(x) := eλ1xv1, . . . , yn(x) := eλnxvn
ein Fundamentalsystem fur y′ = Ay und die allgemeine Losungdes homogenen DGLsystems ist gegeben durch
y(x) = c1eλ1xv1 + · · ·+ cne
λnxvn.
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Fundamentalsystem fur homogene DGLsysteme
SatzSei λ ein Eigenwert der Matrix A ∈ Rn×n mit der algebraischenVielfachheit r. Dann hat das lineare Gleichungssystem
(A− λE)rv = 0,
linear unabhangige Losungen v1, . . . , vr (sog. Hauptvektoren).Die Funktionen yk : R→ Rn mit
yk(x) := eλxr−1∑j=0
xj
j!(A− λE)j vk, k = 1, . . . , r
sind linear unabhangige Losungen des homogenen Systems
y′ = Ay.
Diese Losungen fur alle Eigenwerte vonA bilden ein Fundamental-system des homogenen Systems.
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Inhomogene Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung
SatzSei yp eine spezielle Losung des inhomogenen Systems
y′ = A(x)y + g(x)
und sei y1, y2, . . . , yn ein Fundamentalsystem des homogenen Sy-stems y′ = A(x)y. Dann ist
yh := c1y1 + · · ·+ cnyn
die allgemeine Losung des homogenen Systems und
y := yp + c1y1 + c2y2 + · · ·+ cnyn
die allgemeine Losung des inhomogenen Systems, wobei c1,c2, . . . , cn reelle oder komplexe Konstanten sind.
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Variation der Konstanten bei inhomogenen Systemen 1. Ordnung
SatzSei y1, . . . , yn ein Fundamentalsystem von y′ = A(x)y auf [a, b]
und Y (x) := [y1(x) · · · yn(x)] . Falls g : [a, b] → Rn stetig, soist
yp(x) := Y (x) · c(x)
eine partikulare Losung des inhomogenen Systems y′ = A(x)y+g
auf [a, b]. Dabei gilt
c(x) =
∫c′(x) dx,
wobei c′(x) = (c′1(x), . . . , c′n(x))> Losung des linearen Glei-chungssystems
Y (x) · c′(x) = g(x)
fur x ∈ [a, b] ist.
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Reduktion der Ordnung von linearen DGLn
durch Umformung in ein lineares System 1. Ordnung
Die lineare DGL
y(n) + an−1(x)y(n−1) + · · ·+ a0(x)y = g(x)
ist aquivalent zum linearen System 1. Ordung
y′ = A(x)y + g(x),
wobei
A(x):=
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0... ... ... ...0 0 0 . . . 1
−a0(x) −a1(x) −a2(x) · · · −an−1(x)
, g(x):=
0
0...0
g(x)
, y=
y
y′
y′′
...y(n−1)
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Numerische Verfahren
zur Losung von Anfangswertaufgaben 1. Ordnung
(AWA) y′ = f(x, y), y(x0) = y0
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Eine grundlegende Herangehensweise
• Wahle Stutzstellen x0, x1, x2, . . . auf x-Achse durch
xk+1 := xk + h, h > 0 (feste Schrittweite)
• Bestimme Naherungen yk fur y(xk) durch Ausnutzung von
y(xk+1)− y(xk) =
xk+1∫xk
f(x, y(x)) dx
fur k = 0, 1, 2, . . .
57
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y(xk+1)− y(xk) =xk+1∫xk
f(x, y(x)) dx
y(xk+1) = y(xk) +xk+1∫xk
f(x, y(x)) dx
y(xk+1) ≈ yk +xk+1∫xk
f(x, y(x)) dx
y(xk+1) ≈ yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h)
Einschrittverfahren
yk+1 := yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h)
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Beispiele fur Einschrittverfahren
Explizites Euler-Verfahren (Polygonzugverfahren)
Φ(x, y, z, h) := f(x, y)
⇓yk+1 := yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h) = yk + hf(xk, yk)
Implizites Euler-Verfahren
Φ(x, y, z, h) := f(x+ h, z)
⇓yk+1 := yk + hΦ(xk, yk, yk+1, h) = yk + hf(xk+1, yk+1)
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Lokaler Diskretisierungsfehler an der Stelle xk
`k(h) := y(xk+1)−[y(xk) + hΦ(xk, y(xk), y(xk+1), h)
]
Globaler Diskretisierungsfehler an der Stelle xk
gk(h) := y(xk)− yk
60
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Konsistenzordnung
DefinitionEin Einschrittverfahren hat die Konsistenzordnung p ≥ 1, falls esKonstanten c, h0 > 0 gibt, so dass fur den lokalen Diskretisierungs-fehler `k(h) die Abschatzung
|`k(h)| ≤ c · hp+1 fur alle h ∈ [0, h0]
gilt.
Explizites und implizites Euler-Verfahren haben Konsistenzordnung 1.
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Verbessertes Polygonzugverfahren
Φ(x, y, z, h) := f(x+h
2, y +
h
2f(x, y))
⇓
yk+1 := yk + h f(xk +h
2, yk +
h
2f(xk, yk))︸ ︷︷ ︸
Φ(xk,yk,yk+1,h)
Konsistenzordnung 2
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Ansatz fur ein Runge-Kutta Verfahren
Φ(x, y, h) = c1f(x, y)
+ c2f(x+ h2, y(x+ h2))
+ c3f(x+ h3, y(x+ h3))
≈ c1f(x, y) + c2f(x+ h2, y2) + c3f(x+ h3, y3)
mit
y2 := y + hb21f(x, y)
y3 := y + hb31f(x, y) + hb32f(x+ h2, y2)
Parameter c1, c2, c3, b1, b2, b3, h, h1, h2
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Hohe Konsistenzordnung durch geeignete Wahl der Parameter
zum Beispiel liefert
c1 := 14, c2 := 0, c3 := 3
4,
h2 := 13h, h3 := 2
3h,
b21 := 13, b31 := 0, b32 := 2
3
Konsistenzordnung 3
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Eine Klasse von Eigenwertaufgaben
Seien a0, a1, a2 : [a, b]→ R stetig und α0, α1, β0, β1 ∈ R.Dann heißt die DGL
a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = λy
x ∈ [a, b]
mit den Randbedingungen
α0y(a) + α1y′(a) = 0, β0y(b) + β1y
′(b) = 0
Eigenwertaufgabe. Falls diese (Randwert-)Aufgabe fur ein λ ∈ Reine nichttriviale Losung y besitzt, dann heißt λ Eigenwert und yEigenfunktion zum Eigenwert λ.
65
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Grundlagen fur die Analysis im Rn
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Der Betrag
DefinitionSei x = (x1, . . . , xn)> ∈ Rn. Dann heißt
|x| :=√x2
1 + · · ·+ x2n
Betrag oder Lange des Vektors x.Der Euklidische Abstand der Vektoren x, y ∈ Rn wird durch
|x− y|
definiert, also als Betrag des Differenzvektors x− y.
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Kugelumgebung
Die Menge
Kr(x0) := {x ∈ Rn | |x− x0| < r}
heißt offene Kugelumgebung des Punktes x0 mit demRadius r > 0.
Die Menge
Kr(x0) := {x ∈ Rn | |x− x0| ≤ r}
heißt abgeschlossene Kugelumgebung des Punktes x0 mitdem Radius r > 0.
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Innere Punkte und offene Mengen
Definition
Ein Punkt x ∈ M ⊆ Rn heißt innerer Punkt der Menge M , wennr > 0 existiert, so dassKr(x) ganz zuM gehort.
Die MengeM heißt offen, wenn sie nur innere Punkte enthalt.
intM bezeichnet die Menge aller inneren Punkte vonM .
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Haufungspunkt
DefinitionEin Punkt x ∈ Rn heißt Haufungspunkt der Menge M ⊆ Rn,wenn in jeder Umgebung des Punktes x ein Punkt der MengeM \ {x} liegt. Das bedeutet, x ist Haufungspunkt von M genaudann, wenn
Kr(x) ∩ (M \ {x}) 6= ∅ fur alle r > 0.
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Randpunkt
DefinitionEin Punkt x ∈ Rn heißt Randpunkt der Menge M , wenn in je-der Umgebung von x sowohl ein Punkt der Menge M als auch einPunkt der Menge Rn \M liegt.
∂M bezeichnet die Menge aller Randpunkte der MengeM .
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Abgeschlossene Mengen
DefinitionEine MengeM ⊆ Rn heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Rand-punkte enthalt, d.h. wenn ∂M ⊆M gilt.
SatzDie Menge Rn und die leere Menge ∅ sind sowohl offen als auchabgeschlossen.
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Beschrankte und kompakte Mengen
DefinitionEine Menge M ⊂ Rn heißt beschrankt, wenn es eine KonstanteC > 0 gibt, so dass
|x| ≤ C fur alle x ∈M.
Eine Menge M ⊂ Rn heißt kompakt, wenn sie beschrankt undabgeschlossen ist.
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Verbindungsstrecke und Polygonzug
DefinitionSeien x, y ∈ Rn sowie x0, . . . xp ∈ Rn.Dann heißt
[x, y] := {x + s(y − x) | s ∈ [0, 1]}
Verbindungsstrecke von x und y und
[x0, . . . , xp] :=
p⋃j=1
[xj−1, xj]
Polygonzug, der x0, . . . , xp (in dieser Reihenfolge) verbindet.
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Konvexe Mengen
DefinitionEine Menge M ⊆ Rn heißt konvex, falls zu jedem Paar (x, y)
von Punkten aus M auch ihre Verbindungsstrecke [x, y] ganz zuM gehort.
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Folgen
DefinitionSei K ⊆ N ∪ {0}. Eine Abbildung f : K → Rn, die jeder naturli-chen Zahl k ∈ K genau ein ak ∈ Rn zuordnet, heißt Folge im Rn
und wird durch (a1, a2, . . . , ak, . . .) oder kurz durch
(ak)k∈K oder (ak)K
bezeichnet. Falls klar ist, um welche Menge K es sich handelt,schreibt man auch nur
(ak).
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Grenzwert einer Folge
DefinitionSei (ak)k∈K eine Folge im Rn. Der Vektor a ∈ Rn heißt Grenzwertoder Limes dieser Folge, wenn fur jedes ε > 0 ein Index kε ∈ Nexistiert, so dass
|ak − a| < ε fur alle k ∈ K mit k ≥ kε.
Man schreibt dann
a = limk→∞, k∈K
ak oder ak → a fur k→∞, k ∈ K
bzw., falls N \K nur endlich viele Elemente besitzt,
a = limk→∞
ak oder ak → a fur k→∞.
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SatzDer Grenzwert einer Folge (ak) im Rn existiert genau dann, wenndie Grenzwerte der Koordinatenfolgen (aik) fur i = 1, . . . , n exi-stieren. Es gilt dann
limk→∞
ak =
limk→∞
a1k
...limk→∞
ank
.
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Funktionen
DefinitionEine Funktion oder eine Abbildung
f : D ⊆ Rn→ Rm
ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ D genau ein Element y ∈ Rm
zuordnet, man schreibt y = f(x).
D heißt Definitionsbereich der Funktion f . Die Menge
W := f(D) := {f(x) | x ∈ D} ⊆ Rm
heißt Wertebereich von f .
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Stetigkeit von Funktionen
DefinitionSei D ⊆ Rn. Eine Funktion f : D → Rm heißt stetig in x0 ∈ D,wenn fur alle Folgen (xk) ⊂ Daus
limk→∞
xk = x0
die Beziehunglimk→∞
f(xk) = f(x0)
folgt.
f heißt stetig aufA ⊆ D, wenn f fur alle x ∈ A stetig ist.
f heißt stetig, wenn f auf dem DefinitionsbereichD stetig ist.
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Supremum und Infimum einer Funktion
DefinitionSeienD ⊆ Rn und f : D → R.
Die ZahlM heißt Supremum der Funktion f , wenn
• f(x) ≤M fur alle x ∈ D und
• eine Folge (xk) ⊂ D existiert mit
limk→∞
f(xk) = M =: supx∈D
f(x).
Die Zahlm heißt Infimum der Funktion f , wenn
• f(x) ≥ m fur alle x ∈ D und
• eine Folge (xk) ⊂ D existiert mit
limk→∞
f(xk) = m =: infx∈D
f(x).
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Maximum und Minimum einer Funktion
DefinitionSeienD ⊆ Rn und f : D → R.
Die ZahlM heißt Maximum der Funktion f , wenn
• f(x) ≤M fur alle x ∈ D und
• ein xM ∈ D existiert mit f(xM) = M =: maxx∈D
f(x).
Die Zahlm heißt Minimum der Funktion f , wenn
• f(x) ≥ m fur alle x ∈ D und
• ein xm ∈ D existiert mit f(xm) = m =: minx∈D
f(x).
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Existenz von Supremum und Infimum
SatzSeienD ⊆ Rn und f : D → R.
Falls f nach oben beschrankt ist, d.h. wenn esM ∈ R gibt, so dass
f(x) ≤M fur alle x ∈ D,
dann existiert supx∈D
f(x) in R. Andernfalls gilt supx∈D
f(x) = +∞.
Falls f nach unten beschrankt ist, d.h. wenn esm ∈ R gibt, so dass
f(x) ≥ m fur alle x ∈ D,
dann existiert infx∈D
f(x) in R. Andernfalls gilt infx∈D
f(x) = −∞.
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Existenz von Maximum und Minimum
Satz von Weierstraß
SeiD ⊂ Rn eine kompakte Menge und f : D → R stetig.Dann existieren Maximum und Minimum der Funktion f auf D,d.h. f nimmt aufD Maximum und Minimum an.
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Partielle Ableitung
DefinitionSeienD ⊆ Rn, x ein innerer Punkt vonD und f : D → R.
Falls
fxi(x) :=∂f(x)
∂xi:= lim
h→0
f(x + hei)− f(x)
h
in R existiert, dann heißt der Grenzwert partielle Ableitung von fnach xi an der Stelle x und man sagt, f ist in x partiell differen-zierbar nach xi.
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Partielle Differenzierbarkeit
DefinitionSeienD ⊆ Rn und x innerer Punkt vonD. Eine Funktion f : D →R heißt partiell differenzierbar in x, falls in x die partiellen Ablei-tungen von f nach x1, . . . , xn existieren.
Ist D offen und ist f fur jedes x ∈ D partiell differenzierbar, soheißt f partiell differenzierbar.
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Stetige partielle Differenzierbarkeit
DefinitionSeienD ⊆ Rn und x innerer Punkt vonD. Dann heißt f : D → Rn
stetig partiell differenzierbar in x, falls f in x partiell differenzier-bar ist und die partiellen Ableitungen
fxi : D → R fur i = 1, . . . , n
stetig in x sind.
Ist D offen und ist f fur jedes x ∈ D stetig partiell differenzierbar,so heißt f stetig partiell differenzierbar.
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Der Gradient
DefinitionSeien D ⊆ Rn und f : D → R partiell differenzierbar in x. Dannheißt der Vektor
∇f(x) := gradf(x) :=
∂f∂x1
(x)
...∂f∂xn
(x)
∈ Rn
Gradient der Funktion f im Punkt x.
Ist f partiell differenzierbar, so definiert
∇f : D → Rn
damit eine vektorwertige Abbildung, die Gradient der Funktion fgenannt wird.
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Hohere partielle Ableitungen
Sei f : D → R partiell differenzierbar. Existiert die Ableitung
fxixj :=∂
∂xj
(∂f
∂xi
)von fxi nach xj, so heißt sie zweite partielle Ableitung von f nachxi und xj.
Falls alle zweiten partiellen Ableitungen fur i, j = 1, ..., n existie-ren (und stetig sind), so heißt f zweimal (stetig) partiell differen-zierbar.
k-te partielle Ableitungen (auch partielle Ableitungen k-ter Ord-nung genannt) werden entsprechend rekursiv definiert, sofern sieexistieren:
fxi1...xik:=
∂
∂xik
(fxi1...xik−1
)
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Satz von Schwarz
Seien D ⊆ Rn und f : D → R eine p-mal stetig partiell dif-ferenzierbare Funktion. Weiter seien i1, i2, . . . , ik aus {1, 2, ..., n}gewahlte Indizes mit 1 < k ≤ p. Bezeichnet (j1, j2, . . . , jk) einebeliebige Permutation von (i1, i2, . . . , ik), so gilt
fxj1xj2···xjk = fxi1xi2···xik,
d.h. die Reihenfolge des partiellen Differenzierens hat keinen Ein-fluss.
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Partielle Differenzierbarkeit einer vektorwertigen Abbildung
Seien D ⊆ Rn und f1, . . . , fm : D → R gegeben. Weiter seif : D → Rm definiert durch
f(x) =
f1(x)...
fm(x)
.Die Abbildung f heißt (stetig) partiell differenzierbar in x ∈ D
bzw. (stetig) partiell differenzierbar, falls f1, . . . , fm (stetig) partielldifferenzierbar in x bzw. (stetig) partiell differenzierbar sind.
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Jacobi-Matrix
Seien D ⊆ Rn und f : D → Rm in x ∈ D partiell differenzierbar.Dann heißt die Matrix
f ′(x) :=
(∂fi(x)
∂xj
):=
∂f1∂x1
(x) · · · ∂f1∂xn
(x)
... ...∂fm∂x1
(x) · · · ∂fm∂xn
(x)
Jacobi-Matrix (oder Ableitungsmatrix oder Ableitung) von f in x.Man schreibt auch
∇f(x) := f ′(x)>.
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Hesse-Matrix
SeienD ⊆ Rn und f : D → R in x ∈ D zweimal partiell differen-zierbar. Dann heißt die Matrix
f ′′(x) :=
(∂2f(x)
∂xi∂xj
):=
fx1x1(x) · · · fx1xn(x)... ...
fxnx1(x) · · · fxnxn(x)
Hesse-Matrix von f an der Stelle x oder Matrix der zweiten parti-ellen Ableitungen. Falls f zweimal stetig partiell differenzierbar ist,schreibt man auch
∇2f(x) := f ′′(x).
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Differenzierbarkeit
DefinitionSeienD ⊆ Rn, f : D → Rm und x0 innerer Punkt vonD.Die Funktion f heißt in x0 differenzierbar, falls sie in x0 partielldifferenzierbar ist und
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + R(x− x0)
fur alle x aus einer Umgebung von x0 gilt, wobei R : Rn→ Rn derBedingung
limx→x0
|R(x− x0)||x− x0|
= 0
genugen muss. Die Funktion f heißt differenzierbar, falls D offenund f in jedem Punkt vonD differenzierbar ist.
f ′ (bzw. f ′(x0)) heißt dann Ableitung von f (an der Stelle x0)
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SatzEine Funktion f : D → Rm ist in dem inneren Punkt x0 ausD ⊆ Rn differenzierbar, falls f in einer Umgebung von x0
partiell differenzierbar und in x0 stetig partiell differenzierbar ist.
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Linearitat des Differenzierens
SatzSind f : D → Rm und g : D → Rm differenzierbar in x undλ, µ ∈ R, so ist auch die Abbildung λf + µg : D → Rm in x
differenzierbar und es gilt
(λf + µg)′(x) = λf ′(x) + µg′(x).
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Kettenregel
SatzSeien h : C → Rp und g : D → Rm mit C ⊆ Rn und h(C) ⊆ D.Falls h in x ∈ C differenzierbar und g differenzierbar in h(x), dannist auch g ◦ h : C → Rm in x differenzierbar und es gilt
(g ◦ h)′(x) = g′(h(x))h′(x).
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Richtungsableitung
DefinitionSeien D ⊆ Rn, f : D → R und ein Vektor d ∈ Rn gegeben. Fallsder Grenzwert
f ′(x; d) := limt↓0
f(x + td)− f(x)
t
existiert, dann nennt man ihn die Richtungsableitung der Funktionf an der Stelle x in Richtung d.
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SatzSeien D ⊆ Rn und f : D → R. Falls f in x ∈ D differenzierbar,so gilt
f ′(x; d) = ∇f(x)>d
fur alle d ∈ Rn.
∇f(x) ist die Richtung des starksten Anstiegs von f im Punkt x
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Notation
h :=
h1...hn
∈ Rn, ∇ :=
∂∂x1
...∂∂xn
(h • ∇) := h1∂
∂x1+ · · ·+ hn
∂
∂xn=
n∑i=1
hi∂
∂xi
(h • ∇)k :=∑
(i1,...,ik)
hi1 · · ·hik∂k
∂xi1 · · · ∂xik
100
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Sei f : D ⊆ Rn→ R partiell differenzierbar. Dann gilt
(h • ∇)f(x) =n∑i=1
hi∂f(x)
∂xi= ∇f(x)>h.
101
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Sei f : D ⊆ Rn→ R zweimal partiell differenzierbar. Dann gilt
(h • ∇)2f(x) =∑
(i,j)hihj
∂2f(x)∂xi∂xj
= h>f ′′(x)h
(fallsn = 2) = h1h1∂2f(x)∂x1∂x1
+
h1h2∂2f(x)∂x1∂x2
+ h2h1∂2f(x)∂x2∂x1
+
h2h2∂2f(x)∂x2∂x2
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Taylor-Formel
SatzDie Funktion f : D → R sei (p+ 1)-mal stetig differenzierbar unddie Strecke [x, x + h] liege im Inneren von D ⊆ Rn. Dann gilt dieTaylor-Formel
f(x + h) = f(x)
+ 11!(h • ∇)f(x)
+ 12!(h • ∇)2f(x) + · · ·+ 1
p!(h • ∇)pf(x)
+R(h)
mit dem Restglied
R(h) :=1
(p+ 1)!(h • ∇)p+1f(x + θh)
fur ein von x, h abhangiges θ ∈ (0, 1).
103
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Taylor-Polynom
DefinitionDie Funktion f : D → R sei p-mal stetig differenzierbar und dieStrecke [x0, x0 + h] liege im Inneren vonD ⊆ Rn.Fur 0 ≤ k ≤ p heißt dann
Tk(x) := f(x0) +1
1!(h • ∇)f(x0) + · · ·+
1
k!(h • ∇)kf(x0)
Taylor-Polynom k-ten Grades der Funktion f an der Stelle x0,wobei
h := x− x0.
104
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Taylor-Polynom vom Grad 0
T0(x) = f(x0)
Taylor-Polynom vom Grad 1
T1(x) = f(x0) +∇f(x0)>(x− x0)
Taylor-Polynom vom Grad 2
T2(x) = f(x0)+∇f(x0)>(x−x0)+1
2(x−x0)>∇2f(x0)(x−x0)
105
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Mittelwertsatz
Sei f : D → R stetig differenzierbar und die Strecke [x, x+h] liegeim Inneren von D ⊆ Rn. Dann gibt es eine Zahl θ mit 0 < θ < 1,so dass
f(x + h)− f(x) = ∇f(x + θh)>h.
Außerdem gilt die Abschatzung
|f(x + h)− f(x)| ≤ |h| max0≤t≤1
|∇f(x + th)|.
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Satz uber die implizite Funktion (n = 2)
Seien D ⊆ R2, f :D→R stetig differenzierbar und (x0, y0)>∈D.Falls
f(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) 6= 0,
dann gibt es offene Intervalle U um x0 und V um y0, so dass zujedem x ∈ U genau ein y ∈ V existiert mit
f(x, y) = 0.
Jedem x ∈ U ist damit eindeutig ein g(x) := y ∈ V zugeordnet.Die so definierte Abbildung g : U → V erfullt die Gleichung
f(x, g(x)) = 0 fur alle x ∈ U.
Außerdem ist g stetig differenzierbar mit
g′(x) = −fx(x, g(x))
fy(x, g(x))fur alle x ∈ U.
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Satz uber die implizite Funktion
allgemeiner Fall
108
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Seien D ⊆ Rn × Rm, f : D → Rm stetig differenzierbar und(x0, y0) ∈ D. Falls
f(x0, y0) = 0
und die Matrixfy(x0, y0)
regular ist, dann gibt es Umgebungen U um x0 und V um y0, sodass zu jedem x ∈ U genau ein y ∈ V existiert mit
f(x, y) = 0.
Jedem x ∈ U ist damit eindeutig ein g(x) := y ∈ V zugeordnet.Die so definierte Abbildung g : U → V erfullt die Gleichung
f(x, g(x)) = 0 fur alle x ∈ U.
Außerdem ist g stetig differenzierbar mit
g′(x) = −fy(x, g(x))−1fx(x, g(x)) fur alle x ∈ U.
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Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen
Unrestringierte Optimierungsaufgaben
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DefinitionDie Kurzschreibweise
f(x)→ min
bezeichnet die unrestringierten Optimierungsaufgabe:
Finde ein x∗ ∈ Rn, so dass
f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ Rn.
Jedes x∗ ∈ Rn mit dieser Eigenschaft heißt globale Losung oderglobale Minimalstelle.Der Wert f(x∗) wird globales Minimum von f genannt.
Die Funktion f : Rn→ R heißt Zielfunktion.
111
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Lokale oder relative Extrema
DefinitionEin Punkt x∗ ∈ Rn heißt lokale Losung oder lokale Minimalstelleder Optimierungsaufgabe
f(x)→ min,
wenn es eine Umgebung U von x∗ gibt, so dass
f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ U.
Der Wert f(x∗) heißt dann lokales oder relatives Minimum.
112
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Die Begriffe
• globale Losung,
• globale Maximalstelle,
• globales Maximum
und
• lokale Losung,
• lokale Maximalstelle,
• lokales Maximum
werden analog fur die Optimierungsaufgabe
f(x)→ max
definiert.
113
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Jede globale Losung ist auch eine lokale Losung.
Die Umkehrung gilt im Allgemeinen aber nicht.
Die Existenz einer lokalen oder einer globalen Losung kann nur un-ter zusatzlichen Voraussetzungen garantiert werden.
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Notwendige Optimalitatsbedingung
SatzSeien D ⊆ Rn offen und f : D → R partiell differenzierbar. Istx∗ ∈ D eine lokale Extremalstelle (d.h. Minimalstelle oder Maxi-malstelle) von f , dann gilt
∇f(x∗) = 0,
d.h. samtliche partiellen Ableitungen von f verschwinden in x∗.
DefinitionJeder Punkt x∗ mit∇f(x∗) = 0 heißt stationarer Punkt von f .
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Hinreichende Optimalitatsbedingung
SatzSeien D ⊆ Rn offen, f : D → R zweimal stetig differenzierbarund∇f(x∗) = 0. Dann ist x∗ eine (isolierte)
• lokale Minimalstelle von f , falls∇2f(x∗) positiv definit ist, d.h.falls
h>∇2f(x∗)h > 0 fur alle h ∈ Rn \ {0},
• lokale Maximalstelle von f , falls∇2f(x∗) negativ definit ist, d.h.falls
h>∇2f(x∗)h < 0 fur alle h ∈ Rn \ {0}.
116
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SatzEine symmetrische MatrixA ∈ Rn×n ist genau dann
• positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte positiv sind,
• negativ definit, wenn alle ihre Eigenwerte negativ sind.
Im Fall n = 2 istA :=
(a b
b c
)genau dann
• positiv definit, wenn
detA = ac− b2 > 0 und a > 0
• negativ definit, wenn
detA = ac− b2 > 0 und a < 0
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Bedeutung der Konvexitat
SatzSei f : Rn → R konvex und differenzierbar. Dann ist jeder stati-onare Punkt von f eine globale Losung der Optimierungsaufgabe
f(x)→ min .
SatzSeien D ⊆ Rn konvex und f : Rn → R zweimal stetig differen-zierbar. Dann ist f genau dann konvex auf D, wenn ∇2f(x) furjedes x ∈ D positiv semidefinit ist.
118
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Sattelpunkte
DefinitionSei f : Rn → R in einer Umgebung von x∗ ∈ Rn zweimal stetigdifferenzierbar und gelte∇f(x∗) = 0.Falls∇2f(x∗) sowohl positive als auch negative Eigenwerte besitzt,so wird x∗ Sattelpunkt der Funktion f genannt.
119
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Extemwertaufgaben mit Nebenbedingungen
Restringierte Optimierungsaufgaben
120
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DefinitionDie Kurzschreibweise
f(x)→ min bei x ∈ G
bezeichnet die restringierte Optimierungsaufgabe:
Finde ein x∗ ∈ G ⊂ Rn, so dass
f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ G.
Jedes x∗ ∈ G mit dieser Eigenschaft wird als globale Losung oderglobale Minimalstelle bezeichnet.
G ⊂ Rn heißt zulassiger Bereich der Optimierungsaufgabe.Der Wert f(x∗) wird globales Minimum von f aufG genannt.
121
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Lokale oder relative Extrema
DefinitionEin Punkt x∗ ∈ G heißt lokale Losung oder lokale Minimalstelleder Optimierungsaufgabe
f(x)→ min bei x ∈ G,
wenn eine Umgebung U von x∗ existiert, so dass
f(x∗) ≤ f(x) fur alle x ∈ G ∩ U.
Der Wert f(x∗) heißt dann lokales oder relatives Minimum
122
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Beschreibung des zulassigen BereichesG
Mit Funktionen
g : Rn→ Rm und h : Rn→ Rp
kann manG beschreiben, z. B.
• mittels Ungleichungsrestriktionen
G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0},
• mittels Gleichungsrestriktionen
G := {x ∈ Rn | h(x) = 0},
• mittels Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen
G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, h(x) = 0}.
123
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Lagrange Funktion
DefinitionSeien f : Rn → R, g : Rn → Rm und h : Rn → Rp gegeben.Dann heißt die Funktion L : Rn × Rm × Rp→ R mit
L(x, u, v) := f(x) + u>g(x) + v>h(x)
Lagrange Funktion zur Optimierungsaufgabe
f(x)→ min bei g(x) ≤ 0, h(x) = 0.
Mit∇xL(x, u, v) := ∇f(x) +∇g(x)u +∇h(x)v
wird der Gradient der Lagrange Funktion bzgl. x bezeichnet.
124
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Notwendige Optimalitatsbedingungim Falle von Gleichungsrestriktionen
SatzDie Funktionen f : Rn → R und h : Rn → Rp seien stetig diffe-renzierbar. Weiter sei x∗ eine lokale Losung der Aufgabe
f(x)→ min bei h(x) = 0.
Wenn die Spalten der Matrix∇h(x∗) linear unabhangig sind, dannexistiert ein Vektor v∗ = (v∗1, . . . , v
∗p)>, so dass
∇xL(x∗, v∗) = 0,(∗)
h(x∗) = 0.
Der Vektor v∗ (bzw. jedes seiner Elemente) heißt Lagrange Multi-plikator und x∗ stationarer Punkt. Die Bedingungen (∗) werden alsKarush-Kuhn-Tucker Bedingungen oder als Lagrangesche Multi-plikatorenregel bezeichnet.
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Aktive Ungleichungsrestriktionen
Die MengeI(y) := {i | gi(y) = 0}
wird als Indexmenge der in y aktiven Ungleichungsrestriktionenbezeichnet. Ist i ∈ I(y), so heißt die Nebenbedingung gi(x) ≤ 0 iny aktiv.
Notation:gI(y)(x) := (· · · gi(x) · · · )>i∈I(y)
∇gI(y)(x) := (· · · ∇gi(x) · · · )i∈I(y)
126
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Notwendige Optimalitatsbedingungenim Falle von Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen
SatzDie Funktionen f : Rn → R, g : Rn → Rm, h : Rn → Rp seienstetig differenzierbar. Weiter sei x∗ eine lokale Losung der Aufgabe
f(x)→ min bei g(x) ≤ 0, h(x) = 0.
Wenn die die Spalten der Matrix (∇h(x∗), ∇gI(x∗)(x∗)) linear un-
abhangig sind, dann existieren u∗ ∈ Rm und v∗ ∈ Rp, so dass
∇xL(x∗, u∗, v∗) = 0,
h(x∗) = 0, (∗)g(x∗) ≤ 0, u∗ ≥ 0, g(x∗)>u∗ = 0.
Die Vektoren u∗, v∗ (bzw. deren Elemente) heißen Lagrange Multi-plikatoren und x∗ stationarer Punkt. Die Bedingungen (∗) heißenKarush-Kuhn-Tucker Bedingungen.
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Hesse-Matrix der Lagrange Funktion
Seien f : Rn → R, g : Rn → Rm, h : Rn → Rp zweimal stetigdifferenzierbar. Dann heißt
∇xxL(x, u, v) := ∇2f(x) +m∑i=1
ui∇2gi(x) +
p∑j=1
vj∇2hj(x)
Hesse-Matrix der Lagrange Funktion in (x, u, v).Man beachte, dass die Ableitung zweifach bzgl. x erfolgt.
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Hinreichende Optimalitatsbedingungenim Falle von Ungleichungs- und Gleichungsrestriktionen
SatzSeien f : Rn → R, g : Rn → Rm, h : Rn → Rp zweimal stetigdifferenzierbar. Weiter erfulle (x∗, u∗, v∗) ∈ Rn × Rm × Rp dieKarush-Kuhn-Tucker Bedingungen. Falls
d>∇xxL(x∗, u∗, v∗)d > 0
fur alle d ∈ Rn \ {0}mit
j ∈ {1, . . . , p} ⇒ ∇hj(x∗)>d = 0,
i ∈ I(x∗) ⇒ ∇gi(x∗)>d ≤ 0,
i ∈ I(x∗) und u∗i > 0 ⇒ ∇gi(x∗)>d = 0,
dann ist x∗ ein lokale Minimalstelle der Optimierungsaufgabe
f(x)→ min bei g(x) ≤ 0, h(x) = 0.
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SatzSeien f, g1, . . . , gm : Rn → R konvex und stetig differenzierbar.Weiter seienA ∈ Rp×n und b ∈ Rp gegeben.Dann ist
G := {x ∈ Rn | g(x) ≤ 0, Ax = b}konvex und jeder stationare Punkt der Optimierungsaufgabe
f(x)→ min bei x ∈ G
ist eine globale Losung dieser Aufgabe.
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Lineare Ausgleichsrechnung (Regression)
Gegeben: Messreihe
(ti, bi) ∈ R` × R i = 1, . . . ,m
Gegeben: Ansatzfunktionen
φ1, . . . , φn : R`→ R
Linearer Ansatz mit Parametervektor x := (x1, . . . , xn)>:
F (t; x) := x1φ1(t) + · · ·+ xnφn(t)
Gesucht: Parametervektor x∗ := (x∗1, . . . , x∗n)> ∈ Rn so, dass
m∑i=1
(bi − F (ti; x)
)2
fur x = x∗ minimal ist
131
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Lineares Quadratmittelproblem
f(x) :=m∑i=1
(bi − F (ti; x)
)2
→ min
Dabei sind (ti, bi) ∈ R` × R fur i = 1, . . . ,m gegeben.
132
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Matrixschreibweise
Mit
b :=
b1...bm
, x :=
x1...xn
, A :=
φ1(t1) · · · φn(t1)... ...
φ1(tm) · · · φn(tm)
folgt
F (ti; x) = (Ax)i,
m∑i=1
(bi − F (ti; x))2 =m∑i=1
(bi − (Ax)i)2 .
Lineares Quadratmittelproblem in Matrixschreibweise
|b−Ax|2→ min
133
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Losbarkeit linearer Quadratmittelprobleme
Satz
a) Das lineare Quadratmittelproblem
|Ax− b|2→ min
ist fur beliebig gewahlteA ∈ Rm×n und b ∈ Rm losbar.
b) Jede Losung des linearen Quadratmittelproblems lost dasGaußsche Normalgleichungssystem
A>A x = A>b
und umgekehrt.
c) Falls rangA = n, dann ist A>A positiv definit und das lineareQuadratmittelproblem besitzt eine eindeutige Losung.
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Das Newton-Verfahrenzur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme
Die Abbildung F : Rn→ Rn sei stetig differenzierbar und habe dieNullstelle x∗. Weiter sei xk eine Naherung fur x∗.Das nichtlineare Gleichunssystem
F(x) = 0
wird ersetzt durch die lineare Gleichung
F(xk) + F′(xk)(x− xk) = 0.
Falls diese Gleichung eine Losung besitzt, so verwendet man dieseals neue Naherung xk+1 und wiederholt das Vorgehen.
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Lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens
SatzSei D ⊆ Rn offen und F : D → Rn zweimal stetig differenzierbar.Weiter sei x∗ ∈ D eine regulare Nullstelle von F (d.h. F(x∗) = 0
und F′(x∗) regular).Dann gibt es eine Umgebung U von x∗, so dass das Newton-Verfahren fur jeden Startvektor x0 aus U wohldefiniert ist und dieFolge (xk) der erzeugten Iterierten gegen x∗ konvergiert. Außer-dem gibt es C > 0, so dass
|xk+1 − x∗| ≤ C|xk − x∗|2
fur k = 0, 1, 2, . . . gilt (quadratische Konvergenz).
136
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