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SE MODALLOGIK UND ANDERE PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKENWS 2015/16 — ESTHER RAMHARTER & GÜNTHER EDER

FORMALE SPRACHEN

• Wie jede natürliche Sprache, hat auch auch jede formale Sprache

• Syntax/Grammatik

• Semantik

GRAMMATIK / SYNTAX

• Die Grammatik / Syntax einer formalen Sprache macht dasselbe wie Grammatik / Syntax einer natürlichen Sprache

• Sie spezifiert

• die Grundbausteine, aus denen man Ausdrücke der Sprache bilden kann

• Regeln, nach denen man aus den Grundbausteinen dieser Sprache komplexe Ausdrücke / Sätze dieser formalen Sprache korrekt bilden darf

DIE GRUNDBAUSTEINE DER KLASSISCHEN AL

• Die Grundbausteine der Sprache der AL sind

• Nicht-logische Konstanten = Atomare Satzbuchstaben

• Logische Konstenten = Aussagenlogische Junktoren

• Klammern

NICHTS SONST!

• Atomare Satzbuchstaben:

• p, q, r, …

• Aussagenlogische Junktoren: ¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷

• Klammern zum Strukturieren: „(“ und „)“

• Eine bestimmte Menge von atomaren Satzbuchstaben nennt man auch Signatur

DIE GRUNDBAUSTEINE DER KLASSICHEN AL

• Satzbuchstaben p, q, r, … sollen für einfache, aussagenlogisch nicht weiter zerlegbare Aussagesätze stehen wie „Ned Stark ist tot“ oder „Joffrey ist so richtig gemein“

• Die aussagenlogischen Junktoren sollen jeweils stehen für

„nicht“ ¬

„und“ ∧

„(einschließendes) oder“ ∨

„wenn, dann“ →

„genau dann wenn“ ⟷

DIE GRUNDBAUSTEINE DER KLASSISCHEN AL

• Durch jede Signatur ist eine aussagenlogische Sprache festgelegt, nämlich …

• … die Menge aller Sätze (= wohlgeformten Formeln), die sich durch wiederholte Anwendung der Wohlformungsregeln aus den Elementen der Signatur erzeugen lassen

DIE GRUNDBAUSTEINE DER KLASSISCHEN AL

WOHLGEFORMTHEITSREGELN DER AL

• Die Wohlgeformtheitsregeln sind das erste Beispiel für eine sogenannte rekursive Definition

• Die Tatsache, dass es sich bei der Definition der wohlgeformten Formeln um eine rekursive Definition handelt, gibt uns auch eine (meta-theoretische) Beweismethode an die Hand — die sogenannte

• Induktion über den Formelaufbau (= Strukturelle Induktion)

• Mit Hilfe der Induktion über den Formelaufbau kann man oft zeigen, dass JEDE Formel eine bestimmte Eigenschaft hat

WOHLGEFORMTHEITSREGELN DER AL

• Eine Semantik für eine formale Sprache gibt allgemeine Bedingungen an, die festlegen welche/n Bedeutung / semantischen Wert ein korrekt gebildeter Ausdruck hat — gegeben, dass eine Bedeutung / semantischer Wert für seine einfachsten Bestandteile fixiert wurde

• So wird jedem (einfachen oder komplexen) Ausdruck eine(n) eindeutige(n) Bedeutung / semantischer Wert zugewiesen — gegeben, dass die / der Bedeutung / semantischer Wert für die einfachsten Bestandteile fixiert wurde

WAS TUT EINE SEMANTIK?

• Die semantischen Werte, die ein Satz in der klassischen AL haben kann, sind: wahr oder falsch (w/f bzw. 1/0)

• Die Semantik der klassischen AL gibt also allgemeine Bedingungen an, die festlegen welchen der beiden Wahrheitswerte ein korrekt gebildeter Satz hat — gegeben, dass die Wahrheitswerte für die atomaren Satzzeichen feststehen.

Semantik = Angabe von Wahrheitsbedingungen.

• Jedem (einfachen oder komplexen) Satz der AL wird ein eindeutiger Wahrheitswert zugewiesen — gegeben, dass Wahrheitswerte für die atomaren Sätze fixiert wurden

SEMANTIK DER KLASSISCHEN AL

• Eine Festlegung von Wahrheitswerten für die atomaren Sätze p, q, r… nennt man auch eine aussagenlogische Interpretation

• Formal definiert man eine AL-Interpretation als eine Funktion, die jedem atomaren Satzzeichen einen der beiden Wahrheitswerte w (= wahr) oder f (= falsch) zuordnet

I : {p, q, r, …} ⟶ {w, f}

AL—INTERPRETATIONEN

• Um jedem wohlgeformten Satz einen eindeutigen Wahrheitswert (relativ zu einer AL-Interpretation) zuordnen zu können, muss für jeden einzelnen Junktor festgelegt werden, in welcher Art der Wahrheitswert einer Aussage, die ihn als Hauptjunktor enthält, von den Wahrheitswerten seiner unmittelbaren Teile abhängt abhängt

• Zugleich legt man damit die Bedeutung der Junktoren fest

• Man sagt dann auch: „α ist wahr in / unter der Interpretation I“. Es handelt sich als um einen relativen Wahrheitsbegriff

SEMANTIK DER JUNKTOREN

SEMANTIK DER AL — ZUSAMMENFASSUNG

• Diese Wahrheitsbedingungen schreibt man sich oft auch in Form von Wahrheitstafeln an

• Negation und Disjunktion:

α β (α ∨ β)

w w w

w f w

f w w

f f f

α ¬α

w f

f w

SEMANTIK DER JUNKTOREN

α β (α ∧ β)

w w w

w f w

f w w

f f f

α β (α ⟷ β)

w w w

w f f

f w f

f f w

• Konjunktion und (materiales) Bikonditional

SEMANTIK DER JUNKTOREN

• Das materiale Konditional:

α nennt man das Antezedens, β das Konsequens

α β (α → β)

w w w

w f f

f w w

f f w

SEMANTIK DER JUNKTOREN

Frage: Wieso braucht man so einen komplizierten, relativen Wahrheitsbegriff?

Antwort: Weil es uns in der Logik um logische Wahrheit und Logische Folgerung geht!

• Ein Satz ist allgemeingültig / eine Tautologie wenn er nicht falsch sein kann

• Ein Satz folgt logisch aus einer Menge von Prämissen wenn es nicht sein kann, dass er wahr ist und die Prämissen falsch

WIESO SO KOMPLIZIERT?

ZENTRALE SEMANTISCHE BEGRIFFEEin Satz α ist eine Tautologie / logische Wahrheit wenn…

Informell: α aufgrund seiner aussagenlogischen Form nicht falsch sein kann

Formal: α aufgrund seiner aussagenlogischen Form in jeder Interpretation wahr ist

Ein Satz α folgt logisch aus einer Menge von Sätzen S wenn

Informell: es aufgrund der aussagenlogischen Form der Sätze in S und α nicht sein kann, dass alle Sätze in S wahr sind, aber α falsch ist

Formal: wenn es aufgrund der aussagenlogischen Form der Sätze in S und α keine Interpretation gibt in der alle Sätze in S wahr aber α falsch ist

SEMANTIK DER AL

SEMANTIK DER AL

Ob ein Satz

• (k)eine Tautologie

• (un-)erfüllbar

• (k)eine Kontradiktion

• (k)eine Folgerung aus anderen Sätzen

ist, kann man also einfach überprüfen, indem man mit Hilfe von Wahrheitstafeln systematisch alle Interpretationen durchcheckt

TAUTOLOGIE / KEINE TAUTOLOGIE

p q (p→(q→p))

w w w

w f w

f w w

f f w

p q (p → ¬q)

w w f

w f w

f w w

f f w

KONTRADIKTION / KEINE KONTRADIKTION

p (p⟷¬p)

w f

f f

p (p → ¬p)

w f

f w

LOGISCHE FOLGERUNG

p q p (q → p)

w w w w

w f w w

f w f f

f f f w

LOGISCHE FOLGERUNG

p q p (q → p)

w w w w

w f w w

f w f f

f f f w

• In jeder Interpretation, in der alle Prämissen wahr sind, ist es auch die Konklusion —> {p} ⊨ (q → p)

KEINE LOGISCHE FOLGERUNG

p q (p ∨ ¬q) ¬p q

w w w f w

w f w f f

f w f w w

f f w w f

KEINE LOGISCHE FOLGERUNG

p q (p ∨ ¬q) ¬p q

w w w f w

w f w f f

f w f w w

f f w w f

• Es gibt eine Interpretation, in der alle Prämissen wahr sind, aber die Konklusion falsch ist —> {(p ∨ ¬q), ¬p} ⊭ q

ERFÜLLBAR

p q p (p → q)

w w w w

w f w f

f w f w

f f f w

ERFÜLLBAR

p q p (p → q)

w w w w

w f w f

f w f w

f f f w

• Es gibt eine Interpretation, in der alle Sätze der Menge {p, (p → q)} wahr sind —> {p, (p → q)} ist erfüllbar

UNERFÜLLBAR

p q (p ∨ ¬q) ¬p q

w w w f w

w f w f f

f w f w w

f f w w f

• Es gibt keine Interpretation, in der alle Sätze der Menge {(p ∨ ¬q), ¬p, q} wahr sind —> {(p ∨ ¬q), ¬p, q} ist unerfüllbar

BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN ZENTRALEN BEGRIFFENGanz fundamentale Beziehungen zwischen diesen Begriffen sind z.B. (wobei α, β für irgendwelche einzelnen Sätze und S für irgendeine Satzmenge steht):

(1) α ist eine Kontradiktion gdw. α ist unerfüllbar

(2) α ist eine Tautologie gdw. ¬α ist eine Kontradiktion

(3) S ⊨ α gdw. S ∪ {¬α} ist unerfüllbar

(4) α ⊨ β gdw. α → β ist eine Tautologie

(5) α1, … αn ⊨ β gdw. (α1 ∧ … ∧ αn) → β ist eine Tautologie

ÜBERFLÜSSIGE JUNKTOREN UND FUNKTIONALE VOLLSTÄNDIGKEIT

• Mit Hilfe von Wahrheitstafeln lässt sich auch sehr einfach nachprüfen, dass einzelne Junktoren überflüssig sind.

• D.h. alles, was sich mit Hilfe der Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷ ausdrücken lässt, lässt sich auch schon ausdrücken mit den Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶ oder ¬, ∧, ∨ oder auch ¬, ∧.

• Tatsächlich lässt sich jede Wahrheitsfunktion mit Hilfe all dieser Mengen ausdrücken. Man sagt auch, dass all diese Mengen funktional vollständig sind.

• Ein erstes charakteristisches Feature der klassischen AL haben wir gerade kennengelernt: Das Zweiwertigkeits- oder Bivalenzprinzip:

• Jede Aussage muss mindestens einen der beiden Wahrheitswerte wahr / falsch haben (keine „Wahrheitswert-Lücken“)

• Jede Aussage darf höchstens einen der beiden Wahrheitswerte wahr / falsch haben (keine „Wahrheitswert-Ballungen“)

*BIVALENZ / ZWEIWERTIGKEIT

• Die Tatsache, dass der Wahrheitswert eines wohlgeformten Satzes der klassischen AL immer davon abhängt, wie die Wahrheitswerte seiner einfachsten Teilaussagen festgelegt wurden nennt man auch Wahrheitsfunktionalität / Extensionalität der klassischen AL.

• Daraus folgt: Ersetzen wir in einem wahren (falschen) Satz A(p) einen Teilsatz p durch einen Satz q mit demselben Wahrheitswert wie p, so ist auch A(p/q) wahr (falsch)

*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT

Nehmen wir an, dass der 7-jährige Fredi schon einfache Arithmetik beherrscht, aber noch keine höhere Mathematik, dann ist

(1) Der 7-jährige Fredi weiss, dass 2 + 2 = 4.

wahr, aber

(1*) Der 7-jährige Fredi weiss, dass es keine natürlichen Zahlen a, b, c und keine natürliche Zahl n ≥ 3 gibt, sodass an + bn = cn.

ist falsch, obwohl wir einen wahren Teilsatz durch einen Teilsatz ersetzt haben, der ebenfalls wahr ist.

*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT

Nehmen wir an, dass mathematische Wahrheiten (in einem bestimmten Sinn) nicht falsch sein können, es aber sein kann, dass die Tatsache, dass Wien Österreichs Hauptstadt ist, nicht in Stein gemeisselt sind. Dann ist

(2) Es gilt notwendigerweise, dass 2 + 2 = 4.

wahr, aber

(2*) Es gilt notwendigerweise, dass Wien die Hauptstadt von Österreich ist.

ist falsch, obwohl wieder nur ein wahrer Teilsatz durch einen anderen wahren Teilsatz ersetzt wurde.

*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT

Bestimmte sprachliche Konstrukte induzieren also Kontexte, die nicht wahrheitsfunktional sind.

Darunter befinden sich Wörter für propositionale Einstellungen wie

• wissen

• glauben

oder Wörter für alethische Modalitäten wie

• notwendigerweise

• möglicherweise

*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT

*PARADOXIEN DES MATERIALEN KONDITIONALS(1) „Wenn Kennedy tot ist, dann ist Österreich EU-Mitglied“

(2) „Wenn Österreich kein EU-Mitglied ist, dann ist Kennedy tot“

(3) „Wenn 3 die Quadratwurzel aus 16 ist, dann ist Kennedy am Leben“

• (1) — (3) sind allesamt wahre Sätze sofern die „Wenn … dann …“ — Konstruktion als materiales Konditional verstanden wird

• Intuitiv finden viele diese Sätze aber falsch! Ein Ziel vieler philosophischer Logiker besteht darin, „bessere“ Konditionale zu finden, die alltagssprachlichen „Wenn … dann …“-Sätzen besser entsprechen

SYNTAX AGAIN…

Semantischer Folgerungsbegriff, Tautologien etc. sind schön und gut, aber Logik ist doch die Lehre vom korrekten Schließen, richtig? Wo also sind die Schlüsse hingekommen?

Verschiedene formale Beweisbegriffe, die durch Systeme von Schlussregeln (und manchmal Axiomen) bestimmt sind, kommen dieser Intuition direkt nach

KALKÜLE

• Anders als beim semantischen Folgerungsbegriff von früher, spielen semantische Begriffe wie Interpretation oder Wahrheit in einer Interpretation bei syntaktischen Folgerungsbegriffen keine unmittelbare Rolle

• Syntaktische Folgerungsbegriffe werden durch Kalküle bestimmt, die wiederum über rein syntaktisch formulierte, mechanisch ausführbare Schlussregeln und Axiome definiert sind

Folgern = Manipulieren von Zeichen nach festgelegten Regeln

ARTEN VON KALKÜLEN

• Hilbert-Kalküle (Axiomatische Kalküle)

• Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,…

• Kalküle des natürlichen Schließens

• Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume…

• Sequenzenkalküle

• Tableaux-Kalküle

• Resolutionskalkül

• …

ARTEN VON KALKÜLEN

• Hilbert-Kalküle (Axiomatische Kalküle)

• Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,…

• Kalküle des natürlichen Schließens

• Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume…

• Sequenzenkalküle

• Tableaux-Kalküle

• Resolutionskalkül

• …

FREGE-ŁUKASIEWICZ

Ein sehr einfacher Kalkül ist der axiomatische Kalkül nach Frege-Łukasiewicz.

Er besteht aus

• drei Axiomenschemata und

• einer Schlussregel

FREGE-ŁUKASIEWICZ

Axiomenschemata:

(1)α → (β → α)

(2) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))

(3) (¬α → ¬β) → (β → α)

Schlussregel: Modus Ponens (MP)

• Von α und α → β, schließe auf β

FREGE-ŁUKASIEWICZ

• Eine Ableitung im axiomatischen Kalkül für die AL von α aus S ist eine endliche Folge von Sätzen, deren letzter Satz α ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt, dass er entweder

• Element von S ist

• Instanz eines der Axiomenschemata (1) — (3) ist

• durch MP aus früheren Folgengliedern folgt

• Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im axiomatischen Kalkül) aus S, in Zeichen S ⊢AX α, wenn es eine Ableitung im axiomatischen Kalkül von von α aus S gibt.

• Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢AX α, dann sagen wir, dass α ein AL-Theorem ist (und schreiben einfach ⊢AX α).

BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM AX. KALKÜL

1. p → ((q → p) → p)

2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p))

3. (p → (q → p)) → (p → p))

4. p → (q → p)

5. p → p

(wollen zeigen: ⊢AX p → p)

1. p → ((q → p) → p) Ax (1)

2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p)) Ax (2)

3. (p → (q → p)) → (p → p)) MP 1, 2

4. p → (q → p) Ax (1)

5. p → p MP 3, 4

BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM AX. KALKÜL

haben gezeigt: ⊢AX p → p

METATHEOREME

• Deduktionstheorem: Wenn S ∪ {α} ⊢AX β, dann S ⊢AX α → β

• Das Deduktionstheorem ist ein Metatheorem, das uns erlaubt, Ableitungen „abzukürzen“.

Beispiel:

Wir wollen zeigen, dass gilt: ⊢AX p → p. Statt das direkt zu machen (wie vorhin), zeigen wir zunächst {p} ⊢AX p und wenden dann das Deduktionstheorem an. {p} ⊢AX p ist aber sehr einfach gezeigt:

1. p

• (Frage: Wie könnte man das Deduktionstheorem beweisen???)

METATHEOREME

• Korrektheitsatz: Wenn S ⊢AX α, dann S ⊨ α

• Die Korrektheit des Kalküls garantiert also, dass wir aus wahren Sätzen nur wahre Sätze ableiten können.

• Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge nur Tautologien herleiten.

• Die Korrektheit garantiert uns also insbesondere, dass unser axiomatischer Kalkül konsistent ist. D.h. kein Satz der Form α ∧ ¬α ist ableitbar.

• (Frage: Wie könnte man Korrektheit beweisen???)

METATHEOREME

• Vollständigkeitsatz: Wenn S ⊨ α, dann S ⊢AX α

• Die Vollständigkeit des Kalküls garantiert, dass wir mit unserem Kalkül tatsächlich alle semantischen Folgerungen aus S „erfassen“ können.

• Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge alle Tautologien herleiten.

• Anders als das Deduktionstheorem und der Korrektheitssatz ist der Vollständigkeitssatz nicht so einfach zu beweisen. (siehe etwa Barwise & Etchemendy 2011, Bd. 2)

KALKÜL DES NATÜRLICHEN SCHLIESSENS• Beweisbegriff des axiomatischen Kalküls ist unglaublich

einfach; Beweise in so einem Kalkül zu finden, ist aber sehr schwer

• Es wurden deshalb Kalküle entwickelt, die das alltägliche Schließen besser abbilden sollen (Gerhard Gentzen), sogenannte Kalküle des natürlichen Schließens

• Eine Variante so eines Kalküls ist der Fitch-Style Kalkül des natürlichen Schließens (von Frederic B. Fitch)

FITCH STYLE KALKÜL DES NATÜRLICHEN SCHLIESSENS FÜR DIE KLASSISCHE AL

• Wie alle Kalküle des natürlichen Schließens zeichnet sich auch der Fitch-Style Kalkül durch Einführungs- und Beseitigungsregeln für die Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶ aus

• Ausserdem gibt es, im Gegensatz zu axiomatischen Kalkülen, ein Regel der Annahme, die es erlaubt, zu jedem beliebigen Zeitpunkt in einem Beweis beliebige Annahmen zu treffen

BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL

BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL• Die waagrechten Striche deuten an, wo Prämissen

stehen bzw. (temporäre) Annahmen getroffen werden

• Die senkrechten Striche deuten an, von welchen Prämissen / Annahmen ein Satz in einer Ableitung jeweils abhängt

• (Ziel einer Ableitung ist es, am Ende alle temporären Annahmen loszuwerden, sodass die Konklusion nur mehr von den Prämissen abhängt (falls es solche gibt))

REGEL DER ANNAHME

Erlaubt uns, zu jedem beliebigen Zeitpunkt einer Ableitung eine beliebige Annahme zu treffen

REGELN FÜR KONJUNKTION

∧-Einführung ∧-Beseitigung

REGELN FÜR MATERIALES KONDITIONAL

→-Einführung →-Beseitigung (Modus Ponens)

→-Einführung erlaubt uns auf ein Konditional α → β zu schließen, wenn wir einen konditionalen Beweis von β aus der Annahme α haben

REGELN FÜR DISJUNKTION

∨-Einführung ∨-Beseitigung

Die ∨-Beseitigung entspricht einer Fallunterscheidung

REGELN FÜR DIE NEGATION

¬-Einführung ¬-Beseitigung

Beide Regeln für die Negation entsprechen der reductio ad absurdum (Widerspruchsbeweis)

REITERATIONSREGEL

Die Reiterationsregel erlaubt uns, schon Bewiesenes auf allen Beweisebenen zu wiederholen. (Klingt trivial, wird sich aber in der Modallogik als nicht-trivial erweisen!)

FREGE-ŁUKASIEWICZ

• Eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von α aus S ist eine Struktur, die aus einer endlichen Folge von Sätzen besteht, deren letzter Satz α ist, und die nach den besprochenen Regeln aufgebaut ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt, dass er entweder

• Element von S ist

• gemäß den Regeln A, ∧-E, ∧-B 1& 2, →-E, →-B, ∨-E 1 & 2, ∨-B, ¬-E, ¬-B und Reit aus früheren Sätzen der Folge folgt

• Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im Kalkül des natürlichen Schließens) aus S, in Zeichen S ⊢KNS α, wenn es eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von von α aus S gibt.

• Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢KNS α, dann sagen wir, dass α ein Theorem ist (und schreiben einfach ⊢KNS α).

NOCH ZWEI BEISPIELE

⊢KNS (p ∧ ¬p) → q

(Ex Contradictione Quodlibet)

⊢KNS (p → q) → (¬q → ¬ p)

(Kontraposition)

METATHEOREME

• Wie der axiomatische Kalkül, ist auch der Fitch-Style Kalkül des natürlichen Schließens vollständig und korrekt, d.h.

Wenn S ⊢KNS α, dann S ⊨ α (Korrektheit)

Wenn S ⊨ α, dann S ⊢KNS α (Vollständigkeit)

• Es gilt also:

S ⊢KNS α ⇔ S ⊨ α ⇔ S ⊢AX α

• (Frage: Gilt das Deduktionstheorem auch für den KNS? Wieso wurde es hier nicht mehr angeführt???)