physik formelsammlung - et-juergen.de · inhaltsverzeichnis 1 kinematik.....6 1.1 translation
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Inhaltsverzeichnis
1 Kinematik..................................................................................................61.1 Translation..............................................................................................................6
1.1.1 Formelzeichen..............................................................................................................................61.1.2 Gleichförmige Bewegung............................................................................................................61.1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung.....................................................................................61.1.4 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung.................................................................................61.1.5 Translation allgemein..................................................................................................................71.1.6 2D-Translation..............................................................................................................................71.1.7 3D-Translation..............................................................................................................................8
1.2 Rotation...................................................................................................................81.2.1 Formelzeichen..............................................................................................................................81.2.2 Gleichförmige Rotation...............................................................................................................81.2.3 Gleichmäßig beschleunigte Rotation........................................................................................91.2.4 Rotation allgemein.......................................................................................................................9
1.3 Zusammenhang Translation-Rotation..................................................................91.3.1 Formelzeichen..............................................................................................................................91.3.2 Übersicht.....................................................................................................................................101.3.3 Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung..............................................................101.3.4 Zentrifugalbeschleunigung.......................................................................................................101.3.5 Tangentialbeschleunigung.......................................................................................................101.3.6 Coriolisbeschleunigung............................................................................................................11
2 Dynamik..................................................................................................122.1 Newtonsche Axiome............................................................................................12
2.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................122.1.2 Trägheitsprinzip.........................................................................................................................122.1.3 Aktionsprinzip............................................................................................................................122.1.4 Reaktionsprinzip........................................................................................................................12
2.2 Dynamik der Translation.....................................................................................132.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................132.2.2 Kraft.............................................................................................................................................132.2.3 Impuls..........................................................................................................................................132.2.4 Kraftstoß.....................................................................................................................................132.2.5 Impulserhaltungssatz................................................................................................................14
2.3 Kraft.......................................................................................................................142.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................142.3.2 Zusammengesetzte Kräfte........................................................................................................152.3.3 Geneigte Ebene..........................................................................................................................152.3.4 Festkörperreibung.....................................................................................................................152.3.5 Kraftarten....................................................................................................................................16
2.4 Dynamik der Rotation..........................................................................................172.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................172.4.2 Drehung um Schwerpunktachse..............................................................................................18
Seite 2
2.4.3 Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse..............................................................182.4.4 Drehmoment...............................................................................................................................182.4.5 Drehimpuls.................................................................................................................................192.4.6 Drehkraftstoß..............................................................................................................................192.4.7 Drehimpulserhaltungssatz........................................................................................................19
2.5 Spezielle Massenträgheitsmomente..................................................................202.5.1 Formelzeichen............................................................................................................................202.5.2 Kreisring, dünn...........................................................................................................................202.5.3 Kreisscheibe, dünn....................................................................................................................202.5.4 Kugel...........................................................................................................................................212.5.5 Zylinder.......................................................................................................................................212.5.6 Hohlzylinder................................................................................................................................212.5.7 Stab, lang und dünn..................................................................................................................222.5.8 Quader.........................................................................................................................................222.5.9 Kegel............................................................................................................................................22
2.6 Schwerpunktberechnung....................................................................................232.6.1 Formelzeichen............................................................................................................................232.6.2 Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers........................................................................232.6.3 Schwerpunkt für n Punktmassen.............................................................................................23
3 Arbeit und Energie.................................................................................243.1 Arbeit.....................................................................................................................24
3.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................243.1.2 Allgemein....................................................................................................................................243.1.3 Hubarbeit....................................................................................................................................253.1.4 Beschleunigungsarbeit.............................................................................................................253.1.5 Reibungsarbeit...........................................................................................................................253.1.6 Federspannarbeit.......................................................................................................................263.1.7 Rotationsarbeit...........................................................................................................................263.1.8 Gravitationsarbeit......................................................................................................................26
3.2 Energie..................................................................................................................273.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................273.2.2 Potentielle Energie.....................................................................................................................273.2.3 Kinetische Energie.....................................................................................................................273.2.4 Spannungsenergie.....................................................................................................................273.2.5 Rotationsenergie........................................................................................................................283.2.6 Energieerhaltungssatz..............................................................................................................283.2.7 Mechanische Stöße...................................................................................................................28
3.3 Leistung................................................................................................................293.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................293.3.2 Leistung......................................................................................................................................293.3.3 Wirkungsgrad.............................................................................................................................29
3.4 Gravitation............................................................................................................303.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................303.4.2 Keplersche Gesetze...................................................................................................................303.4.3 Newtonsches Gravitationsgesetz............................................................................................313.4.4 Hubarbeit und potentielle Energie...........................................................................................31
Seite 3
4 Mechanik und Schwingung...................................................................324.1 Mechanik deformierbarer Körper.......................................................................32
4.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................324.1.2 Dehnung......................................................................................................................................334.1.3 Querdehnung..............................................................................................................................334.1.4 Allseitige Kompression.............................................................................................................344.1.5 Scherung.....................................................................................................................................344.1.6 Torsion........................................................................................................................................34
4.2 Mechanische Schwingung..................................................................................354.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................354.2.2 Federschwinger..........................................................................................................................364.2.3 Mathematisches Pendel............................................................................................................374.2.4 Physisches Pendel.....................................................................................................................384.2.5 Torsionspendel..........................................................................................................................39
4.3 Elektromagnetische Schwingung.......................................................................404.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................404.3.2 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung....................................................................404.3.3 Gedämpfte elektromagnetische Schwingung.........................................................................414.3.4 Zusammenhang mechanische – elektromagnetische Schwingung.....................................41
4.4 Schwingungsarten...............................................................................................434.4.1 Formelzeichen............................................................................................................................434.4.2 Freie gedämpfte Schwingung...................................................................................................444.4.3 Schwingfall.................................................................................................................................444.4.4 Aperiodischer Grenzfall.............................................................................................................454.4.5 Kriechfall.....................................................................................................................................454.4.6 Erzwungene Schwingung.........................................................................................................464.4.7 Resonanz....................................................................................................................................464.4.8 Überlagerung..............................................................................................................................47
5 Fluiddynamik..........................................................................................485.1 Ruhendes Fluid....................................................................................................48
5.1.1 Formelzeichen............................................................................................................................485.1.2 Kolbendruck...............................................................................................................................485.1.3 Druckarbeit.................................................................................................................................495.1.4 Schweredruck.............................................................................................................................495.1.5 Volumen-Druck-Gesetz.............................................................................................................495.1.6 Auftrieb........................................................................................................................................49
5.2 Molekularkräfte.....................................................................................................505.2.1 Formelzeichen............................................................................................................................505.2.2 Oberflächenspannung...............................................................................................................505.2.3 Kapillarität...................................................................................................................................51
5.3 Bewegtes Fluid.....................................................................................................525.3.1 Formelzeichen............................................................................................................................525.3.2 Massenstrom und Massenstromdichte...................................................................................535.3.3 Laminare Strömung, innere Reibung.......................................................................................545.3.4 Laminare Strömung zwischen 2 Platten..................................................................................545.3.5 Laminare Strömung im Rohr....................................................................................................55
Seite 4
5.3.6 Laminare Umströmung einer Kugel.........................................................................................555.3.7 Drehung in der Strömung.........................................................................................................555.3.8 Druck im bewegten Fluid..........................................................................................................565.3.9 Torricellisches Ausflussgesetz................................................................................................56
Seite 5
1 Kinematik
1.1 Translation
1.1.1 Formelzeichen
s m Weg, zurückgelegter
v m/s Geschwindigkeit
a m/s2Beschleunigung
t s Zeit
s0 m Anfangsweg
v0 m/s Anfangsgeschwindigkeit
a0 m/s2Anfangsbeschleunigung
e Einheitsvektor
1.1.2 Gleichförmige Bewegung
Bedingung: a=0 ; v≠0= const.
v=∫ a dt= v 0= const. v= dsdt
s=∫ v dt= v 0⋅ t s0
1.1.3 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Bedingung: a= a00= const.
v=∫ a0 dt=a0⋅ t v 0
s=∫ v dt=∫ a0⋅ t v0 dt=a0
2⋅t2 v0⋅t s0
1.1.4 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
Bedingung: a= a t≠ const.
v=∫ a tdt=a t⋅ t v 0
Seite 6
s=∫ v dt=∫a⋅ t v 0 dt=a t
2⋅ t2 v 0⋅ t s0
1.1.5 Translation allgemein
s=∫t1
t 2
v tdt
v=∫t1
t 2
a tdt v= dsdt
= s' t
a= dvdt
= v ' t a= d 2 sdt2
= s' ' t
Beschleunigung v 0=0
s= a2⋅t2 s=
v⋅ t2
v=a⋅ t v= 2⋅a⋅s
Beschleunigung v 0≠0
s= a2⋅t2 v0⋅ t s=
v v0
2⋅ t v=a⋅ t v 0 v= 2⋅a⋅s v0
2
Durchschnittsgeschwindigkeit: v=
s t
Durchschnittsbeschleunigung:a=
v t
1.1.6 2D-Translation
getrennt berechnen:
s t= x ty t
= xy
x t= vx t⋅ t x 0
y t= v y t⋅ t y0
Seite 7
X
Y
Vy
Vx
1.1.7 3D-Translation
s t= x t⋅
ex y t⋅
ey z t⋅
ez
v t=vx t⋅
ex v y t⋅
ey v z t⋅
ez
a t=ax t⋅
exay t⋅
eyaz t⋅
ez
1.2 Rotation
1.2.1 Formelzeichen
r m Radius
φ rad Winkel in Bogenmaß
ω s-1Winkelgeschwindigkeit
α s-2Winkelbeschleunigung
T s Dauer eines Umlaufes
f s-1, Hz Umlauffrequenz, Drehfrequenz
v m/s Bahngeschwindigkeit
n s-1Drehzahl
1.2.2 Gleichförmige Rotation
Bedingung: = const.
=⋅ t0
=2⋅
T=2⋅⋅ f n= 1
T
Seite 8
r
V
Sn
o α
1.2.3 Gleichmäßig beschleunigte Rotation
Bedingung: = const.
=2⋅ t20⋅ t0
1.2.4 Rotation allgemein
=∫t 1
t 2
t dt
=∫t 1
t 2
t dt =ddt
= t'
=d dt
= t' =d2
dt2= t' '
1.3 Zusammenhang Translation-Rotation
1.3.1 Formelzeichen
r m Radius
φ rad Winkel in Bogenmaß
ω s-1Winkelgeschwindigkeit
α s-2Winkelbeschleunigung
s m Länge des vom Winkel eingeschlossenen Kreisbogens
v m/s Bahngeschwindigkeit
vE m/s Eigengeschwindigkeit auf dem Rotationskörper
a m/s2Beschleunigung
aZP m/s2Zentripetalbeschleunigung
aZF m/s2Zentrifugalbeschleunigung
aR m/s2Radialbeschleunigung
aT m/s2Tangentialbeschleunigung
aC m/s2Coriolisbeschleunigung
Seite 9
1.3.2 Übersicht
s=⋅r s=⋅
e×
r
v=⋅r v=×
r
a=⋅r a=×
r
1.3.3 Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung
Nach innen gerichtete Beschleunigung: aZP=aR=−2⋅r
aZP=
×
v
aZP=
− v2
r
gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung aZP= r⋅[00⋅ t− t0]2
1.3.4 Zentrifugalbeschleunigung
aZF =−aZP
1.3.5 Tangentialbeschleunigung
Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung: aT =0⋅r
Gleichförmige Kreisbewegung aT =0
Seite 10
aZP
aR
aZF
aC
v aT
vE r Coriolis-
beschleunigung
Zentripetal- und Tangential- beschleunigung
2 Dynamik
2.1 Newtonsche Axiome
2.1.1 Formelzeichen
F N Kraft
v m/s Geschwindigkeit
m kg Masse
a m/s2Beschleunigung
t s Zeit
2.1.2 Trägheitsprinzip
Bedingung: solange keine Kraft wirkt ∑i=1
n
F i=0
v=0 v= const.
2.1.3 Aktionsprinzip
Die Kraft F auf eine Masse bewirkt deren Beschleunigung a.
Bedingung: m= const.
F=m⋅a
Bedingung: m=m t≠ const.
F= ddt
m⋅v F= ddt
m⋅v ddt
m⋅v
F=úúúúm⋅vm⋅a
2.1.4 Reaktionsprinzip
actio = reactio ∣F1∣=∣−
F2∣
Seite 12
2.2 Dynamik der Translation
2.2.1 Formelzeichen
F N Kraft
v m/s Geschwindigkeit
m kg Masse
a m/s2Beschleunigung
p Ns Impuls
I Ns Kraftstoß
2.2.2 Kraft
F=m⋅a a= Fm= dv
dtdv= F
mdt
∫t 1
t 2 F dt=∫
t1
t 2
m⋅a dt ∫
t1
t 2 F dt=∫
t 1
t 2
m⋅ dv
dtdt
∫t1
t 2 F dt=m⋅∫
v1
v2
dv=m⋅
v 2−
v1
2.2.3 Impuls
p=m⋅v
p=∫ d
p=m⋅v dp=m⋅dv
2.2.4 Kraftstoß
Kraftstoß bewirkt Impuls: I=F⋅ t=m⋅v= p
Kraft ist die zeitliche Impulsänderung: F=m⋅dv
dt= dp
dt
Seite 13
2.2.5 Impulserhaltungssatz
p1
p2
p3=
pges=∑
i=1
n pi= const.
m1⋅v1∫
t1
t 2 F dt=m2⋅
v 2 m1⋅
v1=m2⋅
v2
2.3 Kraft
2.3.1 Formelzeichen
F N, kg m/s2Kraft
FG N Gewichtskraft
FH N Hangabtriebskraft
FN N Normalkraft, senkrecht zur Ebene
FR N Reibungskraft
µGR Gleitreibungszahl
µHR Haftreibungszahl
µRR Rollreibungszahl
v m/s Geschwindigkeit
m kg Masse
g m/s2Erdbeschleunigung
ω s-1Winkelgeschwindigkeit
r m Radius
M Nm Drehmoment
Seite 14
2.3.2 Zusammengesetzte Kräfte
=∢F1 ,
F 2
F= F12F 2
22⋅F1⋅F 2⋅cos
Bedingung: F1=F 2
F1=F 2=F
2⋅1cos
2.3.3 Geneigte Ebene
sin =FH
FG
cos=F N
FG
tan =FH
F N
2.3.4 Festkörperreibung
Gleitreibung (Bewegung) Bedingung: F H F R
FR=GR⋅F N F R=GR⋅FG⋅cos
Seite 15
γ
F
F1
F2
γ
FN
FH
FG
γ
γ
FN
FH
FG
FR
Haftreibung (Ruhelage) Bedingung: F H ≤F R
FR=HR⋅F N
Rollreibung (Drehbewegung)
F R=RR⋅F N
2⋅r
2.3.5 Kraftarten
Gewichtskraft FG=m⋅g
Normalkraft F N =FG⋅cos
Reibungskraft F R=GR⋅F N
Hangabtriebskraft F H =FG⋅sin
Zentripetalkraft
FZP=−m⋅2⋅r
Corioliskraft
FC=−2⋅m⋅×
v
Tangentialkraft
FT =M ×
r
Seite 16
2.4 Dynamik der Rotation
2.4.1 Formelzeichen
M Nm Drehmoment
J kg m2Massenträgheitsmoment
JS kg m2Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt
JA kg m2Massenträgheitsmoment bzgl. Drehachse um A
m kg Masse
ρ kg/m3Dichte
V m3Volumen
r m Radius
F N Kraft
L kg m2 /s Drehimpuls
p kg m/s Impßuls
ID kg m2 /s Drehkraftstoß
α s-2Winkelbeschleunigung
ω s-1Winkelgeschwindigkeit
v m/s Geschwindigkeit
t s Zeit
Seite 17
2.4.2 Drehung um Schwerpunktachse
J =∫0
V ges
r2 dV
J =∫0
mges
r2 dm J =∑i=1
n
ri2⋅mi J = r2⋅m
speziell: J S = r2⋅m
2.4.3 Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse
Satz von Steiner:
J A= J S m⋅s2
J =∫∫v
∫ r2 x , y , z dx dy dz
2.4.4 Drehmoment
M = J⋅
M =∫ r2 dm⋅
M =r×
F
M =∣F∣⋅∣
r ∣⋅sin∢
r ,F =∣
F tan∣⋅∣
r ∣
Seite 18
s r
m
s
A
S
r
F
Angriffspunktder Kraft
Drehpunkt
2.4.5 Drehimpuls
L= J⋅
L=r×
p L=m⋅
r×
v
L=m⋅r×
×
r L=m⋅
r2⋅
−
r⋅
⋅
r
M = dLdt M =
d r×
p
dtM =
dr
dt×m⋅
v
r× d
p
dt
2.4.6 Drehkraftstoß
Drehkraftstoß bewirkt Drehimpulsänderung: I D=L
I D=∫M dt I D=∫t 1
t 2
M dt=∫t 1
t 2
J⋅ dt
I D=∫t 1
t 2
J⋅d dt
dt I D= J⋅2−1= J⋅
2.4.7 Drehimpulserhaltungssatz
L1∫
t 1
t 2 M dt=
L2
L=L1L2Ln = const.
Seite 19
2.5 Spezielle Massenträgheitsmomente
2.5.1 Formelzeichen
J kg m2Massenträgheitsmoment
JS kg m2Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt
m kg Masse
r m Radius
h m Höhe, Länge
2.5.2 Kreisring, dünn
x : J S = r2
y : J S =m2⋅r2
2.5.3 Kreisscheibe, dünn
x : J S =m2⋅r2
y : J S =m4⋅r2
Seite 20
y x
y x
2.5.4 Kugel
Vollkugel: J S =25⋅m⋅r2
Hohlkugel: J S =25⋅m⋅
ra5 − rr
5
ra3 − rr
3
Hohlkugel, dünnwandig: J S =23⋅m⋅r2
2.5.5 Zylinder
x : J S =m2⋅r2
y : J S =m12
⋅3⋅r2h2
2.5.6 Hohlzylinder
x : J S =m2⋅ri
2 ra2
y : J S =m4⋅ri
2 ra2 h2
3
dünnwandig: ri≈ ra
x : J S =m⋅r2 y : J S =m4⋅2⋅r2
h2
3
Seite 21
y
x r
y
x
ra
ri
2.5.7 Stab, lang und dünn
J S =m12
⋅l2
2.5.8 Quader
x : J S =m12
⋅b2 c2
y : J S =m12
⋅a2 c2
z : J S =m12
⋅a2b2
2.5.9 Kegel
x : J S =3
10⋅m⋅r2
x : J S =3
20⋅m⋅r2
h2
4
Seite 22
y
x
z
a
b c
y
x
h r
2.6 Schwerpunktberechnung
2.6.1 Formelzeichen
rSP m Schwerpunktvektor
m kg Masse
V m3Volumen
ρ kg/m3Dichte
d m Richtungsvektor
2.6.2 Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers
rSP=
∫0
m d dm
∫0
m
dm
= xSP
ySP
zSP xSP=
∫0
m
x dm
∫0
m
dm
ySP=zSP=
Für homogene Körper gilt: dm=dV ⋅
2.6.3 Schwerpunkt für n Punktmassen
rSP=
∑i=1
n
mi⋅di
∑i=1
n
mi
= xSP
ySP
zSP xSP=
∑i=1
n
mi⋅x i
∑i=1
n
mi
ySP=zSP=
Seite 23
3 Arbeit und Energie
3.1 Arbeit
3.1.1 Formelzeichen
W J, kg m2/s2Arbeit
F N Kraft
FG N Gewichtskraft
FB N Beschleunigungskraft
FN N Normalraft
FR N Reibungskraft
FA N Äußere Kraft
s m Weg
h m Höhe
γ rad, ° Winkel
m kg Masse
a m/s2Beschleunigung
g m/s2Erdbeschleunigung
v m/s Geschwindigkeit
k N /m Federkonstante
φ rad, ° Drehwinkel
ω s-1Winkelgeschwindigkeit
α s-2Winkelbeschleunigung
r m Abstand zum Massenmittelpunkt
f N m2/ kg2Gravitationskonstante
3.1.2 Allgemein
W =F⋅s⋅cos
speziell: W =F⋅s
W =∫S 1
S 2
F⋅cos ds W =∫S 1
S 2 F s d
s
Seite 24
s γ
F
3.1.3 Hubarbeit
W HUB=−∫ FG ds
W HUB=FG⋅ s⋅cos
W HUB=−m⋅g⋅ s⋅cos
Bedingung: =180°
W HUB=m⋅g⋅h
3.1.4 Beschleunigungsarbeit
W B=m⋅a⋅s W B=m2⋅v2 W B=
m2⋅v2− v0
2
W B=−∫
FB ds W B=
FB⋅s
W B=∫m⋅a ds W B=∫ m⋅ dv
dtds W B=m⋅∫ d
s
dtdv
W B=m⋅∫v d
v
3.1.5 Reibungsarbeit
W R=FR⋅s
W R=⋅F N ⋅s
W R=⋅FG⋅s⋅cos
W R=∫
FR ds
Bedingung: =0° W R=⋅m⋅g⋅s
Seite 25
FG, g h, s
FR
FN γ
FG
F
3.1.6 Federspannarbeit
W F =12⋅k⋅s2
W F =∫F⋅ ds W F = ∫
S MIN
S MA X
k⋅s ds
Rotation, Torsion W F =12⋅k⋅2 W F =
12⋅k⋅2
2−12
3.1.7 Rotationsarbeit
W ROT =∫0
1
M d
W ROT =∫ J⋅ ds W ROT =∫ J⋅d dt
ds W ROT = J⋅∫ dsdt
d
W ROT = J⋅∫ d W ROT =12⋅J⋅2 W ROT =
12⋅J⋅1
2−02
3.1.8 Gravitationsarbeit
Arbeit, die verrichtet wird, um die kleinere Masse m1 von A
nach B zu heben (Hubarbeit).
W AB=∫r1
r 2
F A dr
W AB=−∫r1
r 2
FG dr
W AB=∫r1
r 2
f ⋅m1⋅m2⋅1r2
dr W AB= f ⋅m1⋅m2⋅1r1
− 1r2
Gravitationskonstante: f =6,673⋅10−11 N ⋅m2
kg2
Seite 26
FA
FG
m 1
m 2
B
A
3.2 Energie
3.2.1 Formelzeichen
E J Energie
EV J Verlustenergie
h m Höhe
s m Weg
v m /s Geschwindigkeit
m kg Masse
k N /m Federkonstante
J Kg m2Massenträgheitsmoment
ω s-1Winkelgeschwindigkeit
3.2.2 Potentielle Energie
E POT =m⋅∫h 1
h 2
g dh
Bedingung: g= const.
EPOT =m⋅g⋅h
3.2.3 Kinetische Energie
EKIN =m2⋅v 2 EKIN =
m2⋅v1
2− v 02
3.2.4 Spannungsenergie
Potentielle Energie EP=12⋅k⋅s2
Seite 27
g(h)
h h1 h
2
EPOT
3.2.5 Rotationsenergie
EROT =12⋅J⋅2
Rollendes Rad: E KIN =E ROT ETRANS ETRANS =m2⋅v2
3.2.6 Energieerhaltungssatz
E=∑i=1
n
Ei= const.
Bedingung: konservative Kräfte (verlustlos)
∑ E POT ∑ EKIN = const.
Bedingung: dissipative Kräfte (verlustbehaftet durch Reibung)
∑ EPOT ∣ vor∑ EKIN ∣ vor=∑ E POT ∣ nach ∑ E KIN ∣ nachEV
3.2.7 Mechanische Stöße
Elastischer Stoß
E KIN 1E KIN 2=E KIN 1 nach E KIN 2 nachm1
2⋅v1
2m2
2⋅v 2
2=m1
2⋅v ' 1
2m2
2⋅v ' 2
2
Unelastischer Stoß
E KIN 1E KIN 2=E KIN nach EV
m1
2⋅v1
2m2
2⋅v2
2=m1m2
2⋅v2EV
EV =E1−E 2 EV =m1⋅m2
2⋅m1m2⋅v1− v 2
2
Seite 28
3.3 Leistung
3.3.1 Formelzeichen
P W Leistung
η Wirkungsgrad
W J Arbeit
E J Energie
F N Kraft
v m /s Geschwindigkeit
s m Weg
t s Zeit
3.3.2 Leistung
P= dWdt P=
F⋅d
s
dtP=
F⋅
v
mittlere Leistung: Pm=W ges
tges
3.3.3 Wirkungsgrad
=W ab
W zu
=E ab
E zu
=P ab
P zu
=
∫0
t ZU
Pab dt
∫0
t ZU
P zu dt
=∏i=1
n
i=1⋅2⋅3⋅
Seite 29
3.4 Gravitation
3.4.1 Formelzeichen
A m2überstrichene Fläche
t s Zeit
T s Umlaufzeit
a m Halbachse des Planeten
FG N Gewichtskraft
m kg Masse
mE kg Masse der Erde
f m3 /kg s2Gravitationskonstante
r m Radius, Entfernung zwischen den Punktmassen
e Richtungsvektor
g m /s2Gravitationsbeschleunigung
Φ m2 /s2Gravitationspotential
W J Arbeit bei der Bewegung im Schwerefeld
E J Energie
3.4.2 Keplersche Gesetze
2. Keplersches Gesetz
A t
= const.
3. Keplersches Gesetz
T 12
T 22=
a13
a23
Seite 30
M
Planet
∆A ∆A ∆t∆t
Perihel Aphel
a a
3.4.3 Newtonsches Gravitationsgesetz
FG=− f ⋅
m1⋅m2
r2⋅er
f =6,673⋅10−11 m3
kg⋅s2
Bedingung: r≥ rE
g=− f ⋅mE
r2⋅er
3.4.4 Hubarbeit und potentielle Energie
W =− f ⋅mE⋅mK ⋅1r2
− 1r1
W M =− f ⋅mE
r⋅m
W =⋅m =− f ⋅mE
r
W =m⋅2−1
=−∫∞
r g r⋅d
r ∇=−
E ∇ W =−FG
Seite 31
m1m2
r
4 Mechanik und Schwingung
4.1 Mechanik deformierbarer Körper
4.1.1 Formelzeichen
σ N /m2Spannung, Normalspannung
ε Dehnung
εq Querdehnung
E N /m2Elastizitätsmodul (Materialwert)
FZUG N Zugkraft, Normalkraft
FT N Schubkraft (tangential)
A m2Fläche
V m3Volumen
l m Anfangslänge, Länge des Körpers
l' m Endlänge
d m Anfangsdicke
d' m Enddicke
µ Poissonzahl
ν Querdehnungszahl
K N /m2Kompressionsmodul
κ 1/Pa Kompressibilität
∆p N / m2Druckänderung
G N /m2Schubmodul, Torsionsmodul
τ N /m2Schubspannung
γ rad Schiebung, Scherung, Schubwinkel
φ rad Drillwinkel, Torsionswinkel
r m Radius
M Nm Drehmoment
MT Nm Drehmoment bei Torsion
D Nm /rad Richtmoment (Winkelrichtgröße), Federkonstante für Torsion
IPOL rad / m4Polares Flächenträgheitsmoment
Seite 32
4.1.2 Dehnung
l=∣l− l ' ∣
= ll
=FZUG
A
=dFZUG
dA
Hookesches Gesetz:
Bedingung: nur für elastischen Bereich =E⋅
E , t=dd
E=⋅l l E=
FZUG
A⋅ l l
4.1.3 Querdehnung
Längenänderung und Änderung der Dicke
d= d− d '
=−
dd ll
=1
q=−1
⋅ q=−⋅ q=dd
q=−⋅E
relative Volumenänderung:VV
= ⋅1−2⋅VV
= ll
2⋅dd
Seite 33
FZUG
l' l
∆l
d FZUG
d A
FZUG
l' l
∆l d' d
4.1.4 Allseitige Kompression
VV
=K
VV
=− pK
dV =− 1K⋅V ⋅dp
K = 1
K = E3⋅1−2⋅
VV
=3⋅⋅1−2⋅
= 1
=E
=− p
4.1.5 Scherung
=G⋅
=FT
A
=G⋅a
d
G , t=d d
G= E2⋅1
4.1.6 Torsion
=2⋅l⋅M⋅G⋅r4
D=⋅G⋅r4
2⋅ l
Seite 34
FY
FY
FZ
FX
FZ , p σ
FT
γ
- FT
Aa
b
Fφ
M
l r
M =D⋅ M =D⋅⋅
e
¨ D
J⋅=0 T =2⋅⋅ D
J
=M T ⋅ l
G⋅I POL
Zylinder:
=M T
0,196⋅d3=
l⋅M T
0,089⋅G⋅d4
4.2 Mechanische Schwingung
4.2.1 Formelzeichen
FI N Innere Kräfte
FRÜCK N Rücktreibende Kraft
FG N Gewichtskraft
m kg Masse
a m /s2Beschleunigung
k N /m Federkonstante
x m Auslenkung, Elongation
sh m Horizontale Auslenkung
φ rad, ° Auslenkungswinkel
ω0 s-1Eigenkreisfrequenz
f Hz Eigenfrequenz
T s Periodendauer
l m Fadenlänge
g m /s2Fallbeschleunigung
MRÜCK Nm Rücktreibendes Drehmoment
JA kg m2Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt
JS kg m2Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt
r m Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt
α s-2Winkelbeschleunigung
D Nm /rad Richtmoment, Winkelrichtgröße, Federkonstante für Torsion
Seite 35
4.2.2 Federschwinger
1-D geradlinige, freie, ungedämpfte Schwingung
Bedingung: ∑ äußere Kräfte=∑ F A=0
∑ F I =m⋅a
F RÜCK =−k⋅x
FRÜCK =m⋅a
m⋅a k⋅x=0 m⋅¨x k⋅x=0
Differentialgleichung:¨x k
m⋅x=0
0=km
¨x0
2⋅x=0
T =2⋅⋅ mk
f = 12⋅
⋅ km
Phasenverschobene Schwingung
x t=x⋅sin 0⋅t0
Seite 36
FRÜCK
m
x(t) x
φ0
T
t
φ
ω0 t x x
4.2.3 Mathematisches Pendel
Horizontale Auslenkung
sh = l⋅sin
F RÜCK=FG⋅sin
Differentialgleichung:¨ g
l⋅sin=0
Bedingung: sin≈0 5°
Vereinfachung:¨
gl⋅=0
t=⋅cos 0⋅t t=
⋅cos 0⋅t0
0=km
T =2⋅⋅ mk
k =FRÜCK
sh
k =m⋅g
l
Schwingfrequenz und Schwingungsdauer sind massunabhängig
0=gl
T =2⋅⋅ lg
Seite 37
FG
m h
FRÜCK
s h
φ l
4.2.4 Physisches Pendel
M RÜCK =r×
FG
M RÜCK = r⋅m⋅g⋅sin
∑M = J⋅
r⋅m⋅g⋅sin J A⋅=0
Steinerscher Satz: J A= J S m⋅r2
Differentialgleichung:¨
m⋅g⋅rJ A
⋅sin=0
Bedingung: sin≈0 5°
Vereinfachung:¨
m⋅g⋅rJ A
⋅=0
t=⋅cos 0⋅t t=
⋅cos 0⋅t0
0=m⋅g⋅r
J A
0=gr
T =2⋅⋅J A
m⋅g⋅r=
r⋅m⋅gJ A
⋅
Massenträgheitsmoment J S =m⋅r⋅g⋅T 0
2
4⋅2− r
Seite 38
FGS
s h
φ r
A
4.2.5 Torsionspendel
M RÜCK =r×
FRÜCK
M RÜCK = J⋅
M RÜCK =−D⋅
∑M = J⋅ =¨
J=−D⋅
J =T 0
2
4⋅2⋅D
Differentialgleichung:¨ D
J⋅sin=0
0=DJ
T =2⋅⋅ JD
Seite 39
MRÜCK
φ
4.3 Elektromagnetische Schwingung
4.3.1 Formelzeichen
UC V Spannung am Kondensator
UL V Spannung an der Induktivität
I A Strom
L H, Vs /A Induktivität
C F, As /V Kapazität
Q As Ladung
q As Momentanladung
u V Momentanspannung
i A Momentanstrom
φ rad, ° Phasenwinkel
ω0 s-1Eigenkreisfrequenz
f Hz Eigenfrequenz
T s Periodendauer
R Ω Ohmscher Widerstand
δ s-1Abklingkoeffizient
ω s-1Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Q Güte
D Dämpfungsgrad
4.3.2 Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung
U C=QC
U L=−L⋅ dIdt
−QC−L⋅ dI
dt=0
Differentialgleichung:¨q q
L⋅C=0
Seite 40
+-
CU, Q
L
q t=q⋅sin 0⋅ t0 q t=
q⋅sin
u t=u⋅sin 0⋅ t0 u t=
u⋅sin
i t=i⋅sin 0⋅t0−
2 i t=
i⋅sin −
2
T =2⋅⋅ L⋅C
I= dQdt L⋅ d
dt dQ
dt=L⋅
¨Q
4.3.3 Gedämpfte elektromagnetische Schwingung
Differentialgleichung:
¨q R
L⋅úq 1
L⋅C⋅q=0
q t=q⋅e−⋅ t⋅sin 0⋅ t0
= R2⋅L
= 02−2 =
1L⋅C
−R
2⋅L
2
Q= 1R⋅ L
CQ= 1
2⋅D
D= R2⋅ C
LD=
0
4.3.4 Zusammenhang mechanische – elektromagnetische Schwingung
Mech: Auslenkung, Elongation xEl: Ladung des Kondensators q
Seite 41
+-
CU, Q
LR
Mech: Geschwindigkeit v=úx
El: Stromstärke i=úq
Mech: Masse mEl: Induktivität L
Mech: Federkonstante kEl: 1/ Kapazität 1/C
Mech: Dämpfungskonstante bEl: Widerstand R
Potentielle Energie
Mech: EPOT =k2⋅x2
EPOT =k⋅
x2
2⋅sin2
El: EEL=q2
2⋅C
Kinetische Energie
Mech: EKIN =m2⋅v2
E KIN =m⋅
v2
2⋅cos2
El: E MAG=L⋅i2
2
Ungedämpfte Schwingung
Mech: x=x⋅sin 0⋅t0 0=
km
El: q=q⋅sin 0⋅t0 0=
1L⋅C
Gedämpfte Schwingung
Mech: x=x⋅e−⋅ t⋅sin ⋅t0 = 0
2−2 = b2⋅m
El: q=q⋅e−⋅ t⋅sin ⋅t0 = 0
2−2 = R2⋅L
Seite 42
4.4 Schwingungsarten
4.4.1 Formelzeichen
FRÜCK N Rücktreibende Kraft
FR N Reibungskraft, Dämpfungskraft
FERR N Erregerkraft
m kg Masse
a m /s2Beschleunigung
v m /s Geschwindigkeit
k N /m Federkonstante
x m Auslenkung, Elongation
φ rad, ° Auslenkungswinkel
ω0 s-1Eigenkreisfrequenz
ωd s-1Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung
ωE s-1Erregerkreisfrequenz, Kreisfrequenz in eingeschwungenem Zustand
Td s Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung
µ Reibungszahl
b kg /s Dämpfungskonstante
δ s-1Abklingkoeffizient
D Dämpfungsgrad
d Verlustfaktor
Q Güte, Resonanzüberhöhung
Λ Logarithmisches Dekrement
α rad, ° Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger
xRES m Resonanzamplitude
xR m Resultierende Schwingung
xSTAT m Statische Auslenkung bei konstanter Kraft
fS Hz Schwebungsfrequenz
Seite 43
4.4.2 Freie gedämpfte Schwingung
FRÜCK =m⋅a F RÜCK =−k ⋅x−F R
Geschwindigkeitsunabhängige Reibung
FR=⋅F N
Differentialgleichung: m⋅¨x⋅F N k⋅x=0
x=x x0⋅cos0⋅t0− x0
Geschwindigkeitsabhängige Reibung, viskose Reibung
FR=b⋅v
Differentialgleichung: m⋅¨x b⋅
úx k⋅x=0
¨x2⋅⋅
úx0
2⋅x=0
¨x2⋅D⋅0⋅
úx0
2⋅x=0
0=km
= b2⋅m
D=0
Q= 1d
d=2⋅D d= bm⋅0
d= bm⋅k
4.4.3 Schwingfall
Schwache Dämpfung
Bedingung: 0 D1
Seite 44
TD
t
xi
x x
i+1
x t=x0⋅e−⋅ t⋅cos d⋅t0
d =km− b2
4⋅m2d = 0
2−2 d =0⋅ 1−D2
xi
xi1
=e⋅T d = lnxi
xi1
=⋅T d
4.4.4 Aperiodischer Grenzfall
Mittlere Dämpfung
Bedingung: =0 D=1
x t= x0
x1⋅ t⋅e−⋅ t x t=
x0⋅1⋅t⋅e−⋅ t
b=2⋅ m⋅k
4.4.5 Kriechfall
Starke Dämpfung
Bedingung: 0 D1
x t=x0⋅e−⋅ t⋅cosh d '⋅t
Eigenkreisfrequenz wird imaginär: d '= j 2−2
b2⋅ m⋅k
Seite 45
t
x
t
x
4.4.6 Erzwungene Schwingung
Bedingung: ∑ äußere Kräfte=0
FERRFRÜCK FR=m⋅¨x
FERR=
F ERR⋅cos E⋅ t F RÜCK =−k⋅x
FR=−b⋅úx FR=−b⋅v
Differentialgleichung: m⋅¨xb⋅
úx k⋅x=FERR t
¨x=2⋅⋅
úx0
2⋅x ¨x=
FE
m⋅cosE⋅ t
x t=x⋅cos E⋅t−
x=
FE
m2⋅02−E
2 2b2⋅E2
=arctanE⋅b
m⋅02−E
2 =arctan
2⋅E⋅
02−E
2
x t=x⋅E⋅sin E⋅t0⋅E
x=
FE
m⋅02− k 2b2⋅E
2
E =arctanb⋅E
m⋅E2 − k
4.4.7 Resonanz
RES = 02− b2
2⋅m2RES = 0
2−2⋅2
xRES =
FERR
b⋅ 02−2
xRES =
FERR
b⋅d2
xRES =
FERR
2⋅⋅m⋅d
Seite 46
úQ=
⋅02
⋅d2
Q≈
x
xSTAT
=0
2
02−E
2 22⋅⋅E 2
4.4.8 Überlagerung
Gleiche Richtung und gleiche Frequenz
xR=
x1
2x 2
22⋅x1⋅
x2⋅cos 01−02
0R=arctanx1⋅sin01
x2⋅sin02
x1⋅cos01
x2⋅cos02
Bedingung:x1=
x2
xR=2⋅
x1⋅cos
01−02
2
Bedingung: = Auslöschung, Subtraktion der Auslenkungen
Gleiche Richtung, ungleiche Frequenz
Schwebung, geringe Frequenzunterschiede
xR t=2⋅x⋅cos
1−2
2⋅ t⋅sin
12
2⋅ t
Schwebungsfrequenz f S = f 1− f 2
Seite 47
t
x xR
x1
x2
5 Fluiddynamik
5.1 Ruhendes Fluid
5.1.1 Formelzeichen
p Pa Druck
pS Pa Schweredruck
pH Pa Luftdruck in der Höhe h
p0 Pa Luftdruck an Erdoberfläche
F N Kraft, die auf die Fläche wirkt
FA N Auftriebskraft
FG N Gewichtskraft
FHUB N Hubkraft
A m2Fläche
V m3 Volumen
∆V m3 Volumenabnahme bei Drucksteigerung
WP J Druckarbeit
s m Weg
h m Höhe
ρ kg /m3Dichte
ρF kg /m3Dichte des Fluids
ρK kg /m3Dichte des Körpers im Fluid
g m /s2Fallbeschleunigung
5.1.2 Kolbendruck
p= FA
p=F1
A1
=F 2
A2
p= dFdA
Seite 48
F2 F
1
A1
A2
5.1.3 Druckarbeit
W P=−∫F s d
s W P=−∫
V 1
V 2 p dV W P=−
p dV
5.1.4 Schweredruck
pS =⋅g⋅h
pS =⋅g⋅V
A
Schweredruck von Gasen, bariometrische Höhenformel
pH = p0⋅e−
0⋅ g ⋅ fp 0
5.1.5 Volumen-Druck-Gesetz
p1⋅V 1= p2⋅V 2 p⋅V = const.
=− 1V⋅ dV
dpV =−⋅ p⋅V
GAS =1p
5.1.6 Auftrieb
F A=F⋅V K ⋅g
F A=mF⋅g=FGF
F A=F
K
⋅FGK
Seite 49
p ~ h
p
h
p 1
h p 2
FHUB
FA
FG
p= p2− p1 p⋅A= A⋅⋅g⋅h
FHUB=F A−FG F HUB=F⋅g⋅V −K ⋅g⋅V
5.2 Molekularkräfte
5.2.1 Formelzeichen
σ N /m Oberflächenspannung der Flüssigkeit
W J Arbeit
A m2Fläche
s m Weg
l m Länge, Durchmesser
F N Kraft, senkrecht zur Oberfläche
FA N Adhäsionskraft (Kraft zwischen verschiedenen Stoffen)
FK N Kohäsionskraft (Zusammenhangskraft)
p Pa Druck
r m Radius des Röhrchens
rK m Radius der kugelförmigen Flüssigkeitsoberfläche
α rad, ° Randwinkel
ρ kg / m3Dichte
g m /s2Fallbeschleunigung
5.2.2 Oberflächenspannung
= WA
= dWdA
=F⋅ s
2⋅ l⋅ s= F
2⋅l
Seite 50
∆s
F
l
Oberflächendruck einer Flüssigkeitskugel p=2⋅
r
5.2.3 Kapillarität
Benetzende Flüssigkeit
90°
F AFK
Kapillaraszension
Nicht benetzende Flüssigkeit
90°
F AFK
Kapillardepression
GF⋅cos=GW − FW
h=2⋅⋅cos⋅g⋅r
Seite 51
α F
A
FKF
Gasförmig G
Flüssig FFest W
h
α F
A
FKF
Gasförmig G
Flüssig F
Fest W
h
Kapillarer Unterdruck
p=2⋅rK
cos= rrK
5.3 Bewegtes Fluid
5.3.1 Formelzeichen
j kg /m2 s Massenstromdichte
IM kg /s Massenstrom
ρ kg / m3Dichte
v m /s Fließgeschwindigkeit
vM m /s Mittlere Fließgeschwindigkeit
t s Zeit
A m2Querschnittsfläche
s m Weg
m kg Masse
V m3Volumen
FZ N Zugkraft
FR N Reibungskraft
FA N Auftriebskraft
FG N Gewichtskraft
FN N Normalkraft, senkrecht zur Oberfläche
η Pa s Dynamische Viskosität
υ m2 /s Kinematische Viskosität
h m Abstand, Höhe
φ Pa-1 s-1Fluidität
Re Reynoldszahl
L m Charakteristische Länge für den jeweiligen Körper
τ N /m2Schubspannung
γ rad Schergeschwindigkeitsgefälle
R m Innenradius des Rohres
r m Radius des bewegten Zylinders
Seite 52
r K
r
α
α
a m Halber Plattenabstand
a m /s2Beschleunigung
b m Breite
l m Länge
x m Abstand zur Platte
VK m3Volumen der Kugel
g m /s2Fallbeschleunigung
ωZ s-1Drehung in z-Richtung
p Pa Druck
pges Pa Druck gesamt
pSTAT Pa Statischer Druck, Luftdruck
pDYN Pa Dynamischer Druck, Staudruck
pGEOD Pa Geotätischer Höhendruck, Schweredruck
5.3.2 Massenstrom und Massenstromdichte
j=⋅v
j=⋅dA⋅ds
dA⋅dtj= dQ
dA⋅dt
dQ=⋅dA⋅ds
I M = dmdt I M =
úm
I M =⋅v⋅A I M =∮0
⋅v dA I M =∫∫A
j dA
úV =
úm= A⋅v= const.
Seite 53
5.3.3 Laminare Strömung, innere Reibung
F Z =⋅A⋅ dv
dh
F R=−⋅A⋅ dv
dh
=1
R e=⋅L⋅v
R e=
L⋅v
=
=
FR
A
=−⋅ú
5.3.4 Laminare Strömung zwischen 2 Platten
v x=p1− p2
2⋅⋅l⋅a2− x2
FR=6⋅⋅ l⋅b⋅v M
a
v M =dV /dt2⋅a⋅b
VolumenstromdVdt
=2⋅b⋅ p1− p2⋅a3
3⋅⋅ l
Massenstrom I M =2⋅b⋅ p1− p2⋅a3
3⋅⋅l⋅
Seite 54
h FR
dh dv
v = 0
FZ
v
FR τ
γ
x v
MAX
b
2a
l
p1 p
2 v = 0
5.3.5 Laminare Strömung im Rohr
v r=p1− p2
4⋅⋅ l⋅R2− r2
FR=8⋅⋅⋅ l⋅v M
v M =dV /dt⋅R2
dVdt
=⋅R4⋅ p1− p2
8⋅⋅ lI M =
⋅R4⋅ p1− p2
8⋅⋅ l⋅
laminarer Druckverlust p=8⋅⋅l⋅R2
⋅v
kritische Reynoldszahl R eKRIT =2320 (darüber turbulente Viskosität im Rohr)
5.3.6 Laminare Umströmung einer Kugel
Stokesches Gesetz
FR=6⋅⋅⋅R e⋅v
F A=FLUID⋅V K ⋅g
1. v= v t m⋅a=FG−F A−F R
2. v= const. 0=FG−F A−FR
5.3.7 Drehung in der Strömung
Z =∂ vY
∂ x−∂ v X
∂ y
Seite 55
R
l
v(r)
r
v = 0
FA v(t)
v = const.
FR
FG
Plättchen dreht sich
ω
y
x
Bedingung: vY =0
Z =−∂ v X
∂ y
3-Dimensional = rot
v
=∇×
v
5.3.8 Druck im bewegten Fluid
Bernoulli-Gleichung pges= pSTAT pDYN pGEOD= const.
pSTAT =F N
A(nicht immer so einfach möglich)
pDYN =2⋅v2 pGEOD=⋅g⋅h
Bedingung: h= const.
pges= pDYN pSTAT
Verlustbehaftet: pges= pSTAT pDYN pGEOD pV
Kontinuität Bedingung: I M = const.
v1⋅A1= v 2⋅A2
5.3.9 Torricellisches Ausflussgesetz
Bedingung:
v1≈0
v2= 2⋅g⋅h
I M =⋅A⋅ 2⋅g⋅h
Seite 56
v1
h
v2
top related