prestudy2019 torsten schreiber 93ttp-schreiber.de/mathematik/prestudy_skript_08.pdf · warum ist...
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PreStudy 2019 93Torsten Schreiber
Diese Fragen sollten Sie auch ohne Skript beantworten können:
Auf welchen wesentlichen Schritten basiert die FREPL-Methode?
Wie kann man die Betragsstriche eliminieren?
Wofür benötigt man Ungleichungen?
Wie lösen Sie eine Bruchungleichung auf?
Wie stellen Sie eine Lösungsmenge zwischen zwei Zahlen dar?
Warum ist eine Probe der Ergebnisse unbedingt notwendig?
Wie lösen Sie eine auf ein Polynom basierte Ungleichung auf?
Wie können Sie eine Ungleichung grafisch darstellen?
PreStudy 2019 94Torsten Schreiber
Wiederholung
Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:
Was versteht man unter einem linearen Gleichungssystem?
Wie funktioniert das Einsetzungsverfahren?
Worauf ist beim Gleichsetzungsverfahren zu achten?
Wie kann man ein LGS mit zwei Gleichungen zeichnerisch lösen?
Wie zeichnen Sie eine Gerade in ein Koordinatensystem?
Was versteht man unter dem Additionsverfahren?
Was sucht man bei 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten?
Was bedeutet die Pivot-Zeile eines LGS?
PreStudy 2019 95Torsten Schreiber
Lösen Sie die folgenden Gleichungen und geben die Lösungsmenge an.
2
1
24
52 >−
−x
x1)
I.
2)
3)
124323 <−+ xxx
PreStudy 2019 96Torsten Schreiber
1|2
12| >− x
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem, in dem Sie insgesamt alle 3 Verfahren anwenden.
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mittels der Cramerschen Regel.
1)
2)
448
1323
−=+=−
yx
xya)
yx
xy
−=−=
6,025,0
5,012b)
yx
xy
35
3
2
315
1
6
1
3
1
−=
=+c)
1642
632
23
=++−=−+−
−=+−
zyx
zyx
zyx
PreStudy 2019 97Torsten Schreiber
Für die Sinus/ Cosinus-Funktion sind im Bereich der Addition der Argumente zwei Additionstheoreme definiert, wodurch stets bei rechtwinkliger Konstellation entweder ein Sinus oder ein Cosinus aus der Funktion entfernt werden kann.
)cos()sin()cos()sin()sin( abbaba ⋅±⋅=±1)
)2cos()2cos(10)2sin()2
2sin(
)2cos()2
sin()2
cos()2sin()2
2sin(
xxxx
xxx
=⋅+⋅=+
⋅+⋅=+
π
πππ90° Phasenverschiebung
der Sinusfunktion = Cosinusfunktion
)sin()sin()cos()cos()cos( bababa ⋅⋅=± m2)
)3sin()3sin()1()3cos(0)32
3cos(
)3sin()2
3sin()3cos()
2
3cos()3
2
3cos(
xxxx
xxx
−=⋅−+⋅=−
⋅+⋅=−
π
πππ270° Phasenverschiebung
der Cosinusfunktion = -Sinusfunktion
PreStudy 2019 98Torsten Schreiber
PreStudy 2019 99Torsten Schreiber
I. Geben Sie Schätzungen für die folgenden Werte an.
II. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit als möglich.
)300sin() °a )60cos() °b )400cos() °c )800sin() °d
)2
34sin() π−xa )2
2
1cos() xb +− π )32(
2
3cos() π+⋅ xc
III. Beweisen Sie den folgenden Zusammenhang.
( ))cos(12
1
2sin
2 xx −⋅=
PreStudy 2019 100Torsten Schreiber
I. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke soweit als möglich.
)92sin() π−xa
( ) )5,3672
1cos() ππ −+⋅ xd
)54(12cos() π−⋅ xc
)5,75,2sin() π−xb
Eine rein trigonometrische Funktion (sinus/ cosinus) stellt eine Schwingung innerhalb einer bestimmbaren Periode und eines konstanten Wertebereichs dar, die für alle reellen Zahlen definiert ist.
Die vier Parameter in der Funktion beziehen sich zum einen auf die Verschiebung und zum anderen auf die Streckung/ Stauchung in der x-Achsen bzw. y-Achsen-Richtung:
a: Amplitudenfaktor Streckung/Stauchung in y-Achsen-Richtung
b: Periodenfaktor Streckung/Stauchung in x-Achsen-Richtung
c: Phasenverschiebung Verschiebung in x-Achsen-Richtung
d: Wertebereichverschiebung Verschiebung in y-Achsen-Richtung
Symmetrie:
Bei dem Periodenfaktor gilt für die neue Periode:
dcxbaxf ++⋅⋅= )sin()(
b
PP ALT
NEU =
SIN: Punktsymmetrie )sin()sin()()( xxxfxf −=−−−=
COS: Achsensymmetrie )cos()cos()()( xxxfxf −=−=
PreStudy 2019 101Torsten Schreiber
WS 2011/12 Torsten Schreiber 102
Anhand der folgenden Vierfeldertafel können die grundlegenden Eigenschaften einer trigonometrischen Funktion direkt abgelesen werden.
Es wird dabei davon ausgegangen, dass es sich um eine Standardfunktion in der Form
���� � � oder ���� ℎ � handelt.
Vierfeldertafel
� � ��� � �� ���
�� � �
���������� � �
� � � � ��
� � 0; 1
���������� � 2�
� � � �� ��
� � �1; 1
$%� & �
���������� � �
� � � � ��
� � 0; 1
���������� � 2�
� � � � ��
� � �1; 1
Beispiel:
Vereinfachung:
Wertebereich:
Periode:
4)33
2sin(3)( ++⋅= πxxf
4)3
2sin()3()(
4)3
2cos()3sin()3cos()
3
2sin(3)(
+⋅−=
+
⋅+⋅⋅=
xxf
xxxf ππ
[ ] [ ] [ ]7;143;341;13 ∈==+−=+−⋅− yW
)3()(3
32
2 πππ +=== xfxfPNEU
4)3
2sin(34)
3
2cos(01)
3
2sin(3)(
4)3
2cos()2sin()2cos()
3
2sin(3)(
4)23
2sin(34))3(
3
2sin(3)(
+⋅−=+
⋅+⋅⋅−=
+
⋅+⋅⋅−=
++⋅−=++⋅−=
xxxxf
xxxf
xxxf
ππ
ππ
PreStudy 2019 103Torsten Schreiber
Beispiel:
Symmetrie: Punktsymmetrie
Skizze:
[ ]4)(4)( −−−=− xfxf
4)3
2sin()3()( +⋅−= xxf
)3
2sin(344)
3
2sin(34)( xxxf ⋅−=−+⋅−=−
[ ] )3
2sin(344)
3
2sin(34)( xxxf −⋅=
−+−⋅−−=−−−=
PreStudy 2019 104Torsten Schreiber
Vereinfachen Sie die folgenden Funktionen mittels der Additionstheoreme und bestimmen Sie den Wertebereich, das Symmetrieverhalten und fertigen Sie eine Skizze an.
)54sin(23)( π−⋅−= xxf1)
2) 5)2
5
2
1(sin2)(
2 +−⋅= πxxg
3) [ ]2)2cos(3)( +−⋅= πxxh
4) ))(2
1(cos
3
25)(
4xxk −⋅⋅+= π
PreStudy 2019 105Torsten Schreiber
Vereinfachen Sie die folgenden Funktionen mittels der Additionstheoreme und bestimmen Sie den Wertebereich, das Symmetrieverhalten und beweisen Sie die Periode.
)5,53sin(5,02)( π−⋅−= xxf1)
2) 8)5,125,2cos(4)( +−⋅−= πxxg
3) [ ] 35)24cos(2)( −+−⋅= πxxh
4)
−−⋅⋅+= 8))2(2
7sin(
4
14)( xxk π
PreStudy 2019 106Torsten Schreiber
Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt?
PreStudy 2019 107Torsten Schreiber
Wiederholung
Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:
Wann ist der Sinus bzw. der Cosinus immer NULL?
Was versteht man unter einer Phasenverschiebung?
Was wird im Einheitskreis senkrecht (/waagerecht eingezeichnet?
Wie kann man am Einheitskreis mit dem Uhrzeigersinn drehen?
Warum ist Sinus zu Cosinus um 90° Phasenverschoben?
Wie ist der Tangens / Cotangens im rechtwinkligen Dreieck definiert?
Wann ist der Sinus gleich dem Cosinus?
Wofür braucht man die Additionstheoreme?
PreStudy 2019 108Torsten Schreiber
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 109
( ) ( )na 00,..,0,0,0 ==
Handelt es sich um eine Struktur der Form , so handelt es sich um einen Raum, sofern u.a. die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
Addition: - assoziativ Komponentenweise Addition
- kommutativ Vertauschbarkeit der Komponenten
- neutrales Element - inverses Element
Multiplikation:
- binäre Operation- distributiv- assoziativ- neutrales Element
Die Objekte, die zu einer solchen Struktur gehören, nennt man zum einen Vektoren
und zum anderen Skalare , d.h. ein Vektor ist eine gerichtete Größe (Länge und Winkel), der mittels einem Skalar (Parameter) verkürzt/ verlängert werden kann.
( )ℜ∗+ℜ ,,,n
( ) ( )n
n aaaaaaa −=−−−−=−= ,..,,, 321
( )∗
( )+
ℜ∈∧ℜ∈ℜ→ℜℜ γβ ,;nnn ax
r
na ℜ∈∗rβ
( ) aaarrr
∗+∗=∗+ γβγβ( ) ( ) aa
rr∗∗=∗∗ γβγβ
aarr
=∗β
( )na ℜ∈r
( )ℜ∈β
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 110
=
⋅++⋅+⋅=⋅=
∗
=∗=n
i
nnii
nn
babababa
b
b
b
a
a
a
baba1
2211
2
1
2
1
.........
),(rrrrθ
Bei der Multiplikation von zwei Vektoren nutzt man die Methodik des inneren Produkts.
ℜ→ℜ∗ℜ nn
Es werden demzufolge die einzelnen Komponenten untereinander multipliziert und die Ergebnisse anschließend addiert. Als Ergebnis bekommt man somit keinen Vektor, sondern eine reelle Zahl.
Eigenschaften:
nicht binär
kommutativ
assoziativ
distributiv
positiv definiert
),(),( abbarrrr θθ =
),(),(),( bababarrrrrr
⋅=⋅=⋅ βθβθθβ),(),(),( cbcacbarrrrrrr θθθ +=+
00),(rrrr
≠∧> aaaθ
Beispiel: ( ) ( )=
=⋅+−⋅+⋅+−⋅=⋅=
−
−
∗
4
1
313412532
1
4
2
3
3
1
5
2
iii ba
Torsten Schreiber 111PreStudy 2019
⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅
=
×
=×
2121
1313
3232
3
2
1
3
2
1
abba
abba
abba
b
b
b
a
a
a
barr
Eine weitere Möglichkeit zwei Vektoren zu multiplizieren ist das äußere Produkts.Es wird stets diagonal multipliziert (siehe Determinaten), wobei rechts herum positiv und links herum negativ gerechnet wird.
nnn ℜ→ℜ×ℜ
Eigenschaften:
Binäre Operation:
antikommutativ
assoziativ
distributiv
abbarrrr
×−=×
bababarrrrrr
⋅×=×⋅=×⋅ βββ )(
)()()( cabacbarrrrrrr
×+×=+×
Beispiel:
−−=
⋅−⋅⋅−⋅−
−⋅−⋅=
×
− 1
11
7
2533
325)1(
)1(322
2
3
5
1
2
3
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 112
( ) ( ) ( ) αθθαθ cos,,...cos, 2211 ⋅⋅=⋅++⋅+⋅⇔⋅⋅= bbaabababababa nn
rrrrrrrr
Da es sich bei einem Vektor um ein n-dimensionales Objekt handelt, kann der erreichte Punkt entweder mittels Koordinaten oder via Länge und Winkel dargestellt werden.
Länge:
Normierter Vektor: (Länge ist Eins)
Abstand :
Winkel:
Cauchy-Schwarze Ungleichung
Orthogonalitätskriterium:
( )aaaaaa n
rrr,...
22
2
2
1 θ=+++=
aa
ar
rr
⋅= 10
( )baDrr
, ( ) ( ) ( )22
22
2
11 ... nn babababa −++−+−=−rr
( ) ( )1
,1
,arccos ≤
⋅≤−⇔
⋅=
ba
ba
ba
barr
rr
rr
rr θθα
( ) ( ) ( )000,090cos ≠∧≠∧==° babarrrrθ
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 113
Berechnen Sie – sofern möglich - das innere Produkt der folgenden Vektoren untereinander sowie deren Summe/ Differenz und bilden Sie jeweils den normierten Vektor.
1)
−=
6
3
0
2
ar
−
−=
5
2
6
4
cr
−=
4
0
3
br
−=
4
7
4
dr
−=
3
4er
Bestimmen Sie jeweils die fehlende Koordinate so, dass die jeweiligen Vektoren senkrecht aufeinander stehen und berechnen anschließend deren Abstände.
2)
−=
4
1
2
3
ar
a)
−
=
1
3
5
Xbr
−
−
=
2
0
3
2
Y
ar
b)
=
3
2
5
2
4
br
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 114
Berechnen Sie das innere Produkt der folgenden Vektoren, bestimmen Sie den Winkel sowie den Abstand zwischen den Vektoren und geben den normierten Vektor an.
1)
=1
3
2
ar
−=
2
1
5
4
cr
−−=
3
2
7
br
−
=
1
3
1
2
dr
−=
2
5er
Bestimmen Sie jeweils die fehlende Koordinate so, dass die jeweiligen Vektoren senkrecht aufeinander stehen und berechnen anschließend deren Abstände.
2)
−
=
3
1
2
xar
a)
−
=
4
3
2
xbr
−
=
0
4
3
1
yar
b)
−−=
2
3
2
5
2
br
a)
−=
3
1fr
c)b)
=x
a 3
8r
c)
−
−=
x
xb 4
4r
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 115
zbarrr
⋅++⋅+⋅ ζβα ...
Grundlage der (Un)Abhängigkeit von Vektoren ist dessen Linearkombination, d.h. es wird jeder Vektor mit einem beliebigen Skalar multipliziert und anschließend die Summe gebildet.
Im Fall der (Un)Abhängigkeits-Prüfung untersucht man, ob einer der Vektoren mittels einer Linearkombination der übrigen darstellbar ist, d.h. man bildet die Linearkombination der Vektoren und setzt diese Kombination gleich Null.
Existiert nur die sogenannte Triviallösung der Form , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Sollte eine der entstehenden Lösungen sein, dann sind sie linear abhängig.
0......rrrrrrr
=⋅++⋅+⋅⇔⋅++⋅=⋅ zbazba ζβαζβα0... ==== ζβα
0≠
Beispiel: 0
1
5
2
3
2
3
2
1
4
1
2
3
1
5
2
3
;
2
3
2
1
;
4
1
2
3
rrrr=
−
−
⋅+
−
−
⋅+
⋅
−
−
=
−
−
=
= γβαcba
2
3
1
−==
−=
γβ
α
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 116
In einer Basis sind Objekte/ Vektoren enthalten, die einen zugehörigen n-dimensionalen Raum komplett aufspannen können.
Demzufolge besteht der Euklidische Vektorraum aus den 3 Koordinaten-Einheits-Vektoren:
Grundvoraussetzung ist die lineare Unabhängigkeit, d.h. eine begrenzte Anzahl von linear unabhängiger Vektoren bilden eine Basis, wobei die Anzahl der enthaltenen Vektoren die Dimension des Raums angibt.
Die Dimension ist unabhängig von der Anzahl der Komponenten/ Koordinaten eines Vektors.
=
=
=1
0
0
;
0
1
0
;
0
0
1
321 eeerrr
3ℜ
linear unabhängig
normiert (Länge 1)
orthogonal
Orthonormalsystem
Beispiel: Die drei Vektoren (letztes Beispiel) sind linear unabhängig und bilden demzufolge
auch eine Basis. Da es sich um drei Basisvektoren handelt, spannen Sie einen Raum
der 3. Dimension auf.
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 117
Frage: Bilden die gegebenen Vektoren eine Basis des ?
0
5
1
3
;
3
1
2
;
2
3
1rrrrrrr
=⋅+⋅+⋅
−=
−=
−= cbacba γβα
3ℜ
0532
0113
0321
=+−−=++=−+
γβαγβαγβα )3(| −⋅ 2| ⋅
++
0110
01050
0321
=−+=+−=−+
⇔γβ
γβγβα
5| ⋅ +
0
0500
0110
0321
===⇔=+=−+=−+
⇔ γβαγγβγβα
Triviallösung: Die Vektoren sind linear unabhängig.
Es handelt sich somit um eine Basis
−
−
−=
5
1
3
;
3
1
2
;
2
3
1
B mit der Dimension 3.
Somit kann durch diese Basis der aufgespannt werden.3ℜ
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 118
1)
−=
−=
−=
=6
5
6
;
3
2
2
;
0
1
5
;
3
1
2
dcbarrrr
Sind die folgenden 3 Vektoren linear unabhängig?
Stellen Sie den Vektor als Linearkombination von dar.
cbarrr
,,
cbarrr
,,dr
2) Prüfen Sie, ob die gegebenen Vektoren eine Basis bilden und geben die maximal mögliche Dimension mit dem zugehörigen Raum an.
−
=
−
=
=
−=
4
0
7
9
;
1
2
1
3
;
5
1
0
2
;
3
1
2
1
dcbarrrr
3) Bestimmen Sie die Parameter so, dass das Vektorsystem mit
, und linear unabhängig ist.
ℜ∈βα , )3v,2v,1v(T)1,,1(1v −= α T)0,1,2(2v = T)1,,3(3v β−−=
,
,
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 119
Stellen Sie den Vektor als Linearkombination der Vektoren dar.1)
Bilden die gegebenen Vektoren eine Basis? Geben Sie die max. mögliche Dimension an.2)
−=
4
2
1
3
ar
−
−=
2
3
2
1
br
=
5
4
11
1
xr
=
1
3
1
2
ar
xr
dcbarrrr
,,,
−
−
=
3
2
2
1
br
−−
=
2
1
2
3
cr
−
−
=
2
2
3
2
dr
−=
1
2
3
1
cr
−
−
=
2
8
9
3
dr
3ℜ=ℜℜℜ xxAls Grundlage für Geraden- und Ebenenberechnung im 3-dimensionalen Raum dient der Euklidische Verktorraum .
Die Vektoren können nicht nur senkrecht, sondern auch in der waagerechten der sogenannten transponierten Form dargestellt werden.
Tzyx );;(
Tzyxp );;(=
r
jk
i
T
T
T
k
j
i
)1;0;0(
)0;1;0(
)0;0;1(
=
=
=Koordinaten-einheitsvektoren
X-Achse
Z-Achse
Y-Achse
Winkel:
Betrag:222
zyxrp ++==r
r
zpk
r
ypj
r
xpi === ),cos(;),cos(;),cos(
rrr
PreStudy 2019 120Torsten Schreiber
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 121
Für die Vektorrechnung im Bereich von Geraden, Ebenen und Körper ist es wichtig die beiden möglichen Arten von Vektoren zu unterscheiden.
Ortsvektor: Stellt die direkte Verbindung vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt im Raum dar.
Richtungsvektor: Werden zwei beliebige Punkte im Raum verbunden, so erhält man den Richtungsvektor, der sich stets ausder Differenz zwischen Endpunkt und Anfangspunkt berechnet.
Aa 0=r
abABrr
−=
X-Achse
Y-Achse
ar
br
xr
Beispiel:
Ortsvektor:
Richtungsvektor:
−=
=
2
1;
1
3barr
−−
=
−
−=
3
2
1
3
2
1xr
Eine Gerade ist die graphische Darstellung einer linearen Gleichung bestehend aus Steigung und Startpunkt bzw. Achsenabschnitt und wird in folgenden zwei Arten dargestellt.
Parameterfreie Form:b=Achsenabschnitt; m = Steigung
Parameterform:= Ortsvektor (Startpunkt); = Richtungsvektor
bxmy +⋅=
ABax ⋅+= αrr
ar
)7;2(
)5;3(
==
B
A
AB
Beispiel:
Parameterfreie Form:
Parameterform:
232
57 −=−−=
∆∆=
x
ym
112)2(7 =⋅−−=⋅−= xmyb112 +⋅−= xy
−⋅+
−=
−−−−−
⋅+
−=
−=∧
−=
5
1
3
3
1
2
)3(2
12
2)1(
3
1
2
2
2
1
3
1
2
ααxbarrr
PreStudy 2019 122Torsten Schreiber
2)
)3;2();5;2( −== BA
Berechnen Sie sowohl die parameterfreie als auch die Parameterform der Gerade durch die folgenden Punkte und fertigen Sie eine Skizze an.
3) Geben Sie die Parameterform der Geraden durch folgende Punkte an.
=
−=
2
2
1
;
1
3
2
barr
,
,
a) )6;2();3;1( −=−= BAb)
a)
−=
−=4
2
5
;
2
3
4
barr
b)
4) Prüfen Sie, ob die folgenden 3 Punkte auf einer Geraden liegen.
−=
−=
−=
1
6
5
;
2
1
2
;
3
4
1
cbarrr
a) b)
−=
−=
−−=
2
1
2
;
3
1
4
;
1
2
3
zyxrrr
1) Berechnen Sie das äußere Produkt der folgenden Vektoren.
TTba )5;2;1(;)3;1;2( −=−=rr
a) b) TT bc )1;3;5(;)1;4;2( =−=rr
PreStudy 2019 123Torsten Schreiber
Im Euklidischen Vektorraum handelt es sich um einen 3-dimensionalen Raum, der durch die 3 Koordinanteneinheitsvektoren als Basis definiert ist.Da eine Gerade nur ein 2-dimensionales Objekt ist, existieren insgesamt vier mögliche Lagerelationen:
Gerade = Startpunkt + Parameter * Richtungsvektor
parallel: linear abhängige Richtungsvektoren, wobei der Startpunkt der ersten Gerade nicht auf der zweiten Geraden liegt.
identisch: linear abhängige Richtungsvektoren, wobei der Startpunkt der ersten Gerade auf der zweiten Geraden liegt.
schneiden sich: linear unabhängige Richtungsvektoren. Beim Gleichsetzen der beiden Geraden ergibt sich eine eindeutige Lösung für die Parameter.
windschief: linear unabhängige Richtungsvektoren. Beim Gleichsetzen der beiden Geraden ergibt sich ein Widerspruch für die Parameter.
3ℜ
PreStudy 2019 124Torsten Schreiber
Aufgrund der definierten Lagerelationen ergibt sich der folgende Entscheidungsbaum:
1111 : baxgrrr
⋅+= α 2222 : baxgrrr
⋅+= β
21 bbrr
⋅= γ
112 baarrr
⋅+= α 21 gg =
JA NEIN
JA JA NEINNEIN
identisch parallel Schnittpunkt windschief
Abhängigkeit der Richtungsvektoren
Gleichsetzen der GeradenPrüfen des Startpunkts
PreStudy 2019 125Torsten Schreiber
Beispiel:
1. Abhängigkeit der Richtungsvektoren:
2. Gleichsetzen der Geraden:
Aufgrund des Widerspruchs müssen die beiden Geraden windschief zueinander liegen.
−−⋅+
−=
4
2
3
2
3
1
: 11 αxgr
−⋅+
−=
1
2
1
4
1
2
: 22 βxgr
4
1
3
1
2
1
4
2
3
−===
−⋅=
−−
γγγ
γ
614
222
313
21
=−−−=−−=−
⇔=βα
βαβα
gg
2| ⋅ )1(| −⋅
907
804
313
=−−=−=−
⇔α
αβα
7
92 −=∧−=⇔ αα
PreStudy 2019 126Torsten Schreiber
1) Wie liegen die folgenden Geraden zueinander?
2) Bestimmen Sie die Parameterform der Geraden und geben deren Lage zueinander an.
−=
−−
=2
1
4
;
3
4
1
:1 bagrr
,
,
a)
a)
−
−⋅+
−=4
8
2
1
5
2
: 11 αxgr
−⋅+
−
−=
2
4
1
2
3
1
: 22 βxgr
b)
−⋅+
−=5
2
1
5
3
1
: 11 αxgr
−−⋅+
−−=
8
5
2
3
6
2
: 22 βxgr
−=
=4
7
6
;
1
2
9
:2 dcgrr
( ) ( )TTbag 3;1;1;5;2;2:1 −=−=rr
b) ( ) ( )TTdcg 5;2;3;2;3;1:2 −=−=rr
PreStudy 2019 127Torsten Schreiber
1) Wie liegen die folgenden Geraden zueinander?
,
,
a)
−⋅+
=5
2
1
5
3
1
: 11 αxgr
⋅+
=4
3
2
7
1
2
: 22 βxgr
b)
−⋅+
=4
2
1
5
3
2
: 11 αxgr
−
−⋅+
−=
12
6
3
3
7
0
: 22 βxgr
PreStudy 2019 128Torsten Schreiber
2) Prüfen Sie, ob die folgenden 3 Punkte auf einer Geraden liegen.
−=
=
−−
=5
1
2
;
3
4
5
;
1
2
3
cbarrr
a) b)
=
−−
=
−=
0
12
2
;
6
3
4
;
2
5
2
zyxrrr
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 129
Liegen die folgenden 3 Punkte auf einer Geraden?1)
2)
TTT cba )1;5;6(;)1;2;4(;)3;1;2( −−=−==rrr
Bestimmen Sie die Parameterform der Geraden und geben deren Lage zueinander an.
( ) ( )TTbag 2;2;4;1;2;3:1 −=−=rr ( ) ( )TT
dcg 8;4;1;2;4;3:2 −−=−=rr
3) Wie liegen die folgenden Geraden zueinander?
−⋅+
−=
2
1
4
2
5
3
: 11 αxgr
−−⋅+
−=
4
1
3
6
2
8
: 22 βxgr
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 130
Eine Ebene im wird ähnlich wie eine Gerade durch Orts- und Richtungsvektoren definiert,wobei die Parameterform mittels einem Orts- und zwei zugehörigen Richtungsvektoren gebildet werden kann.Bei der Bildung der Ebenengleichung ist die lineare Unabhängigkeit der Vektoren Voraussetzung.
3ℜ
Beispiel: ( ) ( ) TTTcba )5;3;1(;2;2;4;1;2;3 −−=−=−=rrr
−−−−−−
⋅+
−−−−
−⋅+
−=
)1(5
23
31
)1(2
22
34
1
2
3
: βαxer
acabaxe ⋅+⋅+= βαrr:
ℜ∈
−
−⋅+
−⋅+
−= βαβα ,;
4
1
4
3
4
1
1
2
3
: xer
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 131
Die sogenannte parameterfreie Darstellung basiert auf der Hesse‘schen Normalform und lautet in der allgemeinen Beschreibung .
Voraussetzung zur Bildung ist des Stellungsvektors.Bei dem Stellungsvektor handelt es sich um den Vektor, der senkrecht auf der zugehörigen Ebene steht. Er wird mittels äußerem Produkt der Stellungsvektoren gebildet.
Beispiel:
dzcybxa =⋅+⋅+⋅
ℜ∈
−−−
⋅+
−−
⋅+
−= βαβα ,;
4
1
4
3
4
1
1
2
3
: xer
−−=
−⋅−−−⋅−−⋅−−−⋅⋅−−−⋅−
=
−−−
×
−−
=15
16
19
)4()4()1()1(
)1()4()4(3
3)1()4()4(
4
1
4
3
4
1
nr
=
−−
c
b
a
15
16
19
dzyx =⋅−⋅−⋅ 151619
40)1(15216319 =−⋅−⋅−⋅ 40151619 =⋅−⋅−⋅ zyx
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 132
Will man die gegenseitige Lage von einer Geraden zu einer Ebene näher bestimmen, so werden die beiden Gleichungen in der Parameterform gleichgesetzt und mittels Gaußverfahren gelöst.
Es entstehen dadurch 3 unterschiedliche Lösungsklassen:
Keine Lösung: Die Gerade verläuft parallel zur EbeneEine Lösung: Es existiert ein Schnittpunkt zwischen Gerade und EbeneUnendliche Lösungen: Die Gerade liegt in der Ebene
Beispiel: ℜ∈
−⋅+
=∧
−−−
⋅+
−−
⋅+
−= γβαγβα ,,;
1
1
2
1
2
2
:
3
1
4
3
4
1
4
2
3
: xgxerr
533
04
124
=+−=−−−
−=−−−=
γβαγβαγβα
ge
)4(| −⋅ )3(| ⋅
25150
47150
124
=−−=
−=−−−⇔
γβγβγβα
3;15
17;
15
7
6200
47150
124
=−=−=⇔==
−=−−−⇔ γβα
γγβγβα
Schnittpunkt
− 2
5
8
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 133
Will man die gegenseitige Lage von einer Ebene zu einer Ebene näher bestimmen, so werden die beiden Gleichungen ähnlich wie bei Geraden/ Ebenen gleichgesetzt und können u.a. ebenfalls mittels Gaußverfahren gelöst.
Da es sich bei dem zugehörigen Vektorraum um das Euklidische System handelt, entfällt die Möglichkeit der windschiefen Lage.
Dadurch entstehen 3 unterschiedliche Lösungsklassen:
Keine Lösung: Die erste Ebene verläuft parallel zur zweiten EbeneEs entsteht aufgrund des Gleichungssystems ein Widerspruch
bzw. sind die beiden Stellungsvektoren linear abhängig.
Unendliche Lösungen I: Die erste Ebene schneidet die zweite Ebene (Schnittgerade)Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist von einer Variablen abhängig bzw. sind die Stellungsvektoren linear unabhängig.
Unendliche Lösungen II: Die erste Ebene liegt in der zweiten Ebene (Identität).Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist von zwei Variablen abhängig bzw. sind die Stellungsvektoren linear abhängig und der zugehörige Abstand ist Null.
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 134
Da es relativ kompliziert ist drei Gleichungen mit 4 Unbekannten mittels Gaußverfahren nach den richtigen Variablen freizustellen, empfiehlt es sich mittels der Stellungsvektoren der Ebenen die Lage der Ebenen zu klassifizieren.Dadurch ergibt sich die folgende Lösungsmethodik:
1. Parameterfreien FormEs wird im ersten Schritt mittels Stellungsvektoren die parameterfreie Form gebildet.
2. Abhängigkeit der Richtungsvektoren:Sind die beiden Stellungsvektoren linear abhängig muss mittels Abstand Parallelität oder Identität geprüft werden. Sonst liegt eine Schnittgerade vor.
3. Äußeres Produkt:Durch Bildung des äußeren Produkts (Vektorprodukt) der Stellungsvektoren der beiden Ebenen erhält man den Richtungsvektor der Schnittgeraden.
4. Gemeinsamer Punkt:Mittels Vorbelegung einer beliebigen Variablen und anschließender Lösung des entstehenden Gleichungssystems kann ein gemeinsamer Punkt (Startvektor) berechnet werden.
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 135
Beispiel: ℜ∈
−+
−
−⋅+
−=∧
−−−
⋅+
−−
⋅+
−= δγβαδγβα ,,,;
2
2
3
1
1
2
2
2
3
:
3
1
1
3
2
1
4
2
3
: 21 xexerr
=
−×
−
−=
−=
−−−
×
−−
=1
1
0
2
2
3
1
1
2
:;
1
0
9
3
1
1
3
2
1
: 2211 nenerr
4220110:
31402709:
2
1
=++⇔=++=++⇔=−+
dzyxe
dzyxe
4:
319:
2
1
=+
=−
zye
zxe
45:3159:5 21 =+∧=−= yexez
14 −=∧=⇔ yx
Parameterfreie Darstellung:
−=
×
−=×
9
9
1
1
1
0
1
0
9
21 nnrr
Richtungsvektor der Schnittgeraden:
Startvektorder Schnittgeraden:
−+
−=9
9
1
5
1
4
: εxgr
Schnittgeraden
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 136
Bilden Sie die parameterfreie Darstellung und die Parameterform der folgenden ?1)
2)
TTT cba )2;2;1(;)1;2;4(;)3;1;2( −=−==rrr
Bestimmen Sie die jeweils andere Darstellungsform der Ebenen.
3) Wie liegen die folgenden Ebenen zueinander?
5432: =+− zyxe
−⋅+
−⋅+
−=1
2
3
2
1
2
1
2
1
: βαxer
a) b)
−⋅+
⋅+
−=3
0
1
1
2
3
4
1
2
:1 βαxer
−⋅+
−⋅+
−=
3
1
3
4
1
2
2
0
1
:2 δγxer
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 137
Bilden Sie die parameterfreie Darstellung der folgenden Ebenen und deren Lage.2)
3) Bestimmen Sie die gegenseitige Lage der Gerade und Ebene zueinander.
4) Wie liegen die folgenden Ebenen zueinander?
+
=3
1
2
3
8
3
: εxgr TTTe )1;4;2(,)2;1;3(,)5;2;1(: −
−
−⋅+
−⋅+
−=
1
2
1
1
2
4
3
2
1
:1 βαxer
−⋅+
⋅+
−=
4
4
1
0
8
10
2
3
2
:2 δγxer
TTTe )4;2;2(,)0;2;2(,)1;1;1(:1 −−−− TTTe )1;2;1(,)1;6;3(,)1;0;2(:2 −−
Bilden Sie die Parameterdarstellung der folgenden Geraden und deren Lage.1)TTg )4;7;0(,)2;3;1(:1
TTg )6;9;7(,)6;8;10(:2 −−
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 138
Zur Berechnung von einem Abstand definieren wie den Punkt Q und die Gerade in der Form
mit als Startpunkt und als Richtungsvektor der Geraden n.
Punkt zu Gerade:
Gerade zu Gerade (parallel):
Gerade zu Gerade (windschief):
1
11 )(
b
PQbd r
r−×
=
nnnn bPxgrr
⋅+= α:nP nb
r
1
121 )(
b
PPbd r
r−×
=
21
2112 )()(
bb
bbPPd rr
rr
×
×∗−=
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 139
Beispiel Punkt zu Gerade:
−⋅+
−−=
4
2
3
2
4
3
: 11 αxgr
=3
1
2
Q
−
−−−−−−
−
=
−
−×
−
=
−
−−−
×
−
=
4
2
3
)2(15
)15(4
2010
4
2
3
5
5
1
4
2
3
4
2
3
2
4
3
3
1
2
4
2
3
d
1
11 )(
b
PQbd r
r−×
=
67,329
390
42)3(
)13(11)10(
222
222
≈=++−
−++−=d
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 140
Beispiel Gerade zu Gerade:(parallel)
⋅+
−−=
3
1
2
3
1
2
: 11 αxgr
−−−−
−
=
−×
=
−−−
×
=
3
1
2
)1(8
143
127
3
1
2
7
4
1
3
1
2
3
1
2
3
1
2
4
3
1
3
1
2
d
31,514
395
312
9)17()5(
222
222
≈=++
++−=d
1
121 )(
b
PPbd r
r−×
=
⋅+
=9
3
6
4
3
1
: 22 βxgr
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 141
Gerade zu Gerade:(windschief)
−⋅+
−=
2
1
4
2
5
3
:1 αxgr
−
−⋅+
−=
1
2
3
1
2
2
:2 βxgr
2225)2()3(
5
2
3
3
3
5
1
2
3
2
1
4
1
2
3
2
1
4
2
5
3
1
2
2
+−+−
−−
∗
−−
=
−
−×
−
−
−×
−∗
−−
−=d
89,338
24
38
15615≈=
−+−=
21
2112 )()(
bb
bbPPd rr
rr
×
×∗−=
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 142
Zur Berechnung von einem Abstand definieren wie den Punkt Q sowie die Gerade in der Form
mit als Startpunkt und als Richtungsvektor der Geraden n und die
zugehörige Ebene in der parameterfreien Darstellung .
Aufgrund der parameterfreien Form der Ebene ergibt sich direkt der Stellungsvektor
Die Abstände werden wie folgt definiert:
Punkt zu Ebene:
Gerade/Ebene zu Ebene:
n
PQnd r
r)( 0−∗
=
nnnn bPxgrr
⋅+= α:nP nb
r
n
nPPd r
r∗−
=)( 12
dzcybxae =⋅+⋅+⋅:
Tcban );;(=r
222cba
dczbyaxd
++
−++= Hessesche Normalform
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 143
Ebene zu Ebene :(parallel)
Punkt zu Ebene :
3352:1 =+− zyxe 86104:2 =−+− zyxe
14,138
7
3)5(2
9108
3
5
2
3
5
2
1
2
5
2
0
1
222≈=
+−+
−+−=
−
−∗
−
−=d
n
nPPd r
r∗−
=)( 12
523:1 =−+− zyxe )1;4;2(=Q
222cba
dczbyaxd
++
−++= 8,014
3
)2(3)1(
512432)1(
222≈=
−++−
−⋅−⋅+⋅−=d
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 144
1. Punkt zu Gerade:
2. Punkt zu Ebene (parallel):
3. Gerade zu Gerade (windschief):
4. Gerade zu Ebene:
)1;2;1();3;1;2(: −== BAg )2;5;2( −=Q
−
−⋅+
−⋅+
=1
3
2
2
1
3
2
0
1
: βαxer
1332: =++ zyxe
)15;1;4(=Q
−⋅+
=4
3
1
3
1
2
:1 αxgr
⋅+
−=
3
0
4
1
5
1
:2 βxgr
−−
⋅+
−=
2
4
1
1
1
0
: αxgr
PreStudy 2019 Torsten Schreiber 145
1. Punkt zu Gerade:
2. Punkt zu Ebene:
3. Gerade zu Gerade :
4. Gerade zu Ebene:
)2;5;2();4;1;3(: −=−= BAg )1;3;2(−=Q
TTTe )1,2,1(;)4,3,1(;)5,1,2(: −−−−
42: =+− zyxe
)4;1;2( −=Q
−⋅+
−=
1
4
2
5
3
1
:1 αxgr
−
−⋅+
−=3
12
6
1
2
3
:2 βxgr
−⋅+
=1
3
2
0
2
1
: αxgr
Welche neuen Begriffe habe ich kennen gelernt?
PreStudy 2019 146Torsten Schreiber
Torsten Schreiber 147PreStudy 2019
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