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Normalverteilung, normal distibutiong,
Carl Friedrich Gauß, der „Fürst der Mathematik“ , the „lord of mathematics“1777 1855 P f i Gö i
Der alte 10‐Mark‐Schein, gültig bis 2002
1777‐1855, Professor in Göttingen,Lehrer von Bernhard Riemann
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de
Folie 1
, g gThe old 10‐mark‐note available till 2002
Normalverteilung, normal distibutiong,2
2( )
21x
21( )
2f x e
2
21( )x
21( )
2x e
Vorsicht, wilde Formel, attention strange formula
Gaußsche Glockenkurve Gaussian bell curveGaußsche Glockenkurve Gaussian bell curveWahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion
b bilit d it f tiProf. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.mathematik‐sehen‐und‐verstehen.de
Folie 2probability density function
Normalverteilung, normal distributionstetig und nicht diskretstetig und nicht diskret continuous and not discrete
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Folie 3Wahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion probability density function PDF
StandardNormalverteilung ,standard normal distib tionstandard normal distibution
W.‐Rechner
früher in Tafeln
Nur die Flächen haben Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit.Only areas have the meaning of probabilities, not the ordinates.
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Folie 4
Binomial‐ und Normalverteilungbinomial and normal distibution
1‐sigma‐Abstandliegt bei den Wendepunkten
sehr ungewöhnlicheminent abnormalliegt bei den Wendepunkten
Ergebnisse außerhalb des 2‐sigma‐Bereichs heißen „ungewöhnlich“,
The inflection points define the 1‐sigma‐distance
eminent abnormal
Bereichs heißen „ungewöhnlich ,sie treten mit 5% W. auf.
distance
Results outside of the 2‐sigma‐region are called
Folie 5
Results outside of the 2 sigma region are called „abnormal“, their probability is 5%.
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Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikant
Messwerte sind normalverteilt,(meist)ll d d l di ib dcollected data are normal distibuted, mostly
und nun?und nun?what is to do now?
Messreihe, test seriesDie (n‐1) im Nenner ist richtig denn so ist es
Mittelwert 1x x
ist richtig, denn so ist esein erwarungstreuerSchätzer für das wahre sigma.Bei beschreibender Mittelwert
mean q ii
x xn
Bei beschreibender Statistik steht dort n.
the (n‐1) is important
21s x x StandardabweichungStichproben‐
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Folie 6
1 i q
i
s x xn
standard deviation
Messwerte sind normalverteilt,(meist)ll d d l di ib dcollected data are normal distibuted, mostly
d d h h h h h?Und was ist die Wahrheit, what is the truth?
Wurzel‐n‐Gesetz
Wir haben mit vermutlich nicht getroffend it i ht !
qx
Wurzel n Gesetz
und mit s nicht !What are the valid values for and ?
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Folie 7
Gaußsches Wurzel‐n‐GesetzGaussian square root n theorem
Wurzel‐n‐Gesetz
lt f thresult of themesurement
for english thereare the slides 13+14
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Folie 8
Gaußsches Wurzel‐n‐GesetzGaußsches Wurzel n GesetzGaussian square root n theoremWurzel‐n‐Gesetz
for english thereare the slides 13+14
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Folie 9
Gaußsches Wurzel‐n‐GesetzGaußsches Wurzel n GesetzGaussian square root n theorem
Wuzel(n)‐Gesetz for english thereare the slides 13+14
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Folie 10
Messungen auswertenMessungen auswertenevaluation of the collected data
1 2 3, , ,..., nx x x x english on slide 131 2 3, , ,..., nx x x xentstammen einer (Normal‐) Verteilung mit und .
english on slide 13
unbekannt
berechne ix x 211 ( )ins x x
Mittelwert Standardabweichung alsMittelwertals Schätzwert für
Standardabweichung alsSchätzwert für
Je mehr Messungen man gemacht hat desto weniger wird der Je mehr Messungen man gemacht hat, desto weniger wird der gemessene Mittelwert vom wahren Wert abweichen. Daher hat die Verteilung der Mittelwerte aus n Messungen einekl i d d b i h ä li h
s
kleinere Standardabweichung , nämlich Man schätzt sie mit dem Standardfehler .
n
sn
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sn
x Angabe des Mess‐Ergebnisses Folie 11
B d t d M E b iBedeutung des Mess‐Ergebnissessx Angabe des Mess‐Ergebnisses z.B. 57 2.3
werden etwa mit 68%Wahrscheinlichkeit Mittelwerte in dem durch die
nund
Angabe des Mess ErgebnissesJeweils mit diesem gemessene normalverteilte n Messwerte
werden etwa mit 68% Wahrscheinlichkeit Mittelwerte in dem durch die wahre Standardabweichung gegebenen Bereich um haben. zu 95% liegen sie im ‐Bereich um .
n
2n
english on slide 14Solch ein Mittelwert ist der von uns gemessene Wert . Wir kennen wedernoch . Letzteres schätzen wir mit dem Standardfehler .
xn
n s
english on slide 14
Wir hoffen nun, das nun auch umgekehrt das wahre in dem durch gegebenen Bereich mit etwa 68% Wahrscheinlichkeit und im Bereich
sn
n
n
mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt. Mit größerem n werden wir immer genauer.
Sieht man auf einem Messgerät z B die Angabe
2 sn
Folie 12
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Sieht man auf einem Messgerät z.B. die AngabeGenauigkeit , so deutet man a als für Einzelmessungen.a
Folie 12
Messungen auswertenMessungen auswertenevaluation of the collected data
1 2 3, , ,..., nx x x x Thi t ill b il bl i E li h1 2 3, , ,..., nx x x xfollow a normal didtribution with the unkrown parameters nd .a
This two pages will be available in English soon
calculate ix x 211 ( )ins x x
mean standard deviationmeanestimating value for
standard deviationestimating value for
The more measured data you have the merrier is the calculatedThe more measured data you have the merrier is the calculatedmean near the truthful value . Therefor the distribution of the means out of n measurements has
l d d d i i h i
s
a lower standard deviation, that isWe estimate this value with the standard error . n
sn
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sn
x We give as result of the measurement Folie 13
M i f th R ltMeaning of the Resultsx result of the measurement i.e. 57 2.3
There is a probaility of round about 68% that the calculated means for the n measuredvalues under the normal distribution with parameters will be in a
d h b b l f h
n
nd a
result of the measurement
region round . With a probability of 95% they are in a regionof the width round .
n2
n
Such a mean is the measured an calculated mean , also called . we know neither nor but we estimate this with the standard errorand with 95% in the region round
xn
sn
qxand with 95% in the ‐region round
We hope in reverse that the true wth an probability of 68% will be in the ‐regionsn
n 2 sn
xWith growing up n we will be better and more accurate.
If you see on a measuring tool the declaration , so this is thea Folie 14
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for single measured values.a
Folie 14
Messungen auswertenevaluation of the collected data
sx Wahrheit
truthn
Mess‐Ergebnisgmeasurement result
95%. Konfidenzintervall my liegt hoffentlich darinmy liegt hoffentlich darin we hope, my is in the confidence interval
Pech gehabt tough luck
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Folie 15Aber Pech gehabt, tough luck
Was weiß man denn überhaupt?pCan we say any thing at all?
Gibt es denn gar keine Gewissheit ??
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Is there any certainty?Folie 16
Man hat Verabredungen wie man mit der Unsicherheit umgeht There are rules to handle with uncertaintyumgeht There are rules to handle with uncertainty.
Gedankenexperiment: Ho gilt. Thought experiment: Ho is valid 20 Forscher testen, 19 können Ho nicht ablehnen. 20 scientists, they keep Ho1 F h h fälli i i ifik E b i k i h d1 Forscher hat zufällig ein signifikantes Ergebnis, er kann nichts dazu,
wenn er nun den alpha‐Fehler begeht. One scientist has accidentally a significant result so he slipped up the error of type 1significant result, so he slipped up the error of type 1.
Später wird seine H1 in der Fachwelt nicht mehr bestätigt, die anderen 19 können froh sein, dass sie nichts behauptet haben, was falsch ist.
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Aber er eine hat sich korrekt verhalten. But other sientists will not confirm H1, but he does‘nt work wrong. The 19 are glad, that they nothing accepted. Folie 17
Alle empirischen Wissenschaften phaben die gleichen Probleme
All empiricalworking sciencesworking scienceshave the sameproblemsproblems.In the inferencestatistics we learnstatistics we learnthe rules.
In der Beurteilenden Statistik lernt man die Regeln.N h I f i ik hli ß d S i ik I d k i S i ik
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Namen auch: Inferenzstatistik, schließende Statistik, Induktive StatistikFolie 18
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