warteschlangen modelle marie-therese stumberger bettina totz
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Warteschlangen Warteschlangen ModelleModelle
Marie-Therese StumbergerMarie-Therese Stumberger
Bettina TotzBettina Totz
Dynamik von WarteschlangenDynamik von Warteschlangen Eins der besten Beispiele:Eins der besten Beispiele:
Disney WorldDisney World Konstruktion, Kapazitäts- und Konstruktion, Kapazitäts- und
Layoutplanung, Verwaltung des Layoutplanung, Verwaltung des Inventars, Zeitablaufplanung Inventars, Zeitablaufplanung (scheduling)(scheduling)
Warum sich Warum sich Warteschlangen bildenWarteschlangen bilden Warten auf BedienungWarten auf Bedienung Menschen, Maschinen, Menschen, Maschinen,
VerkaufsaufträgeVerkaufsaufträge Momentane Unausgeglichenheit Momentane Unausgeglichenheit
zwischen Nachfrage und zwischen Nachfrage und KapazitätKapazität
Beispiel (Bank)Beispiel (Bank)
15 Kunden kommen in einer 15 Kunden kommen in einer Stunde anStunde an
20 Kunden können bedient 20 Kunden können bedient werdenwerden
Mittlere Bedienrate >Mittlere Bedienrate >
mittlere Ankunftsratemittlere Ankunftsrate
=> trotzdem Warteschlange=> trotzdem Warteschlange
Struktur von Struktur von Warteschlangen-Warteschlangen-ProblemenProblemen Input – Customer PopulationInput – Customer Population Warteschlange von KundenWarteschlange von Kunden BedieneinrichtungBedieneinrichtung PrioritätsregelPrioritätsregel
Customer population
Warteschlange
Prioritäts-regel
Bedien-einrichtung
Bediente Kunden
Bediensystem
Customer PopulationCustomer Population
Quelle für den Input des Quelle für den Input des BediensystemsBediensystems
Endliche InputquelleEndliche Inputquelle Unendliche InputquelleUnendliche Inputquelle Geduldige/ungeduldige KundenGeduldige/ungeduldige Kunden
Das BediensystemDas Bediensystem
Anzahl der BedienungskanäleAnzahl der Bedienungskanäle
Bedieneinrichtungen Bedieneinrichtungen
Mehrere SchlangenEinzelne Schlange
Ausstattung der Ausstattung der BedieneinrichtungBedieneinrichtung
Personal, BetriebsmittelPersonal, Betriebsmittel Optimale AusstattungOptimale Ausstattung
Abhängig von Kundenanzahl und Abhängig von Kundenanzahl und der Art der angebotenen Leistungder Art der angebotenen Leistung
Einzelner oder mehrere Einzelner oder mehrere ArbeitsschritteArbeitsschritte
PrioritätsregelPrioritätsregel
FCFS – First come, first serveFCFS – First come, first serve SPT – shortest expected SPT – shortest expected
processing processing time time EDD – earliest promised due dateEDD – earliest promised due date Prä-emptivPrä-emptiv
Verwendung von Verwendung von Warteschlangen-Modellen zur Warteschlangen-Modellen zur Analyse von Arbeitsabläufen Analyse von Arbeitsabläufen (operations)(operations)
Vorteile der Effizienzsteigerung Vorteile der Effizienzsteigerung vs. dadurch entstehende Kostenvs. dadurch entstehende Kosten
Kosten durch das NichtverbessernKosten durch das Nichtverbessern
1.1. SchlangenlängeSchlangenlänge
2.2. Anzahl der Kunden im SystemAnzahl der Kunden im System
3.3. WartezeitWartezeit
4.4. Gesamte Zeit im SystemGesamte Zeit im System
5.5. Nutzung der BedieneinrichtungNutzung der Bedieneinrichtung
Betriebseigenschaften des Systems
Wahrscheinlichkeits-Wahrscheinlichkeits-verteilungenverteilungen Ankunftszeiten folgen oft einer Ankunftszeiten folgen oft einer
PoissonverteilungPoissonverteilung::
Erwartungswert u. Varianz sind Erwartungswert u. Varianz sind λλTT
Tn
en
TnTNP
!für n=0,1,2,…
Beispiel (Kundenbüro)Beispiel (Kundenbüro)
Wie groß ist die Ws., dass in der Wie groß ist die Ws., dass in der nächsten Stunde 4 Kunden nächsten Stunde 4 Kunden kommen?kommen?
– Ankunftsrate:Ankunftsrate: λλ=2=2– Zeitperiode:Zeitperiode: T=1T=1– Anzahl der Kunden:Anzahl der Kunden: n=4n=4
090,03
2
!4
241 22
4
eeNP
Ankunftszeiten – PoissonprozessAnkunftszeiten – Poissonprozess
=> Zwischenankunftszeiten => Zwischenankunftszeiten exponentialverteilt exponentialverteilt
TeTtP 1
Bedienzeiten oft exponentialverteiltBedienzeiten oft exponentialverteilt
Mittlere Bedienzeit:Mittlere Bedienzeit:
Varianz:Varianz:
TeTxP 1
1
xE
2
1
xVar
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Dichtefunktion der Exponentialverteilung
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
λ=2λ=1λ=0,5
λ=2λ=1λ=0,5
Beispiel (Kundenbüro)Beispiel (Kundenbüro)
Wie groß ist die Ws., dass ein Wie groß ist die Ws., dass ein Kunde weniger als 10 min Kunde weniger als 10 min Bedienzeit hat?Bedienzeit hat?
– Bedienrate:Bedienrate: μμ=3=3– Zeitperiode:Zeitperiode: T=1/6T=1/6
39,011 2
1
6
13
61
eetP
GedächtnislosigkeitGedächtnislosigkeit
A/B/sA/B/s M/M/s (memoryless)M/M/s (memoryless)
Single-Server Model (M/M/1)Single-Server Model (M/M/1)
Customer Population unendlichCustomer Population unendlich
Kunden geduldigKunden geduldig Ankunft poissonverteiltAnkunft poissonverteilt Bedienzeiten exponentialverteiltBedienzeiten exponentialverteilt FCFSFCFS Warteschlange unbeschränktWarteschlange unbeschränkt
Operative EigenschaftenOperative Eigenschaften
Auslastung des Systems
nnP )1( Ws., dass n Kunden im System sind ( 1 nP )
L mittlere Anzahl an Kunden im System
LLq mittlere Anzahl an Kunden in der Warteschlange
1W mittlere Zeit im System
WWq mittlere Wartezeit
Beispiel (Supermarkt)Beispiel (Supermarkt)
Eigene Kassa für SeniorenEigene Kassa für Senioren 30 Kunden/Stunde bezahlen30 Kunden/Stunde bezahlen 35 Kunden bedienen35 Kunden bedienen
857,035
30
Der Kassier ist 85,7% seiner Zeit beschäftigt.
63035
30
L Im Schnitt sind 6 Senioren im System.
14,56857,0 LLq Im Mittel warten 5,14 Kunden auf ihre Bedienung.
20,03035
11
W Im Schnitt verbringen die Kunden 12
Minuten im System.
17,02,0857,0 WWq Die mittlere Wartezeit beträgt gute 10 Minuten.
Welche Bedienrate wäre Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass die Kunden notwendig, so dass die Kunden nur 8 min im System sind?nur 8 min im System sind?
1W 52,3730
133,0
11
W
Wie hoch ist dann die Ws., dass Wie hoch ist dann die Ws., dass mehr als 4 Kunden im System mehr als 4 Kunden im System sind?sind?
)4(1)4( nPnP
328,0672,01)1(114
0
4
0
n
n
nnPP
mit 80,052,37
30
Welche Bedienrate wäre Welche Bedienrate wäre notwendig, so dass diese Ws. Nur notwendig, so dass diese Ws. Nur 10% beträgt?10% beträgt?
5432 )1)(1(1 P
63,0)10.0( 5
1
5
1
P
62,4763,0
30
Multiple-Server Model Multiple-Server Model (M/M/s)(M/M/s)
Wählen einen der Wählen einen der Bedienungskanäle, wenn einer Bedienungskanäle, wenn einer frei istfrei ist
Ein ArbeitsschrittEin Arbeitsschritt Gleiche Annahmen wie bei M/M/1Gleiche Annahmen wie bei M/M/1 Zusätzlich: Bedienungskanäle Zusätzlich: Bedienungskanäle
identischidentisch
Operative EigenschaftenOperative Eigenschaften
s
für
für
Auslastung des Systems
11
00 1
1
!
1
!
1
ss
n
n
snP
Ws., dass kein Kunde im System ist
sn 0
sn
0
0
!
1
!
1
Pss
Pn
Ps
sn
n
n
Wahrscheinlichkeit, dass n Kunden im System sind
02)1(!
1P
sL
s
q
mittlere Anzahl an Kunden
in der Warteschlange
q
q
LW mittlere Wartezeit
1
qWW mittlere Zeit im System
WL mittlere Anzahl an Kunden im System
Beispiel (Verladestation)Beispiel (Verladestation)
4 Ablade-Stationen4 Ablade-Stationen Pro Station ein Arbeitsteam - Pro Station ein Arbeitsteam -
$30/h$30/h Verlust - $50/hVerlust - $50/h 3 LKWs pro Stunde3 LKWs pro Stunde Team benötigt 1 Stunde fürs Team benötigt 1 Stunde fürs
AusladenAusladen
Wie hoch sind nun die stündlichen Wie hoch sind nun die stündlichen Kosten dieses Betriebs?Kosten dieses Betriebs?
75,041
3
s
0377,075.01
1
24
8113
1
1
!
1
!
111
1
00
ss
n
n
snP
53,10377,0)75,01(
75,0
24
81
)1(!
1202
Ps
Ls
q
51,03
53,1
q
q
LW
51,1151,01
qWW
53,451,13 WL LKWs im System
Lohnkosten $30∙s=$30∙4 = $120,00
Verlust der LKWs$50∙L=$50∙4
,53= $226,50
Gesamte Kosten/Stunde $346,50
Finite-Source ModelFinite-Source Model
Gleiche Annahmen wie Single-Gleiche Annahmen wie Single-Server außer:Server außer:
Customer Population endlich (N)Customer Population endlich (N)
Operative EigenschaftenOperative Eigenschaften
1
00 )!(
N
n
n
nN
NP
Ws., dass kein Kunde im System ist
01 P Auslastung des Systems
)1( 0PNLq
mittlere Anzahl an Kunden
in der Warteschlange
)1( 0PNL
mittlere Anzahl an Kunden im System
1)( LNLW qq mittlere Wartezeit
1)( LNLW mittlere Zeit im System
Beispiel (Roboter)Beispiel (Roboter)
10 Roboter in Betrieb10 Roboter in Betrieb Zeit zwischen Ausfälle: 200 Zeit zwischen Ausfälle: 200
StundenStunden Pro Stunde Ausfall Kosten von Pro Stunde Ausfall Kosten von
$30$30 10 Stunden für Reparatur10 Stunden für Reparatur Arbeiter bekommt $10/hArbeiter bekommt $10/h
Wie hoch sind nun die täglichen Kosten Wie hoch sind nun die täglichen Kosten für den Arbeiter und der ausgefallenen für den Arbeiter und der ausgefallenen Maschinen?Maschinen?
005,0200
1 Ausfälle pro Stunde
10,010
1 Roboter werden pro Stunde bedient
538,010,0
005,0
)!10(
10
)!(
110
0
1
00
n
nN
n
n
nnN
NP
462,01 0 P oder 46,2%
30,0462,0005,0
105,010)1( 0
PNLq
Roboter in der Warteschlange
76,0462,0005,0
10,010)1( 0 PNL
Roboter im System
49,6005,024,930,0)( 11 LNLW qqStunden Wartezeit
45,16005,024,976,0)( 11 LNLW Stunden im System
Lohnkosten$10∙8∙0,46
2= $ 36,96
Verlust durch Ausfall
$30∙8∙0,76 = $182,40
Gesamte Kosten/Tag $219,36
Entscheidungsbereich Entscheidungsbereich des Managementsdes Managements
1.1. AnkunftsrateAnkunftsrate
2.2. Anzahl der BedienungseinrichtungenAnzahl der Bedienungseinrichtungen
3.3. Anzahl der ArbeitsschritteAnzahl der Arbeitsschritte
4.4. Anzahl der Bediener pro Anzahl der Bediener pro BedieneinrichtungBedieneinrichtung
5.5. Effizienz der BedienerEffizienz der Bediener
6.6. PrioritätsregelPrioritätsregel
7.7. Anzahl der WarteschlangenAnzahl der Warteschlangen
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