wieviel mathematik braucht ein hai? · beispiele: delfin ! schiffsrumpf pinguin ! flugzeugrumpf...
Post on 18-Oct-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Wieviel Mathematik braucht ein Hai?—
Oberflächenformen bei schleichenden Filmströmungen
A. Rund 1,2
12. Mai 2006
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
���
��
���+x
JJ
JJJ]z
1Lehrstuhl für Technische Mechanik und Strömungsmechanik2Lehrstuhl für Ingenieurmathematik
Evolution und Optimierung
Evolution: biologische Form → optimale Anpassung an Lebensraum
Beispiel: Meereswelt
• Seit 420 Millionen Jahren entwickeln sich Meeresbewohner
• Nur die stärksten und schnellsten überleben
⇒ heutige Arten: Optimierte Körperformen, Bewegungsarten
; Bionik: Diese Formen lassen sich technisch nutzen
2
Bionische Ansätze
Grundprinzip der modernen Bionik:
Energieeinsparung primär durch Widerstandsminimierung
Denn: Geringerer Widerstand ⇒ schnellere Bewegung möglich,weniger Energieverbrauch.
Beispiele:
Delfin → Schiffsrumpf
Pinguin → Flugzeugrumpf
Lotus-Blüte → Windschutzscheibe, Fenster
Haihaut → Flugzeug, Schwimmanzüge
3
Haie - die ökonomischen Flieger der Meere
4
Modelle und Experimente
5
Technische Anwendung
6
Optimierung der Oberflächenform bei Filmströmungen
Freie Oberfläche ; Freies Randwertproblem (!)
7
Wieviel Mathematik braucht der Hai?
8
Wieviel Mathematik braucht der Hai?
→ Hai braucht keine Mathematik
8
Wieviel Mathematik braucht der Hai?
→ Hai braucht keine Mathematik
Fazit:
Mathematik
oder
420 Mio Jahre trial and error
8
Outline
1. Motivation und Einführung√
2. Problemstellung
(a) Aufstellen des Modells
(b) Analytische Vorarbeiten
(c) Diskretisierung
3. Untersuchte Bodenkonturen
4. Ergebnisse
9
Das Strömungsproblem
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
���
��
���+x
JJ
JJJ]z
Bodenplatte:
Strömungen werden gegeben durch ihr Geschwindigkeitsfeld ~v(x, y, z).
Annahme einer „ebenen Strömung“: ~v(x, z) = u(x, z)~ex + w(x, z)~ez
10
Die Navier-Stokes-Gleichungen
Fluide: Flüssigkeiten und Gase
Bewegungsgleichungen für Newtonsche Fluide (Luft, Wasser, Öle, Gase)
%
[
∂~v
∂t+ (~v · ∇)~v
]
= −∇p+ η∆~v + %~g ,
∇ · ~v = 0 .
mit η: Viskosität des Fluids (Maßfür Zähigkeit)%: Dichte des Fluidsp: Druck (Skalarfeld)
; Nur sehr wenige exakte Lösungen bekannt
; Numerisch nicht einfach zu behandeln
11
Eine Ersatzproblem: Die Stokes-Gleichungen
%[
∂~v∂t
+ (~v · ∇)~v]
= −∇p+ η∆~v + %~g
Trägheit vs. Reibung
Annahmen:
• Schleichende Strömung: Vernachlässigung der Trägheit: (~v ·∇)~v = 0
• Stationär: ∂~v∂t
= 0
→ Stokes-Gleichungen: ~0 = −∇p+ η∆~v + %~g linear!
12
Stokes-Gleichungen → Bi-Laplace-Gleichung
Stokes-Gleichungen
↓
Strömungsmechanik:Entdimensionierung
+ Einführung einer Stromfunktion ψ
↓
∆∆ψ = 0
„Bi-Laplace-Gleichung“, skalar, 4. Ordnung
; Nachzulesen in DA oder [1]
13
Problemformulierung
∆∆ψ = 0
Randbedingungen:
• Haftbedingung
• kinematische Randbedingung
• dynamische Randbedingung
• Periodiziätsbedingung
G�
��
��+x
JJ
JJJ]z
@@
@I
Boden b
?
freie Oberfläche
Oberfläche des Films unbekannt ; Freies Randwertproblem
14
Ausgangspunkt: Der ebene Boden
��
��
��z
@@
@@
@@
@@
@R xβ
@R@@R
@@R
u(z)
?g̃
Abbildung 1: Filmströmung an einer geneigten ebenen Wand
; Parabolisches Geschwindigkeitsprofil
Exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen!
15
Gewellte Bodenkonturen:
Es gibt auch überhängende Bodenkonturen:
6z
-x
→ Formulierung der Bodenkontur als ebene, differenzierbare Kurve:
b : [−t0, t0] → �
2, t→ (b1(t), b2(t))
2π-periodisch:b2(t+ 2t0) = b2(t) ,
b1(t+ 2t0) = b1(t) + 2π .(1)
Einschränkung: Kontur achsensymmetrisch zur z-Achse
; b2(t) sei gerade Funktion, b1(t) ungerade.16
Komplexe Formulierung
Einführung einer komplexen Koordinate: ξ := 12
(
z + ix)
Bodenkurve:β : � → � , t→ 1
2(b2(t) + ib1(t)) . (2)
Freie Oberfläche wird als eben angenommen:
ϕ(t) =1
2(h+ ib1(t)) . (3)
h
6
?
17
Lösungsformel für ∆∆ψ = 0
Nebenbedingungen: ψ(x, z) 2π-periodisch in x-Richtung, reellwertig.
↓
Potentialtheorie:Superposition,
holomorphe FunktionenPeriodizität
Lösungsformel
ψ = hz2 − z3
3+ 2<(R(ξ) + zQ(ξ))
mit Q(ξ),R(ξ) holomorph, in x-Richtung 2π-periodisch
noch zu erfüllen: Haftbedingung, Holomorphiebedingungen
18
Methode
Gesucht: Q,R (holomorph)
1. Bestimmung von Q,R auf dem Rand von G:
→ Randbedingungen
2. Sicherung der Holomorphie durch zusätzliche Bedingungen
3. Rekonstruktion von Q,R im Inneren von G:
Cauchysche IntegralformelQ(ξ) = 1
2πi
∫
γ
Q(ζ)ζ−ξ
dζ
19
zu 1.: Einführung von Randfunktionen
unterer Rand:
Q(ξ = β(t)) =: Qβ(t) = Q1(t) + iQ2(t)
R(ξ = β(t)) =: Rβ(t) = R1(t) + iR2(t)
oberer Rand:
Ebene Oberfläche + RBs liefern Qϕ = const, Rϕ = const
⇒ Zu bestimmen sind 4 reelle Funktionen Q1, Q2, R1, R2
; aus Haftbedingung, Holomorphiebedingungen (Herleitung siehe DA, [1])
20
Einige technische Transformationen
Gesucht: Q1, Q2, R1, R2 Vorhanden: Viele Gleichungen
↓
Elimination von GleichungenPartielle IntegrationFourierentwicklung
↓
Gesucht: Q′
1, Q′
2 Vorhanden: Weniger Gleichungen
; Nachzulesen in DA oder [1]
21
Ergebnis: Unendlichdimensionales System
Q′
1(t) :=∞∑
k=1
Aksin(
kt πt0
)
Q′
2(t) :=∞∑
k=1
Bkcos(
kt πt0
)
0 =t0∫
−t0
e−nb2 [cos(nb1)Q′
2 − sin(nb1)Q′
1] dt n = 1, . . . ,∞
0 =t0∫
−t0
e−nb2[
1n
(
h− b2 − 1n
)
cos(nb1)b′
1 + . . .]
dt
22
Reihenabbruch: Eindeutig bestimmtes LGS
Q′
1(t) :=N∑
k=1
Aksin(
kt πt0
)
Q′
2(t) :=N∑
k=1
Bkcos(
kt πt0
)
0 =t0∫
−t0
e−nb2 [cos(nb1)Q′
2 − sin(nb1)Q′
1] dt n = 1, . . . ,N
0 =t0∫
−t0
e−nb2[
1n
(
h− b2 − 1n
)
cos(nb1)b′
1 + . . .]
dt
⇓ Numerische Integration
lineare algebraische Gleichungen für Ak,Bk
23
Nachlaufende Berechnungen
Nach numerischem Lösen dieses LGS, lassen sich alle weiteren Grös-sen bestimmen, speziell:
• Stromfunktion ψ: Konstruktion der holomorphen Funktionen im Inne-ren
• Ebener Volumenstrom / Durchfluss ψs
; Stromlinienbilder zur Interpretation
24
3. Klassen von Bodenkonturen
Feste Bodenkontur ; Lösen eines LGS.
Folgende einparametrige Scharen von Konturen wurden untersucht:
• Harmonischer Boden
b2(t) = −a cos(t)
• Hügelkette
• Logarithmischer Boden
• Überhängende Kontur
b(t)
- x−π π
6
z6
?
2a
25
Ergebnisse
→ Wirbelbildung bei steigender Amplitude
26
Übereinstimmung mit Experiment
27
Hügelkette
Abgebrochene Fourierreihe. Möglichst flach in x = 0.
b2(t) := − a16
[
15cos(t) − 6cos(2t) + cos(3t)]
Hügelketten der Ordnungen 1, 3, 10 bei gleicher Welligkeit
28
Überhängende Kontur
b1(t) := π tt0
+ 14a2sin
(
2π tt0
)
b2(t) := −acos(
π tt0
)
t0 := π√
1 + a2
2+ a4
4
Welligkeiten 0.8, 1.5, 2.0, skaliert
29
Überhängende Kontur
b1(t) := π tt0
+ 14a2sin
(
2π tt0
)
b2(t) := −acos(
π tt0
)
t0 := π√
1 + a2
2+ a4
4
Welligkeiten 0.8, 1.5, 2.0, skaliert
29
Logarithmische Kontur: Idee
Idee: Der Ansatz der Bodenkontur soll die Gleichungen vereinfachen!
→ Gleichungen:π∫
−π
e−nb2(t) . . .dt
30
Logarithmische Kontur: Idee
Idee: Der Ansatz der Bodenkontur soll die Gleichungen vereinfachen!
→ Gleichungen:π∫
−π
e−nb2(t) . . .dt
; Ansatz: b2(t) := −ln(f(t))
30
Logarithmische Kontur: Ansatz
b2 := −ln(c0 + c1 · cos(t))
c0 := c0(a)
c1 := c1(a)
}
⇒ b2 = ba2(t)
→ 1-parametrische Kurvenschar
a = 1
a = 3
a = 11
31
Logarithmische Kontur: Konsequenzen
e−nb2 = (c0 + c1 cos t)n
→ analytische Fourier-Zerlegung!
32
Logarithmische Kontur: Konsequenzen
e−nb2 = (c0 + c1 cos t)n
→ analytische Fourier-Zerlegung!
Weitere Folgen: b2(t) hat analytische Fourier-Zerlegung
↓
Trigonometrische Integrale entstehen ;(((((((((((((((((hhhhhhhhhhhhhhhhhIntegrationsfehler
↓Analytische Formulierung des LGS!
→ Bonus Effekt: Ak = Bk ; Halbierung der Dimension des LGS
32
Homogene Gleichungen für logarithmischen Boden
∑Nk=1P
1nk
(
Ak −Bk) = 0 n = 1, . . . , N
Eigenschaften der Koeffizienten Matrix P 1:
• Koeffizienten sind unabhängig von Modenzahl N
• LU-Zerlegung analytisch angebbar
• LU-Zerlegung analytisch invertierbar
⇒ P 1 invertierbar ⇒ Ak = Bk
Gilt auch für „N = ∞“; analytisch lösbares unendlichdim. LGS
33
Inhomogene Gleichungen für logarithmischen Boden
∑Nk=1PnkAk = qn n = 1, . . . , N
Man entdeckt eine additive Aufspaltung:
P = P 1 + P 2
P1: Matrix aus homogenem System.
Eigenschaften:
• Koeffizienten unabhängig von Reihenabbruch N
• Erkenntnisse aus dem homogenen System nutzbar
• P1 ist ”dominierend” ; Vorkonditionierung
34
Beispielmatrizen
P1 =
1.0 0.5 0 0 0 0 01.0 1.5 1.0 0.2 0 0 00.7 1.9 2.5 1.9 0.7 0.1 00.5 1.7 3.5 4.3 3.5 1.7 0.50.3 1.4 3.7 6.5 7.8 6.5 3.70.2 1.0 3.4 7.6 12 14 120.1 0.7 2.8 7.7 15 23 26
P2 =
−0.3 0.08 −0.03 0.02 −0.008 0.005 −0.003−0.2 0.03 −0.01 0.003 −0.001 7 · 10−4 −3 · 10−4
−0.1 0.01 −0.003 0.001 −3 · 10−4 1 · 10−4 6 · 10−5
−0.05 0.005 −0.001 2 · 10−4 7 · 10−5 3 · 10−5 1 · 10−5
−0.03 0.002 3 · 10−4 7 · 10−5 2 · 10−5 6 · 10−6 2 · 10−6
−0.01 0.001 1 · 10−4 2 · 10−5 6 · 10−6 2 · 10−6 5 · 10−7
−0.007 4 · 10−4 5 · 10−5 8 · 10−6 2 · 10−6 4 · 10−7 1 · 10−7
35
Vorkonditionierung
Idee: LGS von links mit regulärer Matrix multiplizieren.
Matrix sollte der Inversen der Systemmatrix möglichst nahe kommen!
Hier: Inverse von P 1 verwenden ⇒ Sehr gute Vorkonditionierung:
N cond(
E + P−11 P2
)
cond(
P)
5 1.9 · 100 4.8 · 102
10 2.1 · 100 1.5 · 106
20 2.2 · 100 3.6 · 1013
30 2.2 · 100 1020
40 2.2 · 100 1023
50 2.2 · 100 1026
36
Auswirkungen auf die Numerik
Frühere Berechnungen:
Harmonischer Boden: Maximal N = 30, Digits = 150 benötigt.
→ Dauer: ein WE
Berechnungen mit logarithmischem Boden:
• Maximal N = 110.
• Hardware-Stellengenauigkeit reicht: Digits = 15
; Sehr schnelle Berechnungen (≈ 1 h)
• Bis N = 20 ist das LGS sogar analytisch lösbar
Digits = 5
37
Optimierung des Materialtransportes
Ziel: Optimierung des Materialtransportes
Benötigt: Zielgröße
Mittlere Transportgeschwindigkeit:
6
?
h
6
?
h
- x−xt xt
��
��
���+
Separatrix
ut := ψs
h
Rezirkulationsgebiet trägt nicht zum Materialtransport bei!
38
Optimierung des Materialtransportes
Ziel: Optimierung des Materialtransportes
Benötigt: Zielgröße
Mittlere Transportgeschwindigkeit:
6
?
h
6
?
h
- x−xt xt
��
��
���+
Separatrix
ut := ψs
h
Rezirkulationsgebiet trägt nicht zum Materialtransport bei!
; Bestimmung der Separatrix aus der Stromfunktion
38
Zielgröße:
Optimierung der mittleren Transportgeschwindigkeit ut = ψs
h
Vorgegeben: Ebener Volumenstrom ψs
→ Vergleich mit ebenem Boden: h0 := 3
√
32ψs
39
Zielgröße:
Optimierung der mittleren Transportgeschwindigkeit ut = ψs
h
Vorgegeben: Ebener Volumenstrom ψs
→ Vergleich mit ebenem Boden: h0 := 3
√
32ψs
Maß für Materialtransport: ∆h := h− h0
Anhebung der Filmhöhe im Vergleich zu ebenem Boden.
39
4. Ergebnisse: Hügelketten
e
sf
sf
sf
e
sf
Relative effect
↓
0.06%
e
sf
0.3%0 π/3 2π/3 π a 4π/3 5π/3
b1
b3
b10
−0.2
0
0.2
0.4
∆h
0.6
0.8
h0 = 20π
Peak arrays
e onset of primary vortexsf onset of higher vortex
40
4. Ergebnisse: Hügelketten
b10
e
sf
b3
e
sf
b1e
sf
sf
sf
0 π/3 2π/3 π
Peak arrays
a 4π/3 5π/3−0.2
0
0.2
0.4
∆h
0.6
0.8
h0 = 3π
e onset of primary vortexsf onset of higher vortex
41
4. Ergebnisse: Hügelketten
b10
e
sf
b3
e
sf
b1e
sf
sf
sf
0 π/3 2π/3 π
Peak arrays
a 4π/3 5π/3−0.2
0
0.2
0.4
∆h
0.6
0.8
h0 = 3π
e onset of primary vortexsf onset of higher vortex
Relative effect
↓
0.9%
41
Peak Array 10: Variation des Volumenstroms
-0.012
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0 5 10 15 20
∆hh0
a = 1.6π
h0-0.012
-0.010
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0 5 10 15 20
a h0,opt ∆h/h0
1.6π 3.8π -0.010
1.7π 3.5π -0.0116
1.8π 3.4π -0.012
42
Peak Array 10: Variation des Volumenstroms
-0.012
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0 5 10 15 20
∆hh0
a = 1.6π
h0-0.012
-0.010
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0 5 10 15 20
a h0,opt ∆h/h0
1.6π 3.8π -0.010
1.7π 3.5π -0.0116
1.8π 3.4π -0.012
↑Maximaler Effekt bei b10 und h0 = 3.8π: ≈ 1%
42
4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:a = 0.92, N = 50 a = 1.1, N = 50 a = 1.7, N = 100
a = 2.2, N = 100 a = 2.7, N = 100 a = 2.9, N = 110
43
4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 1 2 3 4 5 6
∆h
=h−h
0
Welligkeit a
∆h mit h0 = 20π const.
Logarithmischer BodenHarmonischer BodenPeaktrail Ordnung 3Peaktrail Ordnung 10
44
4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 1 2 3 4 5 6
∆h
=h−h
0
Welligkeit a
∆h mit h0 = 20π const.
Logarithmischer BodenHarmonischer BodenPeaktrail Ordnung 3Peaktrail Ordnung 10
→ Absenkung der Filmhöhe schon bei niedrigerer Welligkeit.
44
4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:
Woran erkennt man eine zu niedrige Modenzahl N?
45
4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:
Woran erkennt man eine zu niedrige Modenzahl N?
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
h−h
0
Welligkeit a
Log: ∆h mit h0 = 20π const.
N=50N=60N=70N=100N=110
45
Zusammenfassung
Methodik:
• Anwendung von Funktionentheorie auf ein 2-dim. Strömungsproblem
• Fourier-Entwicklung → lineares Gleichungssystem
• Auswahl repräsentativer Bodenkonturen
• Parameterstudien zu diesen Konturen
Ergebnisse der numerischen Berechnungen:
• Berechnete Strömung ist in sehr gutem Einklang mit Experiment
• Man findet einen verbesserten Materialtransports i.Ggs. zu dem ebe-nen Boden
46
Quellen
[DA]: Diplomarbeit
[1]: Scholle, Wierschem, Aksel. Creeping films with vortices over stron-gly undulated bottoms, Acta. Mech. 2004
[2]: Scholle, R., Aksel. Drag reduction and improvement of materialtransport in creeping films, Arch Appl Mech 2005
[3]: Wierschem, Scholle, Aksel. Vortices in film flow over strongly undu-lated bottom profiles at low Reynolds numbers, Physics of Fluids, 2003
47
top related