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Seite 1, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Stand: Februar 2016
Prof. Dr. Sigurd Bauerecker, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Hans-Sommer-Str. 10, Ruf 0531/391-5336, s.bauerecker@tu-bs.de, https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre oder Googeln: „Bauerecker + Lehre“ Winter-Semester 2015/16: 4 h Vorlesung, Mo u. Mi 8:00 – 9:30, PK2.1, 2 h Übung: Donnerstag, 8:00 - 9:30 Uhr (Biotechnologie, CuV), Freitag, 8:00 - 9:30 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie) Klausur: Mo 15.02.16 (Chemie, Lebensmittelchemie, CuV) Klausur: Mo 14.03.16 (Chemie, Lebensmittelchemie, CuV, Biotechnologie) Sommer-Semester 2016: 2 h Vorlesung, 1 h Übung
Mathematische Methoden der Chemie I (BSc Chemie, Biotechnologie, Lebensmittelchemie, CuV)
Vorlesung WiSe 2015/16
Seite 2, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Klausuren
Klausuren 3stündig (außer bei Biotechnologie, dort 4stündig). Es sind keine Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur erlaubt, außer Kugelschreiber und von uns gestelltes Papier. Achtung: Verbindlich sind die (Termin-)Angaben, die Sie im jeweiligen Studiendekanat bekommen!
Zi24.1, Zi24.2
Seite 3, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gruppeneinteilung Tutorien Mathe 1, WS 2015/16
Donnerstag, 8:00 - 9:30 Uhr (Biotechnologie, CuV) Kurs 1 SN 20.2 Jesús Andrés Duarte Kurs 2 PK 3.4 Alexander Hautke Kurs 3 RR 58.2 Simeon Renner Kurs 4 RR 58.4 Dominik Körner Freitag, 8:00 - 9:30 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie) Kurs 1 PK 14.3 Manuel Hohgardt (Raum 315 im Forumsgebäude, Pockelsstr. 14) Kurs 2 HR 30.1 Thorben Höltkemeier Kurs 3 HR 30.2 Artem Kalinin Kurs 4 RR 58.3 Hannah Schünemann
Seite 4, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Zusatz-Tutorium u. Mathe-Vorkurs WS 2015/16
Zusatz-Tutorium Beginn: Dienstag 10.11.2015, 18:15 Uhr, Zeit kann ev. geändert werden Ort: PC-Seminarraum des Instituts für Physikalische und Theoretische Chemie (HR10.2, Raum 119), Hans-Sommer-Str. 10 Kursleiter: Thorben Höltkemeier Bitte keine Scheu! Mathe-Vorkurs (aus Institutsmitteln) Bitte Skript noch mal durchgehen/rechnen!
Seite 5, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Literatur & Lehrmaterial Grundlegend für Vorlesung: A. Jüngel, H. G. Zachmann: Mathematik für Chemiker. VCH, 7. Auflage, 2014, 737 S. G. Brunner, R. Brück: Mathematik für Chemiker. Springer, 3. Auflage, 2013, 373 S. M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995, 456 S. L. Papula: Mathematik für Ingenieure u. Naturwissenschaftler Bd. 1. Vieweg+Teubner, 13. Aufl., 2011, 850 S., online herunterladbar im Unibereich, 5 MB! → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-8285-1 Nützlich, um Funktionsgraphen zu zeichnen: rechneronline.de/funktionsgraphen Weitere: H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1975/2012, 296 S. B. Frank, W. Schulz, W. Tietz: Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und Wissen, 1998, 368 S. E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and Sons, 2010, 1280 S. K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2003, 548 S. W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S. S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S. E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 680 S. Tabellenwerke: I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Europa-Lehrmittel, 9. Auflage, 2013, 1280 S., auch als E. Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik. Springer Vieweg, 3. Aufl. 2012, 1310 S., online herunterladbar im Unibereich, 11 MB → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-2359-5 J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992 Netzseite Bauerecker: Teil der Vorlesung in Form von Folien, wird im Verlauf des WS ergänzt.
Stand: WS 2015/16
Seite 6, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Folienzusammenstellung zur Vorlesung Die folgende Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und mag Fehler enthalten. So freue ich mich über jeden Hinweis.
• Eigeninitiative! • Übungen noch wichtiger als Vorlesung! • Zusatztutorium, wenn nötig! • Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen. • Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz
Empfehlungen
Seite 7, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Über Mathematik
Mathematik ist Geisteswissenschaft ⇒ Beweise, Sätze für immer gültig Chemie, Physik, Biologie sind Naturwissenschaften ⇒ hier Hypothesen, Theorien, Erfahrungssätze (z.B. 2. Hauptsatz der Thermodynamik) Mathematische Strukturen existieren unabhängig von der dinghaften Welt, aber sie beschreiben in erstaunlich vielfältiger u. treffender Weise weite Bereiche unserer Welt! Besonders im Großen (⇒ ) Und im Kleinen (⇒ ) Aber auch sonst, siehe Beispiele Tafel. ⇒ Vielfältige Anwendbarkeit der mathematischen Strukturen (hier Gleichungen) ⇒ Bezug zur Philosophie: „Mathematik als Sprache der Natur“
Relativitätstheorie Quantentheorie
Streng genommen „machen“ wir gar keine Mathematik. Wir bringen sie praxisbezogen für den Chemiker. Kaum Beweise.
Seite 8, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Beispiel Median und Durchschnitt
„Oder warum Grundkenntnisse der Mathematik helfen, die Welt besser zu verstehen“.
Quelle: F.A.Z./EZB, http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/wirtschaftspolitik/armut-und-reichtum/ezb-umfrage-deutsche-sind-die-aermsten-im-euroraum-12142944.html
Seite 9, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Mathematische Methoden der Chemie I • Zahlen (2 h)
• Funktionen (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)
• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)
• Folgen und Reihen (4 h)
• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (8 h)
• Integralrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (6 h)
• Differentialgleichungen (8 h)
∑ = 56 h = 14 Wochen
Mathematische Methoden der Chemie II • Vektoralgebra und -geometrie (6 h)
• Vektoranalysis (4 h)
• Matrizen, Determinanten (6 h)
• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)
• Koordinatentransformationen (2 h?)
• Einführung in Mathematica (2 h?)
• Fehlerrechnung?
• Funktionentheorie?
• Gruppentheorie?
• Numerische Methoden?
∑ = 28 h = 14 Wochen
Inhaltsübersicht der Vorlesungen
Seite 10, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Griechisches Alphabet
Seite 11, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Rationale Zahlen
Die Division führt wesentlich aus den ganzen Zahlen heraus. ⇒ Bestreben, Division uneingeschränkt durchführen zu können, führt zur Erweiterung der Rationalen Zahlen. Dies sind alle durch m/n darstellbare Zahlen (also auch die ganzen Zahlen). n muss ungleich 0 sein, weil die Division durch 0 unsinnig und nicht erlaubt ist! p = m/n ist gleichbedeutend mit n ⋅ p = m Kürzung von Brüchen, z.B. Addition (Erweiterung der Summanden) Rationale Zahlen sind geordnet: p = m/n ist größer als q = k/l wenn p – q > 0 ist.
nllmnk
nm
lk
⋅⋅+⋅
=+
25
410
820
==
Wichtiger Satz: Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden überall dicht. (D.h., in jedem noch so kleinen Teilstück liegen rationale Zahlen).
Seite 12, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Reelle Zahlen
Weitere Zahlen auf der Zahlengeraden sind die Wurzeln die transzentdenten Zahlen Wurzeln, z.B. √2, sind nicht als rationale Zahlen darstellbar. Sie können jedoch beliebig genau – nicht exakt! – durch rationale Zahlen angenähert werden. Transzendente Zahlen, z.B. π = 3,1415… und e = 2,7182…, sind wiederum weder als Wurzel noch als rationale Zahlen darstellbar. Sie werden durch unendliche Reihen definiert.
Irrationale Zahlen
Rationale Zahlen
Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Sie bedecken die
Zahlengerade vollständig.
Seite 13, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Intervalle
Intervalle zwischen a und b umfassen alle reellen Zahlen zwischen diesen Grenzen. Offenes Intervall (a, b)
Links offenes Intervall (a, b]
Rechts offenes Intervall [a, b)
Geschlossenes Intervall [a, b]
Eckige Klammer „[“: Grenze dabei
Runde Klammer „(“: Grenze nicht dabei
Seite 14, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
In Praxis bedeutsame Logarithmen
Natürlicher Logarithmus: logep = ln p, Basis e = 2,7182…
Dekadischer Logarithmus: log10p = lg p, Basis 10
„Zweier“-Logarithmus: log2p = ld p, Basis 2
Beispiel Basisumrechnung vom natürlichen in dekadischen Logarithmus (Gleichung und Ableitung siehe Vorlesung): logep = loge10 ⋅ log10p ⇒
10lnlnlg pp =
Seite 15, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Jeder komplexen Zahl z = a + bi entspricht ein geordnetes Paar von reellen Zahlen (a,b). z* = a – bi heißt konjugiert komplexe Zahl zu z = a + bi. Offensichtlich ist auch z konjugiert komplex zu z*. (Man spiegelt an reeller Achse). a) Betrag , geometrisch ist das nach Pythagoras die Länge der Strecke von 0 nach z. b) Gleichheit. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in Realteil a = Re(z) und Imaginärteil b = Im(z) übereinstimmen. Größer- und Kleiner-Beziehungen gelten nicht ohne weiteres (nur über Betrag). c) Addition z = z1+ z2 = a1 + b1i + a2 + b2i = (a1+a2) + (b1+b2)i = a + bi Damit kann man die Addition komplexer Zahlen als Aneinanderreihen von Zahlenpfeilen in der Gaußschen Zahlenebene auffassen (Vektoraddition). d) Multiplikation, siehe Vorlesung. e) Division, siehe Vorlesung. Komplexe Zahlen erweisen sich als sehr wichtig, insbesondere in der Quantenchemie.
22 baz +=
Rechnen mit komplexen Zahlen
Seite 16, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Eulersche Formel
Komplexe Zahlen lassen sich über die Eulersche Formel in Polardarstellung schreiben: mit Die Herleitung erfolgt (später) aus der Reihenentwicklung der trigonometrischen Funktionen.
φφφ sincos iei +=
φφφ iezizibaz ⋅=+⋅=+= )sin(cos
φ
φ
sin
cos
⋅=
⋅=
zb
za
Seite 17, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Produkte und Produkte von Summen
d) Produkte von Summen
∑∑∑∑= ===
=⋅n
mi
l
kjji
l
kjj
n
mii baba
hängt nicht von j ab ⇒ kann aus Summe herausgezogen werden
Aber, bei gleichen Indices muss erst ein Index umbenannt werden (bitte an Bsp. selbst nachvollziehen):
∑∑∑∑∑∑= == ===
≠=⋅n
mi
l
kiii
n
mi
l
kjji
l
kii
n
mii bababa
Produktzeichen Man liest: „Produkt über alle ak von k gleich 1 bis n“.
∏=
=⋅⋅⋅⋅n
kkn aaaaa
1321 ...
Seite 18, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Rechnen mit Ungleichungen
„äquivalent, gleichbedeutend“ ⇔ „aus a folgt b“ a ⇒ b „a größer b“ a > b ⇔ a – b > 0 „a größer/gleich b“ a ≥ b ⇔ a – b ≥ 0 „a kleiner b“ a < b ⇔ a – b < 0 „a kleiner/gleich b“ a ≤ b ⇔ a – b ≤ 0
a) a > b ⇒ a + c > b + c für jede reelle Zahl, es gilt auch ac > bc für c > 0, aber ac < bc für c < 0 a > b ⇒ - a < - b (Addition, Multiplikation mit Zahl)
b) a > b und c > d ⇒ a + c > b + d (Addition zweier Ungleichungen)
c) a, b, c, d positiv, dann gilt: a > b und c > d ⇒ ac > bd (Multiplikation zweier Ungleichungen)
d) a > b ⇒ 1/a < 1/b für a, b > 0 (Stürzen einer Ungleichung)
e) a > b ⇒ √a > √b (Wurzelbildung)
f) |x+y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung: Im Dreieck ist eine beliebige Seite stets kleiner als die Summe der anderen Seiten), gilt für reelle und komplexe Zahlen
Seite 19, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt Definitionsbereich (Domäne) der Funktion. Sämtliche y bilden zusammen den Wertebereich (Wertevorrat) der Funktion. Wichtig an Funktionen ist die ihr eigene Zuordnungsvorschrift, nicht die Art der verwendeten Symbole (x, y, f, g, p, q, δ, φ, ♣,♥, ...). Diese hängen meist mit physikalischen oder chemischen Sachverhalten zusammen, z.B. v = v(t) Geschwindigkeit als Funktion der Zeit p = p(T) Druck als Funktion der Temperatur Die Erweiterung auf mehrere unabhängige Variable ist möglich: y = f(x1,x2, … xn), z.B. p = n/V⋅RT ideales Gasgesetz
Funktionen: Definitions- und Wertebereich
Seite 20, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Beispiel: y = x3 Jedem Wert x wird ein Wert y zugeordnet. Umgekehrt kann jedem y genau ein x zugeordnet werden. Auflösung nach x: ist Umkehrfunktion zu y = x3. Umgekehrt gilt auch: y = x3 ist Umkehrfunktion zu
Umkehrfunktion implizit = „inbegriffen“
Quelle: Rechneronline.de
3/13 yyx ==
3 yx =
3 xy =3xy =
Umkehr- funktion
Seite 21, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
ϕ ist Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu f, wenn f und ϕ eindeutige Funktionen sind und y = f(x) nach x = ϕ(y) auflösbar sind. Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. Grafisch wird die Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gebildet. Sie ist dieselbe Funktion, nur gespiegelt.
Umkehrfunktion Definition
3 xy =
3xy =
Quelle: Rechneronline.de
Seite 22, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Die Gleichungen y = f(x) und x = ϕ(y) nennt man explizite Darstellung der Funktionen f und ϕ , die grundsätzlich gleichberechtigt sind. Bringt man alle Glieder der Gleichungen auf die linke Seite, also y – f(x) = 0, x – ϕ(y) = 0, so ergibt sich die implizite Darstellung F(x, y) = 0, die beide Funktionen implizit angibt. Die implizite Darstellung einer Funktion ist also allgemeiner als die explizite.
Implizite Darstellung
Seite 23, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Nullstellen sind x-Werte für die y = f(x) = 0 ist. Funktionen heißen monoton wachsend, wenn f(x1) ≥ f(x2) für x1 > x2, streng monoton wachsend, wenn f(x1) > f(x2) für x1 > x2, (streng) monoton fallend analog. Eine Funktion ist gerade (symmetrisch zur y-Achse), wenn f(x) = f(– x), Beispiel: y = x2. Eine Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung), wenn f(x) = –f(– x), Beispiel: y = x3. Eine Funktion ist periodisch mit Periode p, wenn f(x) = f(x+p), Beispiel: y = sinx. Die Variable y durchläuft mit wachsendem x immer wieder dieselben Werte.
Charakterisierung von Funktionen
Seite 24, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Zwei Arten: • Algebraische Funktionen bauen sich aus Polynomen der Variablen auf. Die
implizite Funktion P(x,y) = 0 mit P(x,y) als beliebiges Polynom in x und y heißt algebraische Funktion. Diese allgemeine Form umfasst auch Wurzeln.
Beispiel 1: y2 – x2 + 3xy – 2 = 0
Beispiel 2a: y3 – x = 0 definiert die algebraischen Funktion
Beispiel 2b: y2 + 2xy – 3 = 0 definiert
• Transzendente Funktionen sind die nicht-algebraischen Funktionen.
Beispiele: y = cosx, y = ex, y = lnx
Einige wichtige Funktionen
32 +±−= xxy
3 xy =
Seite 25, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Wir betrachten ein allgemeines Polynom als Gleichung n-ten Grades in x. Die ai und die x können komplex sein:
xn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = 0
Diese Gleichung hat genau n Lösungen (Wurzeln) x1, x2, ..., xn, mit denen sie sich in ein Produkt mit n Faktoren zerlegen läßt:
(x – x1)·(x – x2)·... (x – xn) = 0
Beide Gleichungen sind äquivalent (gleichwertig, Symbol ⇔).
Wenn eine Lösung xi bekannt ist, so kommt man durch Teilen durch (x – xi) auf eine Gleichung vom Grad n – 1. Die Lösungen lassen sich durch Formeln nur für Gleichungen bis Grad 4 darstellen. Für höhere Grade benutzt man numerische Methoden.
Der Fundamentalsatz sagt nur, dass Lösungen existieren und nicht wie man sie findet. Sie können teilweise oder vollständig zusammenfallen.
(GAUSS, 1799)
b) Fundamentalsatz der Algebra
Quelle: 10 DM Schein
Seite 26, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kreis (Radius r)
Ellipse (Halbachsen a, b)
Parabel (Distribution)
Hyperbel ( n ungerade, n gerade)
Parabeln n-ten Grades ( n ungerade, n gerade, n ≥ 1)
Gerade
Reaktionskinetik nach Michaelis-Menten
Spektrallinie, Lorentz-Form d. Frequenzverteilung
Zwischenmolekul. Potential nach Lennard-Jones
nach M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker
Algebraische Funktionen
Seite 27, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gaußfunktion
(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)
2xey ⋅−⋅= α
πα
• geht für x → ± ∞ gegen 0 • hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0 • ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)
• Form hängt nur von Parameter α ab, • je größer α, desto steiler die Glockenkurve • Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als Normalverteilung
Quelle: Rechneronline.de
Seite 28, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gaußfunktion
(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)
2xey ⋅−⋅= α
πα
Nullpunktsverschie-bung um x0
20 )( xxey −⋅−⋅= α
πα • geht für x → ± ∞ gegen 0
• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0 • ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)
• Form hängt nur von Parameter α ab, • je größer α, desto steiler die Glockenkurve • Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als Normalverteilung
Quelle: Rechneronline.de
Seite 29, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gaußfunktion
(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)
2xey ⋅−⋅= α
πα
Nullpunktsverschie-bung um x0
20 )( xxey −⋅−⋅= α
πα • geht für x → ± ∞ gegen 0
• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0 • ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)
• Form hängt nur von Parameter α ab, • je größer α, desto steiler die Glockenkurve • Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als Normalverteilung
Für immer größere α erreicht man im Grenzwert die Diracsche Deltafunktion:
Dieser Limes (Grenzwert) existiert eigentlich nicht. δ(x) ist streng genommen keine Funktion, sondern eine Distribution (Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes). Sie ist in der Quantenmechanik sehr wichtig!
2
/lim)( xex ⋅−
∞→⋅= α
απαδ
Deltafunktion α → ∞
Quelle: Rechneronline.de
Seite 30, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Exponentialfunktionen – abgeleitete Fktn
Wachstum Population, Explosion, Lawine, Anfangsphase Reaktion
Negative e-Funktion, Aufladung Kondensator, Lernen einer Sprache
T-Abhängigkeit Wärmekapazität von Festkörpern, qual.; Reaktionskinetik
Radioaktiver Zerfall, Wärmeausgleich
Statistik, Normalverteilung, Spektrallinie, Gaskinetik
Seite 31, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
d) Kreisfunktionen
Definitionen:
ϕ=
ϕϕ
===ϕ
ϕϕ
===ϕ
==ϕ
==ϕ
tan1
sincos
teGegenkatheAnkathetecot
cossin
AnkatheteteGegenkathetan
HypotenuseAnkathetecos
HypotenuseteGegenkathesin
yx
xy
rx
ry
Sinus
Kosinus
Tangens
Kotangens
Seite 32, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
ϕ
Tangens und Cotangens
• tanϕ und [cotϕ] sind periodische, ungerade Funktionen mit Periode π.
• Sie sind nicht definiert für ϕ = (n + ½) π, [ϕ = n π], weil hier der Kosinus [Sinus] verschwindet. Ihre Graphen haben hier Pole.
• Der Tangens [Kotangens] wird bei linksseitiger Annäherung an die Pole +∞ [–∞] und wächst [fällt] monoton im Intervall (–π/2, π/2) [(0, π)].
• Nullstellen: tanϕ = 0 für ϕ = n π, cotϕ = 0 für ϕ = (n + ½) π
• Es gilt: cotϕ = tan(π/2 – ϕ)
y = cot ϕ
y=cot ϕ
π/2 -π/2
Quelle: Rechneronline.de
-π π
Seite 33, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Additionstheoreme
Ohne Beweis. Weitere Additionstheoreme ⇒ siehe Formelsammlung
2sin
2cos2sinsin
sinsincoscoscos(
sincoscossinsin(
ψ−ϕψ+ϕ=ψ−ϕ
ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ
ψ⋅ϕ+ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ
Seite 34, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Arcusfunktionen
Funktion Monoton steigend/ fallend in
Arcusfunktion (Umkehrfunktion)
Definitions- bereich
Werte- bereich
Eigenschaften
sin x - π/2, π/2 arcsin x -1, 1 - π/2, π/2
ungerade
cos x 0, π arccos x -1, 1 0, π weder gerade noch ungerade
tan x - π/2, π/2 arctan x reelle Zahlen
- π/2, π/2
ungerade
cot x 0, π arccot x reelle Zahlen
0, π weder gerade noch ungerade
Seite 35, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Arcusfunktionen: arccos x und arctan x
y = arccos x y = arccot x
Die Arcusfunktionen sind wichtig zum Auflösen von Gleichungen mit Kreisfunktionen, z.B. cos x = a, x gesucht ⇒ x = arccos a ist Lösung. Wegen der Vieldeutigkeit sind aber auch andere Lösungen möglich: x = arccos a + 2nπ
Quelle: Rechneronline.de
Seite 36, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Hyperbelfunktionen: tanh x und coth x
y = coth x
y = tanh x
Quelle: Rechneronline.de
Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Area-Funktionen, z.B. arsinh, artanh. Werden hier nicht behandelt.
Seite 37, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Spezielle Funktionen
xy 1sin=
xxy 1sin=Definiert bis auf x = 0
Nullstellen: x = ± nπ, n = 1, 2, 3, ...
Maxima/Minima: x = 1 / ((n + ½) π), n ganze Zahl
Funktion ist ungerade, oszilliert mit zunehmender „Frequenz“ für x→ 0
Funktion ist gerade, oszilliert mit zunehmender „Frequenz“ für x→ 0
Amplitude verschwindet für x→ 0
Seite 38, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
a) Grenzwert einer Funktion
Definition (siehe auch Skizze Vorlesung): f(x) besitzt an der Stelle x0 den Grenzwert g, wenn sich zu einem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so daß für alle x aus der δ-Umgebung die Differenz zwischen f(x) und g betragsmäßig unterschritten bleibt:
|f(x) – g| < ε für |x – x0| < δ
● Je kleiner ε vorgegeben wird, desto kleiner muß δ sein ● δ hängt von ε und in der Regel auch von x0 ab!
Andere Schreibweise der Grenzwertdefinition: „der Limes von f(x) für x gegen x0 ist g“
Linksseitiger Grenzwert für x < x0:
Rechtsseitiger Grenzwert für x > x0:
● Beide Grenzwerte können, müssen aber nicht übereinstimmen
lxxgxf =
→)(lim
0
rxxgxf =
→)(lim
0
gxfxx
=→
)(lim0
Seite 39, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Stetigkeit von Funktionen
Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, falls
ist, d.h., falls der Grenzwert mit dem Funktionswert von x0 übereinstimmt.
Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Grenzwertdefinition nur von ε und nicht von x0 abhängt.
Eine Funktion heißt im Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Sie ist auch gleichmäßig stetig, wenn dies für ein abgeschlossenes Intervall gilt (Satz).
)()(lim 00
xfxfxx
=→
• Die für die Anwendungen wichtigen Funktionen sind meistens stetig
• oder haben nur einzelne Unstetigkeitsstellen (Singularitäten), wie – Pole, Unendlichkeitsstellen, – Sprungstellen, – Unbestimmtheitsstellen.
Seite 40, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Sätze über stetige Funktionen
1. Satz von Weierstraß Eine im abgeschlossenen Intervall [x1, x2] stetige Funktion f(x) hat in diesem Intervall einen kleinsten und einen größten Wert.
2. Zwischenwertsatz Diese Funktion nimmt jeden zwischen f(x1) und f(x2) gelegenen Wert mindestens einmal an.
3. Satz von Bolzano-Weierstraß Haben f(x1) und f(x2) dieser Funktion verschiedene Vorzeichen, so gibt es zwischen x1 und x2 mindestens eine Nullstelle x0 mit f(x0) = 0.
4. Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen. Beim Quotient darf die Funktion im Nenner nicht Null werden.
5. Eine zusammengesetzte (mittelbare) Funktion y = f[g(x)] ist stetig, wenn die Funktionen y = f(z) und z = g(x) stetig sind.
Seite 41, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Darstellung v. Funktionen mehrerer Veränderlicher
1. Analytische Darstellung ist die umfassenste z = g(x,y), ρ = h(x,y,z) 2. Tabellierung bietet nur begrenzte Möglichkeiten y = f(x) einige Seiten einige kB digitalen Speicher z = g(x,y) ein Buch einige MB (siehe L. Papula → 5 MB) ρ = h(x,y,z) eine Bibliothek einige GB bis einige TB (1 TB ≈ 20000 digitale Bücher ≈ 700 m Regallänge) 3. Graphische Darstellung y = f(x) Linie in Ebene (2dimensional) z = g(x,y) Fläche im Raum (3dimensional) ρ = h(x,y,z) Dichtefunktion im Raum (4dimensional) ϕ = s(x,y,z,t) Zeitlich veränderliche Dichtefunktion im Raum (5dimensional) (mehr Dimensionen sind nicht mehr sehr anschaulich) Beispiele: siehe Vorlesung
Seite 42, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Erste Ableitung einer Funktion
α==−+
=
α=−+
=
−∆+=−=−=
→→tanlimlim:alquotientDifferenti
:null)gegen ( gegen angGrenzüberg
tan:nquotientDifferenze
)()( und
00
1
1
11
dxdy
Δxf(x)Δx)f(x
ΔxΔy
Δxxx
Δx
f(x)Δx)f(xΔxΔy
xfxxfyyΔyxxΔx
ΔxΔx
Differenzenquotient:
Differenzialquotient:
Die Ableitung der Funktion f(x), bezeichnet man mit f '(x), y'(x), y' oder dy/dx. Sie entspricht der Tangenten-Steigung bei x.
Möglich ist auch, mit Differenzialen zu rechnen, z.B. mit dx, dy: dy = dx · tan α, dy = f '(x) dx.
Die Operation Ableiten der Funktion heißt Differenzieren oder Differenziation. Dabei wird immer der Grenzwert ausgerechnet. (Bruch vor Grenzübergang kürzen).
Seite 43, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Differenzierbarkeit einer Funktion
Satz:
Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Die Umkehrung des Satzes gilt nicht (siehe Beispiel Betrags-Funktion)! Veranschaulichung der Differenzierbarkeit (keine exakte Definition):
Eine stetige Kurve (Funktion) ist differenzierbar, wenn sie keine Ecken, Spitzen oder Kanten hat.
Die gewöhnlich auftretenden Funktionen sind differenzierbar!
Seite 44, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Binomischer Satz
321234
34
,1
,10
...21)1(...)1(
)!(!!
...210
)(0
2211
⋅⋅⋅⋅
=
=
=
=
⋅⋅⋅+−⋅⋅−
=−
=
=
++
+
+
=+ ∑
=
−−−
nn
nnn
kknnn
knkn
kn
bakn
bnn
ban
ban
an
ban
k
knknnnnn
Binomialkoeffizienten
bilden das
n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 u.s.w.
Pascalsche Dreieck n! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“
Der Satz kommt aus der Kombinatorik. Die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck liefern im Grenzfall n → ∞ die Normalverteilung (siehe auch Galtonsches Brett).
Seite 45, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Sierpinski-Dreieck, Galtonsches Brett, …
Quelle: Adrian Jablonski Quelle: Justus-Liebig-Universität Gießen
Fraktale (selbstähnliche) Strukturen: Sierpinski-Dreieck
Normalverteilung (Gauß-Verteilung): Galtonsches Brett
n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 u.s.w.
Pascalsches Dreieck
2xey ⋅−⋅= α
πα
Gauß-Funktion
Seite 46, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Allgemeine Ableitungsregeln
1. Konstante c (c·u)' = c·u'
2. Summe und Differenz (c + u)' = c' + u'
3. Produktregel (u·v)' = u'·v + u·v' (u·v·ϕ)' = u'·v·ϕ + u·v'·ϕ + u·v·ϕ' ...
4. Quotientenregel
u, v, ϕ differenzierbare Funktionen mit u' = du/dx, v' = dv/dx, ϕ'(x) = dϕ/dx, ϕ'(u) = dϕ/du
5. Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen ϕ(u), u(x): ϕ' = dϕ/du · u' 6. Umkehrfunktion Ist u(x) streng monoton und differenzierbar, dann besitzt u eine eindeutige, monotone und differenzierbare Umkehrfunktion ϕ(u) mit ϕ' = 1/ u'
7. Logarithmische Ableitung Hat eine Funktion die Form ϕ(x) = u(x)v(x), logarithmiert man erst beide Seiten und bildet dann die Ableitung.
2vvuvu
vu ′−′
=
'
Seite 47, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Erste Ableitung einiger Funktionen
y y' Definitions- bereich von y
y y' Definitions- bereich von y
tan = tg, cot = ctg
Seite 48, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Numerisches Differenzieren
Anstelle des Differenzialquotienten wird näherungsweise der
Differenzenquotient verwendet,
mit möglichst kleinen Schritten ∆x.
Man stellt dann eine Tabelle für x, y, auf.
Beispiel: Newton-Verfahren
Δx
f(x)Δx)f(xΔxΔy −+
=
dxdy
xy
∆∆
Seite 49, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Mittelwertsatz der Differenzialrechnung
Wenn die Funktion f(x) im Intervall (a, b) differenzierbar und für a, b stetig ist, so gilt für mindestens ein ζ aus (a, b)
f '(ζ) = (Mittelwertsatz)
Anschaulich: Die Tangente bei ζ hat die gleiche Steigung wie die Sekante bei a, b.
Spezialfall: f(a) = f(b) = 0, f '(ζ) = 0 (Satz von Rolle)
Andere Form: f(x + ∆x) = f(x) + ∆x · f '(x + δ·∆x) mit a = x, b = x + ∆x, ζ = x + δ·∆x, δ bestimmte Zahl zwischen 0 und 1
f(b) – f(a) b – a
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Seite 50, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Regel von De L´Hospital
Unbestimmte Ausdrücke: 0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞ – ∞ Die Funktion ϕ(x) = f(x) / g(x) mit g(a) = 0 ist bei x = a nicht differenzierbar. f, g seien differenzierbar.
Hebung der Unbestimmtheit: ϕ(x) bekommt bei a den Grenzwert zugeordnet. Falls f(a) ≠ 0, so gilt ϕ(a) = ∞. Falls f(a) = 0, so liegt ein unbestimmter Ausdruck vor. Dann gilt die
Regel von De L´Hospital:
Falls wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w. Entsprechendes gilt für und Andere unbestimmte Formen, wie 0⋅∞, ∞ – ∞ werden erst auf die Form 0/0 oder ∞/∞ gebracht, dann wird die Regel angewendet.
)()(lim)(lim)(
xgxfxa
axax →→== ϕϕ
00
)()(=
agaf
)(')('lim
)()(lim
xgxf
xgxf
axax →→=
00
)(')('=
agaf
∞∞
=)()(
agaf
∞∞
=)(')('
agaf
Seite 51, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kurvendiskussion
f(x) = f(–x) symmetrisch zur y-Achse, gerade Funktion f(x) = –f(–x) symmetrisch zum Ursprung, ungerade Fktn.
f(x) = 0 Nullstelle
f '(x) > 0 [f '(x) < 0] monoton steigend [fallend]
f '(x) = 0 und f ''(x) < 0 [f ''(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum] f '(x) = f ''(x) = ... = f (n-1)(x) = 0: n gerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum] n ungerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] Terassenpunkt, fallende [steigende] Kurve f ''(x) > 0 Linkskrümmung (konkav nach oben) f ''(x) < 0 Rechtskrümmung (konvex nach oben)
f ''(x) = 0 und f '''(x) < 0 Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmung f ''(x) = 0 und f '''(x) > 0 Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung
Seite 52, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Physikalische Größen mit Differenzialausdrücken
Seite 53, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Mehrfache Ableitung: Beschleunigung
Weg
Geschwindigkeit (1. Ableitung)
Beschleunigung (2. Ableitung)
Seite 54, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Übersicht Analysis
Analysis Infinitesimal- Variations- Funktionen- inkl. komplexe rechnung rechnung theorie Zahlen Differenzial- Integral- rechnung rechnung
Leibnitz, Newton, Ende 17. Jahrh. unabh. voneinander entdeckt.
⇒ Sehr wichtig. Keim für exakte Natur- wissenschaften, z.B Mechanik, Astronomie. Differenzialbegriff führt zu Differenzial- Gleichungen.
Differenziale werden als kleine – aber nicht unendlich kleine – Größen aufgefasst. Bsp. Massendichte ρ = dm/dV: dV nicht zu klein, sonst löst man Raum zwischen den Atomkernen auf!
Seite 55, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Sätze über bestimmte Integrale
∫∫∫ +=c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
∫∫ ⋅=⋅b
a
b
a
dxxgcdxxgc )()(
[ ] ∫∫∫ ±=±b
a
b
a
b
a
dxxfdxxgdxxfxg )()()()(
0)( ,)()( =−= ∫∫∫a
a
a
b
b
a
dxxfdxxfdxxf
∫∫ ♥♥=b
a
b
a
dfdxxf )()(
1. Ein Integral lässt sich aus zwei Integralen benachbarter Teilintervalle zusammen setzen.
2. Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden.
3. Das Integral über die Summe [Differenz] zweier Funktionen ist gleich der Summe [Differenz] der Integrale über die einzelnen Funktionen.
4. Die Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.
5. Die Integrationsvariable ist frei wählbar: x, y, ϕ, ♥...
Seite 56, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unbestimmtes Integral – Fundamentalsatz
Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F '(x) = f(x). Ist F(x) Stammfunktion, so ist es auch F(x) + c (c beliebige Konstante). Das Aufsuchen der Stammfunktion ist die Umkehrung der Differenziation.
Diese Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral (Fläche zwischen a und b) heißt Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung.
Wir fassen die obere Grenze im bestimmten Integral als Variable auf: Dann gilt: ϕ(x) ist differenzierbar (und damit stetig) und ϕ(x) ist Stammfunktion von f(x) mit ϕ'(x) = f(x).
∫=ϕx
a
duufx )()(
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral von f(x): ∫ += cxFdxxf )()(
Wenn ϕ, F Stammfunktion von f, dann gilt: ϕ(x) = F(x) + c und ∫ +=x
a
cxFduuf )()(
Bestimmung von c: F(a) + c = 0 für x = a. Daher: c = -F(a) und ∫ −=x
a
aFxFduuf )()()(
und dx
xdFxfxFaFbFdxxf ba
b
a
)()(mit )]([)()()( ==−=∫
Seite 57, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integrationsverfahren
Zwei Prozeduren zum Integrieren einer Funktion sind möglich:
a) Berechnung des Integrals über Summendefinition. Unbestimmtes Integral lässt sich möglicherweise als Formel gewinnen.
b) Berechnung des Integrals über Stammfunktion. Fallunterscheidung:
– Stammfunktion existiert, aber nicht als Formel, wie z.B. y = e-x2
⇒ Tabelle, numerische Integration, Reihenentwicklung
– Stammfunktion existiert (Integralverzeichnis Bronstein, Gradshteyn) ⇒ Grenzen einsetzen, Integral berechnen
– Stammfunktion existiert, aber Bestimmung schwierig ⇒ Integrationsverfahren (Substitution, partielle Integration, Rekursion, Partialbruchzerlegung) müssen angewendet werden. Integrieren ist schwieriger als Differenzieren.
Seite 58, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Partielle Integration
u(x) und v(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann gilt:
'')( uvvuvudxd
⋅+⋅=⋅
dxuvdxvuvu ∫∫ ⋅+⋅=⋅ ''
dxuvvudxvu ∫∫ ⋅−⋅=⋅ ''
Integration:
Umformen:
Ziel: Mit dieser Formel kann das linke Integral auf das oft einfachere rechte Integral zurückgeführt werden.
Produktregel:
Seite 59, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Partialbruchzerlegung
mm
nn
xbxbbxaxaa
xgxhxf
++++++
==......
)()()(
10
10Satz: Echt gebrochen rationale Funktionen (n < m) lassen sich in eine Summe von Brüchen zerlegen, die man elementar integrieren kann.
1. Fall: g(x) hat m verschiedene reelle Nullstellen s1, ..., sm. Dann gilt: m
m
sxA
sxA
sxA
xgxh
−++
−+
−= ...
)()(
2
2
1
1
Falls Nullstelle sk genau g mal auftritt, so ersetzt man g
k
kg
k
k
k
k
k
k
sxA
sxA
sxA
sxA
)(...
)(durch 2
21
−++
−+
−−
2. Fall: g(x) hat m verschiedene (konjugiert) komplexe Nullstellen s1 ± i r1, ..., sm ± i rm:
2222
22
222
12
1
11
)(...
)()()()(
mm
mm
rsxCxB
rsxCxB
rsxCxB
xgxh
+−+
+++−
++
+−+
=
Falls Nullstelle sk ± i rk genau g mal auftritt, so ersetzt man
[ ] [ ]gkgkg
kgkg
kk
kk
kk
kk
kk
kk
rsx
CxB
rsxCxB
rsxCxB
rsxCxB
22222
22
2221
21
1122 )(
...)()(
durch )( +−
+++
+−
++
+−+
+−+
Die Ai, Akj, Bi, Bkj, Ci, Ckj sind reelle, eindeutig bestimmte Zahlen, die sich durch Erweiterung der Partialbrüche auf einen gemeinsamen Nenner berechnen lassen (Koeffizientenvergleich).
Seite 60, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integraltafel
∫∫ −− −−
+−
= 1212 )1(232
)1(2 kkk Xdx
rkk
Xrkx
Xdx
a)
b)
(Bronstein, Gradshteyn, Netz, ...)
221 ,1
)1(21 rxXk
XkXxdx
kk +=≠−
−=∫ −
Seite 61, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Reaktionen im Ultraschallfeld
Frohe Weihnachten!
Seite 62, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Uneigentliche Integrale
Funktion f wird bei p unendlich (Pol). Man kann dann nicht bis p integrieren, darf sich aber p beliebig annähern.
1. Fall: Integral divergiert (wächst über alle Grenzen). Grenzwert existiert nicht. 2. Fall: Integral konvergiert, d. h. Grenzwert existiert:
∫∫ε−
→ε=
p
a
p
a
dxxfdxxf )()(lim0
p x
y
Weitere konvergierende uneigentliche Integrale sind definiert, wenn die Grenzwerte existieren:
)()(lim ∫∫∞
∞→=
a
b
ab
dxxfdxxf
)()(lim)(lim ∫∫ ∫∞
∞−∞→−∞→
=+ dxxfdxxfdxxfc
a
b
cba
∫∫+
→=
b
p
b
p
dxxfdxxf )()(lim0
εε
und entsprechend:
∫∫∞−
−∞→=
bb
aa
dxxfdxxf )()(lim
a
Seite 63, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Uneigentliche Integrale: Veranschaulichung
Anschauliche Erklärung Konvergenz/Divergenz bei Annäherung an p: Berechnung Integral (= Fläche unter der Kurve) durch schmale Rechtecke gleicher Fläche. Zwei Fälle möglich:
a) Rechteckbreite geht schneller gegen 0 als Höhe gegen ∞ ⇒ Integral konvergiert. b) Rechteckbreite geht langsamer gegen 0 als Höhe gegen ∞ ⇒ Integral divergiert.
p x
y
Seite 64, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
5. Definition von Funktionen durch Integrale
Es gibt Funktionen, deren Stammfunktionen existieren, aber nicht geschlossen (als übliche Formel) darstellbar sind.
2
, , ln1 , sin x
x
exe
xxx −Beispiele:
Ihre Integrale definieren „neue“ Funktionen. Diese werden durch numerische Integration oder Reihenentwicklung berechnet (⇒ tabellarische Darstellung).
Beispiel: Fehlerintegral (Error Function)
dtexx
t∫ −
π=
0
22erf 12erf0
2
=π
=∞ ∫∞
− dte t
1
1
0
0 3
3
xy erf=
2xey −=
Anwendungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Thermody- namik, ...
Seite 65, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Simpsonsche Regel
Im Vergleich zur Rechteckregel und Trapezregel liefert die Simpsonsche Regel (als stück- weise quadratische Näherung) eine höhere Genauigkeit bei der numerischen Integration.
a x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn = b
1. Parabel 2. Parabel
letzte Parabel Jeweils 2 Streifen werden durch die
Fläche unter einem Parabelbogen gebildet. Die einzelnen Parabeln sind jeweils durch 3 Punkte (xa, ya), (x1, y1), (x2, y2), dann (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), u.s.w. bestimmt. Es folgt für gerade n:
[ ]bnna
b
a
ffffffffhdxxf ++++++++≈ −−∫ 124321 42...24243
)(
f(x)
…
Seite 66, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Anwendungen Integralrechnung
a b x
y
Kurvenintegral, Bogenlänge s: ∫ ′+=
b
a
dxxgs )(1 2 g stetig
Schwerpunkts- koordinaten von Flächen- stücken: ∫
∫
∫
∫ ⋅=
⋅= b
a
b
asb
a
b
as
dxxf
dxxfxfy
dxxf
dxxfxx
)(
)()(21
,)(
)(
1. Guldinsche Regel:
Beispiel Kreisringtorus: V = π r2 · 2 π R = 2 π2 r2 R
Volumen Rotationskörper = rotierende Fläche
x Weglänge Flächenschwerpunkt
y = g(x)
Seite 67, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Zahlenfolgen
Eine Anordnung von (unendlich vielen) Zahlen heißt (unendliche) Zahlenfolge
a1, a2, a3, …
Eine Folge heißt beschränkt, wenn es Schranken (Zahlen) m, M gibt, mit
m ≤ ai ≤ M für alle i,
sonst heißt die Folge unbeschränkt.
Gilt für jedes i der Folge und jedes j > 0 die Ungleichung ai < (>) ai+j, so ist die Folge streng monoton wachsend (abnehmend).
Eine Zahl x ist Häufungspunkt einer Zahlenfolge, wenn es in jeder noch so kleinen ε - Umgebung von x, d.h. im Intervall [x - ε, x + ε], unendlich viele Glieder der Folge liegen.
Seite 68, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Satz von Bolzano-Weierstraß
Jede beschränkte, unendliche Folge hat mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine Folge genau einen Häufungspunkt, so streben alle an für n -> ∞ diesem zu. Diese Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert (Häufungspunkt) A Sonst heißt die Folge divergent.
Aann=
∞→lim
Seite 69, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Folgen – Konvergenzkriterien
Kriterium 1 (notwendig und hinreichend) Eine Folge ist dann und nur dann konvergent gegen A, wenn in jeder beliebig kleinen Umgebung von A fast alle (also unendlich viele) Glieder liegen und außerhalb nur endlich viele. Kriterium 2 (notwendig und hinreichend) Eine Folge an konvergiert dann und nur dann gegen A, wenn zu jeder noch so kleinen Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl existiert, mit |A – an| < ε, für alle n > N. Kriterium 3 (Cauchy) Eine beschränkte unendliche Folge ist dann und nur dann konvergent, wenn es zu jedem noch so kleinen ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, mit |am – an| < ε, für m, n > N. Kriterium 4 (nur hinreichend, denn es gibt konvergente nichtmonotone Folgen) Ein Folge, die monoton und beschränkt ist, konvergiert.
Seite 70, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Reihen
Eine unendliche Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden Partialsummen (Teilsummen): Die Teilsummen bilden die Folge s0, s1, s2, s3, … Konvergiert diese Folge gegen einen Grenzwert (Summenwert) S, so heißt die Reihe konvergent: Andernfalls ist sie divergent.
∑ ∑∞
=
==++++0
3210 ...i i
ii aaaaaa
nn aaas
aaasaas
as
+++=
++=+=
=
......
10
2102
101
00
ni ni saS ∑∞
=∞→
==0
lim
Seite 71, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Unendliche Reihen – Konvergenzkriterien
Konvergenzkriterium nach Cauchy. Eine unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn
es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass gilt |Sm – Sn| = |un+1 + un+2 + …+ um| < ε, mit
m, n > N.
Konvergenzkriterium nach Leibnitz. Eine alternierende unendliche Reihe ist genau dann
konvergent, wenn die Glieder vi der Reihe monoton abnehmen und ist.
Quotientenkriterium. Gilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent,
für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte
Grenzwert nicht, d.h., die Folge |un+1/un| hat mehrere Häufungspunkte, so ist die Reihe
konvergent, wenn der größte Häufungspunkt < 1 ist, und divergent, wenn der kleinste
Häufungspunkt > 1 ist.
Wurzelkriterium. Gilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für
k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte
Grenzwert nicht, so gilt das Analoge wie beim Quotientenkriterium.
∑∞
=1iiu
∑∞
=
−1
)1(i
ii v
0lim =∞→ in
v
ku
uun
n
ii =+
∞→
∞
=∑ 1
n1lim
kuu nn
ii =
∞→
∞
=∑ n1
lim
Seite 72, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integralkriterium
Wenn die Glieder einer Reihe positiv sind und sich als Funktionswerte
ai = f(i), i = 1, 2, …, einer im Intervall x ≥ 1 stetigen, monoton fallenden Funktion
f(x) darstellen lassen, so ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das Integral
konvergiert.
1 2 3 4 5 6 x
y = f(x)
y
a1 a2 a3 a4 a5 a6
∑∞
=1iia
∫∞
1
)( dxxf
…
Seite 73, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Rechnen mit unendlichen Reihen
Assoziatives Gesetz Bei einer konvergenten Reihe darf man die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen, ohne den Summenwert zu verändern. Das Weglassen von Klammern ist nur dann zulässig, wenn die dadurch entstehende Reihe konvergiert. Kommutatives Gesetz Eine Vertauschung der Reihenfolge der Glieder einer Reihe ist nur erlaubt, wenn die Reihe absolut konvergiert, also wenn auch konvergiert. Addition und Multiplikation Sind und zwei konvergente Reihen und c eine Konstante, so gilt Aber gilt nur, wenn die beiden Reihen absolut konvergent sind.
∑∞
=1iia
∑∞
=1iia ∑
∞
=1iib
∑∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
+=+=⋅11111
)( und i
ii
iii
ii
ii
i babaacac
∑∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
⋅=⋅1 111
i j
jij
ji
i baba
Achtung: hier gibt es Einschränkungen im Vergleich zu den Regeln zum Rechnen mit reellen Zahlen!
Seite 74, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integration u. Differenziation unendlicher Reihen
∑∫∫∑∞
=
∞
=
=00
)()(i
b
ai
b
a ii dxxfdxxf
Integration und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Reihe in [a,b] gleichmäßig konvergiert und die Funktionen fi(x) in [a,b] stetig sind:
Eine Funktionenreihe , mit s(x) als Summenfunktion, heißt in einem
Intervall I gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem ε > 0 eine von x unabhängige natürliche Zahl N existiert, so dass |s(x) – sn(x)| < ε für alle n > N(ε) und für jedes
x aus dem Intervall I gilt, wobei
∑∞
=
=0
)()(i
i xsxf
Differenziation und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Funktionen fi(x) in [a,b] stetige Ableitungen besitzen und die Reihe der abgeleiteten Funktionen gleichmäßig konvergiert:
∑∑∞
=
∞
=
=00
)()(i
i
ii dx
xfdxfdxd
∑=
=n
ini xsxf
0)()(
Achtung: dies geht gliedweise bei endlichen Reihen, aber nur mit Einschränkungen bei unendlichen Reihen.
Seite 75, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Taylorentwicklung cos-Funktion (Animation)
Quelle: Wikipedia
Seite 76, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Funktionen zweier Veränderlicher: Stetigkeit
Die δ-Umgebung eines Punktes (x1, y1) bezeichnet alle Punkte innerhalb des Kreis mit Zentrum (x1, y1) und Radius δ: (x – x1)2 + (y – y1)2 < δ2
Die Funktion f(x, y) besitzt an der Stelle (x1, y1) den Grenzwert g, wenn sich zu jedem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden lässt, so dass für alle Punkte der δ-Umgebung gilt |f(x, y) - g| < ε , das heißt Dabei kann man sich (x1, y1) aus beliebiger Richtung nähern!
gyxfyyxx
=→→
),(lim11,
f heißt stetig an Stelle (x1, y1), falls d.h., falls Grenzwert mit Funktionswert übereinstimmt. Summe, Produkt, Quotient (Nenner ≠ Null) stetiger Funktionen sind stetig.
),(),(lim 21, 11
yxfyxfyyxx
=→→
Seite 77, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Partielle Ableitungen von f(x,y)
Partielle Differenzialquotienten beschreiben Steigung von f bei (x, y) in x- und y-Richtung (Tangentensteigungen mit y = konst., x = konst.):
yyxfyyxf
yz
xyxfyxxf
xz
y
x
∆−∆+
=∂∂
∆−∆+
=∂∂
→∆
→∆
),(),(lim
),(),(lim
0
0
• Entsprechung zur Diff‘rechnung von Fktn einer Veränderlichen
• Schreibweise ∂ kennzeichnet besondere Bedingung (zweite Variable konstant!)
• Die Diff‘quotienten sind als
einheitliches Ganzes zu behandeln, nicht
als Bruch wie !
x
x
y
y
z
z
Tangenten y = konst x = konst
z = f(x, y)
Tangentialebene aufgespannt durch zwei Tangenten
yz
xz
∂∂
∂∂ ,
dxdy
Seite 78, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
3. Totales Differenzial
(x1,y1)
z
z1
Tangentialebene an (x, y)
Totales (vollständiges) Differenzial dz resultiert aus voneinander unabhängigen Änderungen dx, dy, die, von (x, y) ausgehen und über einen beliebigen Weg C zum Punkt (x1, y1) = (x+dx, y+dy) führen. Kleine dx, dy bewirken kleine dz als Änderungen in der Tangentialebene ⇒ dz ist Näherung der Änderung von z = f(x, y).
dyyzbdx
xzabadz
∂∂
=∂∂
=+= , ,
dyyzdx
xzdz
∂∂
+∂∂
= ... 33
22
11
+∂∂
+∂∂
+∂∂
= dxxzdx
xzdx
xzdz⇒ allgemein:
für ,...),,( 321 xxxfz =Lineare Approximation: mit 1 zzdz −=
)(),()(),(111 yy
yyxzxx
xyxzzdzzz −
∂∂
+−∂
∂+=+=⇒−=−= , 11 yydyxxdx
Achtung: Kürzung gegen wäre unsinnig! x∂ dx
Seite 79, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Differenzierbarkeit von z = f(x,y)
Satz:
Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Tangentialebene an Punkt P = P(x, y, z): Die partiellen Ableitungen in P existieren und sind stetig.
f ist differenzierbar an Stelle (x, y), wenn dort die Tangentialebene existiert.
Gegenbeispiel: An Pyramidenspitze und -kanten existiert keine Tangentialebene. Die „Pyramiden-Oberflächen-Funktion“ ist dort nicht differenzierbar. Funktion hat „Spitzen und Kanten“.
Beispiel Rotationsparaboloid: z = x2 + y2 ist in x-y-Ebene differenzierbar. Die partiellen Ableitungen fx = 2x, fy= 2y existieren und sind stetig. Funktion z ist „glatt“.
P
Seite 80, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Satz von Schwarz (wichtig!)
In den gemischten Ableitungen kann die Reihenfolge der Differenziation vertauscht werden, wenn diese Ableitungen stetige Funktionen von x, y sind:
... , , yxxxyxxxyyxxy fffff ===
Seite 81, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
22
2
2
)()()()()(
dyfdxdyfdxf
dyy
dyfdxfdx
xdyfdxf
dyydzdx
xdzdzdzd
yyxyxx
yxyx
++=
∂
+∂+
∂
+∂=
∂∂
+∂
∂==
Totale Differenziale höherer Ordnung
dyfdxfdz yx +=
Totales Differenzial 2. Ordnung, z = f(x, y):
Totales Differenzial n-ter Ordnung, allgemeiner Fall mit m Variablen, z = f(x1, x2, …, xm):
∑=
=+++=m
iixmxxx dxfdxfdxfdxfdz
im1
21 ... 21
zx
dxzdnm
i ii
n
∂∂
⋅= ∑=1
Binomischer Satz
Seite 82, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
5. Ableitung mittelbarer (zusammengesetzter) Funktionen
Mit 2 Funktionen, 2 Variablen, z = f(u,v) mit u = g(x,y), v = h(x,y) Differenziation (Satz): Mit m Funktionen, n Variablen (Verallgemeinerung), f, gi sind diff‘bare Funktionen z = f(u1,u2,…,um) u1 = g1(x1,x2,…,xn) u2 = g2(x1,x2,…,xn) … um = gm(x1,x2,…,xn) ⇒ Mit m Funktionen, 1 Variable (Sonderfall n = 1, gewöhnliche Ableitung, s.o.)
yv
vz
yu
uz
yz
xv
vz
xu
uz
xz
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
=∂∂
Kettenregel für partielle Ableitungen mit 2 Funktionen, 2 Variablen
nkxu
uz
xz i
m
i ik
,...,2,1 1
=∂∂
∂∂
=∂∂ ∑
=
xu
uz
dxdz i
m
i i ∂∂
∂∂
=∑=1
Verallgemeinerte Kettenregel für partielle Ableitungen mit m Funktionen, n Variablen
Kettenregel für partielle Ableitung mit m Funktionen, 1 Variable
Seite 83, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
6. Ableitung impliziter Funktionen
F(x,y) = 0 implizite y = f(x) explizite Auflösung in explizite Form ist nicht immer möglich. Trotzdem kann F(x,y) = 0 eine Funktion y = f(x) defininieren. Bsp. 1 sin(y) + y⋅ln(x) + y = 0, f existiert (Zuordnung numerisch) Bsp. 2 x2 + y2 + 1 = 0, F(x,y) = 0 ist nach y auflösbar, aber f existiert nicht für reelle Zahlen. Aus der Kettenregel folgt mit y = f(x) für F(x,y) = F[x,f(x)] = 0: Der Satz gilt auch für Funktionen mit mehr als 2 Variablen F(x1,x2,…,xn,z) = 0
Darstellung der Funktion
0 ⇒=⋅∂∂
+⋅∂∂
=dxdy
yF
dxdx
xF
dxdF
),(),(
yxFyxF
yFxF
dxdyy
y
x−=
∂∂∂∂
−==′
z
x
i FF
xz i−=
∂∂
Seite 84, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Funktionaldeterminante
Die beiden Funktionen u = g(x, y), v = h(x, y) vermitteln eine Abbildung von Bereichen der x-y-Ebene auf Bereiche der u-v-Ebene.
xv
yu
yv
xu
yv
xv
yu
xu
yxvuyxD
∂∂⋅
∂∂
−∂∂⋅
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
=),(),(),(
Definition Funktionaldeterminante (Jacobideterminante):
Anschauliche Bedeutung von D: Eine kleine Fläche F wird in F`transformiert durch dydxyxDdvdu
FF⋅⋅=⋅
′
),(
Für D ≠ 0 ist Abbildung umkehrbar (Vorauss. g, h besitzen stetige Ableitungen), d.h. f1, f2 mit x = f1(u, v), y = f2(u, v) existieren.
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Seite 85, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
8. Partielle Ableitungen in der Thermodynamik
In der Thermodynamik (TD) verwendet man überwiegend zwei Systeme von Variablen T, V, n und T, p, n, mit T Temperatur, V Volumen, n Molzahl, p Druck. Man unterscheidet die abhängigen Größen in ihren Symbolen nicht hinsichtlich des Variablensatzes! Bsp. Entropie S: S = S(T,V,n) S = S(T,p,n) Daher ist bei partiellen Ableitungen die Angabe der konstant gehaltenen Variablen wichtig.
),,(für
),,(für
,
,
npTSSTS
nVTSSTS
np
nV
=
∂∂
=
∂∂
! ,, npnV T
STS
∂∂
≠
∂∂
Quelle: LEIFI Physik
Seite 86, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
9. Extremwerte
Die Funktion z = f(x, y) besitzt in (x0, y0) ein relatives Maximum [Minimum], wenn für dem Betrag nach kleine aber sonst beliebige Δx, Δy gilt:
f(x0+Δx, y0+Δy) – f(x0, y0) < 0 Maximum [ > 0 Minimum]
Anschauliche Bedeutung: Bewegung weg vom Maximum führt immer zu einer Ver- ringerung von f, egal in welcher Richtung man sich bewegt (Minimum entsprechend).
Fallunterscheidung mit Hilfe der partiellen Ableitungen fx, fy, fxy, fxx, fyy an der Stelle (x0, y0), mit Δ = fxx·fyy – fxy
2 :
fx = fy = 0 Notwendige Voraussetzung für Extremwert. Tangentialebene ist parallel zur x-y-Ebene. fxx < 0, Δ > 0 rel. Maximum fxx > 0, Δ > 0 rel. Minimum fxx ≠ 0, Δ < 0 Sattelpunkt fxx ≠ 0, Δ = 0 nicht entscheidbar fxx = 0, fxy≠ 0 Sattelpunkt fxx = 0, fxy= 0 nicht entscheidbar
Seite 87, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren
Funktion: z = f(x, y), Nebenbedingung: g(x, y) = 0 ⇒ dg = 0 (1) Notwendige Voraussetzung für Extremwert: dz = 0 (2) Aus (1), (2) folgt: fxdx + fydy = 0 (3) gxdx + gydy = 0 (4) Multiplikation von (4) mit der Konstanten λ und Addition von (3) und (4) (fx + λgx)dx + (fy + λgy)dy = 0 (5) ⇒ fx + λgx = 0 fy + λgy = 0 g = 0
3 Bestimmungsgleichungen für Extremwert(e) f(x0, y0)
Bei Verallgemeinerung auf eine Funktion f mit n Variablen x1…xn und m Neben- bedingungen λ1… λm hat die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Vorteile gegenüber den anderen beiden Methoden. Man berechnet die Größen x1…xn, λ1… λm aus den n + m Gleichungen:
mjg
nkgf
j
m
iixix kk
...1 ,0
...1 ,01
==
==+∑=
λ
Berechnung von Extremwerten unter Nebenbedingungen
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Seite 88, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Integralrechnung v. Fktn. mehrerer Veränderlicher
Beispiele von Integrationsbereichen in Ortskoordinaten x, y, z:
Übersicht Integrale
C Kurvenstück A Flächenbereich, z.B. Rechteck V Volumenbereich, z.B. Quader
Bsp.: ∫=A
dAyxfz ),(
z entspricht „Volumen“ unter räuml. Fläche f(x, y), die durch Flächenbereich A definiert ist.
Flächenbereich A
nach M. Stockhausen
Seite 89, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Einfaches Intergral über Fktn mit zwei Variablen
Satz 1:
Wenn f(x,y) im abgeschlossenen, rechteckigen Integrationsbereich c ≤ x ≤ d,
a ≤ y ≤ b stetig ist, so ist auch eine stetige Funktion von x.
(Integration bewahrt Stetigkeit einer Funktion).
dyx
yxfdyyxfdxdxg
b
a
b
a∫∫ ∂∂
==′ ),(),()(
Satz 2:
Wenn f(x, y) und fx(x, y) im Bereich c ≤ x ≤ d, a ≤ y ≤ b existieren und stetig sind,
so ist in [c, d] nach x differenzierbar und Differentiation
und Integration können vertauscht werden:
∫=b
a
dyyxfxg ),()(
∫=b
a
dyyxfxg ),()(
Seite 90, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Zweidimensionales Bereichsintegral
Berechnung des Volumens V des Säulenkörpers Die x-y-Ebene wird durch Parallelen zur y-Achse (bestimmt durch x-Werte x0, x1, …, xi, …, xn) und durch Parallelen zur x-Achse (bestimmt durch y-Werte y0, y1, …, yj, …, ym) zu einem Gitternetz zerlegt. Der Säulenkörper wird durch Quaderstücke mit Teilvo- lumina f(xi, yj)·Δxi·Δyjzusammengesetzt (Summenbildung). Wir wählen gleich breite Quader: Δxi = Δx, Δyj = Δy. Im Grenzwert n, m → ∞ erhalten wir das exakte Volumen, das man Bereichsintegral von f über den Bereich B nennt:
Deckfläche D ist bestimmt durch z = f(x, y).
f(x, y) ist nur im einfach zusammenhängenden Bereich B definiert, f = 0 außerhalb von B.
∑∑∫∫= =
∞→∞→∆∆==
m
j
n
iji
Bmn
yxyxfdxdyyxfV1 1
),(limlim),(
Analogie zum 1dimensionalen Fall!
Seite 91, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Dreidimensionales Bereichsintegral
Berechnung des Integrals I durch Aufsum- mierung von Volumenelementen
Der Integrationsbereich B3 wird in kleine Quader mit den Volumina Δxi·Δyj·Δzk zerlegt. Man integriert zuerst über z bei konstanten x, y zwischen den Begrenzungsflächen u1(x, y) und u2(x, y), dann über y bei konstantem x zwischen den begrenzenden Kurven v1(x) und v2(x) und schließlich über x zwischen den Grenzen a und b. Im Grenzwert n, m, p → ∞ erhalten wir das Bereichsintegral von f über den Bereich B3:
In B3 wird jedem Volumenelement ein Wert w = f(x, y, z) zugeordnet.
∫∫∫∫ ∫ ∫
∑∑∑
==
=∆∆∆== = =
∞→∞→∞→
3
2
1
2
1
),,(),,(
),,(limlimlim
)(
)(
),(
),(
1 1 1
B
b
a
xv
xv
yxu
yxu
k
m
i
n
j
p
kjikjipmn
dxdydzzyxfdzdydxzyxf
zyxzyxfI
Veranschaulichung: f beschreibt eine Dichteverteilung innerhalb des Volumens B3. Das Integral I ist die Gesamtmasse im Volumen.
Diese Überlegungen lassen sich entsprechend auf Bereichsintegrale höherer Dimension übertragen.
u2(x, y)
u1(x, y) v2(x)
v1(x)
Seite 92, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Mehrdim. Integrale - Variablentransformation
die durch x = g(u, v), y = h(u, v) gegebene Transformation im Integral
durchzuführen. Die Transformation sei eineindeutig (Abbildung
umkehrbar), d.h. im Bereich B gilt für die Funktionaldeterminante
Es folgt (ohne Beweis):
⇒ vereinfacht oft die Bereichsgrenzen und damit die Integration
Integrationsbereich günstiges Koordinatensystem Rechteck 2dimensionale kartesische Koordinaten Kreis Polarkoordinaten Ellipse elliptische Koordinaten Quader 3dimensionale kartesische Koordinaten Zylinder Zylinderkoordinaten Kugel Kugelkoordinaten
∫∫∫∫ ∂∂
=BB
dudvvuyxvuhvugfdxdyyxf),(),()],(),,([),(
∫∫B
dxdyyxf ),(
.0),(),(≠
∂∂
vuyx
Ziel ist es,
wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!
Seite 93, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Volumenintegrale
2 Möglichkeiten zur Volumenberechnung
A) Differenz der Volumina unter den Flächen u2(x, y) und u1(x, y), über Flächenbereich B:
∫∫
∫∫∫∫−=
−=
B
BB
dxdyyxuyxu
dxdyyxudxdyyxuV
)),(),((
),(),(
12
12
B) Berechnung durch Dreifachintegral über Volumen- bereich B3 (f(x, y, z) = 1 innerhalb von B3):
dydxyxuyxu
dzdydxdxdydzV
b
a
xv
xv
b
a
xv
xv
yxu
yxuB
∫ ∫
∫ ∫ ∫∫∫∫
−=
===
)),(),((( 12
)(
)(
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
2
13
u2(x, y)
u1(x, y) v2(x)
v1(x) B
Man erkennt, dass A) und B) auf das gleiche Flächenintegral hinauslaufen.
Seite 94, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Physikalische Anwendungen
dVmB∫∫∫= ρMasse eines Körpers (ρ(x, y, z)
ist ortsabhängige Dichte)
Schwerpunktskoordinaten zdVm
zydVm
yxdVm
xB
sB
sB
s ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ 1,1,1
Statische Momente (Drehmomen- te) als 1. Momente bzgl. der x-, y-, z-Achse, g Erdbeschleunigung
zdVgMydVgMxdVgMB
zB
yB
x ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ ,,
dVyxI
dVzxIdVzyI
Bz
By
Bx
∫∫∫
∫∫∫∫∫∫+=
+=+=
ρ
ρρ
)(
)(,)(
22
2222
Trägheitsmomente als 2. Momente bezüglich der x-, y-, und z-Achse
Trägheitsmoment eines ebenen Bereichs bezüglich der z-Achse (ρ(x, y) Flächendichte)
dAyxIB∫∫ += ρ)( 22
Seite 95, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kurvenintegral / Linienintegral
Die Funktion z = f(x, y) sei im Be- reich B der x-y-Ebene stetig. In B sei eine Kurve C mit Richtungssinn (siehe Pfeil) gegeben.
Die Kurve C wird durch die Punkte Pi in kleine Linienstücke unterteilt. Die x-Abstände zweier benachbarter Punkte seien mit Δx = xi – xi-1 gleich groß. Durch Aufsummieren der Flächenstücke f(xi, yi)·Δxi erhält man im Grenzfall n → ∞ das Kurvenintegral
∑∫=
∞→∆==
n
iiii
Cnx xyxfdxyxfI
1),(lim),(
Das Vorzeichen der Integrale ändert sich mit der Pfeilrichtung von C. Bei Zerlegung von C in 2 Teilkurven addiert sich das Kurvenintegral aus den beiden Teilintegralen.
Entsprechend unter Verwendung der y-Werte:
∑∫=
∞→∆==
n
iiii
Cny yyxfdyyxfI
1),(lim),(
Geometrische Interpretation: Das Kurvenintegral ist die auf die x-z-Ebene (y-z-Ebene) projizierte Fläche zwischen K und C.
Ix und Iy sind i. allg. nicht gleich!
Seite 96, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Kurvenintegral II
Weitere wichtige Form des Kurvenintegrals:
Anwendung: Berechnung der Arbeit, die eine ortsabhängige Kraft längs eines Weges C leistet. Wichtig in Thermodynamik, Mechanik und Vektorrechnung!
Allgemeines Kurvenintegral:
2222 ,)(')('))(),((),(2
1
dydxdsdttytxtytxfdsyxft
tC
+=⋅+⋅= ∫∫
∫∫ ⋅+==2
1
22 )(')('t
tC
dttytxdss
(dx,dy,dz)),a,a(a
zyxdzzyxadyzyxadxzyxa
zyx
Czy
Cx
==
=++ ∫∫dsa
dsa
,
),,()),,(),,(),,((
Vektorform
Bogenelement
mit x = x(t), y = y(t), dx = x′dt, dy = y′dt, t1, t2 Anfangs- und Endwerte zu Kurve C. Entsprechend Erweiterung auf 3 Dimensionen.
Sonderfall Bogenlänge s (f(t) = 1):
Seite 97, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals
Ein 2dimensionales Kurvenintegral K sei über eine Kurve C in einem einfach zusammenhängenden Bereich (keine Löcher) über zwei Funktionen: P(x, y), Q(x, y) gegeben:
∫ +=C
QdyPdx K )(
Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für die
Wegunabhängigkeit von K ist: xQ
yP
∂∂
=∂∂
Folgerungen:
F kann bis auf die Fktn g(y) und h(x) aus P und Q bestimmt werden:
Das Kurvenintegral K läßt sich auch durch das totale (vollständige, exakte) Differential dz = Fxdx + Fydy = Pdx + Qdy ausdrücken:
Für eine geschlossene Kurve C ist das Ringintegral null:
Satz: K ist wegunabhängig, wenn eine Stammfunktion (Potentialfunktion) F(x, y) = z existiert, mit: yx FQFP == ,
∫∫ +=+= )(),( xhQdyFygPdxF
∫∫ =+=CC
dzQdyPdx K )(
∫ ∫ ==+ 0,0)( dzQdyPdx
Seite 98, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Anwendungen von Differenzialgleichungen
Weitere Beispiele:
Gewöhnliche Dgln - Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiver Zerfall) - Chemische Reaktionen Partielle Dgln - Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität (Transport-Gl.) - Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.) - Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.) - Kontinuitäts- und Strömungs-Gl. (Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.) - Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.) - Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)
Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie, Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellen als mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!
Quelle: E. Kreyszig
Seite 99, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Systeme v. gewöhnlichen Differenzialgleichungen
,0),...,,,...,,,...,,(...
,0),...,,,...,,,...,,(
,0),...,,,...,,,...,,(
)()(22
)(11
)()(22
)(112
)()(22
)(111
=
=
=
nmm
nnm
nmm
nn
nmm
nn
yyyyyyxF
yyyyyyxFyyyyyyxF
m Bedingungsgleichungen der Form
führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimmung von m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).
Beispiel: Differenzialgleichungssystem: Lösung 1:
Lösung 2:
axayaxy cos ,sin 21 ⋅==
axayaxy sin ,cos 21 ⋅=−=
0 0
12
12
=′−=⋅+′
yyyay
Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene Funktionensysteme gelöst werden.
Seite 100, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
2. Gewöhnliche DGLn erster Ordnung
Existenz von Lösungen
F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)
Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dgl sind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg. Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgn zu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll, reduziert man die Lsgn auf eine einzige. Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nach y′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).
Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky. Hier ist die Steigung nur von y abhängig.
Linienelement
Seite 101, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln: 1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch Trennung der Variablen). 2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl (z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten). 3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0 Alternative: Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.
Homogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = 0 Inhomogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = g(x) g(x) heißt Störterm
Lösung der inhomogenen linearen DGL
Wichtiger Satz: Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dgl und einem partikulären Intergral der inhomogenen Dgl.
Seite 102, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Exakte Differenzialgleichung
liefern g(y) und h(x) durch Vergleich
Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen
heißt exakt, wenn gilt:
0),(),( 0),(),( ),(),(
=′⋅+⇔=+⇔−=′ yyxQyxPdyyxQdxyxPyxQyxPy
xy QPxQ
yP
=⇔∂∂
=∂∂
∫
∫∫∫+=
+=+==
)(
)()(
xhQdy
ygPdxQdyPdx dzFCC
Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrie- render Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:
Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:
)()(xQ
yP
∂∂
=∂
∂ µµ
konstQdyPdxFC
=+= ∫ )( µµ
Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, mit F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q. F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) und liefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):
Seite 103, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung
Form: y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x) Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogen
Sätze:
1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige) Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist. Sie bilden das fundamentale Lösungssystem.
0
...............
...
...
)1()1(2
)1(1
21
21
≠′′′
−−− nn
nn
n
n
yyy
yyyyyy
2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination der mit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems (Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)
3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral der homogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstanten bestimmbar) der inhomogenen Dgl.
4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)
angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)
erfüllt sein sollen.
Wronski-Determinante
Seite 104, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
DGL: Gedämpfte freie Schwingung
x
t
x
t
Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:
Lösungs- ansatz:
teAx ⋅⋅= λ
222/1 ωλ −±−= KK
Charakter. Gleichung:
tt eAxeAx ⋅⋅ ⋅⋅=′′⋅⋅=′ λλ λλ 2 ,
Lösungen:
)(
)(
)(
2222
2222
2222
21
21
21
tKtKKt
tKtKKt
tKtKKt
etAeAex
eAeAex
eAeAex
ωω
ωω
ωω
−−−−
−−−−
−−−−
⋅⋅+⋅=
⋅+⋅=
⋅+⋅= λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingung
λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall
λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfall
02 0 2 =⋅+′⋅+′′⇔=⋅+′⋅+′′⋅ xxKxxDxbxm ωTrägheitskraft m·x′′ Reibungskraft – b·x′ Federkraft – D·x Abklingkoeffizient K = b/2m Kreisfrequenz ω = (D/m)1/2 Konstanten A, A1, A2
Gedämpfte Schwingung Kriechfall
Aperiodischer Grenzfall
Einsetzen in Dgl ⇒
Einhül- lende
Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)
Seite 105, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I
DGL: Erzwungene Schwingung
Ansatz part. Integral:
ti kex ωα ⋅=
2222220
220 2tan ,)2()( ,
2 k
kkk
i
kk
KKrer
KKi
Kωωωϕωωω
ωωωα ϕ
−=+−=⋅=
+−= −
ti keKxxKx ωω ⋅=⋅+′⋅+′′ 022
Anregende Kraft F0 = K0·m Anregende Beschleunigung K0 Anregende Kreisfrequenz ωk Abklingkoeffizient K = c·m Dämpfungskonstante c = b Eigenkreisfrequenz System ω Amplitudenverstärkung C* Konstanten α, A1, A2
x mit Ableitungen in Dgl einsetzen, komplexen Nenner in Polarko- ordinaten darstellen :
Inhomo- gene Dgl:
Allgemeine Lösung:
)cos()2()(
)(2222
021
2222
ϕωωωω
ωω −⋅+−
+⋅+⋅= −−−− tK
KeAeAex k
kk
tKtKKt
Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral
C* Einschwingvorgang
ωk/ω
Resonanz bei ωk → ω besonders bei K → 0!
ϕ
ωk/ω
Phasenverschiebung ϕ zw. System u. Anregung
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