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Plan
Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes.Le package PCAmixdata et une application en
sociologie culturelle.
Marie Chavent 1,2, Vanessa Kuentz-Simonet 3
Zoltan Lakatos 4, Jerome Saracco 1,2
1IMB, Universite de Bordeaux, France2Inria Bordeaux Sud-Ouest, Equipe CQFD, Talence, France
3Irstea, UR ADBX, Cestas, France4Universite Polytechnique et Economique de Budapest, Hongrie
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
Plan
Plan
1 La methode PCAMIX
2 Rotation orthogonale dans PCAMIX
3 Application en sociologie culturelle
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Plan
1 La methode PCAMIX
2 Rotation orthogonale dans PCAMIX
3 Application en sociologie culturelle
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Une ACP de donnees mixtes
Analyse en Composantes Principales d’un melange de donneesquantitatives et qualitatives
PCAMIX (Kiers, 1991) et AFDM (Pages, 2004)
Inclut l’ACP et l’ACM comme cas particuliers
Fonction AFDM dans le package R FactoMineR
Rotation dans la methode PCAMIX↪→ Reecriture de PCAMIX sous forme d’une Decompositionen Valeurs Singulieres
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Quelques notations
Soit X1 une matrice n × p1 de donnees quantitatives ou nobservations sont decrites par p1 variables quantitatives
Soit X2 une matrice n × p2 de donnees qualitatives ou nobservations sont decrites par p2 variables qualitatives
Soit p = p1 + p2 le nombre total de variables et m le nombretotal de modalites
Soit k le nombre de composantes issues de PCAMIX
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Une premiere etape de recodage
La procedure pour PCAMIX se deroule de la facon suivante :
1 Recodage de X1 et X2 :
Z1 est la version standardisee de la matrice quantitative X1
Z2 = JGD−1/2 est la version standardisee du tableau disjonctifcomplet G associe a la matrice qualitative X2, ou D est lamatrice diagonale des frequences des modalites etJ = I− 1′1/n est l’operateur de centrage
↪→ Z = 1√n
(Z1|Z2) est la matrice n × (p1 + m) d’interet
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Decomposition en Valeurs Singulieres
2 Decomposition en Valeurs Singulieres de Z :
Z = UΛV′
↪→ F =√nUk est la matrice n × k des scores des
composantes principales, ou Uk est la matrice composee des kpremieres colonnes de U↪→ A = VkΛk est la matrice (p1 + m)× k des “loadings” descomposantes principales, ou Vk est la matrice composee des kpremieres colonnes de V et Λk la matrice diagonale des kpremieres valeurs singulieres
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Reecriture de la matrice A des loadings
3 Ecrire A =(A1A2
)avec :
A1 la matrice p1 × k des “loadings” (correlations) des variablesquantitativesDA2 la matrice m × k des coordonnees des modalites desvariables qualitatives sur les composantes principales
↪→ Cercle des correlations pour les variables quantitatives↪→ Graphique des modalites
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Calcul de la matrice C des “squared loadings”
4 Calculer la matrice C de dimension (p1 + p2)× k des“squared loadings”:{
cjl = a2jl si la variable j est quantitative
cjl =∑
s∈Ij a2sl si la variable j est qualitative
ou Ij est l’ensemble des indices des lignes de A associes auxmodalites de la variable j↪→ cjl est une correlation au carre si j est quantitative↪→ cjl est un rapport de correlation si j est qualitative↪→ Variables quantitatives et qualitatives sur le memegraphique
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Le package R PCAmixdata
> require(PCAmixdata)
> data(wine)
> head(wine[,c(1:4)])Label Soil Odor.Intensity Aroma.quality
2EL Saumur Env1 3.07 3.00
1CHA Saumur Env1 2.96 2.82
1FON Bourgueuil Env1 2.85 2.92
1VAU Chinon Env2 2.80 2.59
1DAM Saumur Reference 3.60 3.42
2BOU Bourgueuil Reference 2.85 3.11
> X.quanti <- wine[,c(3:29)]
> X.quali <- wine[,c(1,2)]
> pca <- PCAmix(X.quanti,X.quali,ndim=10)
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Le package R PCAmixdata
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●
●
●
●
−10 −5 0 5
−8
−6
−4
−2
02
4
Scores
Dim 1 (44.15%)
Dim
2 (
19.1
%)
2EL 1CHA1FON
1VAU
1DAM2BOU1BOI
3EL
DOM11TUR
4EL PER1
2DAM1POY1ING1BEN
2BEA1ROC2ING
T1 T2
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.4
0.8
Squared loadings
Dim 1 (44.15%)
Dim
2 (
19.1
%)
Odor.Intensity.before.shaking
Aroma.quality.before.shakingFruity.before.shakingFlower.before.shaking
Spice.before.shaking
Visual.intensityNuanceSurface.feeling
Odor.Intensity
Quality.of.odourFruity
FlowerSpice Plante
PhenolicAroma.intensityAroma.persistency
Aroma.quality
Attack.intensity
Acidity Astringency
Alcohol
BalanceSmooth
Bitterness
IntensityHarmony
Label
Soil
−0.5 0.0 0.5 1.0
−3
−2
−1
01
2
Categories
Dim 1 (44.15%)
Dim
2 (
19.1
%) Bourgueuil
ChinonSaumur
Env1
Env2
Env4
Reference
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.
00.
00.
51.
0
Correlation circle
Dim 1 (44.15%)
Dim
2 (
19.1
%)
Odor.Intensity.before.shaking
Aroma.quality.before.shakingFruity.before.shakingFlower.before.shaking
Spice.before.shaking
Visual.intensityNuanceSurface.feeling
Odor.Intensity
Quality.of.odourFruity
Flower
SpicePlante
PhenolicAroma.intensityAroma.persistency
Aroma.quality
Attack.intensity
Acidity AstringencyAlcohol
BalanceSmooth
Bitterness
IntensityHarmony
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Plan
1 La methode PCAMIX
2 Rotation orthogonale dans PCAMIX
3 Application en sociologie culturelle
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Rotation en ACP (1/2)
En conservant k composantes principales :
Z ≈ UkΛkV′k
= FA′
= FTT′A′
= FA′
ou
T est une matrice de rotation orthonormale : TT′ = T′T = Ik
F = FT et A = AT sont les scores et loadings apres rotation
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Rotation en ACP (2/2)
↪→ Faciliter l’interpretation : trouver T tel que les loadings au carreaient des valeurs elevees (proche de 1) ou faibles (proche de zero)
↪→ La fonction varimax (Kaiser, 1958) :
f (T) =k∑
l=1
p∑j=1
(a2jl)
2 − 1
p
k∑l=1
p∑j=1
a2jl
2
↪→ Le probleme d’optimisation :
maxT
f (T),
s.c. TT′ = T′T = Ik
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Critere de rotation pour PCAMIX
Dans PCAMIX, la fonction varimax s’ecrit :
f (T) =k∑
l=1
p∑j=1
(cjl)2 − 1
p
k∑l=1
p∑j=1
cjl
2
ou cjl =∑
s∈Ij a2sl sont ici les loadings au carre apres rotation
↪→ Les loadings au carre apres rotation cjl sont les correlations aucarre ou les rapports de correlation des variables aux scores apresrotation dans F
↪→ Kiers (1991) donne une formulation matricielle de cettefonction varimax
↪→ Il propose d’utiliser un algorithme de diagonalisation simultaneede matrices symetriques (De Leeuw et Pruzansky, 1978)
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Rotation orthogonale pour PCAMIX
Notre proposition :
Ecriture de la solution directe pour l’angle optimal de rotationdans la methode PCAMIX (k = 2)
Proposition d’une procedure iterative pour la rotation varimaxlorsque k > 2
Developpement du package R PCAmixdata avec la fonction“PCArot”
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
L’angle optimal de rotation (k = 2)
Pour k = 2
T =
[cos θ −sin θsin θ cos θ
]
↪→ le probleme d’optimisation varimax devient non contraint :
maxθ∈R
f (θ)
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Rotation planaire dans PCAMIX (1/3)
On demontre que :
f (θ) = f (0) +ρ
4p
(cos(4θ − ψ)− cosψ
)ou ρ et ψ sont definis par :
ρ = (g2 + h2)1/2 , cosψ = g/ρ , sinψ = h/ρ
et ou g et h sont donnes par ...
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Rotation planaire dans PCAMIX (2/3)
... ou g et h sont donnes par :
g = 2p
p∑j=1
ujvj − 2
p∑j=1
uj
p∑j=1
vj
h = p
p∑j=1
(uj2 − vj
2)−
p∑j=1
uj
2
+
p∑j=1
vj
2
et ou uj et vj sont definis par :
uj =∑s∈Ij
(a2s1 − a2
s2) et vj = 2∑s∈Ij
as1as2
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Rotation planaire dans PCAMIX (3/3)
f (θ) = f (0) +ρ
4p
(cos(4θ − ψ)− cosψ
)est maximum pour
cos(4θ − ψ) = 1⇔ 4θ − ψ = 2kπ
↪→ les angles optimaux sont :
θ =ψ
4+ k
π
2, k ∈ Z
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Une procedure iterative de rotation pour k > 2 (1/2)
1 Initialisation :
Calculer F et A avec PCAMIXF = F et A = A
2 Pour chaque pair de dimensions (l , t) :
Calculer θ = ψ/4 avec
ψ =
arcos(
h√g2 + h2
) si g ≥ 0
−arcos(h√
g2 + h2) si g ≤ 0
...
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Une procedure iterative de rotation pour k > 2 (2/2)
2 Pour chaque pair de dimensions (l , t) :
...
T =
[cos θ −sin θsin θ cos θ
]Mettre a jour F et A par rotation de leurs colonnes l et t
3 Repeter l’etape precedente jusqu’a obtenir successivementk(k − 1)/2 angles θ egaux a zero
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Le package R PCAmixdata
> rot<-PCArot(pca,dim=8)
0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Squared loadings
Dim 1 (44.15%)
Dim
2 (
19.1
%)
Odor.Intensity.before.shaking
Aroma.quality.before.shakingFruity.before.shaking
Flower.before.shaking
Spice.before.shaking
Visual.intensityNuanceSurface.feeling
Odor.Intensity
Quality.of.odourFruity
Flower
Spice Plante
Phenolic
Aroma.intensityAroma.persistency
Aroma.quality
Attack.intensity
AcidityAstringency
Alcohol
Balance
Smooth
Bitterness
IntensityHarmony
Label
Soil
0.0 0.5 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Squared loadings after rotation
Dim 1 (33.49%)
Dim
2 (
15.9
7%)
Odor.Intensity.before.shaking
Aroma.quality.before.shakingFruity.before.shakingFlower.before.shaking
Spice.before.shaking
Visual.intensityNuanceSurface.feeling
Odor.Intensity
Quality.of.odourFruity
Flower
Spice
Plante
PhenolicAroma.intensity
Aroma.persistencyAroma.qualityAttack.intensity
Acidity
Astringency
Alcohol
BalanceSmooth
Bitterness
Intensity
Harmony
Label
Soil
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La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Le package R PCAmixdata
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●●
●
●
●
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●●
●
●
●
●
●
●
●
●
−10 −5 0 5
−8
−4
02
4
Rotated scores
Dim 1 (33.49%)
Dim
2 (
15.9
7%) 2EL
1CHA 1FON1VAU
1DAM2BOU1BOI3EL
DOM1
1TUR
4EL PER12DAM
1POY
1ING1BEN2BEA1ROC
2ING
T1 T2
0.0 0.5 1.0
0.0
0.4
0.8
Squared loadings after rotation
Dim 1 (33.49%)
Dim
2 (
15.9
7%)
Odor.Intensity.before.shaking
Aroma.quality.before.shakingFruity.before.shakingFlower.before.shaking
Spice.before.shaking
Visual.intensityNuanceSurface.feeling
Odor.Intensity
Quality.of.odourFruityFlower
Spice
PlantePhenolicAroma.intensityAroma.persistencyAroma.qualityAttack.intensityAcidity
AstringencyAlcohol
BalanceSmooth
Bitterness
IntensityHarmony
Label
Soil
−0.5 0.0 0.5 1.0
−3
−1
01
2
Categories after rotation
Dim 1 (33.49%)
Dim
2 (
15.9
7%)
BourgueuilChinonSaumur
Env1Env2
Env4
Reference
−1.0 0.0 0.5 1.0
−1.
00.
01.
0
Correlation circle after rotation
Dim 1 (33.49%)
Dim
2 (
15.9
7%)
Odor.Intensity.before.shaking
Aroma.quality.before.shakingFruity.before.shakingFlower.before.shaking
Spice.before.shaking
Visual.intensityNuanceSurface.feeling
Odor.Intensity
Quality.of.odourFruityFlower
Spice
PlantePhenolicAroma.intensityAroma.persistency
Aroma.quality
Attack.intensityAcidityAstringencyAlcohol
BalanceSmooth
Bitterness
IntensityHarmony
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La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Comparaison avec l’approche de Kiers
Simulations de jeux de donnees (variables quantitatives etqualitatives)20 replications pour chaque couple (n, p)Comparaison du temps de calcul median (en sec) de l’angleoptimal entre les 2 approches
p=10 p=50 p=100 p=200n=50 Matrix reformulation 0.05 0.12 0.22 0.44n=50 SVD 0.02 0.06 0.12 0.27n=100 Matrix reformulation 0.14 0.33 0.56 1.04n=100 SVD 0.02 0.09 0.17 0.34n=200 Matrix reformulation 0.55 1.12 1.86 3.38n=200 SVD 0.02 0.11 0.26 0.53n=400 Matrix reformulation 2.15 4.32 7.1 12.65n=400 SVD 0.03 0.16 0.37 0.89n=800 Matrix reformulation 10.06 19.27 30.54 errorn=800 SVD 0.05 0.25 0.58 1.79
↪→ Ratio entre les temps de calcul des deux approches : de 2a 214 fois plus rapide !
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Plan
1 La methode PCAMIX
2 Rotation orthogonale dans PCAMIX
3 Application en sociologie culturelle
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Autour de l’evolution des valeurs culturelles
Travail de these de Zoltan Lakatos (2012) :
Evolution des valeurs culturelles dans les societes
Critique empirique de la these sociologique du postmaterialism du politologue americain Ronald Inglehart
World Values Survey (WVS) : enquete globale sur les valeursculturelles, initiee et dirigee par Ronald Inglehart (enquetesindividuelles menees au niveau national dans une centaine depays, par vagues successives depuis 1981)
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Les resultats de Inglehart
Graphique de l’espace sociologique selon Inglehart :
Inglehart (1997), Modernization and Postmodernization, p.82, Figure 3.2.
Source : vague 1990-93 de l’enquete World Values Survey, 43“pays”.
Premier plan factoriel d’une ACP realisee sur les donneesagregees au niveau national
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La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Amalgame entre deux notions
Le deuxieme axe “valeurs traditionnelles vs. rationalite-laıcite”amalgame l’attitude libertaire et l’activisme citoyen (en haut) et laforte religiosite et l’autoritarisme (en bas) :
1eres Rencontres R, Bordeaux, 3 Juillet 2012 Rotation orthogonale en ACP de donnees mixtes
La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Une approche nouvelle
Approche de Zoltan Lakatos (2012) :
Enquete WVS de 1981 a 2004 dans 86 pays soit 276870 casponderes pour obtenir 1000 cas par pays
86000 cas et 20 valeurs culturelles (donnees manquantes)
ACM avec rotation (et non pas ACP) sur les donneesindividuelles (et non pas agregees)
Package PCAmixdata et CAR de Matlab pour la rotation enAC (van de Velden & Kiers, 2005)
⇒ Identification de deux dimensions distinctes : “religieux vs.laıque ” et “autoritaire vs. libertaire”
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La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Resultats de l’ACM
Modalites et variables avant rotation
respect parents conditional
learn faith not imp.
accepts outgroups
childless woman not OK
single mother not OK
no life after death
God not imp.
no comfort from religion
divorce not OKachievement not
imp.
good pay not imp.
no subversive actionservice: never
learn faith imp.
rejects outgroups
childless woman OK
single mother OKoften thinks about
meaning of life
life after death
God very imp.
comfort from religion
divorce OK
achievement most imp.
good pay most imp.fighting rising prices
most imp.
subversive actionservice: 1+/week
R² = 0.5854
R² = 0.5427
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
(-) C
on
scie
nti
ou
sA
xis
2 [
2=
0.0
60
]C
on
form
ist
(+)
(-) Modern Axis 1 [1=0.257] Traditional (+)
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La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
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Apport de la rotation (1/2)
Modalites et variables apres rotation (k = 4)
respect parents conditional
LEARN FAITH NOT IMP.
accepts outgroups
childless woman not OK
single mother not OK
NO LIFE AFTER DEATH
GOD NOT IMP.NO COMFORT FROM
RELIGION
divorce not OK
no subversive action
SERVICE: NEVER
always respect parents
LEARN FAITH IMP.
obediencerejects outgroups
childless woman OK
single mother OK
LIFE AFTER DEATH
GOD VERY IMP.
COMFORT FROM
RELIGION
divorce OK
subversive action
SERVICE: 1+/WEEK
-1.2
-0.7
-0.2
0.3
0.8
-1.1 -0.6 -0.1 0.4 0.9
(-) L
ibe
rtar
ian
Axi
s 2
[2=
0.09
0]A
uth
ori
tari
an (+
)
(-) Secular Axis 1 [ 1=0.155] Religious (+)
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Application en sociologie culturelle
Apport de la rotation (2/2)
Scores des individus apres rotation (k = 4)
Russia
Jordan
Colombia
Sweden
122 955
104 331
239 119
189 046
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
-2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5
(-) L
ibe
rtar
ian
Axi
s 2
[y]
Au
tho
rita
rian
(+)
(-) Secular Axis 1 [x] Religious (+)
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Application en sociologie culturelle
Conclusion
Ecriture de la solution analytique pour la rotation planaire enACP de donnees mixtes
Proposition d’une procedure iterative de rotation pour k > 2
Illustration du bon comportement numerique de l’approche
Developpement du package R PCAmixdata
Interet possible de la rotation sur une vraie etude de cas
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La methode PCAMIXRotation orthogonale dans PCAMIX
Application en sociologie culturelle
Quelques references
Chavent, M., Kuentz, V., Liquet B., Saracco, J. (2012), ThePCAmixdata R package, The CRAN R Project.
Chavent, M., Kuentz, V., Saracco, J. (2012), Orthogonal rotation inPCAMIX, ADAC, 6(2), 131-146.
Kiers, H.A.L., (1991), Simple structure in Component AnalysisTechniques for mixtures of qualitative and quantitative variables,Psychometrika, 56, 197-212.
Lakatos, Z. (2012), The Cultural Values-Economic Growth Nexus: A
Critical Reassessment, Doctoral thesis, Faculty of Social Sciences,
Eotvos Lorand University of Sciences (ELTE TaTK), Budapest.
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