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Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 1FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer SystemeGrundlagen der
Nachrichtentechnik 1
Communications 1
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik
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S. 2FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer SystemeOrganisatorisches Vorlesung 2 SWS
Übung 2 SWS
Folienkopien sind verfügbar: http://nts.uni-duisburg.de
Prüfung: schriftlich
Forschungsthemen im Fachgebiet Nachrichtentechnische Systeme
Studien- und Diplomarbeiten
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S. 3FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme Literatur Literatur zur Vorlesung:
R. Unbehauen: Systemtheorie, Oldenbourg-Verlag
H. Marko: Methoden der Systemtheorie, Springer-Verlag
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S. 4FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme Inhalt1 Einführung2 Testsignale3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme4 Fourier-Transformation5 Laplace-Transformation6 Hilbert-Transformation7 Abtasttheorem8 z-Transformation 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
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S. 5FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Inhalt: Theorie linearer Systeme
Begründer der modernen Systemtherorie: Karl Küpfmüller
NT1: Deterministische Signale und Systeme
SystemEingangssignal Ausgangssignal
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S. 6FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Beispiele
Übertragungssysteme
Stabilitätsuntersuchungen in Regelkreisen
Mechanische Schwingungssysteme
Allgemein: lineare Systeme (beschrieben durch lineare Differentialgleichungen)
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S. 7FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung
Beispiel: digitales Mobilfunksystem
passivesFilter
Empfangs-filter
Aufwärts-Mischung
Abwärts-Mischung
Sende-filter
ZuordnungkomplexerSymbole
Ent-zerrungDetektion
Funk
kana
l
Synchronisation
Daten
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S. 8FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Signal
Funktion der Zeit x(t)
Funktion des Ortes v(x)
Beispiele
Musiksignal
Zeitfunktion der Mikrofon-/Lautsprecherspannung
Zeitfunktion der Auslenkung der Mikrofon-/Lautsprechermembran
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S. 9FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung
Rauschen
Fernsehsignal
Zeitfunktion der Spannung am Ausgang eines RC-Gliedes beim Einschaltvorgang
n(t)
t
u(t)
t
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S. 10FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung System
Allgemeiner Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang:yi(t) = fi(x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))
System
x2(t)
xn(t)
x1(t)
y2(t)
ym(t)
y1(t)
. . . .
. . . .
(1.1)
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S. 11FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung
Vektorielle Darstellung:y(t) = f(x(t))
mit x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))und y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t) ... ym(t))
Wichtiger Sonderfall: ein Eingang, ein Ausgang
(1.4)(1.3)(1.2)
y = f(x(t))x(t) y(t)
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S. 12FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Klassifizierung von Systemen
System gedächtnislos gedächtnisbehaftet
linear lineare Gleichung (Gerade)
lineare Differential-gleichung
schwach nichtlinear
Taylor-Reihe Volterra-Reihe
nichtlinear nichtlineare Gleichung nichtlineare Differential-gleichung
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S. 13FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung Linearität
Gegeben: y1(t) und y2(t) seien Ausgangssignale für beliebige Eingangssignale x1(t) und x2(t)
Ein System heißt linear, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) folgt:c1 x1(t) + c2 x2(t) → c1 y1(t) + c2 y2(t) mit beliebigen Koeffizienten c1 und c2 .
Lineare Systeme werden durch lineare Differentialgleichungen beschrieben.
(1.5)
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S. 14FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 1 Einführung
Beispiel: (1.6)xxyyy 5352 +=−+
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S. 15FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Sprungfunktion
Modellierung von Einschalt- und Einschwingvorgängen Problem: nicht differenzierbar!
(2.1) ≥
=sonst0
0für1)(s
tt
s(t)1
t
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S. 16FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Begrenzte Rampenfunktion
Eingesetzt als Näherung der Sprungfunktion, da die begrenzte Rampenfunktion differenzierbar ist:
(2.2)
≥
≤≤−+
−≤
=
2für1
22für
21
2für0
)(s
ε
εεε
ε
ε
t
tt
t
t
)(slim)(s0
tt εε →
= (2.3)
sε(t)1
t2ε
2ε−
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S. 17FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Rechteckfunktion
Darstellung durch Sprungfunktionen:
Rechteckfunktion der Dauer ∆T und mit der Verschiebung T0
(2.4)
(2.5)
≤≤−
=sonst0für1)(rect 2
121 tt
rect(t)
t21
21−
1
( ) ( )21
21 ss)(rect −−+= ttt
t
20TT ∆+20
TT ∆−
1
∆−
TTt 0rect
0T
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S. 18FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Dreieckfunktion
Darstellung durch Sprungfunktionen:
(2.6)
≤≤−≤≤−+
= ≤−=∆
sonst010für1
01fürt1
sonst01für1)( tt
tttt
∆(t)
t
1
−1 1
)1()1(s)2()(s)1()1(s)( −⋅−+−⋅++⋅+=∆ ttttttt (2.7)
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S. 19FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Gauß-Funktion
Fläche:
(2.8)2
0e)(G
−
= Tt
ts
-3 -2 -1 1 2 30Tt
1
2
0e
−
Tt
1e−
0G ded)(
2
0 Tttts Tt
⋅== ∫∫∞
∞−
−∞
∞−
π (2.9)
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S. 20FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Diracsche Delta-Funktion
mit
Darstellung durch Rechteckfunktion:
(2.9) =∞
=sonst0
0für)(
ttδ
1d)(δ =∫∞
∞−tt
δ(t)1
t
(2.10)
=
→ εεδ
ε
tt rect1lim)(0
t2ε
2ε−
ε1
εεtrect1
(2.11)
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S. 21FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Andere Definitionen der Delta-Funktion
Ausblendeigenschaft
(2.12)δ(t)
1
t(2.13)
∆=
→ εεδ
ε
tt 1lim)(0
(2.14)
2
e1lim)(0
−
→⋅= ε
ε επδ
t
t
)()()()( 000 TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ
)(d)()( 00 TftTttf =−⋅∫∞
∞−δ (2.15)
f(t)
t
δ(t−T0)
T0
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S. 22FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Zusammenhang der δ-Funktion mit der Sprungfunktion:
Ableitung der δ-Funktion:
Die δ-Funktion und ihre Ableitungen sind verallgemeinerte Funktionen
(2.16))(dds t
tδ=
)(d
(t)d tt
δδ ′= (2.17)
)(tδ ′
t
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S. 23FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Weitere Eigenschaften der δ-Funktion:
(2.18))()( tt −= δδ
)()( ttt δδ =′⋅−
)(1)( ta
at δδ =
ta2ε
a2ε−
ε1
εεtarect1
(2.19)
(2.20)
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S. 24FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Harmonische Schwingungen
(2.21)
(2.22)
)cos()( ttx ω=
(2.23)
)sin()( ttx ω=
ttx ωje)( =
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S. 25FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Signalparameter:
Momentane Leistung eines Signals x(t)
P(t) = x2(t)
Mittlere Leistung
Energie
∫−∞→
=T
TTttx
TP d)(
21lim 2
∫−∞→
=T
TTttxE d)(lim 2
(2.24)
(2.25)
(2.26)
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S. 26FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Komplexe Signale:
∫−
∞→=
T
TTttx
TP d)(
21lim 2
∫−
∞→=
T
TTttxE d)(lim 2
(2.27)
(2.28)
(2.29)
2)()( txtP =
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S. 27FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
xtxˆ
)(
πω2
0t
Theorie linearer Systeme 2 Testsignale Beispiele
Sinusförmiges Signal (leistungsbegrenzt):
(2.30)txtx 0sinˆ)( ω⋅=
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S. 28FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Momentane Leistung:
Mittlere Leistung:
2ˆ2sin
41
22ˆ
d)(sinˆ2
d)(21lim
20
0
2
0
02
2
00
2202
0
0
xttx
ttxttxT
PT
TT
=+⋅=
⋅==
∫∫−∞→
ωωπ
ω
ωπ
ω
ωπ
ωπ
(2.31)
(2.32)
txtxtP 0222 sinˆ)()( ω⋅==
2
2
ˆ)(
xtx
πω2
0t
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S. 29FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Dreieck-Doppelimpuls (energiebegrenzt):
≤≤−
⋅
≤≤
−⋅
≤≤⋅
=∆∆
sonst0
für 4
ˆ
für 4
2ˆ
0für 4
ˆ
)(
43
43
4
4
TtT
Ttx
tT
tx
tT
tx
tx
T
TT
T
(2.33)
xtx
ˆ)(∆∆
Tt
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S. 30FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Energie
Dreieckförmiges Signal
TxtT
xtT
txttxETT
24
0
3
2
2324
0
2 ˆ31
3ˆ4d
4ˆ4d)( =
=
⋅== ∫∫
∞
∞−∆∆∆∆ (2.34)
(2.35)
∑∞
−∞=∆∆ −=
nnTtxtx )()(D
xtx
ˆ)(D
Tt
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S. 31FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
2
2D
ˆ)(
xtx
Tt
Momentane Leistung des dreieckförmigen Signals:
Mittlere Leistung des dreieckförmigen Signals:
Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
(2.36)3ˆ1d)(
21lim
22
DxE
Tttx
TP
T
TT=== ∆∆
−∞→∫
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S. 32FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 2 Testsignale
Gaußimpuls (energiebegrenzt):
Energie:
Rechteckimpuls:
Energie
(2.37)
0
22
2GG 2
deded)(
2
0
2
0 TttttsE Tt
Tt
π==
== ∫∫∫
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
TttTtE
T
T∆==
∆= ∫∫
∆
∆−
∞
∞−
2
2
22rect d1drect (2.38)
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S. 33FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Kausalität
Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ −∞ ... t0
Ein System heißt kausal, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) sowiex1(t) = x2(t) für t ≤ t0 folgt:y1(t) = y2(t) für t ≤ t0 (3.1)
y = f(x(t))x(t) y(t)
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S. 34FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Zeitinvarianz
Gegeben: System mit Eingangssignal x(t) und Ausgangssignal y(t)
Ein System ist zeitinvariant, wenn gilt:Aus x(t) → y(t) folgt x(t−t0) → y(t−t0). (3.2)
x(t) x(t−t0) y(t) y(t−t0)
t0 t t0 t
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S. 35FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Stabilität
Ein begrenztes Eingangssignal x(t) führt zu einem begrenzten Ausgangssignal y(t) (bounded input bounded output – BIBO)
Für jedes zulässige Eingangssignal x(t)
mit |x(t)| ≤ A < ∞ für alle t gilt
auch |y(t)| ≤ B < ∞ für alle t. (3.3)
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S. 36FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Gedächtnislose und gedächtnisbehaftete (dynamische) Systeme
Gedächtnislose Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt nur vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0ab.
Gedächtnislose Systeme werden durch eine Kennlinie y = f (x) beschrieben.
Gedächtnisbehaftete Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0 und der Vorgeschichte x(t < t0) ab.
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S. 37FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Faltungsintegral
Näherung eines Eingangssignals x(t) durch schmale rechteckförmige Impulse
(3.4)x(t)
t
∆T
∑∞
−∞=
∆∆−
⋅∆≈n T
TntTnxtx rect)()(
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S. 38FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Grenzübergang: ∆T → 0
⇒ n∆T → τ ∆T → dτ
Antwort des Systems auf einen einzelnen Recheck-Impuls:(3.5)
)(rect1 tTt
Tδ→
∆∆
Lineares zeitinvariantes
Systemδ(t) h(t)
δ(t−τ) h(t−τ)
∆∆ Tt
Trect1 h∆T(t)
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S. 39FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Allgemeines Eingangssignals x(t):
Ausgangssignal y(t):
Grenzübergang: ∆T → 0
Faltungsintegral, h(t) = Impulsantwort
(3.6)∑∞
−∞=
∆∆−
⋅∆≈n T
TntTnxtx rect)()(
∑∞
−∞=∆ ∆−⋅∆⋅∆≈
nT TnthTTnxty )()()(
)()(d)()()( thtxthxty ∗=−⋅= ∫∞
∞−τττ
(3.7)
(3.8)
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S. 40FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Eigenschaften des Faltungsprodukts:
Kommutativgesetz
Beweis durch Substitution: τ = t − u ⇒ dτ = −du
(3.9)
)()()()()( txththtxty ∗=∗=
ττττττ d)()(d)()()( ∫∫∞
∞−
∞
∞−−⋅=−⋅= txhthxty
(3.10)
(3.11)uutxuhuuhutxty d)()()d()()()( ∫∫∞
∞−
∞−
∞−⋅=−⋅−=
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S. 41FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Kommutativgesetz als Blockschaltbild
Assoziativgesetz
≡
(3.12)
h(t)x(t) y(t)
x(t)h(t) y(t)
)()()()]()([)()()]()([)( 212121 ththtxththtxththtxty ∗∗=∗∗=∗∗=
≡h1(t)x(t) y(t)
h1(t) ∗ h2(t)x(t) y(t)
h2(t)
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S. 42FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Reihenfolge von linearen Teilsystemen kann vertauscht werden:
Linearität
(3.13))()]()([)()]()([)( 1221 ththtxththtxty ∗∗=∗∗=
≡h1(t)x(t) y(t)
h2(t) h2(t)x(t) y(t)
h1(t)
≡h1(t)x(t) y(t)
h1(t) + h2(t)x(t) y(t)
h2(t)
(3.14))]()([)()]()([)]()([)( 2121 ththtxthtxthtxty +∗=∗+∗=
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S. 43FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Faltung mit δ-Funktion:
)(d)()()()()( txtxttxty =−⋅=∗= ∫∞
∞−ττδτδ (3.15)
)(d)()()()()( 000 ttxttxtttxty −=−−⋅=−∗= ∫∞
∞−ττδτδ (3.16)
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S. 44FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Impulsantwort
Ein lineares zeitinvariantes System wird vollständig durch seine Impulsantwort beschrieben.
Bedingung an die Impulsantwort für Stabilität:
Mit |x(t)| ≤ A < ∞ muss auch gelten: |y(t)| ≤ B < ∞
(3.17)
h(t)x(t) y(t)
∞<≤⋅≤−⋅≤−⋅= ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−BAhtxhtxhty ττττττττ d)(d)()(d)()()(
∞<≤⇒ ∫∞
∞−Ch ττ d)(
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S. 45FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Bedingung an die Impulsantwort für Kausalität:
Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ −∞ ... t0
⇒ h(t) = 0 für t < 0 (3.18)
δ(t)
t
h(t)
ττττττ d)()(d)()()(0∫∫∞
∞−−⋅=−⋅= txhthxty
t(3.19)
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S. 46FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Faltung zweier „kausaler“ Funktionen:
h1(t) = 0 für t < 0 und h2(t) = 0 für t < 0
Dimension der Impulsantwort:
(3.20)ττττττ d)()(d)()()()(0
120
2121 ∫∫ −⋅=−⋅=∗tt
thhthhthth
s11)]([Dim :häufig
][Dim1
)]([Dim)]([Dim)]([Dim
⋅=
⋅=
th
ttxtyth
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S. 47FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Beispiel 1: RC-Glied
Lineare Differentialgleichung:
Impulsantwort: U1(t) = δ(t)
Kausalität: h(t) = 0 für t < 0
(3.23)
U1 U2CR IC
tUCId
d 2C ⋅=
RUUI 21
C−
=
tURCUUd
d 221 ⋅=−
(3.22)
(3.21)
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S. 48FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Zeitnullpunkt: U1 >> U2
Impulsantwort für t > 0 (Ein-Speicher-Netzwerk):
(3.26)
U1 U2CR IC
tURCUd
d 21 ⋅=
(3.25)
(3.24)
RCtt
RCttU
RCU 1d)(1d)(1)0(
00
12 ===+⇒ ∫∫+
∞−
+
∞−δ
RCt
RCtU
−⋅= e1)(2
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S. 49FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Impulsantwort eines RC-Tiefpass-Filters
h(t)
t
RC1
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S. 50FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Berechnung des Ausgangssignals für eine Sprungfunktion als Eingangssignal:
U1(t) = U0 ⋅ s(t)
Praktische Berechnung am besten mit Skizze, die die beiden Faktoren im Integranden zeigt
τττ d)()()()()( 112 ∫∞
∞−−⋅=∗= tUhthtUtU
(3.27)
(3.28)
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S. 51FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Berechnung des Faltungsintegrals
t < 0 :
t ≥ 0 :
h(τ)
τ
RC1
τt > 0t < 0
U1(t−τ)U0
t
RC
tRC
RCRCU
URC
tU
0
0
002
e
de1)(
⋅−⋅=
⋅=
−
−∫
τ
τ
τ
0)(2 =tU (3.29)
(3.30)
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S. 52FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
t ≥ 0 :
]e1[e)( 00
2 RCt
RCt
URCRCRCUtU
−−−⋅=
+⋅−⋅=
t
U2(t)
U0
(3.31)
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S. 53FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
t/∆T−1,5 −0,5
U1(t)U0
−U0
0,5 1,5
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Beispiel 2: Berechnung des Ausgangssignals auf zwei
Recheckimpulse:
τττ d)()()()()( 112 ∫∞
∞−−⋅=∗= tUhthtUtU
∆∆−
⋅−
∆∆+
⋅=T
TtUT
TtUtU rectrect)( 001 (3.32)
(3.33)
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S. 54FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
τt t + 1,5∆T
U1(t-τ)
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Berechnung des Faltungsintegrals
t < −1,5 ∆T :
−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :
h(τ)
τ
RC1
Tt
RC
TtRC
RCRCU
URC
tU
∆+−
∆+ −
⋅−⋅=
⋅= ∫5,1
0
0
5,1
002
e
de1)(
τ
τ
τ
0)(2 =tU (3.34)
(3.35)
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S. 55FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
τt t + 1,5∆T
U1(t-τ)
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :
−0,5 ∆T ≤ t < 0,5 ∆T :
]e1[)(5,1
02 RCTt
UtU∆+−
−⋅=
]ee[e
de1)(
5,15,0
0
5,1
5.0
0
5,1
5,002
RCTt
RCTtTt
Tt
RC
Tt
Tt
RC
URCRCU
URC
tU
∆+−
∆+−
∆+
∆+
−
∆+
∆+
−
−⋅=
⋅−⋅=
⋅= ∫
τ
τ
τ
(3.36)
(3.37)
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S. 56FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
τt t + 1,5∆T
U1(t-τ)
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
0,5 ∆T ≤ t < 1,5 ∆T :
]1eee[
ee
d)(e1de1)(
5,05,15,0
0
5,0
0
0
5,1
5.0
0
5,0
00
5,1
5,002
−+−⋅=
⋅−⋅−
⋅−⋅=
−⋅+⋅=
∆−−
∆+−
∆+−
∆−−
∆+
∆+
−
∆− −∆+
∆+
−
∫∫
RCTt
RCTt
RCTt
Tt
RC
Tt
Tt
RC
TtRC
Tt
Tt
RC
U
RCRCURC
RCU
URC
URC
tU
ττ
ττ
ττ
(3.38)
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S. 57FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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τt
U1(t-τ)
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
t ≥ 1,5 ∆T :
]eeee[
ee
d)(e1de1)(
5,15,05,15,0
0
5,0
5,1
0
5,1
5.0
0
5,0
5,10
5,1
5,002
RCTt
RCTt
RCTt
RCTt
Tt
Tt
RC
Tt
Tt
RC
Tt
Tt
RCTt
Tt
RC
U
RCRCURC
RCU
URC
URC
tU
∆−−
∆−−
∆+−
∆+−
∆−
∆−
−∆+
∆+
−
∆−
∆−
−∆+
∆+
−
−+−⋅=
⋅−⋅−
⋅−⋅=
−⋅+⋅= ∫∫
ττ
ττ
ττ
(3.39)
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S. 58FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
t/∆T−1,5 −0,5
U1(t)U0
−U0
0,5 1,5
t/∆T−1,5 −0,5
U2(t)U0
−U0
0,5 1,5
t/∆T−1,5 −0,5
U2(t)U0
−U0
0,5 1,5
t/∆T−1,5 −0,5
10 U2(t)U0
−U0
0,5 1,5
RC = 0,1 ∆T
RC = 10 ∆TRC = ∆T
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S. 59FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Integrator
Keine BIBO-Stabilität: x(t) = k ⇒ y(t) → ∞
Differenzierer
Keine BIBO-Stabilität: x(t) = s(t) ⇒ y(t) → δ(t)
)(s)(d)()( ttxxtyt
∗== ∫∞−
ττ
)(s)(I tth =
)()(d
)(d)( ttxttxty δ ′∗==
)()(D tth δ ′=
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
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S. 60FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme Sprungantwort
(3.44)
h(t)s(t) a(t)
s(t)δ(t) s(t)
h(t)a(t)
h(t)δ(t) h(t)
s(t)a(t)
)(s)(d)()( tthhtat
∗==⇒ ∫∞−
ττ
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S. 61FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch die Sprungantwort
Annahme: x(t) besitzt einen verschwindenden Anfangswert x(−∞) = 0
Zusammenhang ohne Einschränkung an x(t):
(3.45)
h(t)x(t) y(t)
δ′ (t)x(t) x′ (t)
s(t)
)()()()(d)()()()()( txtaaxtxaaxtyt
′∗+∞⋅−∞=−′⋅+∞⋅−∞= ∫∞−
τττ
x(t)h(t)
y(t)
a(t)
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S. 62FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Ableitung: Übertragungsfunktion
Exponentialfunktionen sind Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme (LTI − linear time-invariant systems)
Eingangssignal:
Ausgangssignal:
(4.1)
)(ede)(e
de)(d)()()(
jjj
)(j
ωττ
τττττ
ωωτω
τω
Hh
htxhty
tt
t
⋅=⋅⋅=
⋅=−⋅=
−∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
∫
∫∫
)()()()( EigenEigen txHthtxty ⋅=∗=
ttx ωje)( =
(4.3)
(4.2)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 63FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Übertragungsfunktion:
Eingangssignal:
Ausgangssignal:
(4.5)
ττω ωτ de)()( j−∞
∞−⋅= ∫hH
(4.6)
(4.4)
( ) eReeecos)( jjj21 tttttx ωωωω =+== −
( )( )
)))((cos()(e)(Re
e)(e)(
e)(e)()(
j
jj21
jj21
ωϕωωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
HtHH
HH
HHty
t
tt
tt
+⋅=⋅=
⋅+⋅=
⋅−+⋅=∗
−
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 64FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Anwendung von (4.4) auf beliebige Signale/Funktionen ⇒ Fourier-Transformation
FF(ω) = Fourier-Transformierte = Fourier-Spektrum
FF(ω) ist eine komplexwertige Funktion
Fourier-Rücktransformation:
)(de)()( jF tfttfF tωω −
∞
∞−⋅= ∫ (4.7)
)(de)(21)( F
jF ωωω
πω FFtf t+
∞
∞−⋅= ∫ (4.8)
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S. 65FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:
(4.10)
( ) ( ))2/(si)2/sin(21
eej1ee
j1
ej1de1)(
2/j2/j2/j2/j
2/
2/
j2/
2/
jF
TTT
tF
TTTT
T
T
tT
T
t
∆⋅∆=∆=
−=−−=
⋅−=⋅=
∆−∆∆∆−
∆
∆−
−∆
∆−
−∫
ωωω
ωω
ωω
ωωωω
ωω
(4.9)
∆=
Tttf rect)(
xxx )(sin)(simit = (4.11)
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S. 66FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:
Konvergenz Die Fourier-Transformation konvergiert nicht für konstante
Funktionen oder für x → −∞ oder x → ∞ ansteigende Funktionen
1rect(t/∆T) ∆T si(ω∆T/2)
−∆T/2 ∆T/2 tω
2π /∆T
∆T
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S. 67FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation einer konstanten Funktion:
x1(t) = 1
⇒ Integral konvergiert nicht!
Hilfsfunktion: mit α > 0
Grenzwert:
(4.13)
(4.12)∞
∞−
−−∞
∞−
−=⋅= ∫ tt tX ωω
ωω jj
1 ej1de1)(
)(lim1)(0
1 txtx αα →
==
(4.14)ttx αα
−= e)(
(4.15)
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S. 68FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Transformation der Hilfsfunktion:
⇒ Glockenkurve mit Maximum bei ω = 0!
(4.16)22
0
)j(0
)j(
0
j0
jj
2j
1j
1
ej
1ej
1
deedeede)()(
ωαα
ωαωα
ωαωα
ω
ωαωα
ωαωαωαα
+=
++
−=
−−
+
−
=
⋅+⋅=⋅=
∞−−
∞−
−
∞−−
∞−
−−∞
∞−∫∫∫
tt
ttttt ttttxX
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S. 69FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
-3 -2 -1 0 1 2 3
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Hilfsfunktion im Zeit- und Frequenzbereich:
0.5
1.0
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 ω/α
2/α
)(ωαX
1/α
α⋅t
)(txα
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S. 70FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:
⇒ Eigenschaften einer δ -Funktion!
⇒ 1 2π δ (ω)
(4.17)
(4.18)
=∞→=+
≠=+=
→→
→
→ 0für2lim2lim
0für02lim)(lim
0220
2200 ω
αωαα
ωωα
α
ω
αα
αα
αX
πππαω
ααω
ωααωωα 2
222arctg12d2d)( 22 =
+=
=
+=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−∫∫ X
(4.19)
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S. 71FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation der Sprungfunktion:
x2(t) = s(t)
⇒ Integral konvergiert nicht!
Hilfsfunktion: mit α > 0
Grenzwert: (4.23)
(4.20)∞
−−∞
−=⋅= ∫
0
jj
02 e
j1de1)( tt tX ωωω
ω
)(lim)(s)(0
2 txttx αα →
==
(4.21)
tttx αα
−⋅= e)(s)( (4.22)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 72FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Transformation der Hilfsfunktion:
Unsymmetrie der Zeitfunktion
⇒ zwei Beiträge: Real- und Imaginärteil
(4.24)222222
0
)j(
0
jj
jjj
1
ej
1
deede)()(
ωαω
ωαα
ωαωα
ωα
ωα
ω
ωα
ωαωαα
+−
+=
+
−=
+=
−−
=
⋅=⋅=
∞−−
∞−−−
∞
∞−∫∫
t
ttt tttxX
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S. 73FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
-3 -2 -1 1 2 3 ω/α
1/α )(Im ωαX
1/2α
−1/2α
−1/α
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
0.5
1.0
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 α⋅t
)(txα
-3 -2 -1 0 1 2 3ω/α
1/α
)(Re ωαX
1/2α
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S. 74FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:
(4.25)
(4.26)
ωωδπωα
α j1)()(lim
0+=
→X
ωωδπ
j1)()(s +t
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S. 75FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Eigenschaften
Gegeben: f(t) F(ω) , f1/2(t) F1/2(ω)
Linearität:
c1 ⋅ f1(t) + c2 ⋅ f2(t) c1 ⋅ F1(ω) + c2 ⋅ F2(ω)
Beweis:
)()(de)(de)(
de)(de)(de)]()([
2211j
22j
11
j22
j11
j2211
ωωωω
ωωω
FcFcttfcttfc
ttfcttfcttfctfc
tt
ttt
+=⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅+
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
∫∫
∫∫∫
(4.27)
(4.28)
(4.29)
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S. 76FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Negative Zeitachse:
f(−t) F(−ω)
Beweis:
Konjugiert komplexe Werte:
f*(t) F*(−ω)
Beweis:
(4.30)
(4.31)
(4.32)
)(de)()d(e)(de)( )(jjj ωωωω −=⋅=−⋅=⋅− −−∞
∞−
+∞−
∞
−∞
∞−∫∫∫ Fuufuufttf uut
ttfF t de)()( )(j ωω −+∞
∞−
∗∗ ⋅=− ∫ (4.33)
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S. 77FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Gerade und ungerade Anteile des Real- und Imaginärteils
f(t) = fRg(t) + fRu(t) + j fIg(t) + j fIu(t)
F(ω) = FRg(ω) + FRu(ω) + j FIg(ω) + j FIu(ω)
Beweis des Zuordnungssatzes für reelle Funktionen:
(4.34)
(4.35)
(4.36)tttfttttfttf t d)cos()(d)]sin(j)[cos()(de)( RgRg
jRg ωωωω ⋅=−⋅=⋅ ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
(4.37)tttfttttfttf t d)sin()(jd)]sin(j)[cos()(de)( RuRu
jRu ωωωω ⋅−=−⋅=⋅ ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
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S. 78FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Folgerung für reelle Funktionen f(t)
F(−ω) = F* (ω)
positive Funktionen: f(t) ≥ 0
⇒ |F(ω)| ≤ F(0)
Beweis:
(4.38)
(4.39)ttfttfttfF ttt de)(de)(de)()( 0jjj ∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−−∞
∞−⋅=≤⋅= ωωω
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S. 79FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Symmetrieeigenschaft:
F(t) 2π f(−ω)
Beweis:
Substitution ω → t , t → −ω :
(4.40)
(4.41)
(4.42)
ttfF t de)()( jωω −∞
∞−⋅= ∫
ωωππ
ωω ωω de)(221)d(e)()( jj tt fftF ⋅−=−⋅−= ∫∫
∞
∞−
∞−
∞
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 80FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
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S. 81FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Maßstabsänderung (Ähnlichkeitssatz) (a ist reell):
Beweis von (4.43) mit a > 0:
Substitution: aω = u
(4.43)
(4.44)
(4.45)ωωπ
ω de)(21)( j atFatf +
∞
∞−⋅= ∫
aF
aatf ω1)(
atf
aaF 1)( ω
uaa
uFatf ut d1e21)( j+
∞
∞−⋅
= ∫π
(4.46)
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S. 82FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beweis von (4.43) mit a = −b < 0:
Substitution: −bω = u
(4.47)
(4.48)
ωωπ
ω de)(21)()( j btFbtfatf −
∞
∞−⋅=−= ∫
uaa
uFubb
uF
ubb
uFbtfatf
utut
ut
d1e21d1e
21
d1e21)()(
jj
j
−⋅
=⋅
−=
−⋅
−=−=
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞−
∞
∫∫
∫
ππ
π
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S. 83FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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)(e)( 0j0 tfF tωωω −
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Zeitverschiebung:
Beweis:
Frequenzverschiebung:
Beweis:
(4.49)
(4.50)
(4.51)
ωωπ
ωωπ
ωωω dee)(21de)(
21)( jj)(j
0 00 tttt FFttf +−∞
∞−
−+∞
∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫
)(e)( 0j0 ωω Fttf t−−
ttfttfF ttt dee)(de)()( jj)(j0 00 ωωωωωω −+
∞
∞−
−−∞
∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫ (4.52)
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S. 84FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Differentiation im Zeitbereich:
Beweis:
)()j()(dd ωω Ftft
nn
n⋅
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
(4.53)
(4.54)ωωωπ
ωωπ
ωωπ
ω
ωω
de)j()(21
dedd)(
21de)(
21
dd)(
dd
j
jj
tn
tn
nt
n
n
n
n
F
tFF
ttf
t
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
⋅=
⋅=⋅=
∫
∫∫
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S. 85FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Differentiation im Frequenzbereich:
Beweis:
)()j()(dd tftF n
n
n⋅−ω
ω
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
(4.55)
(4.56)tttf
ttfttfF
tn
tn
nt
n
n
n
n
de)j()(
dedd)(de)(
dd)(
dd
j
jj
ω
ωω
ωωω
ω
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−⋅=
⋅=⋅=
∫
∫∫
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S. 86FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Faltung von Zeitfunktionen:
Beweis:
)()(d)()()()( 212121 ωω FFuutfuftftf ⋅−⋅=∗ ∫∞
∞−
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
(4.57)
(4.58)
)()(de)()(
ded)()()()(
21j
21
j2121
ωωω ω
ω
FFuFuf
tuutfuftftf
u
t
⋅=⋅=
⋅−⋅∗
∫
∫ ∫∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
h(t)H(ω)
x(t) y(t) = x(t) * h(t)
X(ω) Y(ω) = X(ω) ⋅ H(ω)
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S. 87FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Multiplikation von Zeitfunktionen:
Beweis:
∫∞
∞−−⋅=∗⋅ uuFuFFFtftf d)()()()()()( 21π2
121π2
121 ωωω
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
(4.59)
(4.60))()(de)()(
21
ded)()(21
21)()(
21
21j
21
j2121
tftfutfuF
uuFuFFF
ut
t
⋅=⋅=
⋅−⋅⋅∗
∫
∫ ∫∞
∞−
+
∞
∞−
+∞
∞−
π
ωωππ
ωωπ
ω
)()()()( 21π21
21 ωω FFtftf ∗⋅
)()( 11 ωFtf
)()( 22 ωFtf
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S. 88FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Integration im Zeitbereich:
Beweis:
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
(4.61)
(4.62)
)(δ)0(πj
)(d)( ωωω FFuuf
t+∫
∞−
)(s)(d)(s)(d)( ttfuutufuuft
∗=−⋅= ∫∫∞
∞−∞−
)(δ)0(πj
)()(δπj1)( ω
ωωω
ωω FFF +=
+⋅ (4.63)
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S. 89FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Parsevalsches Theorem für reelle Zeitsignale f(t) (Energiesatz)
Beweis: Multiplikation im Zeitbereich
ω = 0:
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
(4.64)∫∫∞
∞−
∞
∞−= ωω
πd)(
21d)( 22 Fttf
(4.66)
∫∫∞
∞−
∞
∞−
− −⋅=∗=⋅⋅ uuFuFFFttftf t d)()()()(de)()( 21π21
21π21j
21 ωωωω
∫∫∫∞
∞−
∗∞
∞−
∞
∞−⋅=−⋅=⋅ uuFuFuuFuFttftf d)()(d)()(d)()( 21π2
121π2
121
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S. 90FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Wichtige Korrespondenzen
1)(δ t (4.67)
(4.68))(δ2π1 ω
)(δ2πe 0j 0 ωωω −t
)(δjπ)(δjπ)(sin 000 ωωωωω −−+t
)(δπ)(δπ)(cos 000 ωωωωω −++t
(4.69)
(4.70)
(4.71)
)(δπj1)(s ωω
+t
ωj2)(s21)(sgn tt +−=
(4.72)
(4.73)
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S. 91FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
[ ]
=−−+
0000
00 2
rectπ)(s)(sπ)(siωω
ωωωωω
ωω t
220
000j)(δ
2π)(δ
2π)(cos)(s
ωωωωωωωω−
+−++⋅ tt
220
0000 )(δ
2πj)(δ
2πj)(sin)(s
ωωωωωωωω−
+−−+⋅ tt
)(si2)(s)(s2
rect TTTtTtTt ω−−+=
(4.74)
(4.75)
(4.76)(4.77)
)(δjπ1)(s 2 ωω
′+−⋅ tt
(4.78)
(4.79))])((si))((si[)cos()](s)(s[ 000 TTTtTtTt ωωωωω −++⋅−−+
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S. 92FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
aa
ta 4π
22
eeω−−
ωa
taa −
+eπ22
222je)(sgn
ωω+
−⋅ −
at ta
222e
ω+−
aata
(4.80)
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
(4.85)
ωj1e)(s
+⋅ −
at ta
)sgn(jπ1 ω−t
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S. 93FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
>−
−
<−⋅
aa
aatat
ωω
ωω
fürj
für1
)(J)(s
22
220
<−
sonst 0
für2
)(J22
0
aata
ωω
(4.86)
(4.87)
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S. 94FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Beispiele:
Transformation der Dreieckfunktion
∆∗
∆∆=
∆∆
Tt
Tt
TTt rectrect1
∆
∆=
∆
∆⋅
∆
∆⋅∆ 2
si2
si2
si1 2 TTTTTTT
ωωω(4.89)
(4.88)
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S. 95FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Transformation der Dreieckfunktion
∆
∆
∆∆
2si2 TT
Tt ω
(4.90)
0.5
1.0
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
-3 -2 -1 0 1 2 3t/∆T
∆(t/∆T)
ω∆T/2π
si2(ω∆T/2)
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S. 96FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beispiel zum Parsevalschen Theorem:
Berechnung im Zeitbereich:
Berechnung im Frequenzbereich:
ωω
j1)(e)(s)( 1 +
=⋅=−
T
Tt
Fttf (4.91)
(4.92)
(4.93)
2e
2ded)(
0
2
0
22 TTtttf T
tTt
=
−==
∞−∞ −∞
∞−∫∫
[ ]
2222
)(arctg21d1
21d)(
21
212
2
TT
TTF
T
=
+=
⋅=+
= ∞∞−
∞
∞−
∞
∞−∫∫
πππ
ωπ
ωωπ
ωωπ
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S. 97FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Transformation einer periodischen Zeitfunktion: fP(t) = fP(t+T)
Darstellung als Fourier-Reihe:
mit den Koeffizienten:
und
Fourier-Transformierte:
∑∞
−∞=⋅=
n
tnnAtf 0j
P e)( ω (4.94)
∫+
−⋅=Tt
t
tnn ttf
TA
0
0
0 de)(1 jP
ω
Tπω 2
0 =
∑∞
−∞=−⋅⋅=
nn nAF )(2)( 0P ωωδπω
(4.95)
(4.96)
(4.97)
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S. 98FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−⋅=−⋅⋅=
nnn n
TnADtd )(2)(2)()( 00AA ωωδπωωδπω
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation einer periodischen δ-Impulsfolge:
∑∞
−∞=−=
nnTttd )()(A δ (4.98)
Ttt
Tttd
TA
T
T
tnT
T
tnn
1de)(1de)(1 2/
2/
j2/
2/
jA 00 =⋅=⋅= ∫∫
−
−
−
− ωω δ (4.99)
(4.100)
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S. 99FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Periodische δ-Impulsfolge
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−−
nnnnTt )()( 00 ωωδωδ
1
−3 −2 −1 1 2 3 t/T −3 −2 −1 1 2 3 ω/ω0
ω0
DΑ(ω)dΑ(t)
(4.101)
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S. 100FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Ideales Tiefpassfilter
Übertragungsfunktion:
Impulsantwort:
Anregung mit einer Sprungfunktion:
Mit der Integralsinusfunktion Si(x):
≤
=sonst0für 1
)( gTP
ωωωH
)(si2)(si)( gggg
TP tftth ωωπ
ω⋅=⋅=
)(Si121d)(si2d)()(s)()( gggTPTPTP tfhtthta
t tω
πττωττ +=⋅==∗= ∫ ∫
∞− ∞−
∫=x
uux0
d)(si)(Si
(4.102)
(4.103)
(4.104)
(4.105)
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S. 101FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Sprungantwort des idealen Tiefpassfilters
-0.5
0.5
1.0
1.5
g41f g2
1fg4
1f
−
g
TP2
)(f
th)(TP ta
t
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S. 102FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Gibbssches Phänomen
-0.5
0.5
1.0
1.5
)(TP ta
t
Grenzfrequenz: 5fg
Grenzfrequenz: fg
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S. 103FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation Zeitgesetz der Nachrichtentechnik
Annahme: reelles Zeitsignal f(t), dessen Fourier-Transformierte F(ω) rein reell und positiv ist
⇒ f(t) ist gerade und hat sein Maximum an der Stelle t = 0 (vgl. Gl. (4.38)) :
Definition der (mittleren) Zeitdauer:
Definition der (mittleren) zweiseitigen Bandbreite:
)0(d)(21dcos)(
21)( fFtFtf =≤= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−ωω
πωωω
π
ttff
T d)()0(
1∫∞
∞−=
ωωπ d)()0(
12 z ∫∞
∞−= F
FB
(4.106)
(4.108)
(4.107)
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S. 104FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Einsetzen:
)0()0(
1d)()0(
1 Ff
ttff
T == ∫∞
∞−)0(2
)0(1d)(
)0(12 z f
FF
FB πωωπ ⋅== ∫
∞
∞−
12z =⋅=⋅ TBTB (4.109)
t ω
F(ω)f(t)
T 2πBz
2πB
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S. 105FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Alternative Definitionen von Zeitdauer und Bandbreite:
Unschärferelation:
ttftE
ttf
ttftT d)(1
d)(
d)(22
2
22
∫∫
∫ ∞
∞−∞
∞−
∞
∞− ==
212z ≥⋅=⋅ TBTB
(4.110)
ωωωπ
ωω
ωωωd)(
21
d)(
d)(22
2
22
z ∫∫
∫ ∞
∞−∞
∞−
∞
∞− == FE
F
FB (4.111)
(4.112)
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S. 106FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Beweis
Schwarzsche Ungleichung:
∫∫∫ ⋅≤⋅ ∗b
a
b
a
b
attgttgttgtg d)(d)(d)()( 2
22
1
2
21
∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
′⋅≤′⋅ ttfttftttftft d)(d)(d)()( 222
(4.113)
(4.114)
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S. 107FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Linke Seite der Ungleichung:
Partielle Integration:
Rechter Term: Parsevalsches Theorem
2d)(
211)(
21d)()( 22 Ettfttftttftf −=⋅−
⋅=⋅′⋅ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∫ ∫ ′−=′ tuvuvtvu dd
221 fuffu =⇒′⋅=′
1=′⇒= vtv
EBFFttf ⋅=⋅=⋅=′ ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
2z
2222 d)(21d)(j
21d)( ωωω
πωωω
π (4.116)
(4.115)
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S. 108FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 4 Fourier-Transformation
Schwarzsche Ungleichung:
Gleichheitszeichen in der Schwarzschen Ungleichung gilt wenn g1 und g2 linear abhängig sind:
Differentialgleichung für einen Gauß-Impuls
21
4 z2z
22
≥⇒⋅≤ TBBETEE
)(d
)(d tftattf
=
2
0e)( 0
−
⋅= Tt
Atf
(4.117)
(4.119)
(4.118)
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S. 109FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Motivation und Definition
Problem bei der Fourier-Transformation: konstante oder aufklingende Funktionen: Fourier-Integral konvergiert nicht
Fourier-Integral konvergiert nur für absolut integrierbare Funktionen:
Lösungsmöglichkeit: Einführung eines Dämpfungsterms in das Fourier-Integral:
∞<∫∞
∞−ttf d)( (5.1)
(5.2)ttfttfF ttt de)(dee)()( )j(j ωσωσω +−∞
∞−
−−∞
∞−⋅=⋅⋅= ∫∫
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S. 110FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Substitution: p = σ + jω
(Einseitige) Laplace-Transformation
Konvergenz nur für σ ≥ σmin
Rücktransformation:
)(de)()(0
L tfttfpF pt−∞
⋅= ∫
)(de)(j2
1)( L
j
jL pFppFtf pt⋅= ∫
∞+
∞−
σ
σπ
(5.3)
(5.4)
(5.5)
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S. 111FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Integrationsweg für die Rücktransformation
Fourier- und Laplacetransformation stimmen überein, wenn σ = 0 gewählt werden kann.
Nachteil der Laplace-Transformation: Beschränkung auf kausale Funktionen
Vorteil: auch exponentiell anklingende Funktionen können transformiert werden
σ
ω
p-Ebene
σmin
Konvergenz-bereich
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S. 112FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Beispiel 1:
Konvergenzbereich: σ > a
Beispiel 2:
Konvergenzbereich: σ > 0
atttf e)(s)( ⋅=
(5.7)
(5.6)
(5.8)
appattpF tpatpaptat
−=
−
==⋅=∞
−∞
−−∞
∫∫1e1dedee)(
0
)(
0
)(
0L
)(s)( ttf =
pptpF ptpt 1e1de1)(
00L =
−
=⋅=∞
−−∞
∫ (5.9)
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S. 113FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Beispiel 3:
Konvergenzbereich: σ > 0
tttf 0cos)(s)( ω⋅= (5.10)
(5.11)
( )
20
200
0
)j(
0
)j(
0
0
jj
00L
j1
j1
21
ej
1ej
121
deee21decos)(
00
00
ωωω
ωω
ω
ωω
ωω
+=
+
+−
=
−−
+−
=
+=⋅=
∞−−−
∞−−+−
∞
∫∫
pp
pp
pp
tttpF
tptp
ptttpt
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S. 114FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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atf
apaF 1)(
apF
ataf 1)(
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Eigenschaften f(t) F(p) , f1/2(t) F1/2(p)
Ableitung der Rechenregeln in der Regel analog zur Fourier-Transformation
Linearität: c1 ⋅ f1(t) + c2 ⋅ f2(t) c1 ⋅ F1(p) + c2 ⋅ F2(p)
Maßstabsänderung (a ist reell und positiv):
(5.12)
(5.13)
(5.14)
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S. 115FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Zeitverschiebung:
Dämpfung im Zeitbereich:
Integration im Zeitbereich:
(5.15)
(5.16)
(5.17)
)(e)( pFatf ap−−
)(e)( tfapF ta−
)(1d)(0
pFp
uuft∫
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S. 116FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Differentiation im Zeitbereich:
Differentiation im Frequenzbereich:
Faltung von Zeitfunktionen:
(5.18)
(5.19)
(5.20)
)()(dd pFptft
nn
n⋅
)()()(dd tftpFp
nn
n⋅−
)()(d)()()()( 210
2121 pFpFuutfuftftft
⋅−⋅=∗ ∫
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S. 117FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Multiplikation von Zeitfunktionen:
(5.21): Integrationsweg (Realteil c) muss rechts von σ1,min liegen und darf nur die Polstellen von F1(z) einschließen
(5.22): Integrationsweg (Realteil c) muss rechts von σ2,min liegen und darf nur die Polstellen von F2(z) einschließen
(5.22)∫
∫
∞+
∞−
∞+
∞−
−⋅=
−⋅⋅
j
j12jπ2
1
j
j21jπ2
121
d)()(
d)()()()(
c
c
c
c
zzpFzF
zzpFzFtftf (5.21)
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S. 118FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Beweis von (5.21):
(mit Substitution p = z + u, dp = du)
(5.23)pzzpFzF
uzuFzF
uuFzzFtftf
ptp
p
z
z
tuzz
z
u
u
utzt
ded)()(j2
1j2
1
dde)()()j2(
1
de)(j2
1de)(j2
1)()(
j
j
j
j21
)(j
j
j
j212
j
j2
j
j121
21
21
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
⋅−⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅=⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫∫
∞++=
∞−+=
∞+=
∞−=
+∞+=
∞−=
∞+=
∞−=
∞+
∞−
∞+
∞−
σσ
σσ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
ππ
π
ππ
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S. 119FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Beispiel:
Für R → ∞ stimmen die Integrale überein, da der Beitrag auf dem Kreisbogen verschwindet.
(5.24)1
111)(e)(s)( 1
appFttf ta
+=⋅= −
222
1)(e)(s)( 2ap
pFttf ta+
=⋅= − (5.25)
(5.26)∫
∫
+−⋅
+=
+−⋅
+⋅
∞+
∞−
C
c
c
zazpaz
zazpaz
tftf
d11
d11)()(
21jπ21
j
j 21jπ21
21
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S. 120FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Lösung mit Hilfe des Residuensatzes:
(5.27)∑∫ = CzFzzFC
in )(on Residuen vj2d)( π
σ
ωz-Ebene
σmin= −a1
Konvergenz-bereich
Kontur C
R
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S. 121FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Lösung mit Hilfe des Residuensatzes:
(5.28)21
21121
1
11)(limjπ2jπ2
1)()(1
aap
azpazaztftf
az
++=
+−⋅
+⋅+⋅⋅⋅
−→
taattftf )(21 21e)(s)()( +−⋅=⋅ (5.29)
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S. 122FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Anfangswert-Theorem:
Bedingung: Existenz von f(0+)
Beweis:
(5.30)
(5.31)
)(lim)(lim0
pFptfpt
⋅=∞→+→
)0(1)0(lime1)0(lim
de)0(limde)(lim)(lim
0
00
+=⋅+⋅=
−
+⋅=
⋅+⋅=⋅⋅=⋅
∞→
∞−
∞→
∞−
∞→
∞−
∞→∞→∫∫
fp
fpp
fp
tfpttfppFp
ppt
p
ptp
ptpp
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S. 123FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Endwert-Theorem:
Bedingung: Existenz von f(∞)
Beweis:
(5.32)
(5.33)
)(lim)(lim0
pFptfpt
⋅=→∞→
)()0()(dd
)(d
ded
)(dlim)(lim
0
000
∞=−−∞==
⋅=⋅
∫
∫
∞
−
−∞
−→→
ffftttf
tttfpFp pt
pp
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S. 124FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Beispiel:
Anfangswert:
Endwert:
(5.34)
(5.35)
appap
apppFttf at
+
+=
++=+⋅= −
23413)()e3()(s)(
434lim)(lim)0( 2 =+
+⋅=⋅=+
∞→∞→ appapppFpf
pp
334lim)(lim)( 200=
+
+⋅=⋅=∞
→→ appapppFpf
pp(5.36)
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S. 125FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Korrespondenzen der Laplace-Transformation
1!)(s +⋅ n
n
pntt
20
20
0 )(sin)(sω
ωω+
⋅p
tt
20
20 )(cos)(sω
ω+
⋅p
ptt
apt ta
+⋅ − 1e)(s
1)(δ t
pt 1)(s
(5.37)
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.41)
(5.42)
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S. 126FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
220
2
20
20
)()(cos)(s
ωωω
+
−⋅⋅
ppttt
220
20
0)(
2)(sin)(sω
ωω+
⋅⋅p
pttt
20
20)(
)(cose)(sω
ω++
+⋅⋅ −
apaptt ta
20
20
0)(
)(sine)(sω
ωω++
⋅⋅ −
aptt ta
(5.43)
(5.44)
(5.45)
(5.46)
(5.47)
1)(!e)(s +
−
+⋅⋅ n
tan
apntt
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S. 127FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
)4(2)(sin)(s 2
02
20
02
ωωω+
⋅pp
tt
)4(2)(cos)(s 2
02
20
20
2
ωωω
+
+⋅
ppptt
20
20
0 )sinh()(sω
ωω−
⋅p
tt
20
20 )cosh()(sω
ω−
⋅p
ptt
pttt 00 arctan)sin()(s ωω
⋅
(5.48)
(5.49)
(5.50)
(5.51)
(5.52)
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S. 128FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
ptt π1)(s ⋅
220
220
0)2(
)(2)sin(e)(sω
ωω+++
+⋅⋅⋅ −
apapapttt ta
(5.53)
(5.54)
(5.55)
(5.56)
(5.57)
pptt
2π)(s ⋅
paat −− e)(δ
220
22
20
220
)2(2)cos(e)(s
ωωω
+++
−++⋅⋅⋅ −
apapapapttt ta
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S. 129FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Verfahren zur Rücktransformation
Nutzung der Korrespondenzen für rationale Funktionen (Z(p) und N(p) sind teilerfremde Polynome, Zählergrad ≤ Nennergrad)
Partialbruchentwicklung:
Vergleich mit (5.43):
∑ ∑= = −
+==N M
pp
AA
pNpZpF
1 10L
)()()()(
ν µµ
ν
νµν
∑ ∑= =
−
−
⋅+=
N Mtp tA
ttAtf1 1
1
0 )!1(e)(s)()(
ν µ
µνµν
νµ
δ
(5.58)
(5.59)
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S. 130FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Bestimmung der Koeffizienten:
Restfunktion:
Taylor-Reihenentwicklung der Restfunktion um die Polstellen:
Einfache Polstellen:
(5.60)
(5.61)
)(lim L0 pFAp ∞→
=
)()()()( 0
0L0 pNpZApFpF =−=
+−′++−′+
==))(()())(()(
)()()( 000
0ννν
νννpppNpNpppZpZ
pNpZpF
)()(
))(()(
)()()( 0
100
0ν
νν
νν
νpNpZA
pppNpZ
pNpZpF
′=⇒
−′≈=
(5.62)
(5.63)
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S. 131FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Mehrfache Polstellen:
für µ = 1, 2, ... Mν
Beispiel:
N = 2
p1 = 0, M1 = 2
p2 = −1, M2 = 1
(5.64)
(5.65)
[ ]ν
νν
ν
νµ
µ
ννµ µ pp
MM
MpppF
pMA =−
−−⋅
−= ))((
dd
)!(1
L)(
)(
)1(1)( 2L
+=
pppF
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S. 132FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
(5.66)
(5.67)
1)1(
1
)1(1
dd
)1(1
dd
)!12(1
02
00
22)12(
)12(11
−=
+
−=
+
=
+⋅
−=
=
==−
−
p
pp
p
ppp
pppA
1)1(
1)1(
1dd
)!22(1
00
22)22(
)22(12 =
+
=
+⋅
−=
==−
−
ppp
pppp
A
11)1()1(
1dd
)!11(1
12
1
12)11(
)11(21 =
=
+
+⋅
−=
−=−=−
−
pp pp
pppA (5.68)
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S. 133FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Partialbruchzerlegung:
Zeitfunktion:
(5.69)
(5.70)
1111
)1(1)( 22L +
++−=+
=ppppp
pF
[ ]t
Mtp
tt
tAtttf
−
= =
−
++−⋅=
−
⋅+⋅= ∑ ∑
e1)(s
)!1(e)(s)(0)(
2
1 1
1
ν µ
µνµν
νµ
δ
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S. 134FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Direkte Rücktransformation mit Hilfe des Residuensatzes
Erweiterung des Integrations-wegs zu einem geschlossenen Integrationsweg
Abschätzung des Beitragsdurch den Kreisbogen:
ppFtf pt de)(j2
1)(j
jL ⋅= ∫
∞+
∞−
σ
σπ
∫∫∫ ⋅≤⋅≤⋅ ppFppFppF ptptpt de)(maxde)(de)( LLL
σ
ωp-Ebene
Kontur C = C1 ∪ C2
Rϕ
C0
C2
C1
(5.72)
(5.71)
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S. 135FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Annahme:
Nachweis, dass auf dem Kreisbogen C2 endlich bleibt:
Polarkoordinaten:
0)(lim L =∞→
pFp
∫ ppt de
ϕϕϕ dejde jj ⋅⋅=⇒⋅= RpRp
( )tRtRtR
tRtR
C
pt
tRR
RRp
⋅−⋅⋅−⋅⋅−
⋅⋅−⋅⋅
−=<=
⋅=⋅=
∫∫
∫∫∫
e1de2de2
dedede
2/
0
2/
0
sin
0
sin2/3
2/
cos
22
πϕϕ
ϕϕ
π ϕπϕ
πϕ
π
π
ϕ
π
(5.73)
(5.75)
(5.74)
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S. 136FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Rücktransformation mit Residuen-Methode
mit der Laurent-Entwicklung:
Einfacher Pol:
(5.76)∑∫=
=⋅=N
C
pt RppFtf1
L de)(j2
1)(ν
νπ
∑∞
−=−=⋅
νµ
µνµν
M
pt ppapF )(e)( ,L
1, und −= νν aR
(5.77)
(5.78)
tppFRpppFpF νννν
e)()()( 00
L ⋅=⇒−
= (5.79)
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S. 137FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Einfacher Pol:
Heavisidescher Entwicklungssatz (ausschließlich einfache Polstellen):
(5.80)
(5.81)
(5.82)
tptppp
tppNpZpppFpFR νν
ν
ν
ν
νννν e
)()(e)()(lime)( L0 ⋅
′=⋅−⋅=⋅=
→
))(()(
))(()())(()(
)()()(L
νν
ν
ννν
νννpppN
pZpppNpNpppZpZ
pNpZpF
−′≈
+−′++−′+
==
∑=
⋅′
=N tp
pNpZtf
1e
)()()(
ν ν
ν ν
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S. 138FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Mehrfache Pole:
Entwicklung von F0(p) und ept in Potenzreihe um die Polstelle:
(5.85)
(5.84)
ννMpp
pFpF)()()( 0
L−
= (5.83)
+−′′+−′+= 20000 ))((
!21))((
!11)()( ννννν pppFpppFpFpF
+−+−+⋅=⋅= − 2
2)( )(
!2)(
!11eeee ννννν pptppttptpptppt
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S. 139FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Residuum:
(5.86)
−+
−+
+
′−
+−
⋅=
−−
−−
)!1()(
)!2()(
!1
!1)(
)!2()(
)!1(e
)1(0
)2(0
02
01
ν
ν
ν
ν
ν
νν
νν
νν
ννν
MpF
MpFt
pFMtpF
MtR
MM
MMtp
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S. 140FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation Zusammenhang zwischen Fourier- und Laplace-Transformation
Fourier-Transformierte: FF(ω)
Laplace-Transformierte: FL(p)
Alle Polstellen liegen in der linken p-Halbebene: Fourier-Transformierte ergeben sich durch die Substitution p = jω
Es liegen auch Polstellen in der rechten p-Halbebene: ⇒ zugehörige Zeitfunktionen klingen exponentiell auf ⇒ Fourier-Transformierte existiert nicht
(5.87))j()( LF ωω FF =
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S. 141FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Alle Polstellen liegen in der linken p-Halbebene: und einzelne Pole auf der imaginären Achse p = jω
Beispiel: einfacher Pol auf der imaginären Achse
Zeitfunktion:
(5.88)0
L j1)(
ω−=
ppF
tttf 0je)(s)( ω⋅= (5.89)
σ
ω p-Ebene
εω0
ϕ
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S. 142FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Zeitfunktion:
(5.90)ϕπ
ωωωπ
ϕεωεω
ωωω
ωωωπ
π
π
π
ϕπ
π
ωω
ϕεωϕ
ω
εω
ωεω
ε
σ
σ
de21de
jj1
21
djeejej
1j1
dejj
1dejj
1lim21
de)(j2
1)(
2
2
0
j0
2
2
0
0
jj
0
j)e(j
0j
0
j
0
j
00
j
jL
∫∫
∫
∫∫
∫
−
∞
∞−
+
−
∞
+
−
∞−→
∞+
∞−
+⋅−
=
⋅⋅−+
+
⋅−
+⋅−
=
⋅=
tt
t
tt
pt ppFtf
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S. 143FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Zeitfunktion:
Fourier-Transformierte
(5.91)ttFtf 0jjL e
21de)j(
21)( ωω ωωπ
+⋅= ∫∞
∞−
)(jj
1)()j()( 00
0LF ωωπδωω
ωωπδωω −+−
=−+= FF(5.92)
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S. 144FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 5 Laplace-Transformation
Allgemeiner Fall: mehrfache Pole auf der imaginären Achse:Die Restfunktion enthalte keine Pole auf der imaginären Achse.
(5.93)
(5.94)
)(~
)j()( L
1L pF
p
apF
N
q +−
= ∑=µ µ
µµω
)()!1(
j)j()( )1(
1
1
LF µµ µ
µ ωωδπ
ωω µµ
−−
+= −
=
−
∑ qN q
qa
FF
)(~L pF
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S. 145FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Zusammenhang zwischen Real- und Imaginärteil der Fourier-
Transformierten einer reellen Zeitfunktion Zerlegung einer reellen Zeitfunktion in geraden und ungeraden
Anteil:
Eigenschaften:
)()()( ug tftftf +=
( ))()()( 21
g tftftf −+=
( ))()()( 21
u tftftf −−=
)()( gg tftf −=
)()( uu tftf −−=
(6.3)
(6.2)
(6.4)
(6.5)
(6.1)
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S. 146FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Kausalität: f(t) = 0 für t < 0
0für0)()()( ug <=+=⇒ ttftftf
(6.8)
(6.7)
(6.9)
(6.10)
(6.6)
0für)()( ug <−=⇒ ttftf
0für)())(()( uug >=−−=⇒ ttftftf
)()sgn()( gu tfttf ⋅=⇒
)(jj2
21)( ω
ωπω XR ∗⋅=
)()sgn()( ug tfttf ⋅=
)(j2
21)(j ω
ωπω RX ∗⋅=
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 147FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Zusammenhang der Zeitfunktionen:
t
f(t)
t
fg(t)
t
fu(t)
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S. 148FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Die Hilbert-Transformation verküpft Real- und Imaginärteil der Fourier-Transformierten einer kausalen Zeitfunktion:
f(t) F(ω) = R(ω) + jX(ω)
(6.12)
(6.11)
∫∞
∞− −−= u
uuRX d)(1)(
ωπω
∫∞
∞− −+∞= u
uuXRR d)(1)()(
ωπω (6.13)
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S. 149FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Grund für den Zusatzterm R(∞) in (6.13): R(∞) gibt in (6.12) keinen Beitrag
Integration über die Polstelle entsprechend dem Cauchyschen Hauptwert
−−
−−= ∫∫
+
−
−∞→→
c
cc
uu
uRuu
uRXεω
εω
ε ωπωπω d)(1d)(1lim)(
0 (6.14)
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S. 150FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Beispiel:
(6.16)
(6.15)
+⋅
−+
+⋅
−−=
−−=
∫ ∫
∫
−
− +∞→→
∞
∞−
εω
εωε ωωπ
ωπω
c
c
c
uu
Tu
uu
TuT
uu
uRX
d111d1
11lim1
d)(1)(
22
22
0
Tt
ttf−
⋅= e)(s)(
)(j)(1
j1j1
1)( 22
2
22 ωωω
ωωω
ω XRT
TT
T
T
F +=+
−+
=+
=
(6.17)
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S. 151FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
[ ]
22
2
22
2121
2121
21
022
2121
22
2
2121
22
2
0
1220
210
)1(
)arctg()arctg()(arctg)arctg(
)(
)(ln
||||||||lnlim
)1(
)arctg(||ln||ln1
)arctg(||ln||ln1
lim1)(
22
22
2
2
TTT
TT
TcTcTTT
c
c
cc
TT
uTTuuT
T
uTTuuT
TT
X
TT
TT
c
c
T
cT
c
ωωπω
ωπ
εωεωω
εω
εω
εωωε
ωπ
ωωω
ωωωπ
ω
ε
εω
εω
ε
+−=
⋅⋅+⋅+−
+−=
+−+−−−+
++
+
+⋅
−+
+−⋅+
−⋅−
+−=
+++−−
++
+++−−
+−=
∞→→
+
−
−∞→→
(6.18)
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S. 152FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Korrespondenzen der Hilbert-Transformation
22
H
22 111
TT
T ωω
ω +−
+
(6.19)
01H
TT ωω sincosH
−
(6.20)
(6.21)
(6.23)
πωωδ 1)(
H−
∫∞
∞− −−= u
uuRXR d)(1)()(
H
ωπωω
(6.22)
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S. 153FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Korrespondenzen der Hilbert-Transformation
[ ] 220
H00 )()(
2 ωωωωωδωωδπ−
++− (6.24)
TT
TT
ωω
ωω 1cossin H −
(6.25)
(6.26)
(6.27)0
0H
0ln1
2rect
ωωωω
πωω
+−
[ ])()(2 00
H
220
0 ωωδωωδπωω
ω+−−−
−
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S. 154FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Ableitung der Hilbert-Transformation mit Hilfe der Laplace-
Transformation Annahmen: kausale Zeitfunktion
f(t) FL(p)
Keine Polstellen in der rechten p-Halbebene und auf der imaginären Achse
Integral über die geschlossene Kurve C :
Grenzübergang r1 → 0 ; r2 → ∞
(6.28)0dj
)(0
L =−∫
Cp
ppFω
σ
ω p-Ebene
r1
ω0
ϕ
r2
C1
C0
C2
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S. 155FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Teilintegrale:
mit
(6.29)
)j(jdjejej
)ej(limdj
)(lim 0L
2
2
j1
0j
10
j10L
00
L0 1
11
ωπϕωω
ωω
π
π
ϕϕ
ϕFr
rrFp
ppF
rCr=⋅⋅
−++
=− ∫∫
−→→
)(j)(j
djeje
)e(limdj
)(lim
L
2
2
j2
0j
2
j2L
0
L
22
2
∞−=∞−=
⋅⋅−
=− ∫∫
−
∞→∞→
RF
rr
rFpp
pFrCr
ππ
ϕωω
π
π
ϕϕ
ϕ
)(de)(lim)(lim0ReRe
∞=⋅= ∫∞
−
∞→∞→RttfpF pt
pL
p
(6.30)
(6.31)
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S. 156FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Gesamtintegral:
Realteil:
(6.32)0dj
)(lim0
L =−∫
Cp
ppFω
(6.33)
(6.34)
[ ]
0d)(j)(lim
d)(j)(lim)(j)(j)(j
2
1021
10
221
00
0000
=−+
+
−+
+∞−+
∫
∫
+∞→→
−
−∞→→
r
rrr
r
rrr
XR
XRRXR
ω
ω
ωωω
ωω
ωωω
ωωπωωπ
−+
−−= ∫∫
+
−
−∞→→
2
10
10
221
d)(d)(lim1)(0000
r
r
r
rrr
RRXω
ωω
ωωωω
ωωω
πω
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S. 157FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Rationale Übertragungsfunktionen
Z(p) und N(p) sind Polynome
Allpass-Übertragungsfunktionen:
Amplitudenfunktion:
(6.35)
(6.36)
(6.37)
)()()(
pNpZpH =
)()( pNpZ −=
σ
ω p-Ebene
1)j()j(
)j()j(
)j()j()( ==
−==
∗
ωω
ωω
ωωω
NN
NN
NZA
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S. 158FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Allpass-Übertragungsfunktionen beeinflussen nur die Phase.
Allgemeine Übertragungsfunktionen lassen sich durch eine Allpass-Übertragungsfunktion HA(p) und eine Übertragungsfunktion mit minimaler Phase HM(p) darstellen:
Mindestphasensysteme: keine Pole und keine Nullstellen in der rechten p-Halbebene, Nullstellen auf der imaginären Achse sind möglich
Wichtige Eigenschaft eines Mindestphasensystems: Auch die inverse Übertragungsfunktion ist realisierbar, da die inverse Übertragungsfunktion keine Pole in Re(p) > 0 besitzt.
(6.38))()()( AM pHpHpH ⋅=
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S. 159FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Zerlegung einer beliebigen Übertragungsfunktion in einen Allpass und ein Mindestphasensystem
σ
ω p-Ebene
σ
ω p-Ebene
σ
ω p-Ebene
= ×
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S. 160FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Dämpfung a(ω) und Dämpfungsphase b(ω)
Gruppenlaufzeit:
(6.42)
(6.41)|))j(ln(|)( L ωω Ha −=
)()()(ln
2j
))(Re())(Im(arctan)(
F
F
F
F ωϕωω
ωωω −==−= ∗H
HHHb
ωωϕ
ωωωτ
d)(d
d)(d)(gr −==
b(6.43)
(6.39)
(6.40)
)(jF
)(j)(FL e)(e)()j( ωϕωω ωωω ⋅=== −− HHH ba
)(j)())(ln())j(ln( FL ωωωω baHH −−==
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S. 161FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Allpass-Übertragungsfunktion:
Phasenbeitrag jedes Zählerterms und Nennerterms für ω > 0 und rν < 0:
(6.45)
(6.44)
∑−− ==
−−++
=−+
= ∏∏∏ νν
νω
ν
ω
ν νν
νν
ν ν
νωω
ωωω
)(j)(j
A eejjjj
jj)j(
bb
irir
ppH
0d1
1d1
1
0mit )arctan()arctan(
arctanarctan)(
02
02 >
++
+=
>−++=
−−
++
−=
∫∫−+ βαβα
ν
ν
ν
νν
αβαβα
ωωω
xx
xx
ri
rib
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S. 162FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
α + βx
211x+
α − βα
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Phasenbeitrag jedes Zählerterms und Nennerterms für ω > 0 und rν < 0:
Durch rν < 0 sind alle Phasenbeiträge positiv.
Eine Übertragungsfunktion ohne Allpassanteil besitzt die minimale Phase. ⇒ HM(p) ist Mindestphasensystem
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S. 163FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Verknüpfung zwischen Dämpfung und Phase
Hilbert-Transformation als Korrespondenz zwischen Real- und Imaginärteil einer Fourier-Transformierten:
Die Funktion ln(HL(p)) besitzt Pole sowohl an Nullstellen als auch an Polstellen von HL(p).
keine Pole von HL(p)in Rep ≥ 0 )j(Im)j(Re L
HL ωω HH ⇒
keine Pole und keineNullstellen von HL(p)
in Rep ≥ 0 )()(
))j(Imln())j(Reln(
H
LH
L
ωω
ωω
ba
HH
⇒
(6.46)
(6.47)
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S. 164FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Die Hilbert-Transformation: Verknüpfung zwischen Dämpfung und Dämpfungsphase eines Mindestphasensystems:
h(t) H(ω) = e−a(ω) − jb(ω)
(6.49)
(6.48)
∫∞
∞− −−= u
uuab d)(1)(
ωπω
∫∞
∞− −+∞= u
uubaa d)(1)()(
ωπω (6.50)
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S. 165FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Ausnutzung der Symmetrie der Funktionen: a(−ω) = a(ω), b(−ω) = −b(ω)
(6.51)∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∞
∞∞∞
∞
∞
∞
∞−
∞
∞−
−−=
−+
+−=
−+
+−=
−+−
+−
−=
−+
−−=
−−=
022
000
0
00
0
d2)(1
d11)(1d)(d)(1
d)()d()(1
d)(d)(1d)(1)(
uu
ua
uuu
uauu
uavv
va
uu
uavvva
uu
uauu
uauu
uab
ωω
π
ωωπωωπ
ωωπ
ωωπωπω
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S. 166FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Hilbert-Transformation durch einseitige Integration:
(6.52)∫∞
−−=
022 d)(2)( u
uuab
ωπωω
∫∞
−
⋅+∞=
022 d)(2)()( u
uubuaa
ωπω (6.53)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 167FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
ω
|Η(ω)|
H0
1
ω0−ω0
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Beispiel: Tiefpass-Übertragungsfunktion
mit H0 > 0
(6.54)
>≤
=000
für für 1)(
ωωωω
ω HH
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S. 168FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
[ ] [ ] [ ][ ]
)()(ln)ln(
))(()()(ln)ln(lim
lnlnln)ln(lim
d)ln(d)ln(d)1ln(d)ln(1lim
d)(1)(
0
00
0
00
0
0
0
000
0
00
0
0
0
0
ωωωω
πεωωωωεωω
π
ωωωπ
ωωωωπ
ωπω
ε
εωεω
ωω
ε
εω
εω
ω
ω
ω
ω
ε
−+
−=−+
−+−=
−−+−−+−−=
−+
−+
−+
−=
−−=
→∞→
+−−
−→
∞→
+
−
−
−
−→∞→
∞
∞−
∫∫∫∫
∫
HK
KH
uuuH
uu
Huu
Huu
uu
H
uu
uab
K
KKK
K
KK
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Minimale Phase (ω > ω0):
(6.55)
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S. 169FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Minimale Phase:
ω
b(ω)
ω0
−ω0
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S. 170FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation Paley-Wiener-Kriterium
Realisierbarkeit von Übertragungsfunktionen
Zu einer Amplitudenfunktion |H(ω)| mit
(energiebegrenzte Impulsantwort) gibt es genau dann eine Phasenfunktion eines kausalen Systems, wenn gilt:
∞<∫∞
∞−ωω d|)(| 2H
∞<+
=+
∫∫∞
∞−
∞
∞−ω
ω
ωω
ω
ωd
1)(
d1
|)(|ln22
aH(6.57)
(6.56)
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S. 171FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Realisierbarbeit von Dämpfungsfunktionen:
Annahme: Die Dämpfung steigt linear mit der Frequenz an a(ω) = k ⋅ |ω|
Paley-Wiener-Kriterium nicht erfüllt:
Idealer Tiefpass nicht realisierbar
Gauß-Tiefpass nicht realisierbar
∞→
+=
+
⋅=
+
∞∞
∞−
∞
∞−∫∫
0
222 )1ln(
212d
1||d
1)( ωω
ωωω
ωω ka (6.59)
(6.58)
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S. 172FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 6 Hilbert-Transformation
Für eine Realisierbarkeit muss die Dämpfung für ω → ∞langsamer als linear zunehmen, z. B. proportional zur Wurzel:
[ ]2
2)arctan()arctan(2
2lim
)1(2arctan)1(2arctan2
2lim
12arctan
22
12arctan
22lim
12arctan
21
1212ln
2212d
1||d
1)(
0
0
1
1
00
022
π
εε
εε
ωωωω
ωω
ε
ε
ε
ε
ε
kk
k
xx
xxk
xx
xxxxkka
=−∞−∞=
−
+−
−=
−
+
−
=
−
++−++
−=+⋅
=+
→
→
∞
+
−
→
∞∞
∞−
∞
∞−∫∫
(6.60)
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S. 173FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Anwendung des Abtasttheorems
System zur digitalen Verarbeitung analoger Signale:
Signalrekonstruktion mit Bandpass-Filter zur gleichzeitigen Modulation in eine Zwischenfrequenzlage
Tiefpass-Filter
Digital-/Analog-Wandlung mit
Abtast-/Halteglied
digitale Signal-
verarbeitung
Tiefpass-Filtermit Korrektur des
FrequenzgangsAbtaster
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 174FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Ableitung des Abtasttheorems für ein bandbegrenztes Signal f(t)
Abgetastetes Signal:
(7.1)∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−⋅=−⋅=
nnnTtnTfTnTtTtftf )()()()()( aaaaaat δδ
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 175FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Bandbegrenzung des Signals f(t): F(ω) = 0 für |ω| ≥ ωg
Abgetastetes Signal:
mit
(7.2)
∑∞
−∞=−∗=
nnFF )(2)(
21)( aat ωωδπωπ
ω
∑∫ ∑∞
−∞=
∞
∞−
∞
−∞=−=−−⋅=
nnnFyynyF )(d)()( aa ωωωωδ
aa
2Tπω = (7.3)
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S. 176FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Spektren
Fehlerfreie Rekonstruktion mit Tiefpass möglich, wenn
ga 2ωω ≥ (7.4)
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S. 177FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Rekonstruktion des Originalsignals durch Tiefpass-Filterung
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S. 178FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Rekonstruktion des Originalsignals durch Tiefpass-Filterung
)(si1)()(aa
at tTT
tftf π∗=
∫ ∑∞
∞−
∞
−∞=−⋅−= uut
TTnTunTfT
nd))((si1)()(
aaaaa
πδ
∑∞
−∞=−⋅=
nnTt
TnTftf ))((si)()( a
aa
π
2für 0)(wenn a
a
ωπωω =≥=T
F
(7.6)
(7.5)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 179FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Rekonstruktion des Originalsignals durch Tiefpass-Filterung
∑∞
−∞=−⋅
nnTt
TnTf ))((si)( a
aa
π
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 180FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Symmetriesatz der Fourier-Transformation
⇒ Abtasttheorem für Signale im Frequenzbereich
∑∞
−∞=−⋅=
nnnFF ))((si)()( 0
00 ωω
ωπωω
2für 0)(wenn 0
0
Tttf =≥=ωπ
00
2mit Tπω =
(7.7)
(7.8)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 181FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Abtasttheorem für Signale im Frequenzbereich
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 182FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Fehler durch Unterabtastung bei unvollständiger
Bandbegrenzung:
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 183FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Signalrekonstruktion mit Hilfe eines Digital/Analog-Wandlers:
stufenförmiges Ausgangssignal durch Abtast-/Halteglied
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 184FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Näherungsverfahren für kontinuierliche Fourier-Transformation:
Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
)(tf )(ωF
ωt
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 185FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Abtastung im Zeitbereich:
∑∑∞
−∞=
∞
−∞==−=
n
tnT
ktfkTtkTftf a
a
j1aaat e)()()()( ωδ
t ω
)(at tf )(at ωF
aT aω
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
− −==n
Tk
kT nFkTfF )(e)()( a1j
aata
a ωωω ω
(7.9)
(7.10)
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S. 186FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Abtastung im Frequenzbereich:
(7.11)
(7.12)∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
− −==in
Tn iiFFF )()(e)()( 000j
af 0 ωωδωωωω ω
ωt
)(af tf )(af ωF
0T 0ω
∑∑∞
−∞=
∞
−∞==−=
i
ti
niFnTtftf 0j
00
0af e)(2
)()( ωωπ
ω
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S. 187FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Abtastung im Zeit- und Frequenzbereich:
(7.13)
(7.14)
t ω0ω aω0TaT
)(atf tf )(atf ωF
)()()( aaafatf kTtkTftfk
−⋅= ∑∞
−∞=δ
∑∞
−∞=−⋅=
iiiFF )()()( 000atatf ωωδωωω
0a ωω ⋅= N a0 TNT ⋅=
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S. 188FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Abtastwerte der periodischen kontinuierlichen Zeitfunktion:
Abtastwerte des periodischen kontinuierlichen Spektrums:
Gleichung (7.15): Substitution i ⇒ (i−nN)
(7.15)
(7.16)∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−==
nk
Nik
nNiFT
kTfiF ))((1e)()( 0a
j2a0at ωω
π
∑∑∞
−∞=
∞
−∞==−=
i
Nik
niFTnNkfkTf
πω
πω j2
00
aaaf e)(2
))(()(
∑ ∑−
=
−∞
−∞=−=
1
0
)(j20
0aaf e))((
2)(
N
i
NknNi
nnNiFkTf
πω
πω (7.17)
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S. 189FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Vereinfachung der Exponentialfunktion:
Einsetzen von (7.16) in (7.17) liefert die DFT:
Analog: Rücktransformation
(7.19)
(7.20)
Nik
nkNik
NknNi ππππ j2j2j2)(j2
eeee =⋅= −−
∑−
==
1
0
j20ataaf e)(1)(
N
i
Nik
iFN
kTfπ
ω
∑−
=
−=
1
0
j2aaf0at e)()(
N
k
Nik
kTfiFπ
ω
(7.18)
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S. 190FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Die DFT verknüpft Abtastwerte periodischer Funktionen. Die DFT hat ähnliche Eigenschaften wie die Fourier-
Transformation: Linearität, Faltungssatz, Symmetriesatz, Verschiebungssatz ...
Näherung für die Fourier-Transformation: Einhaltung des Abtast-theorems sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich notwendig
Forderungen an die periodischen Funktionen
Realisierung durch die „Schnelle Fourier-Transformation“ (FFT -Fast Fourier Transform), N = 2m, Komplexität: 2N ldN Multiplikationen
2 für )()( 0
afTttftf <≅
2für )(1)( a
aat
ωωωω <≅ FT
F (7.21)
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S. 191FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Finite Signale
t
ω0ω aω
0TaT
)(atf tf
)(atf ωF
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S. 192FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Beispiel für die DFT: Transformation eines rechteckförmigen Impulses
DFT:
Die Summation kann über eine beliebige Periode erfolgen:
⋅=
=
2si)(rect)( R
RR
TTFTttf ωω (7.22)
∑−
=
−=≅
1
0
j2aa0DFT0 e)()()(
N
k
Nik
kTfTiFiFπ
ωω (7.23)
∑∑−+
=
−−
=
−==
1 j2aa
1
0
j2aa0DFT
0
0
e)(e)()(Nk
kk
NikN
k
Nik
kTfTkTfTiFππ
ω (7.24)
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S. 193FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Transformation eines rechteckförmigen Impulses:
00a0aR
216516T
TTTTN πω =⇒===
++⋅=
++++⋅=
−−−
−−
−
)22cos(2)2cos(21
ee1ee)(
a
2j2j2j22j2a0DFT
Ni
NiT
TiF Ni
Ni
Ni
Ni
ππ
ωππππ
(7.25)
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S. 194FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Transformation eines rechteckförmigen Impulses:
-0.5
0.5
1.0
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20
-0.5
0.5
1.0
-20 -15 -10 -5 5 10 15 20
a/Tt
)(tf
a0aR 16516 TTTTN ===
)(1R
ωFT
0/ωω
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S. 195FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Transformation eines rechteckförmigen Impulses:
00a0aR
232932T
TTTTN πω =⇒===
++++⋅=
+++
++++⋅=
−−−−
−−
−−
−−
−−
)42cos(2)32cos(2)22cos(2)2cos(21
eeee
1eeee)(
a
4j23j22j2j2
j22j23j24j2a0DFT
Ni
Ni
Ni
NiT
TiF
Ni
Ni
Ni
Ni
Ni
Ni
Ni
Ni
ππππ
ω
ππππ
ππππ
(7.26)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 196FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Transformation eines rechteckförmigen Impulses:
-0.5
0.5
1.0
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
-0.5
0.5
1.0
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
a/Tt
)(tf )(1R
ωFT
0/ωω
a0aR 32932 TTTTN ===
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 197FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Transformation eines rechteckförmigen Impulses:
00a0aR
232532T
TTTTN πω =⇒===
++⋅=
++++⋅=
−−−
−−
−
)22cos(2)2cos(21
ee1ee)(
a
2j2j2j22j2a0DFT
Ni
NiT
TiF Ni
Ni
Ni
Ni
ππ
ωππππ
(7.27)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 198FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem
Transformation eines rechteckförmigen Impulses:
-0.5
0.5
1.0
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
-0.5
0.5
1.0
-40 -30 -20 -10 10 20 30 40
a/Tt
)(tf )(1R
ωFT
0/ωω
a0aR 32532 TTTTN ===
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 199FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 7 Abtasttheorem Fourier-Transformierte eines abgetasteten Zeitsignals
⇒ FF(ω) ist periodisch und hängt nur von den Abtastwerten f(nT) ab
(7.28)
(7.29)
∑∞
−∞=−⋅=
nnTttftf )()()(a δ
∑
∫ ∑∞
−∞=
−
∞
∞−
−∞
−∞=
⋅=
⋅−⋅=
n
Tn
t
n
nTf
tnTtnTfF
ω
ωδω
j
jF
e)(
de)()()(
(7.30)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 200FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Laplace-Transformierte eines abgetasteten Zeitsignals
mit f(t) = 0 für t < 0 :
mit z = epT
(8.1)
(8.2)
∑∞
−∞=−⋅=
nnTttftf )()()(a δ
∫ ∑∞
−∞
−∞=⋅−⋅=
0L de)()()( tnTtnTfpF pt
nδ
( ) ∑∑∑∞
=
−∞
=
−∞
=
− ⋅=⋅=⋅=000
L )(e)(e)()(n
n
n
nTp
n
Tnp znTfnTfnTfpF
(8.3)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 201FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation z-Transformation (auch zweiseitig mit n = −∞ ... +∞ ):
Rücktransformation:
´
Transformation der imaginären Achse p = jω in den Einheitskreis |z| = 1
Konvergenz bei kausalen Zeitfunktionen für ρ > ρmin
(8.5)∫=
−⋅=ρπ z
nz zzzFnTf d)(
j21)( 1
∑∞
=
−⋅=0
z )()(n
nznTfzF (8.4)
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S. 202FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
11)(sonst0
0für 1)()( 0
K =⋅= =
== zzFn
nnf zδ
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Beispiele (Kurzschreibweise f(nT) = f (n) = fn ):
Kronecker-δ-Funktion (zeitdiskreter Einheitsimpuls)
(8.7)
(8.6) =
=sonst0
0für 1)(K
nnδ
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S. 203FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Beispiele (Kurzschreibweise f(nT) = f (n) = fn ):
(Konvergenz der geometrischen Reihe nur für |a⋅z−1| < 1)
(8.8)
( )az
zza
zazazFn
n
n
nn−
=⋅−
=⋅=⋅= −
∞
=
−∞
=
− ∑∑ 10
1
0z
11)(
nn
anna
nf ⋅=
≥
= )(ssonst0
0für )(
(8.9)
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S. 204FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Beispiele (Kurzschreibweise f(nT) = f (n) = fn )
1)(s
−zzn
(8.11)
(8.10)
(8.12)1)cos(2
))cos(()cos()(s0
20
0+−
−⋅
TzzTzzTnn
ωωω
TTn
zzn
00
jj
ee)(s ω
ω
−⋅
1)cos(2)sin()sin()(s
02
00
+−⋅
TzzTzTnn
ωωω (8.13)
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S. 205FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation Eigenschaften der z-Transformation:
Linearität
mit f1(n) F1(z) und f2(n) F2(z)
gilt c1 f1(n) + c2 f2(n) c1 F1(z) + c2 F2(z)
Zeitverschiebung
mit f(n) F(z)
gilt f(n−n0) z−n0 ⋅ F(z)
Beweis:
(8.15)
(8.14)
00 )()()()(~ )(0
nn
n
n zzFzfznnfzF −∞
−∞=
+−∞
−∞=
− ⋅==−= ∑∑ν
νν (8.16)
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S. 206FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Frequenzverschiebungmit f(n) F(z)
gilt
sowie
(entspricht Drehung der Pol- und Nullstellen um Ω0
Zeitumkehrungmit f(n) F(z) gilt f(−n) F(z−1)Beweis: Definition der z-Transformation und Substitution µ = −n
⋅
00 )(
zzFnfzn
)e()(e 00 jj zFnfn Ω−Ω ⋅ (8.18)
(8.17)
(8.19)
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S. 207FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Differentiation im z-Bereich:
Beweis:
zzFznfn
d)(d)( −⋅ (8.20)
∑∑
∑
∞
=
−∞
=
−−
∞
=
−
⋅⋅=⋅−⋅⋅−=
⋅⋅−=−
00
1
0
)()()(
)(dd
d)(d
n
n
n
n
n
n
znnfznnfz
znfz
zzzFz
(8.21)
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S. 208FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Faltung im Zeitbereich:
Beweis (mit Substitution n = ν + µ):
(8.22))()()()()()( 212121 zFzFfnfnff ⋅⋅−=−⋅ ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞= νννννν
∑ ∑∑ ∑
∑∑
∞
−∞=
−∞
−∞=
∞
−∞=
−−∞
−∞=
∞
−∞=
−∞
−∞=
−
−==
⋅=⋅
νν
µν
µ
µ
µ
ν
ν
ννµν
µν
n
nznffzff
zfzfzFzF
)()()()(
)()()()(
2121
2121
(8.23)
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S. 209FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Multiplikation im Zeitbereich:
Beweis:
(8.24)∫
⋅⋅ y
yyzFyFnfnf d1)(
j21)()( 2121 π
∫ ∑
∑ ∫∑
−∞
=
∞
=
−−∞
=
−
⋅=
⋅⋅
⋅=⋅⋅=
yyy
znfyF
znfyyyFznfnfzF
n
n
n
nn
n
n
d1)()(j2
1
)(d)(j2
1)()()(
021
02
11
021
π
π
(8.25)
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S. 210FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Anfangswertsatz:
Beweis:
(8.26))(lim)0( zFfz ∞→
=
0
0)0()(lim)(lim zfznfzF
n
nzz
⋅=⋅= ∑∞
=
−
∞→∞→(8.27)
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S. 211FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Zeitliche Spiegelung Voraussetzung: zweiseitige z-Transformation
Spiegelungskorrespondenz:
komplexe Zeitfunktion:
(8.28)
(8.29)
− *
** 1)(z
Fnf
∑∞
−∞=
−⋅=n
nznfzF )()(
−
zFnf 1)(
(8.30)
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S. 212FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Beweis:
(8.31)
(8.32)
∑∑∑∞
−∞=
−∞−
∞=
∞
−∞=
−
⋅−=⋅−=⋅=
ν
ν
ν
ν ννz
fzfznfzFn
n 1)()()()(
(8.33)
∑∞
−∞=
−⋅−=
ν
νν yfy
F )(1
∑∞
−∞=
−⋅−=
ν
νν zfz
F )(1 **
*
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S. 213FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Parsevalsches Theorem: Energie eines zeitdiskreten Signals:
Beweis: Faltungssatz und Spiegelungssatz:
n = 0 :
(8.34)
(8.35)
( )∫∑−
∞
−∞===
2/
2/
2j
a
2 a
a
de1)(ω
ω
ω ωω
T
nFnfE
⋅−−⋅∑
∞
−∞=*
*21
*21
1)())(()(z
FzFnffν
νν
∫∑=
−∞
−∞=
⋅=⋅
ρν πνν
zzz
zFzFff d1)(
j21)()( 1
**21
*21 (8.36)
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S. 214FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
∫
∫
∫∑
−
−
−
=
−∞
−∞=
⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=⋅
2/
2/
j*2
j1
a
/
/
jjj*2
j1
1*
*21
*21
a
a
d)e()e(1
djee)e()e(j2
1
d1)(j2
1)()(
ω
ω
ωω
π
π
ωωωω
ρν
ωω
ωπ
πνν
TT
T
T
TTTT
z
FF
TFF
zzz
FzFff
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Integration entlang des Einheitskreises:
mit:
(8.37)
(8.38)
Tzz TT jedde jj ⋅=⇒= ωωω
Tπω 2
a = (8.39)
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S. 215FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 8 z-Transformation
Beispiel für das Parsevalsche Theorem für zeitdiskrete Signale:
(8.40)
(8.41)
==
=sonst0
1für 10für 1
)( nn
nf 11)( −+= zzF
2)sin(121
d)]cos(1[21
de11)(
2/
2/a
2/
2/a
2/
2/
2j
a
2
a
a
a
a
a
a
=
+⋅⋅=
+=
+=
−
−
−
−∞
−∞=
∫
∫∑
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ωωω
ωωω
ωω
TT
T
nf T
n
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 216FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Lineares zeitinvariantes zeitdiskretes System
Eingangs-/Ausgangsbeschreibung
Zeitbereich:
Frequenzbereich:
Beispiel: Auswertung der Faltungssumme(9.2)
(9.1)
h(n)x(n) y(n)
∑∑∞
=
∞
=−⋅=−⋅=
00)()()()()(
νννννν nxhnhxny
)()()( zHzXzY ⋅=
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S. 217FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
x(ν)
ν
1
−1
h(ν)
ν
1
h(0 −ν)
ν
1
h(1 −ν)
ν
1
y(0) = 1
y(1) = 0
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S. 218FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
x(ν)
ν
1
−1
h(2 −ν)
ν
1
h(3 −ν)
ν
1
h(4 −ν)
ν
1
y(3) = 2
y(4) = 2
y(2) = 1
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S. 219FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
x(ν)
ν
1
−1
h(5 −ν)
ν
1
h(6 −ν)
ν
1
h(7 −ν)
ν
1
y(6) = 1
y(7) = 0
y(5) = 2
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S. 220FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
x(ν)
ν
1
−1
h(8 −ν)
ν
1y(8) = −1
y(n)
n
1
−1
2
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S. 221FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Beispiel: Berechnung des Ausgangssignals im Frequenzbereich
(9.5)
(9.3)543211)( −−−−− −+++−= zzzzzzX3211)( −−− +++= zzzzH
865432
876543
765432
654321
543210
2221
)()()(
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−
−+++++=
−+++−+
−+++−+
−+++−+
−+++−=
⋅=
zzzzzz
zzzzzz
zzzzzz
zzzzzz
zzzzzz
zHzXzY
(9.4)
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S. 222FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Der Frequenzgang ergibt sich durch die Substitution: z = ejωT
Beweis I: Eingangssignal:
Ausgangssignal:
00 jj ee)( Ω== nTnnx ω (9.6)
(9.7)∑
∑
∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
∞
−∞=
⋅⋅=
⋅=
−⋅=
ν
νωω
ν
ων
ν
ν
ν
νν
TTn
Tn
h
h
nxhny
00
0
jj
)j(
e)(e
e)(
)()()(
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S. 223FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Ausgangssignal:
Frequenzgang =
(9.8)
(9.9)
( )∑
∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
⋅⋅=
⋅⋅=
ν
νωω
ν
νωω
ν
ν
TTn
TTn
h
hny
00
00
jj
jj
e)(e
e)(e)(
( )TzH 0je ω=
( )TTn zHny 00 jj ee)( ωω =⋅=
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S. 224FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Beweis II: Eingangssignal:
Ausgangssignal:
TnTn
zzzXnnnx
000
jjj
e)(e)(se)(s)( ω
ω
−=⋅=⋅= Ω
(9.11)
(9.10)
TzzzHzXzHzY
0je)()()()( ω−⋅=⋅=
∫∫=
−
=
− ⋅−
⋅=⋅=ρ
ωρ ππ z
nT
z
n zzz
zzHzzzYny de
)(j2
1d)(j2
1)( 1j
10
(9.12)
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S. 225FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Lösung mit dem Residuensatz (einfache Polstellen):
Annahme: stabiles System ⇒ H(z) hat keine Pole auf dem Einheitskreis oder außerhalb
(9.14)
(9.13)
( )Terme flüchtigee)e()(s
Terme flüchtigee)e(j2j2
1)(s
de
)(j2
1)(
00
00
0
jj
jj
j
+⋅⋅=
+⋅⋅⋅⋅=
−⋅= ∫
=
TnT
nTT
zT
n
Hn
Hn
zz
zzHny
ωω
ωω
ρω
ππ
π
∑∑∫ ⋅−=
=→i
izzC
zfzzCzf
dzzfi
)()(limj2 innerhalb )(von
Residuenaller j2)( ππ
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S. 226FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Beispiel 1:
Übertragungsfunktion im z-Bereich:
Frequenzgang:
(9.16)
(9.15)zzzzH 11)( 1 +
=+= −
TTzHH ωωω jjF e1)e()( −+===
))cos(1(2))(sin())cos(1(e1)( 222j2F TTTH T ωωωω ω +=++=+= −
(9.17)
z−1
x(n) y(n)
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S. 227FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgang:
1.0
2.0
TH ωω jF e1)( −+=
Tπ
−Tπ2
−Tπ2
Tπ ω
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S. 228FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Beispiel 2:
Übertragungsfunktion im z-Bereich:
Frequenzgang:
(9.19)
(9.18)z
zzzH 11)( 1 −=−= −
TTzHHTT
TT ωωωωω
ωω je2
sinj2ee1)e()( 2j
2jjj
F ⋅≈⋅=−===−−−
))cos(1(2))(sin())cos(1(e1)( 222j2F TTTH T ωωωω ω −=+−=−= −
(9.20)
z−1
x(n) y(n)
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S. 229FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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1.0
2.0
TH ωω jF e1)( −−=
Tπ
−Tπ2
−Tπ2
Tπ ω
Näherungsweise differenzierendes Verhalten für kleine Frequenzen
Frequenzgang:
Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
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S. 230FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Beispiel 3:
Übertragungsfunktion im z-Bereich:
Frequenzgang:
(9.21)azz
zazXzYzH
−=
−== −11
1)()()(
(9.22)
z−1
x(n) y(n)
a
)()1)(()()()( 11 zXzazYzYzazXzY =⋅−⇒⋅⋅+= −−
azHH T
TT
−=== ω
ωωω j
jj
Fe
e)e()(
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S. 231FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgang für a = 0,5:
1.0
2.0
Tπ
−Tπ2
−Tπ2
Tπ ω
5,0e1)( jF−
= THω
ω
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S. 232FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
FIR-Filter (finite impulse response) – Transversalfilter:
Übertragungsfunktion im z-Bereich:
(9.23)NN zazazaa
zXzYzH −−− ++++== 2
21
10)()()(
x(n)
y(n)
a0 aN−1 aN
z−1
a1
z−1
a2
z−1
a3
z−1 z−1
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S. 233FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
IIR-Filter (infinite impulse response) – rückgekoppeltes digitales Filter:
x(n)
y(n)
a0 aN−1 aN
z−1
a1
z−1
a2
z−1
a3
z−1 z−1
z−1 z−1 z−1 z−1 z−1
bN b1bN−1 bN−2 bN−3
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S. 234FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Übertragungsfunktion des IIR-Filters:
(9.24)NN
NN
zbzbzbzazazaa
zXzYzH −−−
−−−
++++++++
==
2
21
1
22
110
1)()()(
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S. 235FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Stabilität digitaler Filter: Pole von H(z) müssen innerhalb des
Einheitskreises liegen z-Rücktransformation
Annahme: einfache Polstellen zν :
∫=
−⋅=ρπ z
nz zzzFnf d)(
j21)( 1
∑∑
∑
⋅=⋅⋅⋅−=
⋅⋅−=
→
−
→
νννν
ν νν
νν
ν
ν
νπ
π
nn
A
zzz
nz
zz
zAzz
zFzz
zzFzznf
1)()(lim
)()(limj2j2
1)( 1
(9.25)
(9.26)
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S. 236FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme Entwurf digitaler Filter
Entwurf im Zeitbereich impulsinvariante Transformation: Filterkoeffizienten
entsprechen Abtastwerten der Impulsantwort eines zeitkontinuierlichen Systems
Zeitkontinuierliches System mit einfachen Polstellen im Laplace-Bereich:
∑ −=ν ν
νpp
apH )(k
∑ ⋅=ν
ν ν tpatth e)(s)(k (9.27)
(9.28)
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S. 237FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgang des zeitkontinuierlichen Systems:
Impulsantwort und Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Systems:
⇒ Transformation der Polstellen entsprechend z = e pT
∑ −===ν
ω ννωω p
apHH jkkF )j()(
( )∑∑ ⋅=⋅==ν
νν
ν ννnTpnTp anannThnh e)(se)(s)()( kd
(9.29)
(9.30)
∑−
=ν
ννTpz
zazHe
)(d (9.31)
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S. 238FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgang des zeitdiskreten Systems:
Grenzfall für sehr dichte Abtastung: T → 0
(9.33)
∑−
===ν
ω
ων
ων
ω TpT
TT azHH
eee)e()( j
jj
ddF
∑
∑
∑
−=
+−+=
−=
→→
ν ν
ν
ν νν
νω
ων
ω
ω
ων
pa
T
TpTa
aH TpT
T
TT
j1
)1(j11
eeelim)(lim j
j
0dF
0
(9.32)
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S. 239FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
⇒ Realisierung durch IIR-FilterMögliche Probleme aufgrund endlicher Wortbreite von
Koeffizienten und Signalen: Instabilität, Grenzzyklen
Entwurf im Zeitbereich als Transversalfilter (FIR-Filter) Problem: praktische Realisierung verlangt eine endliche
Koeffizientenzahl Einfachste Möglichkeit: Koeffizienten außerhalb des
Hauptbereichs t1 ... t2 werden weggelassen (gleich 0 gesetzt) Verwendung einer Gewichtungsfunktion (Fensterfunktion) Nachteil von Transversalfiltern: häufig mehr Koeffizienten als
bei rückgekoppelten digitalen Filtern notwendig
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S. 240FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Beispiel: idealer Tiefpass Übertragungsfunktion und Impulsantwort des
zeitkontinuierlichen Filters:
≤
=
=
sonst0für1
2rect)( g
gk
ωωωωωH
)(si)( gg
k tth ωπ
ω=
(9.34)
(9.35)
)(si)( gd nTnh ω=
)(si)( gg
k nTnTh ωπ
ω= (9.36)
(9.37)
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S. 241FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-0.5
0.5
1.0
-1 1 2 3 4 5
Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Impulsantwort des zeitdiskreten Filters Rechteckfenster, 21 (19) Koeffizienten, ag 5
1ωω =
tgω
−⋅
gk
g
2ωω
π th
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S. 242FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-60
-40
-20
0
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgang des zeitdiskreten Filters:
)0()(log20
d
dHH ω
a/ωω
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S. 243FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Fehler gegenüber zeitkontinuierlichem System: Umfalteffekt im Frequenzbereich durch Unterabtastung
Fensterfunktion Zeitbereich: Multiplikation mit Fensterfunktion w(t)
Frequenzbereich: Faltung mit W(ω) w(t)
Rechteck-Fenster im Zeitbereich ⇒ si-Funktion im Frequenzbereichschnell abfallende Funktion im Frequenzbereich, aber langsam abklingende Nebenmaxima (sidelobes)
)()()(~kk twthth ⋅=
)()(21)(~
kk ωωπ
ω WHH ∗= (9.39)
(9.38)
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S. 244FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Günstigere Fensterfunktionen: cos2-Fensterfunktion (von Hann-Fenster)
(9.40)
(9.41)
≤
+=
≤
=sonst0
2für2cos1
21
sonst02
fürcos)(2 Tt
TtTt
Tt
tw ππ
2
21
4cos
4si
2)(
−
⋅
=
πω
ωωω
T
TTTW
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S. 245FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Zeitdiskretes cos2-Fensterfunktion (von Hann-Fenster)
(9.42)
−≤≤
−
−+=
−≤≤
−
−=
sonst0
10für21
12cos1
21
sonst0
10für21
1cos)(
2
cos2
NnN
n
NnN
nnw
π
π
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S. 246FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Zeitdiskretes cos2-Fensterfunktion (von Hann-Fenster)
-0.5
0.5
1.0
-1 1 2 3 4 5 tgω
−⋅
gk
g
2ωω
π th
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S. 247FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Hamming-Fenster
Weitere Fensterfunktionen
(9.43)
−≤≤
−
−+=
sonst0
10für21
12cos46,054,0)(Hamming
NnN
nnw π
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S. 248FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Fensterfunktionen
0.5
1.0
-1 0 1 2 3 4 5 tgω
)(twRechteck-Fenster
Hamming-Fenster
Von Hann-Fenster
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S. 249FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgänge mit unterschiedlichen Fensterfunktionen
-80
-60
-40
-20
0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/ωω
)(lg20 ωH
Rechteck-Fenster
Hamming-Fenster
Von Hann-Fenster
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S. 250FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Grundsätzliche Vorgehensweise bei der Filterentwicklung: 1. Approximation 2. Realisierung
Approximation entweder im Zeit- oder im Frequenzbereich, je nach Aufgabenstellung Beispiele:
Impulsformfilter für die digitale Übertragung Tiefpass-, Bandpass-, Hochpass- und Bandsperrfilter zur
Trennung von Frequenz-Multiplex-Signalen Approximation in der Regel gemäß Toleranzschema
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S. 251FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Bilineare Transformation Näherung:
Rücktransformation:
Gegeben: Übertragungsfunktion eines analogen Filters
Frequenzgang des analogen Ausgangsfilters:
B2
21
1e z
p
pz T
TpT =
−
+≈=
112
B
B+−
⋅=zz
Tp
)j()( Lanalog ωω == pHH
(9.44)
(9.46)
(9.45)
nn
mm
pbpbpbbpapapaapH
+++
+++= 2
210
2210
L )(
(9.47)
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenzgang des digitalen Filters nach bilinearer Transformation
⇒ nichtlineare Transformation der Frequenzachse
==
==
+
−==
+
−==
+−
==
−
−
2L
2
2L2/j2/j
2/j2/jL
j
jLLbilinear
tan2j
cos2
sin2j2eeee2
1e1e2
112)(
T
T
T
TT
TT
T
T
TpH
TpH
TpH
TpH
zz
TpHH
ω
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
ω
(9.47)
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S. 253FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Bilineare Transformation ist erstes Glied einer Reihenentwicklung:
Frequenzgang für endlich viele Glieder der Reihenentwicklung
zT
pz pT ln1e =⇒=
+
+−
+
+−
++−
⋅= 53
11
51
11
31
112
zz
zz
zz
Tp
(9.48)
(9.50)
(9.49)
∑∑=
−
=
−
−⋅=
+
−−
⋅=N
n
nN
n
n
T
T TnTnT 1
12
1
12
j
j
2tanj
1212
1e1e
1212~j ωω ω
ω
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S. 254FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
Frequenztransformationen
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5a/ωω
a/~ ωω N = 1N = 2N = 3N = 9
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S. 255FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit Modulation
Schmalbandiges Signal x(t): X(ω) = 0 für |ω| > ωg
Amplitudenmodulation mit unterdrücktem Trägersignal: Multiplikation mit Trägersignal
)()()( Tm txtxtx ⋅=
)()(21)( Tm ωωπ
ω XXX ∗=
(A1.1)
(A1.2)
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S. 256FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit
Cosinus-förmiges Trägersignal:
Moduliertes Signal:
)cos()( 0T ttx ω=
( ))()()( 00T ωωδωωδπω ++−=X
(A1.6)
(A1.5))cos()()( 0m ttxtx ω⋅=
( ))()(21)( 00m ωωωωω ++−= XXX
(A1.3)
(A1.4)
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S. 257FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit
Übertragung des schmalbandigen modulierten Signals über ein System mit reeller Impulsantwort und Übertragungsfunktion:
Annahme: Der Betrag der Übertragungsfunktion ist näherungsweise konstant um ω0 :
Taylorreihenentwicklung der Übertragungsfunktion um die Trägerfrequenz ω0 :
)(e|)(|)( )(j thHH ωϕωω ⋅= (A1.7)
(A1.8)
−⋅+
⋅≈)(
dd)(j
0
00
0
e|)(|)(ωω
ωϕωϕ
ωωω HH
|)(||)(| 00 ωωω HH =≈
(A1.9)
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S. 258FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit
Phasenfunktion ist eine ungerade Funktion:
Betragsfunktion ist gerade Funktion:
Taylorreihenentwicklung der Phasenfunktion um die Trägerfrequenz −ω0 :
(A1.12)
(A1.10)
(A1.11)
+⋅+−
+⋅+−
⋅=
⋅−≈ −
)(dd)(j
0
)(dd)(j
0
00
0
00
0
e|)(|
e|)(|)(
ωωωϕωϕ
ωωωϕωϕ
ω
ω
ω
ωω
H
HH
)()( ωϕωϕ −=−
|)(||)(| ωω HH =−
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Theorie linearer Systeme WS 2010/2011
S. 259FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit
Ausgangssignal des linearen Systems:
(A1.14)
(A1.13)
+⋅+−
−⋅+
⋅⋅++
⋅⋅−≈
⋅=
)(dd)(j
00
)(dd)(j
00
m
00
0
00
0
e|)(|)(21
e|)(|)(21
)()()(
ωωωϕωϕ
ωωωϕωϕ
ω
ω
ωωω
ωωω
ωωω
HX
HX
XHY
)()()( m thtxty ∗=
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S. 260FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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⋅++⋅−⋅
⋅⋅≈
−−
−
−−
00
000
0
0
dd)(j
0dd)(j
0
ddj
0
e)(e)(
e|)(|21)(
ωωϕωϕω
ωϕωϕ
ωωϕ
ωω
ω
ωωωω
ωω
XX
HY
Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit
Ausgangssignal des linearen Systems:
(A1.16)
(A1.15)( )
( )00gr00gr0
00gr00gr0
)()(j))((j0gr0
)()(j))((j0gr0
ee))((|)(|21
ee))((|)(|21)(
ωωτωϕωτω
ωωτωϕωτω
ωτω
ωτω
⋅+−−−
⋅++−+
⋅⋅−⋅+
⋅⋅−⋅≈
t
t
txH
txHty
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S. 261FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A1 Gruppenlaufzeit
Ausgangssignal des linearen Systems:
mit der Phasenlaufzeit
und der Gruppenlaufzeit
(A1.17)
( )
( )))((cos))((|)(|
)(cos))((|)(|)(
0ph00gr0
000gr0
ωτωωτω
ωϕωωτω
−⋅−⋅=
+⋅−⋅≈
ttxH
ttxHty
ωωϕ
ωωωτ )()()(ph −==
b
ωωϕ
ωωωτ
d)(d
d)(d)(gr −==
b
(A1.18)
(A1.19)
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S. 262FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Dezibel zur Darstellung von Verhältnis-Werten
Beispiele: Verstärkung, Übertragungsfaktor…
Logarithmisches Maß, um großen Wertebereich abzudecken
Pseudo-Einheit dB
Definition: Verhältnis von Leistungs- bzw. Amplituden-Übertragungsfaktoren
dBlg20dBlg20
dBlg10dBlg10dBlg10
1
2
21
22
1
2dB
U
P
VUU
UU
PPVV
=
=
=
==
(A2.1)
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S. 263FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Umrechnung dB ⇒ Verhältnisse
20
1
2
10
1
2
dB
dB
10
10
V
U
V
P
UU
V
PPV
==
== (A2.2)
(A2.3)
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S. 264FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Dezibel-Tabelle
Beispiele:
dB 0 10 20 30 60 1 3 6 7P2/P1 1 10 100 1000 106 1,259
1 10 103 1,12210 1010
2≈ 5≈
2≈
4≈
2≈ 5≈
21010
1,21000
1dB3dB30dB27
2100,410000dB6dB40dB46
1
2
1
2dB
1
2
1
2dB
⋅=⋅=⇒+−=−=
⋅=⋅=⇒+==
UU
PPV
UU
PPV
12 UU
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S. 265FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Theorie linearer Systeme A2 Rechnen in Dezibel Leistungspegel
Spannungspegel
Beispiele:
dBWW1
lg10
dBmmW1
lg10
dBW
dBm
=
=
PP
PP
dBVV1
lg20
VdBV1
lg20
dBV
VdB
=
=
UU
UU µµµ
V5,0mV500V211000000VdB114
W20mW210000dBm43
VdB
dBm
==⋅=⇒=
=⋅=⇒=
µµµ UU
PP
(A2.4)
(A2.5)
(A2.6)
(A2.7)
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