v = v = 0 v - uni-marburg.de · impuls und drehimpuls erhaltungsgr‡–en. aufgeben wollen wir...
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PC-II-02 Seite 1 von 17 WiSe 09/10
Teilchen im 1-dimensionalen KastenAuffinden der Wellenfunktion
Die Wellenfunktion muss stetig (kein Sprung) und stetig differenzierbar (kein Knick)sein.
Es ergeben sich folgende Randbedingungen: 1 0 02
1 2
2 3
. ( ) ( ). ( ) ( )� �� �
�
�L L
Weiter muss die Funktion normiert sein, d.h. � �*� �dV 1(Die Erl�uterung folgt sp�ter)
Als Ansatz zum Auffinden der Wellenfunktion w�hlen wir:� ( ) sin cosx A kx B kx� �
Aus der 1. Randbedingung ergibt sich: 0 0 0 0 0
01 2� � � � �
� �� �( ) ( ) sin cosA B BB
Aus der 2. Randbedingung ergibt sich: 0 03 2� � � �
� � �
� �
� �( ) ( ) sin
.
L L A kL
kL n bzw k nL
Durch die Einf�hrung der Randbedingungen wurde verursacht, dass nur f�r ganzbestimmte ganzzahlige n-fache von L�sungen gefunden werden �
L(� Quantisierung).
Nach Normierung ergeben sich die Wellenfunktionen als L�sung. � �n L
nL
x� ���
���
2 sin
Dabei ist �n� eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.
0 L
V = 0 V = �V = �
�1 �2 �3
PC-II-02 Seite 2 von 17 WiSe 09/10
Das Teilchen wird durch seine Wellenfunktion repr�sentiert. In einem Kasten derL�nge L kann ein Teilchen durch mehrere Wellenfunktionen repr�sentiert werden.Das Teilchen kann bei einer Messung eine der Wellenfunktionen einnehmen.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh�ngigkeit vom Ort erh�lt manaus dem Quadrat der Wellenfunktion. F�r den untersten m�glichen Zustand (n = 1)erh�lt man die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens. Dien�chste m�gliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit (n = 2) zeigt jedoch gerade in derMitte des Kastens �berhaupt keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit. (Dies ist�klassisch� unsinnig bzw. unm�glich.)
Teilchen im Kasten
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0% 20% 40% 60% 80% 100%
X [% von L]
Wel
lenf
unkt
ion
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
Teilchen im Kasten
00,20,40,60,8
11,21,41,61,8
2
0% 20% 40% 60% 80% 100%
X [% von L]
Aufe
ntha
ltswa
hrsc
hein
lichk
eit
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
PC-II-02 Seite 3 von 17 WiSe 09/10
Mathematische Formulierung der Quantenmechanik
Einige Gr��en haben sich als Erhaltungsgr��en in der klassischen Mechanikherausgestellt. Es darf zu keinen widerspr�chlichen Interpretationen zwischenklassischer und quantenmechanischer Beschreibung kommen. Daher ist es nahe-liegend, dieselben Gr��en als Erhaltungsgr��en in der Quantenmechanik zupostulieren.
1. ErhaltungsgrÄÅen
Sowohl in der klassischen wie auch in der Quantenmechanik sind Energie, Masse,Impuls und Drehimpuls Erhaltungsgr��en.
Aufgeben wollen wir auch das Prinzip der st�rungsfreien Messung. Ein �Mindest-ma�� an Wechselwirkung ist n�tig, um eine Messung durchf�hren zu k�nnen. DerBegriff Wechselwirkung ist also von zentraler Bedeutung f�r eine Messung, aberauch generell.
2. Messung
Messung bedeutet Wechselwirkung zwischen einem messenden und einemgemessenen System. Ohne Wechselwirkung kein Me�ergebnis. Wechselwirkungbedeutet aber Reduktion auf einige wenige spezielle Zust�nde (Quantisierung) f�rdie �berhaupt eine Wechselwirkung zwischen beiden Systemen (messendes undgemessenes) existiert.
Wir k�nnen keinerlei Aussagen �ber ein System machen f�r �ber alle Zeitpunkte zudenen keine Messung durchgef�hrt wird. Nur zu den (diskreten) Messzeitpunktenerhalten wir ein Messergebnis. Dieses kann nur gewonnen werden, wenn die beiden(gleichberechtigten) Systeme, messendes und gemessenes, miteinander wechsel-wirken.
3. Messergebnis
Zu dem Zeitpunkt der Messung nimmt das gemessene System - verursacht durchdie Messung selbst - einen der m�glichen Zust�nde ein. Die diesen Zustandcharakterisierenden Werte f�r messbare Gr��en k�nnen als Messergebnis erhaltenwerden. Die m�glichen Messwerte nennt man Eigenwerte.
Zu allen Zeitpunkten an denen keine Messung durchgef�hrt wird, befindet sich dasSystem in einer �berlagerung aller m�glichen Zust�nde (Eigenzust�nde).Superpositionsprinzip (Schr�dinger�s Katze)
Um Messergebnisse vorherberechnen zu k�nnen, brauchen wir eine mathematischeRepr�sentation unserer Theorie(n).
PC-II-02 Seite 4 von 17 WiSe 09/10
4. Mathematische ReprÇsentation
Teilchen wie auch Wellen wollen wir einheitlich als Wellen mathematischbeschreiben.
Die Wellenfunktion enth�lt alle Informationen die �ber ein Teilchen/eine Welle�berhaupt m�glich sind.
Die Wellenfunktion selbst kann nicht beobachtet (gemessen) werden. In der�Regel ist die Wellenfunktion eine komplexe (dreidimensionale) Funktion.
Die Messung wird durch Anwendung eines Differentialoperators auf dieWellenfunktion dargestellt. Zu jeder m�glichen Messung gibt es einen�korrespondierenden Operator .��
Die m�glichen Messwerte, d.h. Eigenwerte , erh�lt man durch Anwendung des�Operators auf die Wellenfunktion . Eigenwerte sind die Ergebnisse, die die�� �Wellenfunktion - bis auf einen Vorfaktor der keine Wellenfunktionsanteile mehrenth�lt - reproduzieren. Nur Eigenwerte sind m�gliche Me�ergebnisse.
Operatoren, als nichtlineare Funktionen, sind in der Regel nicht in der Reihenfolgevertauschbar. Es muss die Reihenfolge der Ausf�hrung strikt beachtet werden.
Zur �bertragung von Formeln aus der klassischen Mechanik ersetzen wir die Gr��edie gemessen werden soll durch den zugeh�rigen Operator. Sofern wir einenEigenwert erhalten, so ist dies einer der m�glichen Me�werte.
Der bekannteste Operator ist der Energie-Operator oder Hamilton-Operator .�H
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PC-II-02 Seite 5 von 17 WiSe 09/10
Formulierung quantenmechanischer Gleichungen�bersetzung klassischer in quantenmechanische Gleichungen
Um eine klassische Gleichung in eine quantenmechanische Gleichung zu ��ber-setzen� f�hren wir die Operatoren ein und wenden diese auf die Wellenfunktion an:Beginnen wir einmal mit den Operatoren, die wir f�r die L�sung des �Teilchen-im-Kasten�-Problems ben�tigen.
Die Abk�rzung steht f�r .� � �h
2�
Der Operator wird Nabla-Operator genannt und ist ein vektorieller�� �
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x
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Meist wird einfach nur statt geschrieben. Der Operator wird Laplace-��� � 2
Operator genannt und ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators:
1 3
2 2
2 2
2
22
D D
Energie E E Em x
Vm
V
Impuls pi x i
Ort r x r
kin pot� � � � � � �
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2
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��x y z
PC-II-02 Seite 6 von 17 WiSe 09/10
Den Drehimpulsoperator k�nnen wir analog zu dem klassischen Drehimpulserrechnen:
� � �L r pxyz
ix
iy
iz
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yz
zy
zx
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xy
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Fassen wir die uns nun bekannten Operatoren zusammen, so lauten diese:
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V
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� � � �
� � �
� � � �
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��
�� �
22
2
PC-II-02 Seite 7 von 17 WiSe 09/10
Quantenmechanik des Teilchens im 1D-Kasten
Wie wir bereits gezeigt haben, sind die normierten Wellenfunktionen des Teilchensim Kasten:
Dabei ist n eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.
Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung bzw. ist nicht me�bar.
Das Teilchen wird durch seine m�glichen Wellenfunktionen repr�sentiert. In einemKasten der L�nge L kann ein Teilchen durch mehrere Wellenfunktionenrepr�sentiert werden. Das Teilchen wird bei einer Messung eine derWellenfunktionen einnehmen.
0 L
V = 0 V = �V = �
�1 �2 �3
� �n L
nL
x� ���
���
2 sin
Teilchen im Kasten
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0% 20% 40% 60% 80% 100%
X [% von L]
Wel
lenf
unkt
ion
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
PC-II-02 Seite 8 von 17 WiSe 09/10
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh�ngigkeit vom Ort erh�lt manaus dem Quadrat der Wellenfunktion.
F�r den untersten m�glichen Zustand (n = 1) (rote Kurve) erh�lt man die maximaleAufenthaltswahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens. F�r n = 2 (orange Kurve) istdiese jedoch gerade in der Mitte des Kastens Null. Dies ist �klassisch� unsinnig bzw.unm�glich.
A x x xn n n( ) ( ) ( )*� �� �
Teilchen im Kasten
00,20,40,60,8
11,21,41,61,8
2
0% 20% 40% 60% 80% 100%
X [% von L]
Aufe
ntha
ltswa
hrsc
hein
lichk
eit
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5
PC-II-02 Seite 9 von 17 WiSe 09/10
Erwartungswert des Ortes
Bei einer Vielzahl von Messungen des Ortes des Teilchens k�nnen wir �ber dasErgebnis einer einzelnen Messung keine Vorhersagen machen. Wenn jedoch einestatistisch gro�e Anzahl von Messungen durchgef�hrt wird, dann k�nnen wir vorher-sagen, welchen Wert wir erwarten im Mittel vorzufinden, den Erwartungswert.
Die zugeh�rige Stammfunktion findet man in Tabellenwerken oder unterhttp://integrals.wolfram.com/index.jsp
Damit ergibt sich als Erwartungswert des Ortes:
Der Erwartungswert f�r eine Ortsmessung ist also die Mitte des Kastens.
x x dx
LnL
x xL
nL
x dxL
x nL
x dx
n n
L L
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*
sin sin sin2 2 2
0
2
0
x ax x x axa
axa
sin ( ) sin( ) cos( )22
242
42
8� � ��
xL
x x nL
x
nL
nL
x
nL
LL L n
LL
nL
nL
L
nL
nL
nL
nL
nL
L
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��
24
2
4
2
8
24
2
4
2
8
04
0 2 0
4
2 0
8
2
2
0
2
2
2
sin cos
sin cos sin cos
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�
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�� �
��
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2
2
2 2
24
1
8
1
82L
LnL
nL
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PC-II-02 Seite 10 von 17 WiSe 09/10
Eigenwerte der Energie
Um zu pr�fen, ob es Eigenwerte der Energie gibt, m�ssen wir die Schr�dinger-Gleichung f�r das Teilchen im Kasten l�sen.
Da wir annehmen (siehe oben), dass das Potential innerhalb des Kastens gleichNull und au�erhalb gleich unendlich ist, ist der einzige Energiebeitrag die kinetischeEnergie. Es ist also zu l�sen:
Setzen wir die ein, dann ergibt sich:� n
Das Teilchen im Kasten besitzt also Energieeigenwerte die au�er von der Massedes Teilchens vom Quadrat der L�nge des Kastens abh�ngen.
Da n = 1, 2, 3, .... ist, ist die niedrigste m�gliche Energie . Die Energie E hmL1
2
28�
E = 0 kann nicht vorkommen! Diese kleinste m�gliche Energie nennt manNullpunktsenergie. Eine derartige Energie ist in der klassischen Physik nichtbekannt. Wir werden noch sehen, dass diese Energie f�r sehr wichtige Effekte
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2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 22
22
22
22
8
m x m x LnL
x
m L xnL
nL
x
m LnL
nL
x
mnL L
nL
x
h nmL
n
n
n
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sin
cos
sin
sin
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2
22
2
8
8
� � � �
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hmL
E
mit E n hmL
n n n
n
� �
PC-II-02 Seite 11 von 17 WiSe 09/10
verantwortlich ist.
Anmerkung: Um den Term Nullpunktsenergie besser in der Formel abzubilden,findet man in manchen Quellen f�r die Energieniveaus des Teilchens im Kasten
auch die Formel mit n = 0, 1, 2, ... und .E n hmLn � �( )1
82
2
2 E hmL0
2
28�
Wie wir leicht sehen, ist eine Vergr��erung der Teilchenmasse m mit einerproportionalen Abnahme der Energieniveaus verbunden. Eine Vergr��erung derKastenl�nge L jedoch f�hrt zu einer �berproportionalen Abnahme (quadratisch) derEnergieniveaus.
Die Energieniveaus des Teilchens im Kastens k�nnen mittels spektroskopischerMethoden nicht direkt beobachtet werden. Die Aufnahme bzw. Abgabe vonPhotonen misst den Energieunterschied zwischen den erlaubten Niveaus.
Eigenwerte des Impulses
Wir pr�fen nun, ob der Impuls des Teilchens im Kasten Eigenwerte hat:
Der Impuls hat also keinen Eigenwert und l�sst sich nicht scharf messen.
(Frage: Wie sieht es aus, wenn wir unterteilen in Teilchen die nach �links� undTeilchen die nach �rechts� fliegen?)
m � 2m L � 2L
� ��E n nhmL
E h passendes PhotonEnergieniveaus
photon
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�
22
12
2
28� (' ' )
� sin cospi x i x L
nL
xi
nL L
nL
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PC-II-02 Seite 12 von 17 WiSe 09/10
Die Eulersche IdentitÇt
Wir k�nnen Wellenfunktionen als trigonometrische Funktionen darstellen. Diesehaben aber recht �schwierige� Rechenregeln.
Praktischer ist es Wellenfunktionen als komplexe e-Funktionen darzustellen.
Dabei k�nnen folgende Umrechnungsformeln verwendet werden:
e kx i kx
e kx i kx
ikx
ikx
� �
� ��
cos sin
cos sin
bzw.
Addition e e kx
Subtraktion e e i kx
ikx ikx
ikx ikx
: cos
: sin
� �
� �
�
�
2
2
bzw.
cos ( )
sin ( )
kx e e
kxi
e e
ikx ikx
ikx ikx
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��
�
�
�
12
2
PC-II-02 Seite 13 von 17 WiSe 09/10
Der Tunneleffekt
Wir wollen eine Wellenfunktion konstruieren, die von -� bis +� definiert ist.
Als Testfunktionen wollen wir verwenden:
�
�
�
1 1 2
2 1 2
3 1 2
( )( )( )
' '
x A e A ex B e B ex C e C e
ikx ikx
k x k x
ikx ikx
� �
� �
� �
�
�
�
Es wird angenommen, dass au�erhalb der Barriere der Wellenvektor k ist und inner-halb der Barrier k�.
Die zu erf�llenden Randbedingungen sind:
1 0 02
3
4
1 2
2 3
10
20
2 3
. ( ) ( ). ( ) ( )
. ( ) ( )
. ( ) ( )
� �� �
��� �
��
��� �
��
��
�
�
L L
xx
xx
xx
xx
L L
In den Testfunktionen sind insgesamt 6 Variablen zu bestimmen, wir haben aber erstvier Randbedingungen aus der Forderung nach Stetigkeit und Stetig-Differenzierbar-keit der Wellenfunktion.
Wir gehen davon aus, dass es bei nur eine auslaufende Welle (~ C1) aber keine� 3
r�cklaufende Welle gibt (d.h. C2 = 0).
Da wir immer noch eine Gleichung zu wenig haben, um das Gleichungssystemeindeutig zu l�sen, ziehen wir uns auf die Bestimmung des Verh�ltnisses zweierVariablen zur�ck, und zwar der Amplitude der einlaufenden Welle A1 und derAmplitude der auslaufenden Welle C1.
Physikalisch interpretierbar ist das Verh�ltnis des Quadrates der beiden Amplituden,denn es gibt an, wie wahrscheinlich ein Teilchen durch diese Barriere durchtritt. Diesbezeichnet man als Transmission T.
0 L
V = 0 V = V
�1 �2 �3
V = 0Einlaufende Welle ~ A
Reflektierte Welle ~ B
Transmittierte Welle ~ E
PC-II-02 Seite 14 von 17 WiSe 09/10
Damit ergibt sich:
1234
1 2 1 2
1 2 1
1 2 1 2
1 2 1
... ' '. ' '
' '
' '
A A B BB e B e C eikA ikA k B k Bk B e k B e ikC e
k L k L ikL
k L k L ikL
� � �
� �� � �
� �
�
�
Wir formen die Gleichungen 3 und 4 um, indem wir durch ik bzw. k� teilen.
Als n�chstes bilden wir (1)-(3) und (2)-(4) und (2)+(4):
Diese drei Gleichungen setzen wir in (1) ein.
A B B A
B B B Bkik
B B
B Bkik
B B
eikk
e eikk
e e C
kik
eikk
e eikk
e e C
k L k L k L k L ikL
k L k L k L k L ikL
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
12
12
12
12
12
12
12
12
12
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( )'( )
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' ' ' '
eikk
e eikk
ekik
e ekik
e e e C
e e ikk
e e kik
e e e ee C
k L k L k L k L k L k L k L k L ikL
k L k L k L k L k L k L k L k LikL
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12
2 2 2 212
1
1
TCA
� 12
12
� �
12
3
4
1 2 1 2
1 2 1
1 2 1 2
1 2 1
..
. '
.'
' '
' '
A A B BB e B e C e
A A kik
B B
B e B e ikk
C e
k L k L ikL
k L k L ikL
� � �
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� �
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�
( ) ( )'( )
( ) ( )'
( ) ( )'
'
'
1 312
2 412
1
2 412
1
2 1 2 1 2
1 1
2 1
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���
�
A B Bkik
B B
Bikk
e e C
Bikk
e e C
ikL k L
ikL k L
PC-II-02 Seite 15 von 17 WiSe 09/10
Wir verwenden nun die Hyperbelfunktionen cosh '
sinh '
' '
' '
k Le e
k Le e
k L k L
k L k L
��
��
�
�2
2
Damit folgt: A k L i kk
kk
k L e CikL1 12 1
2� � ��
�����
���
���
cosh ''
' sinh '
Das Verh�ltnis der Intensit�ten der einlaufenden Welle und der auslaufenden Welle
erhalten wir aus:1 1
2
12
1 1
1 1
1
1
1
1TAC
A AC C
AC
AC
� � ����
������
���
*
*
*
Mit ergibt sich:cosh sinh . cosh sinh2 2 2 21 1x x bzw x x� � � �
Es folgt dann:
T k Lkk
kk
k L
k Lk k
k k
k Lk k k k k k
k k
k Lk k k
� � � ����
���
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���
� �� � ��
��
���
�
��
�
��
� ��
�
�
�
114
114
4
114
4 2
114
2
22
2
1
22 2 2 1
22 2 4 2 2 4
2 2
1
24 2
sinh ''
'sinh '
sinh ''
'
sinh '' ' '
'
sinh ''2 4
2 2
1
22 2 2 1
22
1
114
114
����
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��
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kk k
k Lk k
kk
kk
kk
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k L i kk
kk
k L e k L i kk
kk
k L e
k L i kk
kk
k L k L i kk
kk
k L k L
kk
kk
k
ikL ikL1 1
1 1
2
22
2 2
2 2
14
*
* cosh ''
' sinh ' cosh ''
' sinh '
cosh ''
' cosh ' sinh ''
' cosh ' sinh '
'' sinh
� � ����
���
���
���
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���
� ����
���
� ����
���
�
'
sinh ''
' sinh '
L
k L kk
kk
k L� � � ����
���
1 14
22
2
PC-II-02 Seite 16 von 17 WiSe 09/10
F�r ein freies Teilchen (im Potential V = 0) gilt:
� � � � ��
�
2 2
2
2
22
220 2
m xE bzw
xk mit k mE�
�� � �
�� �.
F�r ein Teilchen im Potential V �o gilt:
� � � � � ��
�
2 2
2
2
2 222 0
m xE V bzw
xm E V�
�� �
��
� �( ) . ( )
Es sind nun zwei F�lle zu unterscheiden: E > V und E < V
E > V ist der Fall, bei dem auch klassisch das Teilchen die Barriere �berwindenkann. Dies ist auch das Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung (die hiernicht durchgef�hrt wird).
Wir wollen hier den Fall E < V weiter untersuchen (= gebundenes Teilchen)
Damit ergibt sich:
��
� �
��
� �
2
2 2
2
2
22
2
1 2 0
0 2
xm V E
xk mit k m V E
� � ���
��
��� �
� � ��
( ) ( )
' ' ( )
�
�k� ist reellwertig.
Wir setzen ein: .k mE und k m V E� �
�2 22 2� �
' ( )
Damit folgt:
T mEm V E
m V EmE
m V E L
EV E
V EE
m V E L
EV E
EV E
V EE
V EE
m V E L
� ��
���
��
�
�� ��
���
�
���
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22
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22
1
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sinh ( )
sinh ( ) �
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2
1
22
2
2
1
1 14
2 1 2
1 14
2
1 14
2
EV E
VE
m V E L
E V VE VE EE V E
mL V E
VE V E
mL V E
sinh ( )
( )sinh ( )
( )sinh ( )
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PC-II-02 Seite 17 von 17 WiSe 09/10
Wir f�hren folgende Abk�rzungen ein: � � ��
EV
und Dm V E
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2 ( )
Damit folgt: TEV
EV
LD
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1 14
1
1
2
1
sinh
Mit sinh .
sinh ( )
x e e bzw
LD
e e e fÄr LD
x x
LD
LD
LD
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214
14
12 2 2
folgt:
T e e
e
e
ee
LD
LD
LD
LD
LD
LD
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11
14
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16 116 1
16 1
16 1
16 1 16 1
2 1 2 1
2 1
2
2
2
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( )( )( ) ( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
Die Tunnelwahrscheinlichkeit T h�ngt also ab von der Energie E des Teilchens, derBarrierenh�he V und der Masse m des Teilchens.
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.htmlRohrer und Binning (1986)U.a. D.M. Eigler : STM rounds up electron waves at the QM corral. Physics Today 46 (1993) 17-19.
http://de.wikipedia.org/wiki/TunneleffektAuftreten und Anwendungen1 Kernfusion in der Sonne2 Biologische Evolution3 Alphazerfall4 Zwei-Elektroden-Tunneln5 Feldelektronen- / Feldionenmikroskop6 Tunneldiode7 Supraleitung8 Rastertunnelmikroskop9 Magnetischer Tunnelwiderstand10 Tunneleffekt (Lichttunnel durch Lichthaut)
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