odds algorithmus
Post on 18-Jan-2016
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ODDS Algorithmus
Oder
Die Kunst, sich richtig zu entscheiden
Jana Fenske / Bernhard Früh
Ein Autokauf steht an:
Ein Schnäppchen ??? 55.000 Km, 75 PS, 5 Türen, aus 04/06Mit Klima, Navi, aus 1.Hand...
SIE müssen den Preis bieten...
Ein Schnäppchen ??? 55.000 Km, 75 PS, 5 Türen, aus 04/06Mit Klima, Navi, aus 1.Hand...
Modellierung:-keine zweite Chance-nur ein Angebot-Sie brauchen ein Auto..
WAS ist Ihr Preis ???
Als Verkäufer brauche ich eine Strategie...
• - ich will verkaufen
• - möglichst hohen Preis erzielen
• - keine Chance auf ein Wiedersehen
• - wenig bis keine Informationen vom Markt
• Was ist zu tun ???
Neues Beispiel, Neues Glück
• Sie würfeln mit einem Würfel• Genau zwölfmal• Sie gewinnen, wenn Sie die „letzte“ Sechs
richtig vorhersagen• Bsp: 3, 6, 4, 1, 2, 6, 3, 6, 2, 5, 1, 3• Wenn Sie falsch liegen, oder gar keine
Sechs fällt, gewinnt die Bank • Welche Strategie verspricht Erfolg...???
Die Kunst der richtigen Entscheidung
• Grundüberlegungen:
• Jeder Wurf ist ein unabhängiges Ereignis
• Nach der letzten Gelegenheit gibt es kein „Zurück“ mehr
• Ungewissheit der Zukunft
• Sei E1,E2, E3, ...En eine Folge von n unabhängigen Ereignissen
• Sei pk die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ek als Gelegenheit herausstellt
• Wir definieren qk als Gegenwahrscheinlichkeit: qk=1-pk
• Wir bilden rk=• Wir schreiben pk,qk,rk untereinander• Wir summieren die rk von hinten bis der Wert 1
erreicht oder überschritten wird• Diese Stelle heißt Stopp-Stelle s• Strategie ist: Nimm die nächste Gelegenheit nach s
Der Odds-Algorithmus
€
pkqk
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12pk
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
€
16
qk
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
€
56
rk
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
€
15
Summe 1.0
€
45
€
35
€
25
€
15
Zielerreicht• rückwärts aufaddiert: R=rn+rn-1+rn-2+... Bis R 1
• der Wert 1 wird erreicht beim fünftletzten Wurf• wir nehmen also die erste Sechs ab dem achten Wurf
Der Odds-Algorithmus beim Würfeln
€
≥
Optimale Strategie ?
• Wir bilden Qk= mit s als Stopp-Index
• Q=
• Erfolgswahrscheinlichkeit: W=Rs*Qs= 1.0*0.4019 = 40.19%
€
qn∗qn−1∗qn−2∗...qs
€
56 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟5≈0.4019
Der Odds-Algorithmus beim Autoverkauf
• Annahme: 8 ernsthafte Interessenten
• pk= qk= rk=
€
1k
€
k −1
k
€
1
k −1
n 1 2 3 4 5 6 7 8pk
€
11
€
12
€
13
€
14
€
15
€
16
€
17
€
18
qk 0
€
12
€
23
€
34
€
45
€
56
€
67
€
78
rk 1
€
12
€
13
€
14
€
15
€
16
€
17
Summe
€
153140
€
319420
€
107210
€
1342
€
17
Zielerreicht
Optimale Strategie ?
• Wahrscheinlichkeit für Optimum:
• W=Rs*Qs
• hier: 1.093*0.375=0.4099...ca. 41%
Der Odds-Algorithmus beim Arzt
• Idee der Vorstellung der Behandlungen:Folge von: - + - - + - - - - -
• Aufgabe: finde optimalen Stopp-Punkt der Versuchsreihe (Analog Würfelspiel)
• aber jetzt: unbekannte pk : Annahme konstant: muss geschätzt werden (Idee: Würfel ist gezinkt)
• oder: unbekannte pk : Annahme nicht konstant: muss geschätzt werden (je schlechter es dem Patienten geht, desto mehr sinken die Aussichten)
Odds-Algorithmus in der Politik
• Frage: Timing für Argumente ( im Wahlkampf)• (die Stichhaltigkeit der Argumente wird vorausgesetzt)• Es gibt interessante und uninteressante Ereignisse• Aus jedem Tag k kann mit der WS ek ein Ereignis hervorgehen,
das wiederum mit der WS gk interessant ist.• Unter Annahme der Unabhängigkeit gilt: pk=ek*gk • Beispiel: Die „Anderen“ sagen alle 14 Tage was zum Thema
Pendlerpauschale: ek=• Einschätzen der Chance, dass eigene Äußerungen dazu
erfolgreich sind (einer von drei Fällen): gk=• pk= €
1
14
€
1
3
€
1
14*
1
3=
1
42
Odds-Algorithmus Ausblick:
• viele Alltagsprobleme können modelliert werden
• Sekretärinnen-Prinzessin-Problem/Hausverkauf
• aber:Aktienkurse (Kurs von morgen ist sehr wohl vom Kurs von heute abhängig!)
Odds-Algorithmus Anwendung:
• 10 Zahlen auf 10 (gemischten) Karten
• Ziel: die größte Zahl zu finden
• Dabei: Umdrehen, annehmen oder verwerfen, keine zweite Chance
Odds-Algorithmus Anwendung:
• 10 Zahlen auf 10 (gemischten) Karten
• Ziel: die größte Zahl zu finden
• Dabei: Umdrehen, annehmen oder verwerfen, keine zweite Chance
• Näherung nach Odds-Algorithmus:
• Multipliziere die Anzahl der Angebote mit 0.367 und runde ab als Näherung für s
Der Mann-Whitney-U-Test
ein Rangsummentest für eine
besondere Entscheidungssituation
mit kleinen Datenmengen
Häuserverkäufe durch Makler
• Rita (n1=8) Walter (n2=8)
• voneinander unabhängige Daten• Gibt es einen Unterschied der Verkaufszeiten ???
Rita Rasant Walter Kommtgleich
Häuserverkäufe durch MaklerRita Rasant Walter Kommtgleich
was sagt uns der Vergleich der Boxplots ?
Testen der Hypothese mit Rangsummentest
• H0 Hypothese: Die Verkaufszeiten unterscheiden sich nicht signifikant
• H1 Hypothese: Die Verkaufszeiten sind signifikant unterschiedlich
Testen der Hypothese mit Rangsummentest
• Ordnen der Daten von kleinsten zu größten
• Rangplätze vergebenBei gleichen Werten(hier 145) wird der Rangaufgeteilt. Beide erhalten den Rang 6.5
Rangsumme T von RitaBilde: TR
• Bei werden die Werte für TL und TU aus der Tabelle bestimmt:
• Hier: TR= 52.5 => Wir können H0 nicht ablehnen.
Auswertung der Teststatistik
€
α=0.05
Es ergibt sich:
TL =49 und TU =87
• Der Stichprobenumfang ist relativ gering (8Werte)• Die Standardabweichung liegt in beiden Fällen bei
über 70, was relativ groß im Vergleich zum Median ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Testergebnis zufällig eintreten könnte, unter der Voraussetzung, dass H0 richtig ist, kann nicht berücksichtigt werden.
Auswertung der Teststatistik
Erweiterte Anwendung
• Zwei Sportlerteams kommen für einen Wettkampf aus dem Trainingslager zurück.
• Hier die Ergebnisse, es gab maximal 20 Pkt.
• H0: Beide Teams hatten das gleiche Training.
• H1: Das Training war signifikant unterschiedlich.
A 9 10 10 12 13
B 11 15 15 16 18
Erweiterte Anwendung
• Sortieren der Daten mit Gruppenzuordnung
• U=Summe der B-Werte vor jedem A-Wert • U´=Summe der A-Werte vor jedem B-Wert • U > U´• U=0+0+0+1+1=2 (U´=3+5+5+5+5=23)
9 10 10 11 12 13 15 15 16 18
A A A B A A B B B B
Erweiterte Anwendung
• Tabelle mit:
• n2=5• U=2
• ergibt:• p= 0.016• 2p=0.032
• H0 wird abgelehnt. H1 wird angenommen.
Übung
• 5 Labormäuse lernen, dass sie bei Hunger dem Anführer folgen müssen, um Futter zu erhalten.
• Dann werden sie einer neuen Situation ausgesetzt, bei der sie Elektroschocks vermeiden müssen, indem sie wiederum dem Anführer folgen.
• Eine Kontrollgruppe von 4 Mäusen, die kein voriges Training über die Futterbelohnung erhalten hat, wird ebenfalls in der Elektroschock Situation beobachtet.
• Lernt die erste Gruppe Mäuse schneller?
Aufgabe:
• Stellen Sie die Hypothesen H0 und H1 auf
• Überprüfen Sie diese mittels Mann-Whitney-U-Test
• Sie erhalten folgende Beobachtungsdaten:
ExpM 78 64 75 45 82
KontrM 110 70 53 51
Auswertung:
• Rangordnung herstellen
• U=Summe der Anzahl der E Werte vor jedem K Wert
• hier: U=1+1+2+5=9
45 51 53 64 70 75 78 82 110
E K K E K E E E K
Auswertung:
• mit U=9und n2=5 aus Tabelle:
• p=0.452 abgelesen• Wir können H0 nicht zurückweisen• Es gibt keine Hinweise, dass das Futtertraining
übertragbar ist.
Zusammenhang: U und U´
• Behauptung:
• n1* n2= U + U´
• Beispiel Häuserverkauf
• n1=5 und n2=5
• U=0+0+0+1+1=2 und U´=3+5+5+5+5=23• 5*5=23+2
Formel zur Berechnung von U
• Behauptung:
• oder auch:
• ist n2>20: Annäherung der Stichprobenverteilung von U an die Normalverteilung
€
U = n1 ∗n2 +n1 ∗(n1 +1)
2− R1
€
U = n1 ∗n2 +n2 ∗(n2 +1)
2− R2
Literatur:
• Odds-Algorithmus: Prof.Dr.Thomas Bruss, Uni Brüssel In: Spektrum der Wissenschaft, Juni 2005, S.78-84
• Bas Kast: Wie der Bauch dem Kopf beim Denken hilft, 2007
• Waldemar Hofmann: Das Testen von Hypothesen, 1986
• Deborah Ramsey: Weiterführende Statistik für Dummies, 2008
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