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R-tree, R*-tree und R+-tree
Seminar Geoinformation WS 01/02
Zugriffstruktur auf mehrdimensionale räumliche Objekte
Institut für Kartographie und Geoinformation
der Universität Bonn
Betreuer: Dipl.-Inform. Ingo Petzold
Verfasser: Andreas Joisten
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung
2. Der R-tree
2.1 Struktur und Eigenschaft des R-tree
2.2 Algorithmen des R-tree
2.2.1 Such
2.2.2 Einfüge
2.2.3 Spalt
2.2.4 Lösch
3. R*-tree und R+-tree
- Algorithmus
Einleitung• Anforderung an Zugriffstruktur: multidimensionaler Suchbereich
Versagen des B-Baumes, da eindim. Ordnung der Indexwerte
• Multidimensionale Indexmethode:– Approximation räumlicher Objekte durch kleinste umgebene
„bounding box“– bounding box:
• im 3-D = Quader ; im 2-D = Rechtecke• Lage und Flächeninhalt/Volumen bekannt
– Implementierung: • Zugriff auf Datenobjekte über Pointer • Speicherung der bounding boxen in Zugriffstruktur oder in
Datenobjekten
Struktur des r-tree
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
•Wurzel: bounding box, Pointer auf Söhne
Struktur des r-tree
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
•Wurzel: bounding box, Pointer auf Söhne
•Innere Knoten: bounding box, Pointer auf Söhne
Struktur des r-tree
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
•Wurzel: bounding box, Pointer auf Söhne
•Innere Knoten: bounding box, Pointer auf Söhne
•Blätter: bounding box, Pointer auf Datenobjekt
R1
R2
R3
R4
Festlegungen des r-tree
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
•Einträgen pro Knoten
-mindest Anzahl m = 2
-maximale Anzahl M = 4
Eigenschaften des r-tree
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
•Die Wurzel hat mind. 2 Söhne außer sie ist ein Blatt
•Jeder Knoten außer der Wurzel besitzt zw. m und M Einträge
•Alle Blätter befinden sich auf derselbe Höhe
Such-Algorithmus
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Frage: Liegt innerhalb des Suchgebiets eine Stadt?
• Definiere: bounding box des Suchgebiets
Such-Algorithmus
R1
R2 R4
R3
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Suchgebiet innerhalb aktuellem Knoten ?
Suchgebiet innerhalb Wurzel
Such-Algorithmus
R3
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Suchgebiet innerhalb aktuellem Knoten ?
Suchgebiet innerhalb R1
Suchgebiet außerhalb R2
Suche im linken Teilbaum
Such-Algorithmus
R3
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Suchgebiet innerhalb aktuellem Knoten ?
Suchgebiet innerhalb R3
R3
Suchgebiet innerhalb R4
R4
Such-Algorithmus
R3
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Suchgebiet innerhalb aktuellem Knoten ?
A
B
Suchgebiet innerhalb C
C
D Suchgebiet innerhalb E
EF
G
Such-Algorithmus
Wurzel
R5 R6R3 R4
A B C D E F G H I J K L M N O
R7
R1 R2
E
C
Keine Information in C
Stadt in E
Welches Datenobjekt liegt innerhalb des Suchgebiets?
Einfüge-Algorithmus
R3
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Zuordnung nach geringstem Flächenzuwachs bzw geringster Fläche der bounding boxen
Z
Zuordnung R1
Einfüge-Algorithmus
R3
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R3 R4
Wurzel
A B C D E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
• Zuordnung nach geringstem Flächenzuwachs bzw geringster Fläche
Z
Zuordnung R3
überlauf des Blattes
Spalt-Algorithmus
• Aufgabe: Verteilung der M + 1 Einträge auf zwei neue Knoten
• Wichtig: Struktur des r-tree von der Gestaltung der neuen Knoten abhängig
• worse case: zufällige Zuordnung der Einträge Überlagerung der bounding boxen schlechte Suche
• Systematische Zuordnung: entfernungsabhängiges Einfügen der Einträge
Aufspalten eines Knotens/Blattes
R3
B
D
C
A
Wurzel
R5 R6R3 R4
A B D E F G H I J K L M N O
R7
R1 R2
Z
Z
•Suche: 2 Einträge, die die neuen Blätter festlegen
•Forderung: 2 Einträge mit max. Abstand
C
CB
B
C
A
A
Z
Z
R‘3 := A und R‘‘3 := Z
C
Aufspalten eines Knotens/Blattes
R3
D
C
A
Wurzel
R5 R6R3 R4
A B D E F G H I J K L M N O
R7
R1 R2
Z
Z
A
A
Z
Z
F_AB und F_ZB
•Ziel: Flächenzuwachs der verbleibenden Einträgen zu A , Z B
B
B
C
Aufspalten eines Knotens/Blattes
R3
C
A
Wurzel
R5 R6R3 R4
A B D E F G H I J K L M N O
R7
R1 R2
Z
Z
A
A
Z
Z
•Ziel: Flächenzuwachs der verbleibenden Einträgen zu A , Z B
C
C
D
C
Aufspalten eines Knotens/Blattes
R3
C
A
Wurzel
R5 R6R3 R4
A B D E F G H I J K L M N O
R7
R1 R2
Z
Z
A
A
Z
Z
•Ziel: Flächenzuwachs der verbleibenden Einträgen zu A , Z B
DD
D
C
Aufspalten eines Knotens/Blattes
R3
C
A
Wurzel
R5 R6R3 R4
A B D E F G H I J K L M N O
R7
R1 R2
Z
Z
A
A
Z
Z
B
D
•Ziel: je geringer der Abstand eines Daten- objekts zu den Ursprungselementen, desto eher das Einfügen
•Ansatz: Flächendifferenzen F_AB – F_ZB = DB
Reihenfolge des Einfügens nach größter Flächendifferenz
Neue Struktur des R-tree
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
L
MH
I
KJWurzel
R5 R6R‘‘3 R4
Wurzel
A B C Z E F G H I J K L M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
Z
D
R‘3
R‘3
R‘‘3
R4 R6
R5
B
D
EF
G
C
A
MH
I
KJWurzel
R5 R6R‘‘3 R4
Wurzel
A B C Z E F G H I J K M N O
N
O
R7
R7
R1 R2
Z
D
R‘3
R‘3
R‘‘3
Lösch-Algorithmus
• Lösche: L L
L M
R6
R6 kann nicht existieren
• bounding box verkleinern
• Such-Algorithmus
L
• Datenobjekt löschen
L
R4
R5
B
D
EF
G
C
A
MH
I
KJWurzel
R5 R7R‘‘3 R4
Wurzel
A B C Z E F G H I J K M N O
N
O
R7
R1 R2
Z
D
R‘3
R‘3
R‘‘3
Lösch-Algorithmus
•Löschen u. wiedereinfügen von M
kleinerer Flächenzuwachs zu R7
R4
R5
B
D
EF
G
C
A
MH
I
KJWurzel
R5 R7R‘‘3 R4
Wurzel
A B C Z E F G H I J K M N O
N
O
R7
R1 R2
Z
D
R‘3
R‘3
R‘‘3
Neue Struktur des R-tree
Optimierungen bei dem R-tree
•Reduktion der Überlappungen weniger Suchpfade
Überlappung
•Freifläche der bounding box minimieren bessere Approximation durch bounding box
Feifläche
•Maximierung der Anzahl der Einträge Reduzierung der Höhe
R*-tree
• R*-tree als Fortführung des R-tree
– Kriterium des R-tree: geringster Flächenzuwachs– Kriterien des R*-tree:
• Innere Knoten nach geringsten Flächenzuwachs• Blätter nach geringster Überlappung der bounding boxen
• Verbesserung der Suchperformance:
– Änderung der Einfüge- u. Teilungsstrategien– Einführung des erzwungenen Wiedereinfügens
R+-tree
DF
K
J
DF
H
K
JH
BA
FD G JH K
CA
FD G HG
B
JK
•Keine Überlappung der Inneren Knoten
R-tree R+-tree
G G GG G GA A
B B
C
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