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Mathematische Grundlagen der VermessungMathematische Grundlagen der Vermessung
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Monika JaroschUniversität Siegen
http://www.uni-siegen.de/dept/fb10/vermStand: 2008-03
Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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MathematikMathematik
Algebra Analysis Geometrie
Arithmetik Diffentialrechnung PlanimetrieZahlentheorie Integralrechnung TrigonometrieGruppentheorie Reihenlehre StereometrieMengenlehre Funktionentheorie analytische GeometrieInvariantentheorie Variationsrechnung nichteuklidische G.
DifferentielgeometrieTopologie
TaschenrechnerGeodreieck
Zirkel
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InhaltsverzeichnisMathematik - Algebra/Analysis/GeometrieInhalt AnwendungenLiteraturMaßeinheiten
- Länge/Fläche/Volumen- Konstanten- Ebener Winkel: Grad, Gon, Bogenmaß- Drehsinn von Koordinatensystemen- Koordinatensystem: mathematisch und geodätisch- Ebener Winkel: Umrechnung
Planimetrie = ebene Geometrie (griechisch: Flächenmessung)Figuren in einer Ebene wie Kreis, Dreieck, Vieleck, Kegelschnitte
- beliebige und rechtwinklige Dreiecke- Lehrsätze- Darstellung der Lehrsätze- abgeleitete Größen- Flächenberechnungen im allg. Dreieck
Trigonometrie (griechisch: Dreiecksmessung)Berechnung von Seiten, Winkel und Flächen von Dreiecken aus 3 bekannten Größen über trigonometrische Winkelfunktionen
Grundlage: rechtwinklige Dreiecke, in die alle ebenen Dreiecke zerlegt werden können.
- Rechtwinkliges Dreieck- Winkelfunktionen- Goniometrische Gleichungen- Dreieckstypen- schiefwinkliges Dreieck
Vektorrechnung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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AnwendungenAnwendungen
Seneca-Zitat: vor ca. 2000 Jahren(Lucius Annäus Seneca, römischer Philosoph, Berater v. Nero)
“ Lange ist der Weg durch Lehren ... und wirksam durch Beispiele ”
... und wozu dies alles?
• früher Brückenkurs …• heute Tutorium• Vorbereitung undBegleitung des Studiums!
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LiteraturLiteratur
Schneider: Bautabellen für Ingenieure, 16. (aktuelle) Auflage, Werner-Verlag, 2004.
Kahmen, Heribert: Vermessungskunde.De Gruyter Lehrbuch, 19. Auflage, Berlin, 1997.
Torge, Wolfgang: Geodäsie.De Gruyter Lehrbuch, 2. Auflage, Berlin, 2003. (1. Auflage 1975)
Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, (1979).(uralt ... heute aktuellere Auflage!)
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MaßeinheitenMaßeinheiten
Länge m1 km = 1000 m1 dm = 0,1 m = 10 cm1 cm = 0,01 m1 mm = 0,001 m
Fläche m2 1 km2 = 1000 m * 1000 m = 106 m21 ha = 100 m * 100 m = 104 m2
1 a = 10 m * 10 m = 102 m2
Volumen m31 Kubikmeter = 1m3 = 106 cm31 Liter = 1 l = 1 dm31 gallon (brit) = 1 gal = 4,546 dm31 gallon (usa) = 1 gal = 3,786 dm3
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MaßeinheitenKonstantenMaßeinheitenKonstanten
π = 3,14159265359 ...
200 gon / π = 63,66197724 ... gon (früher ρ − rho in Gon)180 o / π = 57,29577951 ... o (früher ρ − rho in Grad)
Lichtgeschwindigkeit: cV = 299 792 458 m/sim Vakuum
also ca: 300 000 km/s
1 Seemeile = 1852 m1 mile = 1 mi = 1609,344 m1 yard = 1 yd = 3 ft = 0,9144 m1 foot = 1 ft = 12 in = 0,3048 m 1 inch = Zoll “ oder in = 0,0254 m
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1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1)α = r2 - r1
– Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90o = 360o1o = 60’ ; 1’ = 60 “
– Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 4*100 gon=400 gon1 gon = 100c ; 1c = 100cc ; 1 gon = 1000 mgon
– Bogenmaß dimensionslos * unabhängig von Kreisradius r * nur! abhängig von Größe des Winkels α
b/r = const = Arc α = Bogenmaß von α
Der Radiant ist derjenige Winkel, fürden das Längenverhältnis Kreisbogen bzu Radius r den Zahlenwert 1 hat!
Einheitenzeichen: rad (SI-Einheit)
MaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenEbener Winkel
Richtung r1 zu P1
Richtung r2 zu P2
S α br
U
b = r arcα
b/r = 1 rad Winkel rad[gon]: 1 rad=200gon/πProf. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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MaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenEbener Winkel
Richtung r1 zu P1
Richtung r2 zu P2
S α br
U
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1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zählung rechtsläufig! (r2 > r1)α = r2 - r1
– Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 123° 45‘ 55‘‘ = 123,7652777…°
– Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 123, 4561 gon =123 gon +
456,1 mgon =123 gon +
45 cNeuminuten
61 ccNeusekunden
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Beispiele
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MaßeinheitenDrehsinn von KoordinatensystemenMaßeinheitenDrehsinn von Koordinatensystemen
xy
Regel: “x” dreht über kürzeren Winkel nach “y” ...
“links herum”
Uhr12
“entgegen Uhrzeigersinn”
• Achsbezeichnung• Quadrantenzählung• Dreifingerregelxy
Ring
finge
r
Spitze von ZeigefingerBetrachtung “von oben”
Daumen
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MaßeinheitenKoordinatensystemeMaßeinheitenKoordinatensysteme
α 0o 360o0 gon 400 gon0 2 π
90o
180o
270 o =
100 gon
200 gon
300 gon =
π/2
π
3π/2
Mathematisches Systempositiver Winkelentgegen Uhrzeigersinn
x
yIII
III IV
Geodätisches Systempositiver Winkelim Uhrzeigersinn
α90o 100 gonπ/2
0o 360o
270 o
0 gon 400 gon
300 gon
3π/2
π
y
xIIV
III II
180 o = 200 gon =
0 2 π
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MaßeinheitenKoordinatensystemeMaßeinheitenKoordinatensysteme
Mathematisches System Geodätisches Systemx dreht über den kürzeren Winkel zu y ... x dreht über den kürzeren Winkel zu y ...
entgegen dem Uhrzeigersinn„linksrum“
im Uhrzeigersinn„rechtsrum“
Konventionelle Systembezeichnung: Linkssystem
Entspricht: „Schraube rausdrehen“dh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)
Konventionelle Systembezeichnung: Rechtssystem
Entspricht: „Schraube eindrehen“dh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)
Systematische Systembezeichnung: Rechtssystem
dh. z-Achse zeigt aus Blatt heraus!!!
Systematische Systembezeichnung: Linkssystem
dh. z-Achse zeigt aus Blatt heraus!!!
xy
x=Hochwert
y=Rechtswert
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MaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenEbener Winkel
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Umrechnung: Grad-Gon-Bogenmaß (dimensionslos) mit U=2 πr folgt:
U / 400 gon = 2 πr / 400 gon =U / 360o = 2 πr / 360o =
b / α gon = b / α gon =b / α o b / α o
umgestellt nach b/r folgt:
b/r = const = Arc α = π / 200 gon * α gon= π / 180o * α o
speziell für r=1: Bogenmaß arc α = Länge des Kreisbogenstückes b!für beliebigen Radius gilt: arc α = b1/r1 = b2/r2 = ...
1 Vollwinkel =360 o ... entsprechen 400 gon ... entsprechen 2 π (in Einheit rad)
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PlanimetriePlanimetrie
Beliebiges DreieckDie Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180o = 200 gon:α + β + γ = 180o = 200 gon
Rechtwinkliges Dreieck: γ = 90oα β
γ
A
C
Bab
c
α β
γ
A
C
B
ab
c
h
qp
.
Katheten: a,b ... schließen den rechten Winkel einHypotenuse: c ... liegt dem rechten Winkel gegenüberHypotenusenabschnitte: p,q ... Projektion der Katheten auf Hyp.Höhe: h
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PlanimetrieLehrsätzePlanimetrieLehrsätze
Satz des Pythagoras:a2 + b2 = c2
Kathetensatz (Euklid):b2 = p * c und a2 = q * c
Höhensatz (Euklid):h2 = p * q
1. und 2. Binomische Formel:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
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PlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieDarstellung der Lehrsätze
Satz des Pythagoras:a2 + b2 = c2
1. und 2. Binomische Formel:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
c2
a2b2
a b
a2b2
a
b a*b
a*b (a-b)2
b2
a
ba-b
a-b
a
a2
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PlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieDarstellung der Lehrsätze
Satz des Pythagoras:a2 + b2 = c2
Beweismit 1. BinomischerFormel:(a + b)2 =a2 + 2ab + b2 =
aus Zeichnung ...
c2 + 4(ab/2) =c2 + 2ab
c2
a2b2
c2
a a
aa
b
b
b
b
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Planimetrieabgeleitete GrößenPlanimetrieabgeleitete Größen
Hypotenusenabschnitte:p = (b2 - a2 + c2)/(2c)q = (c2 - b2 + a2)/(2c)
Kontrolle: p + q = c
Höhe:h = (b2 - p2)1/2h = (a2 - q2)1/2
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PlanimetrieFlächenberechnungenPlanimetrieFlächenberechnungen
Quadrat: F = a2
Rechteck: F = a * bParallelogramm: F = a * h
a
c
d bh
Trapez: F= h(a+c)/2
a
c
h
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PlanimetrieFlächenberechnungenallgemeines Dreieck
PlanimetrieFlächenberechnungenallgemeines Dreieck
Heron’sche Flächenformel:
F= ( s(s-a)(s-b)(s-c) )1/2mit s = (a+b+c)/2
Höhenformel:
F= ( a * ha)/2 mit ha Höhe mit Fußpunkt auf Seite aF= ( b * hb)/2 mit hb Höhe mit Fußpunkt auf Seite b F= ( c * hc)/2 mit hc Höhe mit Fußpunkt auf Seite c
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TrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90oTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90o
αA
C
B
b
c
a
.
Wird ein Strahlenbüschel(Strahl A-B-B’ und Strahl A-C-C’)durch eine Parallelenschar(Linie B-C und Linie B’-C’)geschnitten, so entstehenähnliche Dreiecke.
C’
B’
a’
c’
b’
β
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TrigonometrieÄhnliche DreieckeTrigonometrieÄhnliche Dreiecke
2 Figuren sind ähnlich, wenn sie in der Form ihrer Fläche übereinstimmen!
2 Winkel
Übereinstimmungim Verhältnis zweierSeiten u. eingeschl.Winkel.
Übereinstimmungim Verhältnis zweierSeiten u. Gegenwinkelder größeren Seite.
Übereinstimmungim Verhältnis der dreiSeiten.
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TrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90oTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: β = 90o
Gegenka thete
αA
C
B
b
c
a
.
C’
B’
a’
c’
b’
β
Hypot
enuse
Ankathete
In diesen Dreiecken ist das Verhältnis der Seiten zueinander gleich,nur von α (Winkel im Schnittpunkt des Strahlenbüschels) abhängig!und unabhängig vom Dreieck!
a/b = a’/b’= ... = Gegenkathete/Hypotenusec/b = c’/b’= ... = Ankathete/Hypotenuse a/c = a’/c’= ... = Gegenkathete/Ankathete
für α:
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TrigonometrieWinkelfunktionenTrigonometrieWinkelfunktionen
αA
C
B
b
c
a.
Definition: Für 0 < α < 90o sin α := a/b = Gegenkathete/Hypotenusecos α := c/b = Ankathete/Hypotenuse tan α := a/c = Gegenkathete/Ankathete = sin α / cos αcot α := 1/ tan α = c/a = Ankathete/Gegenkathete
Funktionswerte:α o gon sin α Merke! cos α
0 0 0 0 1/2 √0 1π/6 30o 200/6 1/2 1/2 √1 1/2 √3 π/4 45o 50 1/2 √2 1/2 √2 1/2 √2 π/3 60o 200/3 1/2 √3 1/2 √3 1/2π/2 90o 100 1 1/2 √4 0
Periode:sin u. cos: Funktionsbild wiederholt sich nach 2π/ 360o / 400 gonsin (x+2π ) = sin x und cos (x+2π ) = cos x
tan u. cot: Funktionsbild wiederholt sich nach π/ 180o / 200 gon
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TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)
TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)
Trigonometrischer Pythagoras:sin2 α + cos2 α = 1
Additionstheoreme:sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α−β) = sin α cos β − cos α sin β cos (α+β) = cos α cos β − sin α sin β cos (α−β) = cos α cos β + sin α sin β
tan (α+β) = (tan α + tan β)/(1− tan α tan β )tan (α−β) = (tan α − tan β)/(1+ tan α tan β )
αA
C
B
b
c
a.
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TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)
TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)
hieraus folgt:
sin 2α = 2 sin α cos α doppeltes Argumentsin α = 2 sin α/2 cos α/2
cos 2α = 1 − 2 sin2 α doppeltes Argument= cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1
tan 2α = 2 tan α / (1− tan2 α) doppeltes Argument
(analog: Formeln für halbes Argument und n-faches Argument)
sin α + sin β = 2 sin (α+β)/2 cos (α−β)/2 sin α − sin β = 2 cos (α+β)/2 sin (α−β)/2 cos α + cos β = 2 cos (α+β)/2 cos (α−β)/2 cos α − cos β = 2 sin (α+β)/2 sin (α−β)/2
αA
C
B
b
c
a.
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TrigonometrieDreieckstypenTrigonometrieDreieckstypen
rechtwinklig:
spitzwinklig:
stumpfwinklig:
gleichseitig:
gleichschenklig:
.
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TrigonometrieSchiefwinkliges DreieckTrigonometrieSchiefwinkliges Dreieck
αA
C
B
b
c
a
β
γSinussatz:a/b = sin α / sin β a/c = sin α / sin γb/c = sin β / sin γ
Cosinussatz:a2 = b2 + c2 - 2bc cos αb2 = a2 + c2 - 2ac cos βc2 = a2 + b2 - 2ab cos γ
bzw.
cos α = (b2 + c2 - a2 )/(2bc)cos β = (a2 + c2 - b2 )/(2ac)cos γ = (a2 + b2 - c2 )/(2ab)
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TrigonometrieSchiefwinkliges DreieckTrigonometrieSchiefwinkliges Dreieck
αA
C
B
b
c
a
β
γ
Projektionssatz:Berechnung einer Dreiecksseite (z.B. c), wenn die beiden anderenDreiecksseiten (z.B. a und b) und ihre Gegenwinkel (z.B. α und β) gegeben sind.
a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren allgemein
Notation alternativ- v (fett)
… im weiteren verwendet!
- v mit → darüber- v mit ~ darunter
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Ortsvektor eines Punktes in der Ebene, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e1, e2
- Einheitsvektorene1, e2
v = v1 · e1 + v2 · e2 - v = [v1 v2] e1
e2
e1
e2
e1
e2
v1
v2
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Ortsvektor eines Punktes im Raum, aufgespannt durch die Einheitsvektoren e1, e2 , e3
- Einheitsvektorene1, e2 , e3
- v = v1 · e1 + v2 · e2 + v3 · e3 - v = [v1 v2 v3] e1
e2e3
e1
e3 e2
e1
e3 e2 v3
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Linearkombination:Addition von Vektoren in der Ebene
- a = a1 · e1 + a2 · e2- b = b1 · e1 + b2 · e2
- a+b = [a1+b1 a2+b2] e1e2
e1
e2 ab
Parallel zu b
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Linearkombination:Zahlenbeispiel für Addition von Vektoren in der Ebene
- a = 1 · e1 + 0 · e2- b = 0 · e1 + 1 · e2
- a+b = [1 1] e1e2
e1
e2
a
b
Parallel zu b
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Linearkombination:Subtraktion von Vektoren in der Ebene
- a = a1 · e1 + a2 · e2- b = b1 · e1 + b2 · e2
- a-b = [a1-b1 a2-b2] e1e2
e1
e2 ab
Parallel zu b – umgekehrte Richtung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Linearkombination:Zahlenbeispiel für Subtraktion von Vektoren in der Ebene
- a = 2 · e1 + 1 · e2- b = 1 · e1 + 1 · e2
- a-b = [1 0] e1e2
e1
e2a
b Parallel zu b – umgekehrte Richtung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Linearkombination:Addition und Subtraktion von Vektoren im Raum analog
- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3
- a+b = [a1+b1 a2+b2 a3+b3] e1e2e3
- a-b = [a1-b1 a2-b2 a3-b3] e1e2e3
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Skalarprodukt- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3
- a * b = a1b1 + a2b2 + a3b3= |a| |b| cos α
mit α= eingeschlossener Winkel von a und b!
|v| … Betrag (Länge) des Vektors a
Interpretation:= 0 : Vektoren stehen senkrecht!
Verwendung zur Berechnung des eingeschlossenen Winkels zweier Vektoren!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt)Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektorprodukt- a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3
- a × b = (a2b3 - a3b2) · e1 + (a3b1 - a1b3) · e2 + (a1b2 - a2b1) · e3
mit ^ oder × für Kennzeichnung der Operation „Kreuzprodukt“
Interpretation:Das Vektorprodukt zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von aund b aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten a und b .
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Spatprodukt - a = a1 · e1 + a2 · e2 + a3 · e3 - b = b1 · e1 + b2 · e2 + b3 · e3 - c = c1 · e1 + c2 · e2 + c3 · e3
V = c · (a × b)
Interpretation:Skalarprodukt eines Vektors mit dem Vektorprodukt zweier anderer Vektoren Wir erhalten einen Skalar, der auch Spatproduktgenannt wird. Der resultierende Skalar ergibt das Volumen des von den drei Vektoren gebildeten Parallelepipeds.
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
… und ein praktisches Anwendungsbeispiel!
Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universität Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
1. Die Aufgabe
Kiste11
25
1
3
2
Kiste2
Bestimme die Länge der Basis (rot) und ihre Komponenten in einem Koordinatensystem, welches durch die Lage von Kiste1 definiert ist!
Weder das Zentrum von Kiste1 noch das von Kiste2 sind direkt zugänglich. Das Koordinatensystem ist in Kiste1 gelagert. Die Lösung soll für jede beliebige Lagerung von Kiste1 Gültigkeit besitzen.
Für die Lösung verwendet werden sollen Beobachtungen mit einer Totalstation und elementare Vektorrechnung.
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
2. Lösungskonzept
Kiste11
25
1
3
2
Instrumentensystem
Kiste2
• Definition eines „übergeordneten“ Bezugssystems, von dem aus sowohl Kiste1 als auch Kiste2 sichtbar sind
:= Instrumentensystem
• Bestimmung der Koordinaten der Kiste1 und der Kiste2 mit einer Totalstation und geeigneten Reflektoren im Instrumentensystem
• Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem
• Transformation des Basisvektors in das System von Kiste1.
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
3. Instrumentensystem
Kiste11
25
Kiste2
1
3
2
Instrumentensystem
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-
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
4. Messpunkte Kiste2
Kiste2
4 Reflektor-standpunkte
Oberfläche Kiste2Grundriss:
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Aufriss: ∆z
2 Mal halbe Diagonale +Mittelung + ∆z
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
5. Kiste1
Kiste11
25
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1
23
Grundriss: Aufriss:5 („oben“)
4
6 („unten“)
51
2
Kiste1völlig beliebige Lage im Raum!
-
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
6. Kiste1 SystemorientierungZentrum innerhalb
über Konstruktionsbeschreibungeindeutig definiert,
Jedoch nicht unmittelbar zugänglich!
Kiste11
25
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1
24
3Grundriss: Aufriss:
5 („oben“)
6 („unten“)
-
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
7. Kiste1-Messpunkte
Kiste11
2
5 Achsen des Systems von Kiste1!
Definition durchKoordinaten derMesspunkte in diesemSystem.
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1
24
3Grundriss: Aufriss:
5 („oben“)
6 („unten“)
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
8. Klassifikation der Bestimmungsgrößen
Kiste11
2
5
Unterscheidung:• Systemspezifische Komponenten (abh. von Einbau der Kiste1)Koordinaten von im System der Kiste1
• Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation)Koordinaten von im Instrumentensystem
Forderung:• Systemspezifische Komponenten• Messgrößen werden als Input angeboten
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
9. Beurteilung der Bestimmungsgrößen
Kiste11
2
5
Wertung:
• Systemspezifische Komponenten*(Mess-)fehlerfrei*
• Messgrößen werden als Input angeboten *(Mess-)fehlerbehaftet*
• Instabile Definition des Systems!!
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
10. Komposition der definierten Elemente:Berechnung des Basisvektors im Instrumentensystem
Kiste11 2
5
Instrumentensystem
Basisvektor
Ortsvektor der Projektion des Zentrums von Kiste1auf Oberfläche
Konstruierter Normalenvektor der Oberfläche von Kiste1
Ortsvektor des Diagonalenschnittpunkts der Messpunkte auf Kiste2
Konstruierter Normalenvektor der Fläche derMesspunkte auf Kiste1
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
11. Transformation des Basisvektors vom Instrumentensystemin das System von Kiste1
Kiste11
2
5
Passpunkte:• Systemspezifische Komponenten (abh. von Einbau der Kiste1)Koordinaten von im System Kiste1
• Messgrößen (Koordinaten aus Messung mit Totalstation)Koordinaten von im Instrumentensystem
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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel!
12. Kontrollkriterien
Kiste11
2
5
• Realisierung der Oberfläche von Kiste1
• Basisidentität bei simulierten (fehlerfreien) Messpunkten und hieraus vorgegebenen Koordinaten im Instrumentensystem(Demodaten)
• Genauigkeitsaussage bei realen (fehlerbehafteten) Messpunkten und hieraus ermittelten Koordinaten im Instrumentensystem
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Mathematische Grundlagen der VermessungMathematikInhaltsverzeichnisVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieAnwendungenLiteraturMaßeinheitenMaßeinheitenKonstantenMaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenEbener WinkelMaßeinheitenDrehsinn von KoordinatensystemenMaßeinheitenKoordinatensystemeMaßeinheitenEbener WinkelPlanimetriePlanimetrieLehrsätzePlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieDarstellung der LehrsätzePlanimetrieabgeleitete GrößenPlanimetrieFlächenberechnungenPlanimetrieFlächenberechnungenallgemeines DreieckTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: b = 90oTrigonometrieÄhnliche DreieckeTrigonometrieRechtwinkliges Dreieck: b = 90oTrigonometrieWinkelfunktionenTrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)TrigonometrieGoniometrische Gleichungen(Goniometrie = Trigonometrie, die sich mit Winkelfunktionen befaßt!)TrigonometrieDreieckstypenTrigonometrieSchiefwinkliges DreieckTrigonometrieSchiefwinkliges DreieckVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der GeometrieVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 1.Die AufgabeVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 2.LösungskonzeptVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 3.InstrumentensystemVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 4. Messpunkte Kiste2Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 5.Kiste1Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 6. Kiste1 SystemorientierungVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 7. Kiste1-MesspunkteVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 8. Klassifikation der BestimmungsgrößeVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 9. Beurteilung der BestimmungsgrößenVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 10. Komposition der definierten ElementVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 11. Transformation des Basisvektors vomVektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrieein praktisches Anwendungsbeispiel! 12. Kontrollkriterien
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