mathematik in der natur am beispiel fibonacci-folge und goldener schnitt aktuelle themen der...
Post on 05-Apr-2015
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Mathematik in der Natur
am Beispiel Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt
Aktuelle Themen der Fachdidaktik
Christoph Eidenberger
Voraussetzungen, Lehrplan
• abgeschlossenes Kapitel „Folgen“– rekursiv angegebene Folgen– Konvergenz
• Im Lehrplan in der 10. Schulstufe vorgesehen
Grober Umriss
• 1. Einheit: Behandlung der Fibonacci-Folge anhand der Vermehrung von Bienen (Arbeitsblatt, Partnerarbeit)
a) menschlicher Stammbaum:
b) Ahnentafel einer Drohne (Vorwissen aus Biologie)
c) Ende der Stunde: Vergleich der Ergebnisse und Zusammenfassung
anderer Zugang: Kaninchenpopulation(Leonardo da Pisa)
• 2. Einheit: Behandlung des Goldenen Schnitts anhand von Beispielen aus der Kunst (Arbeitsblatt, Einzelarbeit)
a) „Der vitruvianische Mensch“, L. da Vinci, 1492
b) Parthenon in Athen
c) Pentagon (Sitz des US-amerikanischen Verteidigungsministeriums)
regelmäßiges Fünfeck
d) Geige
• Offensichtlich stehen viele Verhältnisse von Strecken zueinander in einem bestimmten Verhältnis (≈ 1,6 / 1 oder 1/ 0,6)
• Dieses Verhältnis war bereits den alten Griechen bekannt und war damals schon der Inbegriff für Ästhetik und Schönheit.
• Herleitung des Goldenen Schnitts
e) Vergleich der Ergebnisse
1
x2
15 Kehrwert:
2
15
• 3. Einheit: Verwandtschaft von Fibonacci-Folge und Goldener Schnitt (eher fragend-entwickelnd)
a) Austeilen folgender Abbildung:
Schüler sollen den Winkel zwischen zwei nacheinander gewachsenen Blättern messen
ca. 138°
würde man den Winkel andersherum messen ca. 222°
In der Natur kommt nicht exakt dieser Winkel vor, sondern:
Pflanze prozentueller Anteil am Vollwinkel (Bruch)
in Dezimalschreibweise
Linden: 180° 1/2 0,5
Buchen: 240° 2/3 0,67
Apfelbäume: 216° 3/5 0,6
Birnbäume: 225° 5/8 0,625
Weiden: 221,5° 8/13 0,6153
61,0222360 xx
Würde man die Tabelle weiterführen:
13/21 0,6190
21/34 0,6176
34/55 0,6182
55/89 0,6180
Was fällt auf? Zähler und Nenner sind aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen!
Brüche nähern sich immer mehr dem Goldenen Schnitt an!
n
nnn
n
n
n
FFFF
F
F
F
111 1
1
Phänomen „Phyllotaxis“
weitere Möglichkeiten der
Veranschaulichung:
• Ananas:
• Sonnenblume– Spiralen im Blütenkorb
– Anordnung der Kerne
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