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Melnikov-Methode und Übergang zu chaotischemVerhalten beim Euler-Kreisel in Cardanischer Aufhängung
Alexander Erlich
1. Gutachter: Prof. Dr. P. Richter 2. Gutachter: Prof. Dr. G. Czycholl
26. August 2010
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 1 / 15
Gliederung
1 Analyse des ungestörten SystemsGestörte und ungestörte BewegungZiel der ArbeitBifurkationsdiagramm und Separatrix
2 Quanti�zierung des Chaosstabile und unstabile MannigfaltigkeitenDistanzmaÿ
3 Melnikov-Methodenäherungsweise DistanzmessungVeranschaulichungen der Mannigfaltigkeiten
Ziel der Arbeit
normierte Trägheitsmomente: α, β , γ Rahmen-Ein�uss: ρ
Normierung: α +β + γ = 1
Euler-Kreisel ohne Rahmen: stets integrabel
Euler-Kreisel mit Rahmen: integrabel wenn Symmetrie α = β
Störung der Symmetrie: β = α (1+ ε) ε : Störparameter
Ziel der Arbeit
Untersuchung des Übergangs ins Chaos bei Variation von ρ , ε
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 4 / 15
Bifurkationsdiagramm
System von Grenzen im Raum der Erhaltungsgröÿen h, pϕ , pψ
B
C
D
X
Y
−1.0 −0.5pϕ
0.5
pψ
0.5 1.0
0.8
A
−0.8
−0.5
α = 0.255 ρ = 0.4
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 5 / 15
Bifurkationsdiagramm und Separatrix
Separatrix:
Trajektorie, die von Potentialmaximum ausgeht und wieder dorthinzurückkehrt
separiert (im Phasenraum) oszillierende von rotierender Bewegung
0.5
pϑ
−π −π2
π2 π
ϑ0
α = 0.255 ρ = 0.4 h = 0.5
B
C
D
X
Y
pϕ
0.5
pψ
0.5 1.0
0.8
A
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 6 / 15
stabile und unstabile Mannigfaltigkeiten
Quanti�zierung des Chaos: Fläche zwischen Wu und Ws
A = 0.142
A = 0.280
−π −π2 0
−π −π2
−π π
−π π
ϑ
Wu
Ws
pϑ
ϑ
ϑ
ϑ
0.5
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.5
0.30.20.1
0.10.20.3
pϑ
d(ϑ) d(ϑ)
ε = 0.5 α = 0.255 ρ = 0.4 h = 0.5
Bif.-Diag.: A Bif.-Diag.: B
0
homokline Bifurkation
Gabelung zwischen einem und drei Schnittpunkten vonWu und Ws (bei −π < ϑ < π)
0.5
pϑ
ϑ
Bif.-Diag.: lϕ = 0.35 ε = 0.5 α = 0.255 h = 0.5 ε = 0.5 ρ = 0.5
−π −π2
π2
π0
0.2
0.4
0.6
ϑ−π −π2
π2
π0
pϑpϕ
pψ
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 10 / 15
Distanzmaÿ: diskrete Daten
H = F + ε G =p2
ϑ
2α+
p2ψ
2γ+
(pϕ −pψ cosϑ
)22(ρ +α sin2ϑ
) + ε G
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ρ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
ρ
εε
A B
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 11 / 15
Distanzmaÿ: Contourplot
H = F + ε G =p2
ϑ
2α+
p2ψ
2γ+
(pϕ −pψ cosϑ
)22(ρ +α sin2ϑ
) + ε G
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ρ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ρ0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
ρ
ε ε0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
A B
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 12 / 15
Melnikov-MethodeStörungstheoretische Methode für näherungsweise Distanzmessung zwischen Wu und Ws
Ws
Wu
pϑ
ϑ
t0
d(t0)
genähertes Distanzmaÿ:
d (t0, ε) = εM (t0)
‖∇q0 (−t0)‖ +O(ε2)
Melnikov-Funktion
M (t) =∫
∞
−∞
{F (q0 (t− t0)) ,
G (q0 (t− t0))}dt
Separatrix: q0 (t) = (ϑ (t) , pϑ (t))T
Hamilton-Funktion: H = F + ε G
Mannigfaltigkeiten in 3D; numerische Distanzmessung
pϑ
ϑ
t
pϑ
ϑ
tWs
Wu
0.5
pϑ
−π −π2
π2 π0
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 14 / 15
Zusammenfassung
chaotisches Verhalten:Distanzmaÿ zw. Wu und Ws
homokline Bifurkationen nahe C
Erkenntnis: Erhöhung von ρ
führt zu weniger Chaos
Distanzmessung im Sinne vonMelnikov: rein numerisch
Ausblick / weitere Möglichkeiten
�halb-analytische�Melnikov-Analyse:Geschwindigkeitsvorteil?
Rolle der homoklinenBifurkationen?
ϑ
pϑpϑ
ϑ
A B
ρ→
↑ε
ρ→
↑ε
pϕ
pψ
Alexander Erlich (Universität Bremen) Euler-Kreisel: Übergang ins Chaos 26. August 2010 15 / 15
Verwendete Literatur I
J. Guckenheimer and P. Holmes.Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector
�elds.Copernicus, 1990.
P.H. Richter and K. Finke.Cardan-mounted Euler and Lagrange tops I: bifurcations of invariantsets.noch nicht publiziert, 2010.
S. Wiggins.Chaotic transport in dynamical systems.Springer, 1992.
ungestörtes System (ε = 0)kinetische Energie (α 6= β ), Hamilton-Funktion (α = β )
kinetische Energie (α 6= β ), (q, q̇)-Raum
T =1
2α
(ϕ̇ sinϑ sinψ + ϑ̇ cosψ
)2+1
2β
(ϕ̇ sinϑ cosψ− ϑ̇ sinψ
)2+1
2γ (ϕ̇ cosϑ + ψ̇)2 +
1
2ρϕ̇
2
Hamilton-Funktion (α = β ), (q, p)-Raum
H =p2
ϑ
2α+
p2ψ
2γ+
(pϕ −pψ cosϑ
)22(ρ +α sin2ϑ
)
Bifurkationsdiagramm: alle Punkte für Animationen
B
−1.0 −0.5pϕ
0.5
pψ
0.5 1.0
0.8
A
−0.8
−0.5
α = 0.255 ρ = 0.4
L3
L1
L2
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