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Dr. Kai-Friederike Oelbermann Wintersemester 2015/16Dipl.-Math. Alina Bondarava OVGU Magdeburg
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Ubungen zur Algorithmischen Mathematik
Blatt 8
1. Betrachten Sie die Eulersche '-Funktion, die fur m 2 N, m � 2, die Anzahl der Elemente derEinheitengruppe von Zm angibt:
'(m) := #{x 2 Zm : x ist Einheit in Zm}.
(a) Sei p 2 N eine Primzahl, ` 2 N. Zeigen Sie: '(p`) = p
` � p
`�1.(b) Sei nun m = p
`11 · p`22 · . . . · p`kk mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1, p2, . . . , pk. Zeigen
Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes:
'(m) =
kY
j=1
⇣
p
`jj � p
`j�1j
⌘
= m
kY
j=1
✓
1� 1
pj
◆
.
2. (F5 PunkteF) + (F5 PunkteF) Betrachten Sie wie in der vorhergehenden Aufgabe dieEulersche '-Funktion und schreiben Sie zwei Programme, die fur zwei einzugebende SchrankenM1,M2 2 N, 2 M1 M2 2
32, alle Werte der Eulerschen '-Funktion
'(m), m = M1, . . . ,M2
berechnet.
(a) Bei dem ersten Programm greifen Sie direkt auf die Definition der '-Funktion und dasEinheitenkriterium aus Folgerung 2.2.10 der Vorlesung zuruck.
(b) Bei Ihrem zweiten Programm implementieren Sie die Formel aus Aufgabe 1 (b).
3. Seien m1, . . . ,mk 2 N\{1} gegeben und sei D := (Zm1 ⇥ · · ·⇥ Zmk) das direkte Produkt derRestklassenringe Zmj , j = 1, . . . , k. Ein Element a = ([a1]m1 , . . . , [ak]mk) 2 D heißt Einheit in D,falls es ein Element x = ([x1]m1 , . . . , [xk]mk) := (a)
�1 2 D gibt mit a ·x = 1 := ([1]m1 , . . . , [1]mk).
(a) Zeigen Sie unter alleiniger Ausnutzung der Gruppeneigenschaften von a, x, 1, dass es nurein solches Element x 2 D geben kann.
(b) Zeigen Sie weiterhin, dass a = ([a1]m1 , . . . , [ak]mk) genau dann eine Einheit in D ist, wennjede Restklasse [aj ]mj eine Einheit in Zmj ist fur alle j = 1, . . . , k.
4. Sei M := 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 = 9 699 690.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe des chinesischen Restsatzes, dass fur jedes k 2 Z die Anzahl
Ak := #{i 2 {k + 1, k + 2, . . . , k +M} | p - i, p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
unabangig von k ist.(b) Berechnen Sie die Zahl A0 = Ak fur alle kZ.(c) Wie verandert sich das Verhaltnis A0/M , wenn man in dem Produkt von M weitere Prim-
zahlen hinzufugt?
Die mit F gekennzeichneten Aufgaben sind Hausaufgaben. Abgabe der Losungen: 10.12.2015 vor der Vorlesung.
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