mathematische ansätze
Post on 21-Mar-2016
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Mathematische Ansätze 1
Mathematische Ansätze
Dynamisches VerhaltenMathematische AnsätzeRechenverfahren
Mathematische Ansätze 2
Stoffunabhängige GleichungenMaterialgesetzeKompatibilität
Mathematische Ansätze
15 Unbekannte:x y z xy xz yz
x y z xy xz yz
u v w
Mathematische Ansätze 3
Mathematische Ansätze
3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen
6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen
6 Materialgleichungen
Mathematische Ansätze 4
Gleichgewichtsgleichungen
F Fa
b
Stoffunabhängige Gleichungen
Virtueller Schnitt
Mathematische Ansätze 5
F
Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA
Normalspannungen=dFn/dA
Tangentialspannungen =dFt/dA
dFn
dFdFt
dA
Gleichgewichtsgleichungen
Stoffunabhängige Gleichungen
Mathematische Ansätze 6
x
y
z
yx
yz
zyzx
xy
xz
Stoffunabhängige GleichungenGleichgewichts-gleichungen
Mathematische Ansätze 7
Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen:
x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0
Mathematische Ansätze 8
G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0
G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0
G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0
Mathematische AnsätzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen:
(Navier)
Mathematische Ansätze 9
u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2
v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2
w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2
Mathematische AnsätzeIn den Navier Gleichungen sind:
(Laplace)
Mathematische Ansätze 10
x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0
(Beltrami)
Mathematische AnsätzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:
Mathematische Ansätze 11
xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0
xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0 yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0
Mathematische Ansätze
(Beltrami)
Mathematische Ansätze 12
x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2
y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2
z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2
Mathematische AnsätzeIn den Beltrami-Gleichungen sind:
Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung
Mathematische Ansätze 13
Stoffunabhängige Gleichungen
S - ü = 0
Spannungstensor Bechleunigungsvektor
Mathematische Ansätze 14
Stoffunabhängige Gleichungen
Gleichgewichtsgleichungen:
Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez + zez
Tensordarstellung:
x xy xz S = yx y yz
zx zy z
S Spannungstensor
Mathematische Ansätze 15
3 Stoffunabhängige Gleichungen6 Materialgleichungen6 Kompatibilitätsgleichungen
Mathematische Ansätze
15 Unbekannte:
x y z xy xz yz
x y z xy xz yz
u v w
Mathematische Ansätze 16
Mathematische Ansätze
Kompatibilitäts-bedingung:
Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen
Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen
Mathematische Ansätze 17
Mathematische Ansätze
Kompatibilitäts-bedingung:
Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen
u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez
Mathematische Ansätze 18
Mathematische Ansätze
B
C
A
A1 B1
D u(x+dx,y,dy,z)
u(x+dx,y,z)
u(x,y+dy,z)
u(x,y,z)
ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx
Mathematische Ansätze 19
Kinematisches Gleichgewicht
x = u/x u v w
y = v/y
z = w/z
xy = v/x + u/y
xz = w/x + u/z
yz = w/x + v/z
Mathematische Ansätze 20
Mathematische Ansätze
Kompatibilitäts-bedingung:
iklm= 0
Riemann Tensor 4. Stufe
Mathematische Ansätze 21
Mathematische Ansätze
Stoffgesetze:1-starres Material2-linear-elastisch3-nichtlinear-elast.4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch6-viskoses Material: Kriechen7-viskoses Material: Relaxieren
12 3
45
6
7ε
σ
Mathematische Ansätze 22
Mathematische Ansätze
Stoffgesetze: , , SS
SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeit
VerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit
Mathematische Ansätze 23
Mathematische Ansätze
ElastischesMaterialverhalten
Stoffe ohne Gedächtnis
S
Spannungstensor
Verzerrungstensor
Mathematische Ansätze 24
Mathematische Ansätze
plastischesMaterialverhalten
Stoffe mit permanentemGedächtnis
S
Spannungsgeschwindigkeit
Verzerrungsgeschwindigkeit
Mathematische Ansätze 25
Mathematische Ansätze
viskosesMaterialverhalten
Stoffe mit schwindendemGedächtnis
S
Spannungstensor
Verzerrungsgeschwindigkeit
Mathematische Ansätze 26
3. Schwingkopf
1. Kopf für Zellsuspension
2. Hülse
4. Sockel M6
5. Zylinderschraube
6. Beschleunigungssensor
Mathematische Ansätze 27
3. Schwingkopf
• Gesamtansicht
Mathematische Ansätze 28
3. Schwingkopf
• FEM - Simulation
Mathematische Ansätze 29
3. Schwingkopf
• FEM - Analyse
Mathematische Ansätze 30
Mathematische Ansätze
Näherungsverfahren:Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen
des Materialverhaltens
der Belastungsfunktionen
der Zeit, direkte Zeitintegration
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