w-rechnung und statistik für ingenieure Übung 13 · nächste woche: probeklausur bringen sie sich...
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Nächste Woche: ProbeklausurBringen Sie sich ein leeres Exemplar der Probeklausur mit, um sicheine “Musterlösung” zu erstellen.
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 1 : Testproblem
Testproblem:
Betrachten wieder den Datensatz BLECH.DAT:
> BLECH
[1] 346 363 360 318 346 268 299
287 310 349 333 365 281 265 344
Frage: Wird im Mittel ein Wert kleiner als 310 angenommen?
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 1 : Teststatistik
Entscheide mich gegen H0 : µ ≥ 310, falls 310 − x groß, genauer:Teststatistik:
wobei N=15, µ0 = 310. P-Wert:
PH0
(√15
310 − X
s(X )> T (x)
)
= PH0
(√15
−(310 − X )
s(X )< −T (x)
)
= PH0
(√15
X − 310
s(X )< −T (x)
)
= Ft14(−T (x))
Ft14(−T (x)) Verteilungsfunktion in −T (x) der t14-Verteilung.
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 1 : Berechnung des P-Werts
Bestimme den P-Wert für BLECH.DAT:
> N<-length(BLECH)
> mu0<-310
> TS<-sqrt(N)*(mu0-mean(BLECH))/sd(BLECH)
> TS
[1] -1.354669
> pt(-TS,df=N-1)
[1] 0.9015088
oder
> t.test(BLECH,alternative="less",mu=mu0)$p.value
[1] 0.9015088
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 1 : Alternative Entscheidungsregel
Alternative zu P-Wert:Entscheide gegen H0, falls
> alpha<-0.05
> #kritischer Wert
> qt(1-alpha,df=N-1)
[1] 1.76131
> #lehne H0 ab, falls TS>kritischer Wert
> TS>qt(1-alpha,df=N-1)
[1] FALSE
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 1 : Darstellung der Gütefunktion
Gütefunktion:
γ(µ) = Pµ(Entscheidung für H1) = Ft14(
√N
µ−µ0σ
)(−tN−1,1−α)
> mus<-seq(200,400,0.5) #Ausgewertete mu’s
> plot(mus,pt(-qt(1-alpha,df=N-1),df=N-1,
+ ncp=sqrt(N)*(mus-mu0)),type="l",
+ main="G"utefunktion",ylab="",lwd=3,ylim=c(0,1))
> abline(h=alpha,lwd=2,lty=2) #Linie bei Niveau zeichnen
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 1 : Plot der Gütefunktion
200 250 300 350 400
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gütefunktion
mu
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 2(a) : Testproblem
Nun wollen wir Aussagen zur Streuung testen. Wir nehmenweiterhin an, dass Daten normalverteilt sindTestproblem:
Entscheidungsregel:
Genauer:
T (x) = (N − 1)s(x)
σ0
= (15 − 1) · s(x)
30,
Lehne H0 ab, falls T (x) > χ2
N−1;1−α
2oder T (x) < χ2
N−1;α2,
wobei χ2
N−1,α
2das α
2Quantil einer χ2-Verteilung mit N-1
Freiheitsgraden bezeichnet.
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 2(a) : Berechnung in R
> N<-length(BLECH)
> alpha<-0.05
> s0<-30
> TS_var<-(N-1)*sd(BLECH)/s0
> k1<-qchisq(1-alpha/2,df=N-1)
> k2<-qchisq(alpha/2,df=N-1)
> TS_var>k1
[1] FALSE
> TS_var<k2
[1] FALSE
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 2(b) : Testproblem
Testproblem:
Lehne H0 ab, falls s(x)30
klein.Genauer:
T (x) = (N − 1)s(x)
σ0
= (15 − 1) · s(x)
30,
Entscheidungsregel:Lehne H0 ab, falls T (x) < χ2
N−1;α
(α-Quantil der χ2
N−1-Verteilung)
Der Test heißt Ein-Stichproben χ2(Chi-Quadrat)-Test
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 2(b) : Berechnung in R
> TS_var<-(N-1)*sd(BLECH)/s0
> k<-qchisq(alpha,df=N-1)
> TS_var<k
[1] FALSE
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Vergleich von Blechproben
Haben zuzätzlich zu BLECH Daten einer zweiten Produktionslinie:
364, 339, 289, 304, 362, 324, 314, 330, 301, 274, 319, 314, 326, 328, 310
Fragen:Unterscheiden sich die Blechdicken der beiden Produktionslinien imMittel (Erwartungswert)?Unterscheiden sie sich in der Streuung (Varianz)?
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Tests für Mittelwert
Testproblem:
H0 : µBLECH1 = µBLECH2 gegen H1 : µBLECH1 6= µBLECH2
Mögliche Tests:
Zweiseitiger t-TestVoraussetzungen:
Welch-Zweiseitiger t-TestVoraussetzung:
Wilcoxon-Test
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Annahme einer Normalverteilung
Verwenden ein graphisches und ein statistisches Verfahren:
graphisch :
qqnorm(xdata)
statistisch:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Q-Q-Normal-Plot
> qqnorm(BLECH,pch=16) #Anfertigen des Plots
> qqline(BLECH,lwd=3) #Linienbreite ändern
> qqnorm(BLECH2,pch=16) #Anfertigen des Plots
> qqline(BLECH2,lwd=2) #Linienbreite ändern
−1 0 1
280
300
320
340
360
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
−1 0 1
280
300
320
340
360
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
Ergebnis:W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Shapiro-Wilk-Test
Nullhypothese des Tests: Normalverteilung liegt vor
> shapiro.test(BLECH)
Shapiro-Wilk normality test
data: BLECH
W = 0.9063, p-value = 0.1189
> shapiro.test(BLECH2)
Shapiro-Wilk normality test
data: BLECH2
W = 0.9679, p-value = 0.8254
Ergebnis:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Varianzen
Testproblem:
2 Produktionslinien, daher 2 ungepaarte Stichproben
Zweiseitiger Varianztest (F-Test) braucht normalverteilteDaten
Teststatistik:
Entscheidungsregel:
Lehne H0 : σBLECH1 = σBLECH2 ab, falls s(x)2
s(y)2> FN1−1;N2−1; 1 − α
2
oder s(x)2
s(y)2< FN1−1;N2−1;
α
2.
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Test der Varianzen in R
> var.test(BLECH,BLECH2)
F test to compare two variances
data: BLECH and BLECH2
F = 2.1144, num df = 14, denom df = 14, p-value = 0.1736
alternative hypothesis: true ratio of variances is not
equal to 1
95 percent confidence interval:
0.7098594 6.2978609
sample estimates:
ratio of variances
2.114378
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Mittelwerte
Testproblem:
Varianzen können als gleich angenommen werden (Vgl. F-Test)
Normalverteilung wird angenommen (Vgl. Q-Q-Normal-Plotund Shapiro-Wilk-Test)
Zwei-seitiger t-Test für zwei Stichproben
Teststatistik:
T (x , y) =
√
N1N2
N1 + N2
|x − y |s12(x , y)
Entscheidungsregel:
Lehne H0 ab, falls√
N1N2N1+N2
|x−y |s12(x ,y)
> tN1+N2−2;1−α
2
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Test der Mittelwerte in R
> t.test(BLECH,BLECH2,var.equal=T)
Two Sample t-test
data: BLECH and BLECH2
t = 0.2184, df = 28, p-value = 0.8287
alternative hypothesis: true difference in means is not
equal to 0
95 percent confidence interval:
-20.11148 24.91148
sample estimates:
mean of x mean of y
322.2667 319.8667
Entscheidung:W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Welch-Zweiseitiger t-Test
> t.test(BLECH,BLECH2,alternative=’’two.sided’’
+ ,var.equal=F)$p.value
[1] 0.8289144
> t.test(BLECH,BLECH2,alternative=’’two.sided’’
+ ,var.equal=F)$statistic
t
0.2183853
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 3 : Wilcoxon-Test
Alternativer Test für die Mittelwerte, der keine Normalverteilungbraucht:
> wilcox.test(BLECH,BLECH2,alternative=’’two.sided’’)
Wilcoxon rank sum test with continuity correction
data: BLECH and BLECH2
W = 121.5, p-value = 0.7243
alternative hypothesis: true location shift
is not equal to 0
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Streudiagramm der Daten
Stellen Druckfestigkeit und Festbetonrohdichte dar:
110 120 130 140 150 160 170 180
2.45
2.50
2.55
Druck
Fes
tbet
onro
hdic
hte
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Tests auf Zusammenhang
Testproblem:H0 : ρ = 0 gegen H1 : ρ 6= 0
Zweiseitiger Korrelations-Test basierend aufKorrelationskoeffizienten von PearsonVoraussetzungen:
Zweiseitiger Korrelations-Test basierend auf SpearmanschenRangkorrelationskoeffizienten
χ2-Test, vor allem auch für nominale Merkmale
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Prüfen einer Normalverteilung der Daten (1)
> shapiro.test(beton$Druck)$p.value
[1] 0.01221
> shapiro.test(beton$Festbetonrohdichte)$p.value
[1] 0.003074
Entscheidung:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Prüfen einer Normalverteilung der Daten (2)
> qqnorm(beton$Druck,pch=16)
> qqline(beton$Druck,lwd=3)
> qqnorm(beton$Festbetonrohdichte,pch=16)
> qqline(beton$Festbetonrohdichte,lwd=3)
−2 −1 0 1 2
110
130
150
170
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
−2 −1 0 1 2
2.45
2.50
2.55
Normal Q−Q Plot
Theoretical Quantiles
Sam
ple
Qua
ntile
s
Entscheidung:W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Test auf Zusammenhang
Benutze aufgrund der Datenanalyse den Korrelations-Test basierendauf Rangkorrelationskoeffizienten!
> cor.test(Festbetonrohdichte,Druck,method="spearman")
Spearman’s rank correlation rho
data: beton$Festbetonrohdichte and beton$Druck
S = 211725.2, p-value = 6.456e-05
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
rho
0.3495386
Ergebnis:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Ergebnis des ungeeigneten t-Tests
Was passiert, wenn wir den Test anwenden, für welchen dieVoraussetzungen nicht erfüllt waren?
> cor.test(Festbetonrohdichte,Druck,method="pearson")
Pearson’s product-moment correlation
data: beton$Festbetonrohdichte and beton$Druck
t = 3.5794, df = 123, p-value = 0.0004938
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
0.1390387 0.4580485
sample estimates:
cor
0.3071468
Ergebnis:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Aufgabe 4 : Ergebnis des χ2-Test
Was ergibt der bei stetigen Daten ungenaue χ2-Test?
> chisq.test(table(beton$Festbetonrohdichte,beton$Druck))
Pearson’s Chi-squared test
data: table(beton$Festbetonrohdichte, beton$Druck)
X-squared = 7022.9, df = 6804, p-value = 0.03127
Warnmeldung:
In chisq.test(table(beton$Festbetonrohdichte, beton$Druck))
Chi-Quadrat-Approximation kann inkorrekt sein
Ergebnis:
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Zusammenfassung : Univariate Stichproben
Test für den Erwartungswert (mittleren Wert) Voraussetzungt-Test (t.test) Normalverteilung
H0 : µ = µ0
t.test(..,alternative=”two.sided”,..)
H0 : µ ≥ µ0
t.test(..,alternative=”less”,..)
H0 : µ ≤ µ0
t.test(..,alternative=”greater”,..)
Wilcoxon-Test (wilcox.test) -
Test für die Varianz VoraussetzungEin-Stichproben χ2-(Chi-Quadrat)-Test Normalverteilung
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Zusammenfassung : Bivariate Stichproben
Tests auf Zusammenhang VoraussetzungPearson-Korrelationstest Normalverteilung
H0 : ρ = 0 kein Zusammenhangcor.test(x,y,method=”pearson”)
Spearmanscher-Rang-Korrelationstest -H0 : ρ = 0 kein Zusammenhang
cor.test(x,y,method=”spearman”)
χ2(Chi-Quadrat)-Test (wenige verschiedene Werte)auf Unabhängigkeit
H0 : kein Zusammenhangchisq.test(table(x,y))
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
Zusammenfassung : Univariate, gepaarte Stichproben
Test für den Vergleich der Varianzen VoraussetzungF-Test oder Varianz-test für 2 Stichproben Normalverteilung
var.test(x,y,..)
Test für den Vergleich der Mittelwerte Voraussetzung2-Stichproben-t-Test NVt., gleiche Varianz
t.test(x,y,var.equal=TRUE)
2-Stichproben-t-Test NVt.t.test(x,y,var.equal=FALSE)
Wilcoxon-Test -wilcox.test(x,y)
W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 13
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