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194 7. Elektromagnetische Wellen im Vakuum
Da auf der Oberflche eines idealen Leiters bei z = keine Tangentialkomponente Ex existieren kann, gilt am Ort der Ebene z = 0:
E(z = 0) = EOi + EOr = 0 =} EOi = -Eor . (7.29)
Die berlagerung von einfallender Welle Ei und reflektierter Welle Er ergibt:
E(z, t) = EOi cos(wt - kz) + EOr cos(wt + kz) = 2Eo . sin(kz) . sin(wt) (7.30)
mit Eo = EOi = -Eor . Fr den magnetischen Anteil erhalten wir aus der Relation
oEx oBy oz = -7it'
die aus der Maxwell-Gleichung rot E = -B folgt:
B(z, t) = 2Bo cos(kz) . cos(wt) (7.31 )
mit Bo = {O, (k/w) Eo,O}. Zwischen den Maxima von E und denen von B tritt also eine rumliche Verschiebung von ..1./4 auf und eine zeitliche Verschiebung von T /4 = n/2w, im Gegensatz zur laufenden Welle, bei der E und B in Phase schwingen.
Der Grund fr die Phasenverschiebung ist der Phasensprung der elektrischen Komponente E bei der Reflexion (7.29), welcher bei der magnetischen Komponente nicht auftritt (siehe Abschn. 8.5). Diese hat gem (7.31) Maxima bei z = und erleidet keinen Phasensprung bei der Reflexion.
Solche eindimensionalen stehenden elektromagnetischen Wellen im Wellenlngenbereich von
Antenne
ReflektorSender
isolierender Handgriff
Abb.7.18. Nachweis einer eindimensionalen stehenden elektromagnetischen Welle mit Hilfe einer Dipolantenne
etwa 0,1-] m kann man gut mit einer Dipolantenne nachweisen, welche man in z-Richtung bewegt und in deren Mitte ein Glhlmpchen angebracht ist (Abb.7.18). An den Maxima der elektrischen Feldstrke leuchtet das Lmpchen hell auf, an den Nullstellen ist es dunkel.
7.8.2 Dreidimensionale stehende Wellen; Hohlraumresonatoren
Wir betrachten einen Quader aus ideal leitenden Wnden mit den Kantenlngen a, bund e (Abb. 7.19). Legen wir den Koordinatenursprung in eine Ecke des Quaders und die Koordinatenachsen in die Kanten, so gelten fr die elektrische Feldstrke E = {Ex, Ey, Ez} die Randbedingungen, da die Tangentialkomponenten auf den Wnden Null sein mssen. Das heit:
= fr z = O,e und y = O,b;Ex Ey = fr x = O,a und z = 0, e; (7.32a) Ez = fr x= O,a und y = O,b. Wird eine elektromagnetische Welle mit Wellen
vektor k = {kx , ky, kz} im Hohlraum erzeugt, so wird sie an den Wnden reflektiert. Die berlagerung der verschiedenen Komponenten mit Wellenvektoren {kx , ky, kz} fhrt genau dann zu stationren stehenden Wellen im Hohlraum, wenn die Randbedingungen
kx = nn/a; ky = mn/b; kz = qn/e (7.32b) erfllt sind, wobei n, m, q ganze Zahlen sind. Fr den Betrag des Wellenvektors k folgt wegen
Ikl=Vk~+k~+k~ und den Randbedingungen (7.32b) die Bedingung
n2 m2 q2Ikl = k = nl! a2 + b2 + e2 . (7.33)
Fr die mglichen Frequenzen w einer beliebigen stehenden Welle im Quader erhalten wir wegen w = ek
n2 m2 q2 w = cn (7.34)2+ b2 +2'a e
Ortsraum
11195
(7.36)
I I rr/a
c . n r--;:-----;:--...". W = - Vn2 + m2 + q2
a =} n2 + m2 + q2 = w2a2/(c2n2) .
-, , , , .
/ I I I / k, ~\ I / /'
R___ A'~
~~ ----- k2 o
wb
In einem Koordinatensystem mit den Achsen kx , ky und kz bilden die Punkte (n, m, q) ein Gitter mit den Gitterkonstanten n/a (Abb.7.20). Es gibt also genauso viele Eigenschwingungen im Hohlraum wie Gitterpunkte im k-Raum. In diesem Raum stellt (7.33) die Gleichung einer Kugel mit dem Radius Ikl = n/aJn2 + m2 + q2 = w/c dar. Fr n2 + m 2+ q2 1 ist der Kugelradius k gro gegen die Gitterkonstante n/a, d.h. A. 2a. Dann wird die Zahl der Gitterpunkte mit n, m, q > 0 gut angenhert durch die Zahl der Einheitszellen (n/a)3 im Kugeloktanten (Abb. 7.21) mit dem Volumen im k-Raum
Vk = ~. ~n k3 = ~ (::)3. (7.37) Bercksichtigt man noch, da jede stehende WeI
le eine beliebige Polarisationsrichtung haben kann, die man jedoch immer als Linearkombination aus zwei zueinander senkrecht polarisierten Wellen darstellen kann (d.h. fr eine stehende Welle in z-Rich
k = { 4rr 4rr}. k = { 8n 2n }1 a'b ,2 a'b
Abb. 7.20. Darstellung der k-Vektoren mglicher stehender Wellen im Resonator als Gitterpunkte im k-Raum
7.8 Stehende elektromagnetische Wellen
Die Frage ist nun, wie viele solcher Eigenschwingungen mit Frequenzen w bis zu einer vorgegebenen Grenzfrequenz WG es in dem Resonator gibt.
Um die Rechnung einfacher zu machen, betrachten wir statt des Quaders den Spezialfall des Wrfels mit a = b = c. Die Frequenzbedingung (7.34) wird dann
x
kx = n, rr/a
k-Raum
,
-------~---, k , , , ,
kz : y ---~-------------.--,
...... ;, ... - " ky
a
c
z
1 7tlb
T
rr/a kx b)
a)
ky = n2 wb
ky I---------~~
In unserem Quader sind also nur solche stehenden Wellen mglich, welche die Form
E",m,q = Eo(n,m,q) coswl haben mit Eo = {Eox, Eoy, Eoz} und
Eox = A.cos c: x) sin C; Y) sin (:q z), Eoy= B.sin C: x) cos C; Y) sin (:q z), Eoz= C sin(n: x) sin (n; y) cos(nc
q z). (7.35)
Ihre Feldamplitude Eo steht senkrecht auf dem Wellenvektor k, der den Randbedingungen (7.32b) gengt.
Wir nennen den ideal leitenden Kasten einen Hohlraumresonator und die in ihm mglichen stehenden Wellen (7.35) seine Eigenschwingungen oder Resonatormoden.
Abb.7.19a,b. Quader aus leitenden Wnden als Hohlraumresonator fr stehende elektromagnetische Wellen. (a) Darstellung im rtsraum; (b) Illustration der Randbedingung (7.32b) und (7.33)
196 7. Elektromagnetische Wellen im Vakuum
kz = n3 n/a
ky = n2 n/a
kx = n1 n/a
Abb.7.21. Zur Herleitung der Zahl mglicher Eigenschwingungen im kubischen Resonator
tung E = Eo . sin kz . sin wt ist Eo = Eoxex + Eoiy), so erhalten wir die Zahl der mglichen Eigenschwingungen im Hohlraumresonator mit Frequenzen w, die kleiner sind als eine vorgegebene Grenzfrequenz WG
n(a. WG)3N(w -:::; wG) =- -3 nc 8nv3 a3----%- (7.38a)
3c
wobei wir VG = wG/2n eingesetzt haben. Dividiert man durch das Volumen im Ortsraum V = a3 des Resonators, so erhlt man die Zahl der Moden pro Volumeneinheit mit v -:::; VG
8nv3 N/V=n=--G (7.38b)
3c3
Oft interessiert die spektrale Modendichte, d.h. die Zahl der mglichen Eigenschwingungen des Resonators innerhalb des Frequenzintervalls v bis v + LI v mit
c
Llv = I Hz. Aus
nach v: (7.38b) ergibt sich durch Differentiation
8nv2 n(v) =-3 ' (7.39)
n(v) heit spektrale Modendichte.
Anmerkung
Die obigen Ergebnisse erhlt man in einer ganz allgemeinen Form, wenn man die Wellengleichung
I [PEf..E=-
c2 at2 lst unter den Randbedingungen Et = 0 fr x = 0, a; y = 0, b; z = 0, c. Die allgemeine stationre Lsung ist dann die Linearkombination
E(r,t) = LLLEn,l1l,q (7.40) n l1l q
der Resonatormoden (7.35) [7.6]. Bei nicht quaderfrmigen Resonatoren kann man
die Lsungen nicht immer analytisch angeben. Bei Kreiszylindern erhlt man z.B. statt der Sinusfunktion in (7.35) Besselfunktionen als Amplitudenfaktoren der Resonatormoden [7.7].
7.9 Wellen in Wellenleitern und Kabeln
Wellenleiter, oft auch Hohlleiter genannt, sind Resonatoren mit offenen Endflchen, so da auer stehenden Wellen auch fortschreitende Wellen in Richtung der offenen Enden mglich sind, die aber in den dazu senkrechten Richtungen rumlich begrenzt sind. Sie erhalten eine wachsende Bedeutung, nicht nur in der Mikrowellentechnik, sondern auch in der Optik als optische Lichtwellenleiter in Quarzfasern und in integrierten optoelektronischen Schaltungen. Wir wollen nun untersuchen, welchen Einflu die durch die Begrenzungen gegebenen Randbedingungen auf die Lsungen der Wellengleichung (7.3) haben.
7.9.1 Wellen zwischen zwei planparallelen leitenden Platten
Wir betrachten als einfaches Beispiel zwei planparallele leitende Platten im Abstand Llx = a, zwischen denen elektromagnetische Wellen hin- und herlaufen (Abb.7.22). Eine Welle E = {O, Ey , O} mit dem Wellenvektor k = {kx, 0, kz} wird abwechselnd an der oberen Wand bei x = a und an der unteren
12.4 Das Plancksche Strahlungsgesetz 353
n(v)/(m-3 . s)
101 --l---L-----1r------+---~-,-----_
Abb.12.14. Spektrale Modendichte n( v) als Funktion der Frequenz, dargestellt im doppelt-logarithmischen Mastab
Hohlraum, in dem jeder Eigenschwingung, genau wie beim klassischen harmonischen Oszillator, die mittlere Energie k T zugeordnet wurde (siehe Bd. I, Abschn. 11.1.8).
Damit wird die Energiedichte (12.17) mit (12.16)
8nv2 Wv(v) =-3 kT
c (12.18)
(Rayleigh-Jeanssches Strahlungsgesetz).
Aus einem kleinen Loch des Hohlraums wrde dann die spektrale Strahlungsdichte S* (v) dv = (c/4n) wv(v) dv in den Raumwinkel LlQ = I Sterad emittiert. Dies ergbe mit (12.18)
2v2 S~(v) = -2 kT. (12.19)
c
Whrend die experimentelle Nachprfung fr gengend kleine Werte von v (bei T = 5000 K mu A. = c/v > 21!m sein, also im Infrarot-Bereich) gute bereinstimmung mit (12.19) ergibt, treten fr den sichtbaren und erst recht fr den Ultraviolett-Bereich drastische Diskrepanzen auf. Bei Gltigkeit der Rayleigh-Jeans-Formel kme es zur UltraviolettKatastrophe, d.h. die spektrale Energiedichte und die integrierte Strahlungsdichte S* wrden fr v ~ 00 unendlich.
Was ist am Rayleigh-Jeans-Modell falsch?
Max Planck hat sich 1904 mit dieser Frage auseinandergesetzt und dabei zur Vermeidung der Ultraviolett-Katastrophe eine bis dahin vllig ungewohnte Hypothese aufgestellt, die er Quantenhypothese nannte [12.1].
Auch er betrachtete die Eigenmoden des Hohlraums als Oszillatoren. Aber Planck nahm an, da jeder Oszillator Energie nicht in beliebig kleinen Betrgen aufnehmen kann (wie dies fr Wv = kT bei kontinuierlich ansteigender Temperatur der Fall wre), sondern n
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