nyquist-kriterium

1 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nyquist-Kriterium

)(1)()(DTDADA OL

F

)()()(DQDPDAOL

)()()(DMDLDT

)(1 zT

)()(1

1)()()(

zMzLzQ

zPzAF

Verstärkung mit RK

Die Voraussetzung: Q(z) und M(z) haben keine Wurzel mit dem positiven Reellteil

Stabilitätsbedingung: Die Funktion im Nenner darf keine Wurzel in der positiven komplexen Halbebene haben

)()()(zMzLzT

2 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Circuit Diagram

3 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Komplexe Analysis

Funktionsgraph von f(z)=(z2-1)(z-2-i)2/(z2+2+2i) in Polarkoordinaten. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.

4 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Komplexe Analysis

)(zf

azafzfaf

az

)()(lim)('a

z

)sin(cos yiyeee xiyxz

0)( dzzf

dzazzf

iaf )(

21)(

dz

azzf

inaf n

n1

)(

)()(

2!)(

,0)(),()()( agzgazzf n

,0)(,)()()( ahazzhzf p

iezz izzLog )log()(

Eine Komplexe Funktion der komplexen Variable z

Ableitung wird definiert

Die Funktion ist Analytisch wenn die Ableitung immer gleich bleibt, egal von welcher Richtung sich z zum a nähert

Im

Re

Einige Wichtige analytische Funktionen

Cauchy‘sche Integralformel Definition, Nullstelle n-ter Ordnung

Definition, Polstelle p-ter Ordnung

5 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

)sin(cos yiyeee xiyxz

dzazzf

iaf )(

21)(

,0)(),()()( agzgazzf n

,0)(,)()()( ahazzhzf p

PNdzzfzf

i )()(

21 '

iezz izzLog )log()(

PNdzzfLogdzd

i))((

21

PN 2

z1 f(z1)

z2

f(z2)z3

f(z3)

Cauchy

Einige Definitionen

Nullstelle

PolstelleEs folgt:

Anzahl von Nullstellen – Anzahl von Polstellen der Funktion f(z) innerhalb Kontur Γ

Anzahl von Umdrehungen des Phasenvektors um 0 ist N-Z

Das Integral ist die Phasenänderung der Funktion f(z) während der Integration auf Kontur Γ

6 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

)()()(

)()(1)(1

zMzLzM

zMzLzT

0

z1

1+T(z1)

z2

1+T(z2)

z3

1+T(z3)

Die Phasenänderung der 1+T(z) für z auf dem Kreis ist 0

7 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nullstellen und Polstellen

z1

1+T(z1)

z2

1+T(z2)

z1

T(z1)

z2T(z2)

-1

1+T(z) T(z)

8 Ausgewählte Themen des analogen Schaltungsentwurfs

Nyquist-Kriterium

z1

T(z1)

z2T(z2)

-1

z1

T(z1)

z2

T(z2)

-1

Kreis um 0 mit R=1

Bei |T(iy0)|=1 darf die Phasenänderung T(iy0)-T(0) nicht weniger als -180 Grad sein