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Mathematische Methoden der Chemie IBauerecker
Mathematische Methoden der Chemie I
apl. Prof. Dr. Sigurd Bauerecker Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, TU Braunschweig Hans-Sommer-Strasse 10, D-38106 BraunschweigTel.: 0531/391-5336, Labor: 0531/391-7307, Fax: 0531/391-7308E-mail: s.bauerecker@tu-bs.deNetz: http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre
Folienzusammenstellung zur Vorlesung
Achtung:
Diese Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und enthält gewiss etliche Fehler. So freue ich mich über jeden Hinweis. Da ich mich um innere Geschlossenheit der einzelnen Folien bemüht habe, mag die Zusammenstellung trotzdem hilfreich sein.
Formales
Netzadressen
http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre
http://tu-braunschweig.de/chemie
Empfehlung:
• Eigeninitiative!
• Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen.
• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Formalitäten der Vorlesung (Pflicht)(Bachelor Chemie, Bachelor Biotechnologie)
Winter-Semester: 4 h Vorlesung, 2 h Übung, Klausur Bachelor Chemie (Studienleistung)
Sommer-Semester: 2 h Vorlesung, 1 h Übung, Klausur Bachelor Chemie (Prüfungsleistung, Modulabschlussklausur)
Literatur
Stand: Herbst 2010
Grundlegend für Vorlesung:
H. G. Zachmann, A. Jüngel: Mathematik für Chemiker. VCH, 6. Auflage, 2007, 641 S.
M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995,
456 S.
Weitere:
H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1988, 289
S.
B. Frank, W. Schulz, W. Tietz:Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und
Wissen, 1998, 368 S.
E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and
Sons, 9th Edition, 2006, 1248 S.
K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und
Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2001, 521 S.
W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S.
S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S.
E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 668 S.
Tabellenwerke:
I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch, 7. Auflage, 2008, 1216 S.
J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992
Netz:
S. Bauerecker: Zusammenstellung einzelner Gesichtspunkte der Vorlesung in Form von Folien, http://tu-braunschweig.de/pci/forschung/bauerecker/lehre 2010, ca. 68 S., wird im Verlauf des WS bereit gestellt.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Inhalt der Vorlesungen
Mathematische Methoden der Chemie I
• Zahlen (2 h)
• Funktionen (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)
• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)
• Folgen und Reihen (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (8 h)
• Integralrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (6 h)
• Differentialgleichungen (8 h)
∑ = 56 h = 14 Wochen
Mathematische Methoden der Chemie II
• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)
• Vektoranalysis (4 h)
• Matrizen, Determinanten (6 h)
• Koordinatentransformationen (2 h)
• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)
• Einführung in Mathematica (2 h?)
• Fehlerrechnung?
• Funktionentheorie?
• Gruppentheorie?
• Numerische Methoden?
∑ = 28 h = 14 Wochen
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Rechnen mit komplexen ZahlenBauerecker
Mathematische Methoden der Chemie I
a) Betrag , geometrisch ist das nach Pythagoras die Länge der Strecke von 0 nach z.
b) Gleichheit. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in Realteil a = Re(z) und Imaginärteil b = Im(z) übereinstimmen. Größer- und Kleiner-Beziehungen gelten nicht ohne weiteres (nur über Betrag).
c) Addition z = z1+ z
2 = a
1 + b
1i + a
2 + b
2i = (a
1+a
2) + (b
1+b
2)i = a + b i
Damit kann man die Addition komplexer Zahlen als Aneinanderreihen von Zahlenpfeilen in der Gaußschen Zahlenebene auffassen (Vektoraddition).
d) Multiplikation, siehe Vorlesung.
e) Division, siehe Vorlesung.
Komplexe Zahlen erweisen sich als sehr wichtig, insbesondere in der Quantenchemie.
∣z∣=a2b2
FunktionenBauerecker
Mathematische Methoden der Chemie I
Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt Definitionsbereich (Domäne) der Funktion. Sämtliche y bilden zusammen den Wertebereich (Wertevorrat) der Funktion.
Wichtig an Funktionen ist die ihr eigene Zuordnungsvorschrift, nicht die Art der verwendeten Symbole (x, y, f, g, p, q, ϑ, ϕ, ♣, ♥, ...).Diese hängen meist mit physikalischen oder chemischen Sachverhalten zusammen, z.B.
v = v(t) Geschwindigkeit als Funktion der Zeitp = p(T) Druck als Funktion der Temperatur
Die Erweiterung auf mehrere unabhängige Variable ist möglich:
y = f(x1,x
2, … x
n), z.B. p = n/V ⋅ R⋅Τ ideales Gasgesetz
Umkehrfunktion
ϕ ist Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu f, wennf und ϕ eindeutige Funktionen sind und y = f(x) nach x = ϕ(y) auflösbar sind.
Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird.
Grafisch wird die Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gebildet. Sie ist dieselbe Funktion, nur gespiegelt.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Implizite Darstellung
Die Gleichungen y = f(x) und x = ϕ(y) nennt man explizite Darstellung der Funktionen f und ϕ , die grundsätzlich gleichberechtigt sind.
Bringt man alle Glieder der Gleichungen auf die linke Seite, also y – f(x) = 0, x – ϕ(y) = 0, so ergibt sich die implizite Darstellung F(x, y) = 0, die beide Funktionen implizit angibt.
Die implizite Darstellung einer Funktion ist also allgemeiner als die explizite.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Charakterisierung von Funktionen
Nullstellen sind x-Werte für die y = f(x) = 0 ist.
Funktionen heißen monoton wachsend, wenn f(x1) ≥ f(x2) für x1 > x2, streng monoton wachsend, wenn f(x1) > f(x2) für x1 > x2, (streng) monoton fallend analog.
Eine Funktion ist gerade, wenn f(x) = f(– x), Beispiel: y = x2. Eine Funktion ist ungerade, wenn f(x) = –f(– x), Beispiel: y = x3.
Eine Funktion ist periodisch mit Periode p, wenn f(x) = f(x+p), Beispiel: y = sinx.
Die Variable y durchläuft mit wachsendem x immer wieder dieselben Werte.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Einige wichtige Funktionen
Zwei Arten:
• Algebraische Funktionen bauen sich aus Polynomen der Variablen auf, Beispiel: y2 – x2 + 3xy – 2 = 0
• Transzendente Funktionen sind die nicht-algebraischen, Beispiele: y = cosx, y = ex, y = lnx
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
b) Fundamentalsatz der Algebra
Wir betrachten ein allgemeines Polynom als Gleichung n-ten Grades. Die aiund die x können komplex sein:
xn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = 0
Diese Gleichung hat genau n Lösungen (Wurzeln) x1, x2, ..., xn, mit denen sie sich in ein Produkt mit n Faktoren zerlegen läßt:
(x – x1)·(x – x2)·... (x – xn) = 0
Beide Gleichungen sind äquivalent (gleichwertig, Symbol ⇔).
Wenn eine Lösung xi bekannt ist, so kommt man durch Teilen durch (x – xi) auf eine Gleichung vom Grad n – 1. Die Lösungen lassen sich durch Formeln nur für Gleichungen bis Grad 4 darstellen. Für höhere Grade benutzt man numerische Methoden.
Der Fundamentalsatz sagt nur, dass Lösungen existieren und nicht wie man siefindet. Sie können teilweise oder vollständig zusammenfallen.
(GAUSS, 1799)
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Algebraische Funktionen
Kreis (Radius r)
Ellipse (Halbachsen a, b)
Parabel (Distribution)
Hyperbel ( n ungerade, n gerade)
Parabeln n-ten Grades( n ungerade, n gerade, n ≥ 1)
Gerade
Reaktionskinetik nach Michaelis-Menten
Spektrallinie, Lorentz-Form d. Frequenzverteilung
Zwischenmolekul. Potential nach Lennard-Jones
nach M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Exponentialfunktionen – abgeleitete Funktionen
Wachstum Population, Explosion, Lawine, Anfangsphase Reaktion
Negative e-Funktion, AufladungKondensator, Lernen einer Sprache
T-Abhängigkeit Wärmekapazität vonFestkörpern, qual., Reaktionskinetik
Radioaktiver Zerfall, Wärmeausgleich
Statistik, Normalverteilung, Spektrallinie, Gaskinetik
nach M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker
BauereckerMathematische Methoden I
d) Kreisfunktionen
Definitionen:
ϕ=
ϕϕ
===ϕ
ϕϕ
===ϕ
==ϕ
==ϕ
tan1
sincos
teGegenkatheAnkathetecot
cossin
AnkatheteteGegenkathetan
HypotenuseAnkathetecos
HypotenuseteGegenkathesin
yx
xy
rx
ry
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Tangens und Kotangens
• tanϕ und [cotϕ] sind periodische, ungerade Funktionen mit Periode π.
• Sie sind nicht definiert für ϕ = (n + ½) π, [ϕ = n π], weil hier der Kosinus [Sinus] verschwindet. Ihre Graphen haben hier Pole.
• Der Tangens [Kotangens] wird bei linksseitiger Annäherung an die Pole +∞ [–∞] und wächst [fällt] monoton im Intervall (–π/2, π/2) [(0, π)].
• Nullstellen: tanϕ = 0 für ϕ = n π,cotϕ = 0 für ϕ = (n + ½) π
• Es gilt: cotϕ = tan(π/2 – ϕ)
• Additionstheoreme (weitere siehe Formelsammlung):
2sin
2cos2sinsin
sinsincoscoscos(
sincoscossinsin(
ψ−ϕψ+ϕ=ψ−ϕ
ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ
ψ⋅ϕ+ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Arcusfunktionen
Funktion Monotonsteigend/fallend in
Arcusfunktion(Umkehr-funktion)
Definitions-bereich
Werte-bereich
Eigenschaften
sin x - π/2, π/2 arcsin x -1, 1 - π/2, π/2 ungerade
cos x 0, π arccos x -1, 1 0, π weder geradenoch ungerade
tan x - π/2, π/2 arctan x reelleZahlen
- π/2, π/2 ungerade
cot x 0, π arccot x reelleZahlen
0, π weder geradenoch ungerade
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Spezielle Funktionen
xy 1sin=
xxy 1sin=
Definiert bis auf x = 0
Nullstellen: x = ± nπ, n = 1, 2, 3, ...
Maxima/Minima:x = 1 / ((n + ½) π), n ganze Zahl
Funktion ist ungerade, oszilliert mitzunehmender „Frequenz“ für ⏐x⏐→ 0
Funktion ist gerade, oszilliert mitzunehmender „Frequenz“ für ⏐x⏐→ 0
Amplitude verschwindet für ⏐x⏐→ 0
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Definition (siehe auch Skizze Vorlesung):f(x) besitzt an der Stelle x
0 den Grenzwert g, wenn sich zu einem beliebig
vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so daß für alle x aus der δ-Umgebungdie Differenz zwischen f(x) und g betragsmäßig unterschritten bleibt:
|f(x) – g| < ε für |x – x0| < δ
● Je kleiner ε vorgegeben wird, desto kleiner muß δ sein● δ hängt von ε und in der Regel auch von x
0 ab!
Andere Schreibweise der Grenzwertdefinition:„der Limes von f(x) für x gegen x
0 ist g“
Linksseitiger Grenzwert für x < x0:
Rechtsseitiger Grenzwert für x > x0:
● Beide Grenzwerte können, müssen aber nicht übereinstimmen
limx x0
f x =g
a) Grenzwert einer FunktionBauerecker
Mathematische Methoden der Chemie I
limx x0
f x = g
Stetigkeit von Funktionen
Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, falls
ist, d.h., falls der Grenzwert mit dem Funktionswert von x0 übereinstimmt.
Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Grenzwertdefinitionnur von ε und nicht von x0 abhängt.
Eine Funktion heißt im Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle des Intervallsstetig ist. Sie ist auch gleichmäßig stetig, wenn dies für ein abgeschlossenes Intervall gilt (Satz).
• Die für die Anwendungen wichtigen Funktionen sind meistens stetig
• oder haben nur einzelne Unstetigkeitsstellen (Singularitäten), wie – Pole, Unendlichkeitsstellen,– Sprungstellen,– Unbestimmtheitsstellen.
)()(lim 00
xfxfxx
=→
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Sätze über stetige Funktionen
1. Satz von WeierstraßEine im abgeschlossenen Intervall [x1, x2] stetige Funktion f(x) hat in diesemIntervall einen kleinsten und einen größten Wert.
2. ZwischenwertsatzDiese Funktion nimmt jeden zwischen f(x1) und f(x2) gelegenen Wert mindestenseinmal an.
3. Satz von Bolzano-WeierstraßHaben f(x1) und f(x2) dieser Funktion verschiedene Vorzeichen, so gibt es zwischen x1 und x2 mindestens eine Nullstelle x0 mit f(x0) = 0.
4. Summe, Divergenz, Produkt und Quotientstetiger Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen. Beim Quotient darf dieFunktion im Nenner nicht Null werden.
5. Eine zusammengesetzte (mittelbare) Funktiony = f[g(x)] ist stetig, wenn die Funktionen y = f(z) und z = g(x) stetig sind.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Erste Ableitung einer Funktion
α==−+
=
α=−+
=
−Δ+=−=−=
→→tanlimlim:alquotientDifferenti
:null)gegen ( gegen angGrenzüberg
tan:nquotientDifferenze
)()( und
00
1
1
11
dxdy
Δxf(x)Δx)f(x
ΔxΔy
Δxxx
Δx
f(x)Δx)f(xΔxΔy
xfxxfyyΔyxxΔx
ΔxΔx
Differenzenquotient:
Differenzialquotient:
Die Ableitung der Funktion f(x), bezeichnet man mit f '(x), y'(x), y' oder dy/dx. Sie entspricht der Tangenten-Steigung bei x.
Möglich ist auch, mit Differenzialen zu rechnen, z.B. mit dx, dy:dy = dx · tan α, dy = f '(x) dx.
Die Operation Ableiten der Funktion heißt Differenzieren oder Differenziation. Dabei wird immer der Grenzwert ausgerechnet. (Bruch vor Grenzübergang kürzen).
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Differenzierbarkeit einer Funktion
Satz:
Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig.
Die Umkehrung des Satzes gilt nicht (siehe Beispiel Betrags-Funktion)!
Veranschaulichung der Differenzierbarkeit (keine exakte Definition):
Eine stetige Kurve (Funktion) ist differenzierbar, wenn sie keine Ecken, Spitzen oder Kanten hat.
Die gewöhnlich auftretenden Funktionen sind differenzierbar!
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Binomischer Satz
321234
34
,1
,10
...21)1(...)1(
)!(!!
...210
)(0
2211
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⋅⋅⋅+−⋅⋅−
=−
=
=
++
+
+
=+ ∑
=
−−−
nn
nnn
kknnn
knkn
kn
bakn
bnn
ban
ban
an
ban
k
kknnnnnn
Binomialkoeffizienten
bilden das
n = 0 1 n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1u.s.w.
Pascalsche Dreieckn! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“
Der Satz kommt aus der Kombinatorik.Die Binomialkoeffizienten im PascalschenDreieck liefern im Grenzfall n →∞ die Normalverteilung (siehe auch GaltonschesBrett).
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Allgemeine Ableitungsregeln
1. Konstante c(c·u)' = c·u'
2. Summe und Differenz(c + u)' = c' + u'
3. Produktregel(u·v)' = u'·v + u·v'(u·v·ϕ)' = u'·v·ϕ + u·v'·ϕ + u·v·ϕ' ...
4. Quotientenregel
u, v, ϕ differenzierbare Funktionen mit u' = du/dx, v' = dv/dx, ϕ'(x) = dϕ/dx, ϕ'(u) = dϕ/du
5. Kettenregelfür zusammengesetzte Funktionenϕ(u), u(x): ϕ' = dϕ/du · u'
6. UmkehrfunktionIst u(x) streng monoton und differenzierbar,dann besitzt u eine eindeutige, monotone und differenzierbare Umkehrfunktion ϕ(u)mit ϕ' = 1/ u'
7. Logarithmische AbleitungHat eine Funktion die Form
ϕ(x) = u(x)v(x),logarithmiert man erst beide Seiten und bildet dann die Ableitung.
2vvuvu
vu ′−′
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ '
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Erste Ableitung einiger Funktionen
y y' Definitions-bereich von y
y y' Definitions-bereich von y
tan = tg, cot = ctg
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Wenn die Funktion f(x) im Intervall (a, b) differenzierbar und für a, b stetig ist, so gilt für mindestens ein ζ aus (a, b)
f '(ζ) = ————— (Mittelwertsatz)
Anschaulich: Die Tangente bei ζ hat die gleiche Steigung wie die Sekante bei a, b.
Spezialfall: f(a) = f(b) = 0, f '(ζ) = 0 (Satz von Rolle)
Andere Form: f(x + Δx) = f(x) + Δx · f '(x + δ·Δx)
mit a = x, b = x + Δx, ζ = x + δ·Δx, δ bestimmte Zahl zwischen 0 und 1
f(b) – f(a)b – a
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Regel von De L`HospitalBauerecker
Mathematische Methoden der Chemie I
Unbestimmte Ausdrücke: 0/0, ∞/∞, 0· ∞, ∞ – ∞Die Funktion φ(x) = f(x) / g(x) mit g(a) = 0 ist bei x = a nicht differenzierbar, f g seien differenzierbarf, g seien differenzierbar.
Hebung der Unbestimmtheit: φ(x) bekommt bei a den Grenzwert
)(f zugeordnet.
Falls f(a) 0, so gilt φ(a) = ∞)()(lim)(lim)(
xgxfxa
axax
0)(f( ) , g φ( )Falls f(a) = 0, so liegt ein unbestimmter Ausdruck vor. Dann gilt die
00
)()(
agaf
)()( xfxf Regel von De L`Hospital
Falls wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w.
)()(lim
)()(lim
xgxf
xgxf
axax
0)(
afFalls wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w.
Entsprechendes gilt für und 0)( ag
)()(
agaf
)()(
agaf
Andere unbestimmte Formen, wie 0· ∞, ∞ – ∞ werden erst auf die Form 0/0 oder ∞/∞gebracht, dann wird die Regel angewendet.
Kurvendiskussion
f(x) = f(–x) symmetrisch zur y-Achse, gerade Funktionf(x) = –f(–x) symmetrisch zum Ursprung, ungerade Fktn.
f(x) = 0 Nullstelle
f '(x) > 0 [f '(x) < 0] monoton steigend [fallend]
f '(x) = 0 und f ''(x) < 0 [f ''(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum]f '(x) = f ''(x) = ... = f (n-1)(x) = 0: n gerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum]n ungerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] Terassenpunkt, fallende [steigende] Kurve
f ''(x) > 0 Linkskrümmung (konkav nach oben)f ''(x) < 0 Rechtskrümmung (konvex nach oben)
f ''(x) = 0 und f '''(x) < 0 Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmungf ''(x) = 0 und f '''(x) > 0 Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Mehrfache Ableitung: Beschleunigung
Weg
Geschwindigkeit(1. Ableitung)
Beschleunigung(2. Ableitung)
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Sätze über bestimmte Integrale
∫∫∫ +=c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫ ⋅=⋅b
a
b
a
dxxgcdxxgc )()(
[ ] ∫∫∫ ±=±b
a
b
a
b
a
dxxfdxxgdxxfxg )()()()(
0)( ,)()( =−= ∫∫∫a
a
a
b
b
a
dxxfdxxfdxxf
∫∫ ♥♥=b
a
b
a
dfdxxf )()(
1. Ein Integral lässt sich aus zwei Integralenbenachbarter Teilintervalle zusammenetzen.
2. Ein konstanter Faktor kann vor das Integralgezogen werden.
3. Das Integral über die Summe [Differenz]zweier Funktionen ist gleich der Summe [Differenz] der Integrale über die einzelnenFunktionen.
4. Die Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.
5. Die Integrationsvariable ist frei wählbar: x, y, ϕ, ♥...
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Unbestimmtes Integral – Fundamentalsatz
Wir fassen die obere Grenze im bestimmten Integral als Variable auf:Dann gilt: ϕ(x) ist differenzierbar (und damit stetig) und
ϕ(x) ist Stammfunktion von f(x) mit ϕ'(x) = f(x).
∫=ϕx
a
duufx )()(
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F '(x) = f(x). Ist F(x) Stammfunktion, so ist es auch F(x) + c (c beliebige Konstante). Das Aufsuchen der Stammfunktion ist dieUmkehrung der Differenziation.
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral von f(x): ∫ += cxFdxxf )()(
Wenn ϕ, F Stammfunktion von f, dann gilt: ϕ(x) = F(x) + c und ∫ +=x
a
cxFduuf )()(
Bestimmung von c: F(a) + c = 0 für x = a. Daher: c = -F(a) und ∫ −=x
a
aFxFduuf )()()(
und dx
xdFxfxFaFbFdxxf ba
b
a
)()(mit )]([)()()( ==−=∫Diese Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral (Fläche zwischen a und b) heißtFundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung.
BauereckerMathematische Methoden I
Integrationsverfahren
Zwei Prozeduren zum Integrieren einer Funktion sind möglich:
a) Berechnung des Integrals über Summendefinition. Unbestimmtes Integral lässt sich möglicherweise als Formel gewinnen.
b) Berechnung des Integrals über Stammfunktion. Fallunterscheidung:
– Stammfunktion existiert, aber nicht als Formel, wie z.B. y = e-x2
⇒ Tabelle, numerische Integration, Reihenentwicklung
– Stammfunktion existiert (Integralverzeichnis Bronstein, Gradshteyn)⇒ Grenzen einsetzen, Integral berechnen
– Stammfunktion existiert, aber Bestimmung schwierig⇒ Integrationsverfahren (Substitution, partielle Integration, Rekursion,Partialbruchzerlegung) müssen angewendet werden. Integrieren ist schwieriger als Differenzieren.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Partielle Integration
u(x) und v(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann gilt:
'')( uvvuvudxd
⋅+⋅=⋅
dxuvdxvuvu ∫∫ ⋅+⋅=⋅ ''
dxuvvudxvu ∫∫ ⋅−⋅=⋅ ''
Integration:
Umformen:
Ziel: Mit dieser Formel kann das linke Integral auf das oft einfachererechte Integral zurückgeführt werden.
Produktregel:
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Partialbruchzerlegung
mm
nn
xbxbbxaxaa
xgxhxf
++++++
==......
)()()(
10
10Satz: Echt gebrochen rationale Funktionen(n < m) lassen sich in eine Summe von Brüchen zerlegen, die man elementar integrieren kann.
1. Fall: g(x) hat m verschiedene reelleNullstellen s1, ..., sm. Dann gilt: m
m
sxA
sxA
sxA
xgxh
−++
−+
−= ...
)()(
2
2
1
1
Falls Nullstelle sk genau g mal auftritt, so ersetzt man g
k
kg
k
k
k
k
k
k
sxA
sxA
sxA
sxA
)(...
)(durch 2
21
−++
−+
−−
2. Fall: g(x) hat m verschiedene(konjugiert) komplexe Nullstellens1 ± i r1, ..., sm ± i rm:
2222
22
222
12
1
11
)(...
)()()()(
mm
mm
rsxCxB
rsxCxB
rsxCxB
xgxh
+−+
+++−
++
+−+
=
Falls Nullstelle sk ± i rk genau g mal auftritt, so ersetzt man
[ ] [ ]gkgkg
kgkg
kk
kk
kk
kk
kk
kk
rsx
CxB
rsxCxB
rsxCxB
rsxCxB
22222
22
2221
21
1122 )(
...)()(
durch )( +−
+++
+−
++
+−+
+−+
Die Ai, Akj, Bi, Bkj, Ci, Ckj sind reelle, eindeutig bestimmte Zahlen, die sich durch Erweiterung der Partialbrüche auf einen gemeinsamen Nenner berechnen lassen (Koeffizientenvergleich).
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Uneigentliche Integrale
Funktion f wird bei p unendlich (Pol). Man kann dann nicht bisp integrieren, darf sich aber p beliebig annähern.
1. Fall: Integral divergiert (wächst über alle Grenzen). Grenzwert existiert nicht. 2. Fall: Integral konvergiert, d. h. Grenzwert existiert:
∫∫ε−
→ε=
p
a
p
a
dxxfdxxf )()(lim0
p x
y
Weitere konvergierende uneigentliche Integrale sind definiert, wenn die Grenzwerteexistieren:
)()(lim ∫∫∞
∞→=
a
b
ab
dxxfdxxf
)()(lim)(lim ∫∫ ∫∞
∞−∞→−∞→
=+ dxxfdxxfdxxfc
a
b
cba
∫∫ε−
→ε=
b
p
b
p
dxxfdxxf )()(lim0und entsprechend:
∫∫∞−
−∞→=
bb
aa
dxxfdxxf )()(lim
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
22,1 rxXk +=≠1)1(2
1XkX
xdxkk −
−=∫ −
Integraltafel
∫∫ −− −−
+−
= 1212 )1(232
)1(2 kkk Xdx
rkk
Xrkx
Xdx
a)
b)
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
(Bronstein, Gradshteyn, Netz, ...)
Definition von Funktionen durch Integrale
Es gibt Funktionen, deren Stammfunktionen existieren, aber nicht geschlossen (als übliche Formel) darstellbar sind.
2
, , ln1 , sin x
x
exe
xxx −Beispiele:
Ihre Integrale definieren „neue“ Funktionen. Diese werden durch numerische Integration oder Reihenentwicklung berechnet (⇒ tabellarische Darstellung).
Beispiel: Fehlerintegral (Error Function)
dtexx
t∫ −
π=
0
22erf 12erf0
2
=π
=∞ ∫∞
− dte t 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
11
1
0
0 3
3
xy erf=
2xey −=
Anwendungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Thermody-namik, ...
BauereckerMathematische Methoden I
Anwendungen Integralrechnung
a bx
y
Kurvenintegral, Bogenlänge s: ∫ ′+=
b
a
dxxgs )(1 2 g stetig
Schwerpunkts-koordinatenvon Flächen-
stücken: ∫
∫
∫
∫ ⋅=
⋅= b
a
b
asb
a
b
as
dxxf
dxxfxfy
dxxf
dxxfxx
)(
)()(21
,)(
)(
1. GuldinscheRegel:
Beispiel Kreisringtorus: V = π r2 · 2 π R = 2 π2 r2 R
Volumen Rotationskörper = rotierende Fläche x Weglänge Flächenschwerpunkt
y = g(x)
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Simpsonsche Regel
Im Vergleich zur Rechteckregel und Trapezregel liefert die Simpsonsche Regel (als stück-weise quadratische Näherung) eine höhere Genauigkeit bei der numerischen Integration.
a x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn = b
1. Parabel2. Parabel
letzteParabelJeweils 2 Streifen werden durch die
Fläche unter einem Parabelbogengebildet. Die einzelnen Parabeln sind jeweils durch 3 Punkte (xa, ya), (x1, y1), (x2, y2), dann(x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), u.s.w.bestimmt.
Es folgt für gerade n:
[ ]bnna
b
a
ffffffffhdxxf ++++++++≈ −−∫ 124321 42...24243
)(
f(x)
…
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Folgen – Konvergenzkriterien
Kriterium 1 (notwendig und hinreichend)Eine Folge ist dann und nur dann konvergent gegen A, wenn in jeder beliebig kleinenUmgebung von A fast alle (also unendlich viele) Glieder liegen und außerhalb nur endlich viele.
Kriterium 2 (notwendig und hinreichend)Eine Folge an konvergiert dann und nur dann gegen A, wenn zu jeder noch so kleinenZahl ε > 0 eine natürliche Zahl existiert, mit |A – an| < ε, für alle n > N.
Kriterium 3 (Cauchy)Eine beschränkte unendliche Folge ist dann und nur dann konvergent, wenn es zujedem noch so kleinen ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, mit |am – an| < ε, für m, n > N.
Kriterium 4 (nur hinreichend, denn es gibt konvergente nichtmonotone Folgen)Ein Folge, die monoton und beschränkt ist, konvergiert.
BauereckerMathematische Methoden I
Unendliche Reihen
Eine unendliche Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden
Partialsummen (Teilsummen):
Die Teilsummen bilden die Folge s1, s2, s3, …Konvergiert diese Folge gegen einen Grenzwert (Summenwert) S, so heißt dieReihe konvergent:
Andernfalls ist sie divergent.
BauereckerMathematische Methoden I
∑∑ ==+++∞
= ii
ii aaaaa
1321 ...
nn aaas
aaasaas
as
+++=
++=+=
=
......
21
3213
212
11
nnii saS
∞→
∞
=
== ∑ lim1
Unendliche Reihen – Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium nach CauchyEine unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass gilt |Sm – Sn| = |un+1 + un+2 + …+ um| < ε, mit m, n > N.
Konvergenzkriterium nach LeibnitzEine alternierende unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Glieder vi
der Reihe monoton abnehmen und ist.
QuotientenkriteriumGilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte Grenzwert nicht, d.h., die Folge |un+1/un| hat mehrere Häufungspunkte, so ist die Reihe konvergent, wenn der größte Häufungspunkt < 1 ist, und divergent, wenn der kleinste Häufungspunkt > 1 ist.
WurzelkriteriumGilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte Grenzwert nicht, so gilt das Analoge wie beim Quotientenkriterium.
∑∞
=1iiu
∑∞
=
−1
)1(i
ii v
0lim =∞→ in
v
kn
uun
n
ii =+
∞→
∞
=∑ 1
n1lim
kuu nn
ii =
∞→
∞
=∑ n1
lim
BauereckerMathematische Methoden I
Integralkriterium
Wenn die Glieder einer Reihe positiv sind und sich als Funktionswerte
ai = f(i), i = 1, 2, …, einer im Intervall x ≥ 1 stetigen, monoton fallenden Funktion
f(x) darstellen lassen, so ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das Integral
konvergiert.
1 2 3 4 5 6 x
y = f(x)
a1 a2 a3 a4 a5 a6 …
y
∑∞
=1iia
∫∞
1
)( dxxf
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Rechnen mit unendlichen Reihen
Assoziatives GesetzBei einer konvergenten Reihe darf man die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen, ohne den Summenwert zu verändern. Das Weglassen von Klammernist nur dann zulässig, wenn die dadurch entstehende Reihe konvergiert.
Kommutatives GesetzEine Vertauschung der Reihenfolge der Glieder einer Reihe ist nur erlaubt, wenn dieReihe absolut konvergiert, also wenn auch konvergiert.
Addition und MultiplikationSind und zwei konvergente Reihen und c eine Konstante, so gilt
Aber gilt nur, wenn die beiden Reihen absolut konvergent sind.
∑∞
=1iia
∑∞
=1iia ∑
∞
=1iib
∑∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+=+=⋅11111
)( und i
ii
iii
ii
ii
i babaacac
∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
⋅=⋅1 111
i j
jij
ji
i baba
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Integration u. Differentiation unendlicher Reihen
∑∫∫∑∞
=
∞
=
=11
)()(i
b
ai
b
a ii dxxfdxxf
Integration und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Reihe in [a,b] gleichmäßig konvergiert und die Funktionen fi(x) in [a,b] stetig sind:
Eine Funktionenreihe , mit s(x) als Summenfunktion, heißt in einem
Intervall I gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem ε > 0 eine von x unabhängigenatürliche Zahl N existiert, so dass | s(x) – sn(x) | < ε für alle n > N(ε) und für jedes
x aus dem Intervall I gilt, wobei .
∑∞
=
=0
)()(i
i xsxf
Differenziation und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Funktionen fi(x) in [a,b] stetige Ableitungen besitzen und die Reihe der abgeleiteten Funktionengleichmäßig konvergiert:
∑∑∞
=
∞
=
=11
)()(i
i
ii dx
xfdxfdxd
∑=
=n
ini xsxf
0)()(
BauereckerMathem. Methoden I
Funktionen zweier Veränderlicher: Stetigkeit
Die δ-Umgebung eines Punktes (x1, y1) bezeichnet alle Punkte innerhalb des Kreismit Zentrum (x1, y1) und Radius δ:
(x – x1)2 + (y – y1)2 < δ2
Die Funktion f(x, y) besitzt an der Stelle (x1, y1) den Grenzwert g, wenn sich zu jedem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so dass für alle Punkte der δ-Umgebung gilt
|f(x, y) - g| < ε , das heißt
Dabei kann man sich (x1, y1) aus beliebiger Richtung nähern!
gyxfyyxx
=→→
),(lim11,
f heißt stetig an Stelle (x1, y1), falls
d.h., falls Grenzwert mit Funktionswert übereinstimmt.
Summe, Produkt, Quotient (Nenner ≠ Null) stetiger Funktionen sind stetig.
),(),(lim 21, 11
yxfyxfyyxx
=→→
BauereckerMathematische Methoden I
Partielle Ableitungen von f(x, y)
Partielle Differenzialquotientenbeschreiben Steigung von f bei (x, y)in x- und y-Richtung (Tangenten-steigungen mit y = konst., x = konst.):
yyxfyyxf
yz
xyxfyxxf
xz
y
x
Δ−Δ+
=∂∂
Δ−Δ+
=∂∂
→Δ
→Δ
),(),(lim
),(),(lim
0
0
• Entsprechung zur Diff‘rechnung von Fktneiner Veränderlichen
• Schreibweise ∂ kennzeichnet besondere Bedin-gung (zweite Variable konstant!)
x
x
y
y
z
z
Tangenteny = konstx = konst
z = f(x, y)
Tangentialebeneaufgespannt durch zwei Tangenten
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Totales Differenzial
(x1,y1)
z
z1
Tangentialebenean (x, y) Totales (vollständiges) Differenzial dz resultiert
aus voneinander unabhängigen Änderungen dx, dy, die, von (x, y) ausgehen und über einenbeliebigen Weg C zum Punkt (x1, y1) =(x+dx, y+dy) führen. Kleine dx, dy bewirkenkleine dz als Änderungen in der Tangentialebene⇒ dz ist Näherung der Änderung von z = f(x, y).
dyyzbdx
xzabadz
∂∂
=∂∂
=+= , ,
dyyzdx
xzdz
∂∂
+∂∂
= ... 33
22
11
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= dxxzdx
xzdx
xzdz⇒ allgemein:
für ,...),,( 321 xxxfz =Lineare Approximation:mit 1 zzdz −=
)(),()(),(111 yy
yyxzxx
xyxzzdzzz −
∂∂
+−∂
∂+=+=⇒−=−= , 11 yydyxxdx
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Differenzierbarkeit von z = f(x, y)
Satz:
Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Tangentialebene an Punkt P = P(x, y, z): Die partiellen Ableitungen in P existieren und sind stetig.
f ist differenzierbar an Stelle (x, y), wenn dort die Tangentialebene existiert.
PGegenbeispiel:An Pyramidenspitze und -kanten existiert keine Tangentialebene. Die „Pyramiden-Oberflächen-Funktion“ist dort nicht differenzierbar. Funktion hat „Spitzen und Kanten“.
Beispiel Rotationsparaboloid: z = x2 + y2 ist in x-y-Ebene differenzierbar. Die partiellen Ableitungen fx = 2x, fy= 2y existieren und sind stetig. Funktion z ist „glatt“.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
22
2
2
)()()()()(
dyfdxdyfdxf
dyy
dyfdxfdx
xdyfdxf
dyydzdx
xdzdzdzd
yyxyxx
yxyx
++=
∂
+∂+
∂
+∂=
∂∂
+∂
∂==
dyfdxfdz yx +=
Totale Differenziale höherer Ordnung
Totales Differenzial 2. Ordnung, z = f(x, y):
Totales Differenzial n-ter Ordnung, z = f(x1, x2, …, xm):
∑=
=+++=m
iixmxxx dxfdxfdxfdxfdz
im1
21 ... 21
zx
dxzdnm
i ii
n⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
⋅= ∑=1
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
dxdu
uz
dxdz
n
nkxu
uz
xz
gfxxxgu
xxxguxxxgu
uuufz
im
i i
k
im
i ik
inmm
n
n
m
∑
∑
=
=
⋅∂∂
=⇒
=
=∂∂
⋅∂∂
=∂∂
⇒
=
==
=
1
1
21
2122
2111
21
s.o.) Ableitung, he(gewöhnlic 1 Sonderfall
,...,2,1
Fktn barediff' sind , ),,...,,(...
),...,,(),...,,(mit ),...,,(
yv
vz
yu
uz
yz
xv
vz
xu
uz
xz
∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
=∂∂
∂∂
⋅∂∂
+∂∂
⋅∂∂
=∂∂
5. Ableitung mittelbarer Funktionen
Mittelbare (zusammenges.) Fktn mit 2 Variablen:Differenziation (Satz):
Verallgemeinerte Kettenregel
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
),(),,(mit ),( yxhvyxguvufz ===
Kettenregel für part. Ableitungen
Funktionaldeterminante
Die beiden Funktionen u = g(x, y), v = h(x, y) vermitteln eine Abbildung von Bereichen der x-y-Ebene auf Bereiche der u-v-Ebene.
xv
yu
yv
xu
yv
xv
yu
xu
yxvuyxD
∂∂
⋅∂∂
−∂∂
⋅∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
=),(),(),(
Definition Funktionaldeterminante (Jacobideterminante):
Anschauliche Bedeutung von D: Eine kleineFläche F wird in F`transformiert durch dydxyxDdvdu
FF⋅⋅=⋅
′
),(
Für D ≠ 0 ist Abbildung umkehrbar (Vorauss. g, h besitzen stetige Ableitungen), d.h. f1, f2 mit x = f1(u, v), y = f2(u, v) existieren.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
9. Extremwerte
Die Funktion z = f(x, y) besitzt in (x0, y0) ein relatives Maximum [Minimum], wenn für dem Betrag nach kleine aber sonst beliebige Δx, Δy gilt:
f(x0+Δx, y0+Δy) – f(x0, y0) < 0 Maximum [ > 0 Minimum]
Anschauliche Bedeutung: Bewegung weg vom Maximum führt immer zu einer Ver-ringerung von f, egal in welcher Richtung man sich bewegt (Minimum entsprechend).
Fallunterscheidung mit Hilfe der partiellen Ableitungen fx, fy, fxy, fxx, fyyan der Stelle (x0, y0), mit Δ = fxx·fyy – fxy
2 :
fx = fy = 0 Notwendige Voraussetzung für Extremwert.Tangentialebene ist parallel zur x-y-Ebene.
fxx < 0, Δ > 0 rel. Maximumfxx > 0, Δ > 0 rel. Minimumfxx ≠ 0, Δ < 0 Sattelpunktfxx ≠ 0, Δ = 0 nicht entscheidbarfxx = 0, fxy≠ 0 Sattelpunktfxx = 0, fxy= 0 nicht entscheidbar
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
Funktion: z = f(x, y), Nebenbedingung: g(x, y) = 0 ⇒ dg = 0 (1)Notwendige Voraussetzung für Extremwert: dz = 0 (2)Aus (1), (2) folgt: fxdx + fydy = 0 (3)
gxdx + gydy = 0 (4)Multiplikation von (4) mit der Konstanten λund Addition von (3) und (4) (fx + λgx)dx + (fy + λgy)dy = 0 (5)
⇒ fx + λgx = 0fy + λgy = 0g = 0
3 Bestimmungsgleichungen für Extremwert(e) f(x0, y0)
Bei Verallgemeinerung auf eine Funktion f mit n Variablen x1…xn und m Neben-bedingungen λ1… λm hat die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Vorteile gegenüber den anderen beiden Methoden. Man berechnet die Größen x1…xn, λ1… λmaus den n + m Gleichungen:
mjg
nkgf
j
m
iixix kk
...1 ,0
...1 ,01
==
==+ ∑=
λ
Berechnung von Extremwerten unter Nebenbedingungen
BauereckerMathematische Methoden I
Integralrechnung v. Fktn. mehrerer Veränderl.
Beispiele von Integrationsbereichen in Ortskoordinaten x, y, z:
Übersicht Integrale
C KurvenstückA Flächenbereich, z.B. RechteckV Volumenbereich, z.B. Quader
Bsp.: ∫=A
dAyxfz ),(
z entspricht „Volumen“ unterräuml. Fläche f(x, y), die durchFlächenbereich A definiert ist.
Flächenbereich A
nach M. Stockhausen
BauereckerMathematische Methoden I
Einfaches Integral über Fktn mit zwei Variablen
Satz 1:
Wenn f(x,y) im abgeschlossenen, rechteckigen Integrationsbereich c ≤ x ≤ d,
a ≤ y ≤ b stetig ist, so ist auch eine stetige Funktion von x.
(Integration bewahrt Stetigkeit einer Funktion).
dyx
yxfdyyxfdxdxg
b
a
b
a∫∫ ∂
∂==′ ),(),()(
Satz 2:
Wenn f(x, y) und fx(x, y) im Bereich c ≤ x ≤ d, a ≤ y ≤ b existieren und stetig sind,
so ist in [c, d] nach x differenzierbar und Differentiation
und Integration können vertauscht werden:
∫=b
a
dyyxfxg ),()(
∫=b
a
dyyxfxg ),()(
BauereckerMathem. Methoden I
Zweidimensionales Bereichsintegral
Berechnung des Volumens V des Säulenkörpers
Die x-y-Ebene wird durch Parallelen zur y-Achse(bestimmt durch x-Werte x0, x1, …, xi, …, xn) und durch Parallelen zur x-Achse (bestimmt durch y-Wertey0, y1, …, yj, …, ym) zu einem Gitternetz zerlegt.
Der Säulenkörper wird durch Quaderstücke mit Teilvo-lumina f(xi, yj)·Δxi·Δyjzusammengesetzt (Summenbildung).Wir wählen gleich breite Quader: Δxi = Δx, Δyj = Δy.
Deckfläche D ist bestimmt durch z = f(x, y).
f(x, y) ist nur im einfach zusammenhängendenBereich B definiert, f = 0 außerhalb von B.
Im Grenzwert n, m → ∞ erhalten wir das exakte Volumen, das man Bereichsintegral von f über den Bereich B nennt:
∑∑∫∫= =
∞→∞→ΔΔ==
m
j
n
iji
Bmn
yxyxfdxdyyxfV1 1
),(limlim),(
Analogie zum 1dimensionalen Fall!
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Dreidimensionales Bereichsintegral
Berechnung des Integrals I durch Aufsum-mierung von Volumenelementen
Der Integrationsbereich B3 wird in kleine Quader mit den Volumina Δxi·Δyj·Δzk zerlegt. Man integriert zuerst überz bei konstanten x, y zwischen den Begrenzungsflächen u1(x, y) und u2(x, y), dann über y bei konstantem x zwi-schen den begrenzenden Kurven v1(x) und v2(x) und schließlich über x zwischen den Grenzen a und b.
In B3 wird jedem Volumenelementein Wert w = f(x, y, z) zugeordnet.
Im Grenzwert n, m, p → ∞ erhalten wir dasBereichsintegral von f über den Bereich B3:
∫∫∫∫ ∫ ∫
∑∑∑
==
=ΔΔΔ== = =
∞→∞→∞→
3
2
1
2
1
),,(),,(
),,(limlimlim
)(
)(
),(
),(
1 1 1
B
b
a
xv
xv
yxu
yxu
k
m
i
n
j
p
kjikjipmn
dxdydzzyxfdzdydxzyxf
zyxzyxfI
Veranschaulichung: f beschreibt eine Dichteverteilung innerhalb des Volu-mens B3. Das Integral I ist die Gesamtmasse im Volumen.
Diese Überlegungen lassen sich entsprechend auf Bereichsintegrale höherer Dimension übertragen.
u2(x, y)
u1(x, y)v2(x)
v1(x)
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Mehrdim. Integrale - Variablentransformation
Ziel ist es,
die durch x = g(u, v), y = h(u, v) gegebene Transformation im Integral
durchzuführen. Die Transformation sei eineindeutig (Abbildung
umkehrbar), d.h. im Bereich B gilt für die Funktionaldeterminante
Es folgt (ohne Beweis):
⇒ vereinfacht oft die Bereichsgrenzen und damit die Integration
Integrationsbereich günstiges KoordinatensystemRechteck 2dimensionale kartesische KoordinatenKreis PolarkoordinatenEllipse elliptische KoordinatenQuader 3dimensionale kartesische KoordinatenZylinder ZylinderkoordinatenKugel Kugelkoordinaten
∫∫∫∫ ∂∂
=BB
dudvvuyxvuhvugfdxdyyxf),(),()],(),,([),(
∫∫B
dxdyyxf ),(
.0),(),(
≠∂∂
vuyx
BauereckerMathematische Methoden I
Volumenintegrale
2 Möglichkeiten zur Volumenberechnung
A) Differenz der Volumina unter den Flächen u2(x, y) und u1(x, y), über Flächenbereich B:
∫∫
∫∫∫∫−=
−=
B
BB
dxdyyxuyxu
dxdyyxudxdyyxuV
)),(),((
),(),(
12
12
B) Berechnung durch Dreifachintegral über Volumen-bereich B3 (f(x, y, z) = 1 innerhalb von B3):
dydxyxuyxu
dzdydxdxdydzV
b
a
xv
xv
b
a
xv
xv
yxu
yxuB
∫ ∫
∫ ∫ ∫∫∫∫
−=
===
)),(),((( 12
)(
)(
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
2
13
u2(x, y)
u1(x, y)v2(x)
v1(x)B
Man erkennt, dass A) und B) auf das gleiche Flächenintegral hinauslaufen.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Physikalische Anwendungen
dVmB
∫∫∫= ρMasse eines Körpers (ρ(x, y, z) ist ortsabhängige Dichte)
Schwerpunktskoordinaten zdVm
zydVm
yxdVm
xB
sB
sB
s ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ 1,1,1
Statische Momente (Drehmomen-te) als 1. Momente bzgl. der x-,y-, z-Achse, g Erdbeschleunigung
zdVgMydVgMxdVgMB
zB
yB
x ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ ,,
dVyxI
dVzxIdVzyI
Bz
By
Bx
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫+=
+=+=
ρ
ρρ
)(
)(,)(
22
2222
Trägheitsmomente als 2. Momente bezüglich der x-, y-, und z-Achse
Trägheitsmoment eines ebenen Bereichs bezüglich der z-Achse(ρ(x, y) Flächendichte)
dAyxIB∫∫ += ρ)( 22
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Kurvenintegral (Linienintegral)
Die Funktion z = f(x, y) sei im Be-reich B der x-y-Ebene stetig. In B sei eine Kurve C mit Richtungssinn(siehe Pfeil) gegeben.
Die Kurve C wird durch die Punkte Pi in kleine Linienstücke unterteilt. Die x-Abstände zweier benachbarter Punkte seienmit Δx = xi – xi-1 gleich groß. Durch Aufsummieren der Flächenstücke f(xi, yi)·Δxi erhält man im Grenzfall n → ∞das Kurvenintegral
∑∫=
∞→Δ==
n
iiii
Cnx xyxfdxyxfI
1
),(lim),(
Das Vorzeichen der Integrale ändert sich mit der Pfeilrich-tung von C. Bei Zerlegung von C in 2 Teilkurven addiert sich das Kurvenintegral aus den beiden Teilintegralen.
Entsprechend unter Verwendung der y-Werte:
∑∫=
∞→Δ==
n
iiii
Cny yyxfdyyxfI
1),(lim),(
Geometrische Interpretation: Das Kurvenintegral ist die auf die x-z-Ebene (y-z-Ebene) projizierte Fläche zwischen K und C.
Ix und Iy sind i. allg. nicht gleich!
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Kurvenintegral II
mit x = x(t), y = y(t), dx = x′dt, dy = y′dt,t1, t2 Anfangs- und Endwerte zu Kurve C
Allgemeines Kurvenintegral:
Vektorform
Anwendung: Berechnung der Arbeit, die eine ortsabhängige Kraft längs eines Weges C leistet. Wichtig in Thermodynamik, Mechanik und Vektorrechnung!
Weitere wichtige Form des Kurvenintegrals:
2222 ,)(')('))(),((),(2
1
dydxdsdttytxtytxfdsyxft
tC
+=⋅+⋅= ∫∫ Bogenelement
Sonderfall Bogenlänge s (f(t) = 1):
∫∫ ⋅+==2
1
22 )(')('t
tC
dttytxdss Entsprechend Erweiterung auf 3 Dimensionen.
),,(),,,(
),,()),,(),,(),,((
dzdydxaaa
zyxdzzyxadyzyxadxzyxa
zyx
CCzyx
==
=++ ∫∫dsa
dsa
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals
Ein 2dimensionales Kurvenintegral K sei über eine Kurve C in einem einfach zusammenhängenden Bereich (keine Löcher) über zwei Funktionen: P(x, y), Q(x, y) gegeben:
∫ +=C
QdyPdx K )(
Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für die Wegunabhängigkeit von K ist: x
QyP
∂∂
=∂∂
Folgerungen:
F kann bis auf die Fktn g(y) und h(x) aus P und Q bestimmt werden:
Satz: K ist wegunabhängig, wenn eine Stammfunktion (Potentialfunktion) F(x, y) = z existiert, mit: yx FQFP == ,
∫∫ +=+= )(),( xhQdyFygPdxF
Das Kurvenintegral K läßt sich auch durch dastotale (vollständige, exakte) Differential dz = Fxdx + Fydy = Pdx + Qdy ausdrücken:
∫∫ =+=CC
dzQdyPdx K )(
Für eine geschlossene Kurve C ist das Ringintegral null: ∫ ∫ ==+ 0,0)( dzQdyPdx
BauereckerMathematische Methoden I
Anwendungen von Differenzialgleichungen
Weitere Beispiele:
Gewöhnliche Dgln- Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiverZerfall)
- Chemische Reaktionen
Partielle Dgln- Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität(Transport-Gl.)
- Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.) - Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.)- Kontinuitäts- und Strömungs-Gl. (Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.)
- Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.)- Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)
Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie, Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellenals mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!
Quelle: E. Kreyszig
BauereckerMathematische Methoden I
Systeme von gewöhnl. Differenzialgleichungen
,0),...,,,...,,,...,,(...
,0),...,,,...,,,...,,(
,0),...,,,...,,,...,,(
)()(22
)(11
)()(22
)(112
)()(22
)(111
=
=
=
nmm
nnm
nmm
nn
nmm
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxF
yyyyyyxF
m Bedingungsgleichungen der Form
führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimmung von m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).
Beispiel: Differenzialgleichungssystem:
Lösung 1:
Lösung 2:
axayaxy cos ,sin 21 ⋅==
axayaxy sin ,cos 21 ⋅=−=
0 0
12
12
=′−=⋅+′
yyyay
Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene Funktionensysteme gelöst werden.
BauereckerMathematische Methoden I
Gewöhnliche Dgln erster Ordnung
Existenz von Lösungen
F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)
Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dglsind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg.
Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgnzu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll,reduziert man die Lsgn auf eine einzige.
Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nachy′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).
Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky.Hier ist die Steigung nur von yabhängig.
Linienelement
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Homogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = 0 Inhomogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = g(x) g(x) heißt Störterm
Lösung der inhomogenen linearen Dgl
Wichtiger Satz:Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dgl und einem partikulären Intergral der inhomogenen Dgl.
Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln:1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch Trennung der Variablen). 2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl(z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten). 3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0
Alternative:Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Exakte Differenzialgleichung
}liefern g(y) und h(x) durch Vergleich
Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen
heißt exakt, wenn gilt:
Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, mit F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q. F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) undliefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):
0),(),( 0),(),( ),(),(
=′⋅+⇔=+⇔−=′ yyxQyxPdyyxQdxyxPyxQyxPy
xy QPxQ
yP
=⇔∂∂
=∂∂
∫
∫∫∫+=
+=+==
)(
)()(
xhQdy
ygPdxQdyPdx dzFCC
Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrie-render Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:
Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:
)()(xQ
yP
∂∂
=∂
∂ μμ
konstQdyPdxFC
=+= ∫ )( μμ
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Gewöhnliche lineare Dgl n-ter OrdnungForm: y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x)
Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogenSätze:
1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige) Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist. Sie bilden das fundamentale Lösungssystem. 0
...............
...
...
)1()1(2
)1(1
21
21
≠′′′
−−− nn
nn
n
n
yyy
yyyyyy
2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination dermit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems(Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)
3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral derhomogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstantenbestimmbar) der inhomogenen Dgl.
4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)
angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)
erfüllt sein sollen.
Wronski-Determinante
BauereckerMathematische Methoden I
Dgl: Gedämpfte freie Schwingung
x
t
x
t
Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:
Lösungs-ansatz:
teAx ⋅⋅= λ
222/1 ωλ −±−= KK
Charakter.Gleichung:
tt eAxeAx ⋅⋅ ⋅⋅=′′⋅⋅=′ λλ λλ 2 ,
Lösungen:
)(
)(
)(
2222
2222
2222
21
21
21
tKtKKt
tKtKKt
tKtKKt
etAeAex
eAeAex
eAeAex
ωω
ωω
ωω
−−−−
−−−−
−−−−
⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=
⋅+⋅= λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingung
λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall
λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfall
02 0 2 =⋅+′⋅+′′⇔=⋅+′⋅+′′⋅ xxKxxDxbxm ωTrägheitskraft m·x′′Reibungskraft – b·x′Federkraft – D·xAbklingkoeffizient K = b/2mKreisfrequenz ω = (D/m)1/2
Konstanten A, A1, A2
Gedämpfte Schwingung Kriechfall
AperiodischerGrenzfall
Einsetzen in Dgl ⇒
Einhül-lende
Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)
BauereckerMathematische Methoden der Chemie I
Dgl: Erzwungene SchwingungAnregung System mit äußerer Kraft F0·cos ωkt:
Ansatz part.Integral:
ti kex ωα ⋅=
2222220
220 2tan ,)2()( ,
2 k
kkk
i
kk
KKrer
KKi
Kωω
ωϕωωωωωω
α ϕ
−=+−=⋅=
+−= −
ti keKxxKx ωω ⋅=⋅+′⋅+′′ 022
Anregende Kraft F0 = K0·mAnregende Beschleunigung K0Anregende Kreisfrequenz ωkAbklingkoeffizient K = c·mDämpfungskonstante c = bEigenkreisfrequenz System ωAmplitudenverstärkung C*Konstanten α, A1, A2
x mit Ableitungen in Dgl einsetzen,komplexen Nenner in Polarko-ordinaten darstellen :
Inhomo-gene Dgl:
AllgemeineLösung:
)cos()2()(
)(2222
021
2222
ϕωωωω
ωω −⋅+−
+⋅+⋅= −−−− tK
KeAeAex k
kk
tKtKKt
Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral
C* Einschwingvorgang
ωk/ω
Resonanz bei ωk → ωbesonders bei K → 0!
ϕ
ωk/ω
Phasenverschiebung ϕzw. System u. Anregung
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