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10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 1
Vorlesung 28:
Roter Faden: Heute:
Hydrodynamik bei Flüssigkeiten und Gasen
Versuche: turbulente StrömungGeschwindigkeitsprofilBernoulliPrandtlsches Staurohr
Barometrische HöhenformelKaminWindkanal, Tragfläche
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 2
Gase
Gase: Ansammlung von Teilchen ohne oder sehr geringe Anziehungskräfte. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten und Festkörper Expansion über das ganze Volumen und durch Druck komprimierbar.Zustand beschrieben durch drei Variablen: p,V,T. Zustandsgleichung: pV=mRT oder p = ρ RT (Allgemeine Gasgleichung).T=Temperatur= Maß für Ekin der Moleküle: Ekin=½m<v2>=3/2 kT(k=Boltzmann-Konstante=1,38 10-23 J/K und pV = NkT)
Kompressibilität: κ = -1/V δV/δp=0 für Flüssigkeit und κ = 1/p für Gas.(δV/δp=-V/p)
Gewichtskraft/Fläche= Druck p = mg/A = -ρgh. Oder dp = -ρg dh. Bei Flüssigkeit: ρ=konst ⇒ p=p0+ρghBei Gas: ρ=p/RT=konst. p ⇒
(p=p/2 für h=5.5 km in Luft)
p
h
p=p0 exp( -ρ0gh/p0 )
Barometrische Höhenformel:
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 3
Barometrische Höhenformel
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 4
Zug im Kamin
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 5
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Geschwindigkeitsverteilung:Wahrscheinlichkeitsverteilung: f(vz) ∝ exp (-E/kT) ∝ exp(-½mvz
2/kT) (Gauß-Verteilung)
Für alle Richtungen: f(v) = f(vx)f(vy)f(vz) ∝ exp(-½mv2/kT)
Anzahl der Moleküle im Geschwindigkeitsintervall v bisv+dv: n(v)dv = ∫ f(v) dvx dvy dvz ∝ 4πv2 exp(-½mv2/kT)(da Spitzen der Geschwindigkeitsvektoren der Länge v bis v+dv eineKugelschale mit dem Volumen 4πv2 dv ausfüllen)
Maxwell-Boltzmann:
n(v)dv
v (m/s)
T=70K
T=270K
400
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 6
Hydrodynamik
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 7
Stromlinien bei laminaren Strömung
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 8
Turbulente Strömung
Turbulenz entsteht durch Reibung zwischen den Rand-schichten der Flüssigkeiten oder zwischen Flüssigkeit und Wand ⇒Durchmischung der Stromlinien (Wirbel)
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 9
Bernoulli Gleichung
Energie-Erhaltung: Druckleistet Arbeit: W=∆Ep+∆Ek∆Fds=∆PAvdt=∆1/2mv2+mg∆h
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 10
Beispiele
P1+ ρgh
P2+½ ρv22
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 11
Prandtlsches Staurohr
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 12
Steigrohr nach Bernoulli
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 13
Windkanal
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 14
Tragfläche
Dichte der Stromlinien (=Weltlinie eines ‘Staubkorns’)Je dichter die Stromlinien, je höher Geschwindigkeit,da Av konstant ist (Kontinuitätsgesetz)
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 15Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 15
Hydrodynamisches Paradoxon
Ansaugen wenn ∆P = P0-P1 = ½ ρv2 > mg/A
P0
P1
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 16Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 16
Magnus-Effekt
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 17
Strahlquerschnitt beim Wasserhahn
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 18Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 18
Laminare Strömung durch Rohre
F rvInnere Reibung: F=ηA dv/dr
dv/dy GeschwindigkeitsgradientF=Kraft um Flüssigkeit mit Konstanter Geschwindigkeitzu transportierenη = Viskosität
F=πr2 dp = η 2 πrL dv/dr
v(r)= ∫dv = dp/4 η L ∫ rdr =r2dp/8 η LDies ist Rotationsparaboloid.
Volumen/Zeit durch Zylinder mit Radien zwischen r und r+dr:dVdr/dt = 2πrdr v(r) ⇒ V = ∫ 2πr r2dp/8 η L dr = π R4/8 η dp/L
Oder allgemein: V = π R4/8 η dp/dz (Hagen-Poiseuille Gesetz)(dp/dz = lineare Druckgefälle entlang des Rohres)
10 Februar 2004 Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 19Physik I, WS 03/04, Prof. W. de Boer 19
Viskosimeter
Kugel fällt in visköser Flüssigkeit.Nach einiger Zeit gleichförmige Bewegung.Dann gilt: Gewichtskraft – Auftrieb +Reibung = 0
Empirisch gilt: FR= -6πηRK v. (Stokessches Gesetz)
Daher: 4/3πRK3g(ρK- ρFl) -6πηRK v = 0
Aus gemessener Geschwindigkeit v und bekannterKugelradius RK und Dichten ρ kann η bestimmtwerden
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