CHRISTIAN BLATTER

ANALYSIS EINS

ETHZStudiengange

Mathematik und Physik

Wintersemester 2003/04

01. Oktober 2003 / c© cbl.

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Diese “Analysis” ist zum ersten Mal 1974 bei Springer erschienen. Sie hatseither mehrere Auflagen erlebt, ist aber im Buchhandel nicht mehr erhaltlich.Der vorliegende Nachdruck ist eine Weiterentwicklung der letzten Buchaus-gabe aus dem Jahr 1991. Insbesondere wurden samtliche Figuren neu ge-zeichnet und Zwischentitel eingefugt; es gibt aber auch zahlreiche inhaltlicheVerbesserungen.

Der Text ist eingeteilt in Kapitel, und jedes Kapitel ist weiter unterteiltin Abschnitte. Formeln, die spater noch einmal benotigt werden, sind ab-schnittweise mit mageren Ziffern nummeriert. Innerhalb eines Abschnittswird ohne Angabe der Abschnittnummer auf Formel (1) zuruckverwiesen;3.4.(2) hingegen bezeichnet die Formel (2) des Abschnitts 3.4.

Neu eingefuhrte Begriffe sind am Ort ihrer Definition halbfett gesetzt; eineweitergehende Warnung (“Achtung, jetzt kommt eine Definition”) erfolgtnicht. Definitionen lassen sich vom Sachverzeichnis her jederzeit wieder auf-finden.

Satze (Theoreme) sind kapitelweise nummeriert; die halbfette Signatur (4.3)bezeichnet den dritten Satz in Kapitel 4. Satze werden im allgemeinen ange-sagt; jedenfalls sind sie erkenntlich an der vorangestellten Signatur und amdurchlaufenden Schragdruck des Textes. Die beiden Winkel undbezeichnen den Beginn und das Ende eines Beweises.

Eingekreiste Ziffern nummerieren abschnittweise die erlauternden Beispieleund Anwendungen. Der Kreis © markiert das Ende eines Beispiels.

Jeder Abschnitt wird durch eine Serie von Ubungsaufgaben abgeschlossen.Das sind einesteils Begriffs- oder Beweisaufgaben, zu einem grossen Teil aberauch Rechenaufgaben. Letztere konnen nicht nur mit Papier und Bleistift,sondern auch mit einem System wie Maple oder Mathematica behandelt wer-den.

Von Anfang an bezeichnen

N die (Menge der) naturlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . ,Z die ganzen Zahlen,Q die rationalen Zahlen,R die reellen Zahlen,C die komplexen Zahlen,B (fur “Bits”) die Menge {0, 1}.Von diesen Zahlensystemen wird im Text noch ausfuhrlich die Rede sein.

Inhaltsverzeichnis Analysis Eins

1 Grundbegriffe

1.1 Zur mathematischen Logik . . . . . . . . . . . . . . . . 1Einige nutzliche Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Einige logische Grundtatsachen . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Reden uber Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Beziehungen zwischen Individuen . . . . . . . . . . . . . 18Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Aquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Begriff der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Bilder und Urbilder von Teilmengen . . . . . . . . . . . . 26Surjektiv, injektiv, bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . 27Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Einschrankungen und Fortsetzungen . . . . . . . . . . . . 30Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Zusammensetzung von Abbildungen . . . . . . . . . . . . 32Familien und Tupel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Zahlen und Vektoren

2.1 Die naturlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Die Peano-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Induktionsbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Anzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Geordnete Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Korperaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Betrags- und Signumfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Konstruktion von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Ganze und rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 52Dualbruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

iv Inhaltsverzeichnis

Reelle Zahlen, intuitiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Intervallarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Beliebig genaue Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Validierung der Korpereigenschaften . . . . . . . . . . . . 59Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Supremum und Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Maximum vs. Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5 Abzahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Abzahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ein fundamentaler Satz der Mengenlehre . . . . . . . . . . 75

2.6 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Konstruktion des Korpers C . . . . . . . . . . . . . . . . 79Elementare Eigenschaften von C . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7 Der n-dimensionale euklidische Raum . . . . . . . . . . . 85

3 Funktionen und Folgen

3.1 Erscheinungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Erweiterung des Horizonts . . . . . . . . . . . . . . . . 89Typologie der Funktionen in diesem Buch . . . . . . . . . . 90

3.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Definition und Grundeigenschaften . . . . . . . . . . . . . 104Stetigkeit der Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . 110Erganzungen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Bezug zur Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Rechenregeln fur Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . 121Abschliessung von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Uneigentliche Grenzlagen und Grenzwerte . . . . . . . . . . 126

3.4 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Ein mathematisches Konstruktionswerkzeug . . . . . . . . . 130Rechenregeln und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 131Haufungspunkte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 135Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Inhaltsverzeichnis v

4 Grundlegende Existenzsatze

4.1 Falle garantierter Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . 140Monotone Funktionen und Folgen . . . . . . . . . . . . . 140Anwendung: q-te Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Das Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.2 Der Satz von Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . 148lim sup und lim inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.3 Kompakte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152“Topologische” Eigenschaften von Mengen . . . . . . . . . 152Der Satz von Heine-Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4.4 Hauptsatze uber stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . 159Der Satz vom Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Gleichmassige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5 Reihen

5.1 Folgen von Partialsummen . . . . . . . . . . . . . . . . 169Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Erste Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Restsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.2 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Majorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Reihen mit exponentiell abnehmenden Gliedern . . . . . . . 174An der Grenze zur Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.3 Bedingt konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 179Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Umstellung der Reihenglieder . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.4 Potenzreihen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Potenzreihen konvergieren auf Kreisscheiben . . . . . . . . . 186Produkt zweier Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Die Exponentialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6 Die Exponentialfunktion

6.1 Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Ein beruhmter Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Die Eulersche Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Die Exponentialfunktion auf R . . . . . . . . . . . . . . 197

vi Inhaltsverzeichnis

6.2 Die Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Allgemeine Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.3 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Gerade und ungerade Funktionen . . . . . . . . . . . . . 202Die hyperbolischen Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . 202Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

6.4 Die cis-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Die Eulerschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Die cis-Abbildung, geometrisch . . . . . . . . . . . . . . 207Periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

6.5 Die Argumentfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212R modulo 2π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Addition von Argumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Wurzelziehen im Komplexen . . . . . . . . . . . . . . . . 214Polarkordinaten in der (x, y)-Ebene . . . . . . . . . . . . 216

6.6 Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Weitere Eigenschaften von cos und sin . . . . . . . . . . . 218Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Tangens und Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . . . 221Formeln fur das Argument . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7 Differentialrechnung

7.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Die Ableitung, auf neue Art betrachtet . . . . . . . . . . . 225Die Ableitung als Funktion f ′ . . . . . . . . . . . . . . . 228Geometrische Interpretation der Ableitung . . . . . . . . . 229Exkurs uberdie o-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Die Ableitung der elementaren Grundfunktionen . . . . . . . 237Funktionen der Klasse Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242Globale und lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . 242Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.4 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Reellwertige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Komplex- und vektorwertige Funktionen . . . . . . . . . . 251Die Regel von Bernoulli–de l’Hopital . . . . . . . . . . . . 252Ein einfaches Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . . . 255

7.5 Konvexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Einige allgemeine Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . 261

Inhaltsverzeichnis vii

7.6 Taylor-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Qualitat von Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Konstruktion der Taylor-Polynome . . . . . . . . . . . . . 270Untersuchung des Restglieds . . . . . . . . . . . . . . . . 272Anwendung: Analyse von kritischen Punkten . . . . . . . . 275Die Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7.7 Das Newtonsche Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 280Die Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280Konvergenzverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

8 Differentialgleichungen I

8.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Mathematische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Ein Beispiel aus der Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . 288Differentialgleichungen, allgemein . . . . . . . . . . . . . 291Der Hauptsatz uber Anfangswertprobleme . . . . . . . . . 293Ein einfaches numerisches Verfahren . . . . . . . . . . . . 295Differentialgleichungen hoherer Ordnung, Systeme von Dglen . 296

8.2 Lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 299Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . 302Komplexe Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304Mehrfache Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306Inhomogene Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 308Konstruktion einer partikularen Losung . . . . . . . . . . . 309Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

8.3 Eulersche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 317Streckungsinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317Das Indexpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9 Integralrechnung

9.1 Begriff des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . 320Grundeigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . 321Teilungen und Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . 323Existenz des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

9.2 Der Hauptsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 338Aufintegrieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

viii Inhaltsverzeichnis

Uber die Technik des Integrierens . . . . . . . . . . . . . 343Die Integrale der elementaren Grundfunktionen . . . . . . . 345Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346Integral von “logarithmischen Ableitungen” . . . . . . . . . 347

9.3 Partielle Integration und Substitution . . . . . . . . . . . 349Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Anwendung: Das Wallissche Produkt . . . . . . . . . . . . 351Substitution, erste Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353Substitution, zweite Art . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.4 Integration der rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . 360Idee der Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . 360Rechenablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365Weitere Ausdrucke, die sich elementar integrieren lassen . . . 367

9.5 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Unendlich lange Zwickel . . . . . . . . . . . . . . . . . 372Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373Die Gammafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375Vergleich von Reihen mit uneigentlichen Integralen . . . . . . 377

10 Anwendungen der Integralrechnung

10.1 Differentialgleichungen II . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Zuruckfuhrung auf eine Quadratur . . . . . . . . . . . . . 381Allgemeine lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . 382Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . 385Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . 387Separierbare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . 390Speziell: x-freie Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . 394Sogenannte “homogene” Differentialgleichungen . . . . . . . 396

10.2 Die Stirlingsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403Eine Naherungsformel fur n! . . . . . . . . . . . . . . . . 403

10.3 Das arithmetisch-geometrische Mittel . . . . . . . . . . . 407

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Sachverzeichnis Analysis Eins

Abbildung 24Abbrechfehler 172, 272abgeschlossene Hulle 153abgeschlossen (Intervall) 71abgeschlossen (Menge) 153abgeschlossene reelle Achse 125Ableitung (als Funktion) 228Ableitung an einer Stelle 227absolut konvergent 173absoluter Betrag 48, 82, 86abzahlbar unendlich 72abzahlbar 72Abzahlung 72Addition 44additives Inverses 44AGM 407allgemeine Potenz 200Alphabet 19alternierende harmonische Reihe 180alternierende Reihe 179Anfangsbedingungen 288Anfangswertproblem 288Anregung 308antisymmetrisch 18Anzahl Elemente 41Aquivalenzklasse 20Aquivalenzklasse modulo 2π 212Aquivalenzrelation 19Arcuscosinus 221Arcussinus 220Arcustangens 222Areacosinus 203Areafunktionen 204Areasinus 203Areatangens 204Argumentfunktion 212arithmetisch-geometrisches Mittel 407Assoziativitat 14assoziativ 44Asymptote 129

auf (Abbildung) 27aufintegrieren 338Aufzahlung 72Aussage 1Aussageform 1aussere Verknupfung 85Auswahlfolge 136Ausziehen einer Teilfolge 137autonomes System 297

bedingt konvergent 173beidseitig uneigentl. Integral 373beliebig genaue Daten 58Bereich konstanter Breite 5Bernoulli–de l’Hopitalsche

Regel 252Bernoullische Ungleichung 39, 261beschrankt (Menge) 68bestimmtes Integral 342Betragsreihe 173Bewegungsgleichung 288bijektiv 27Bildmenge 24Bildpunkt 24Bild 26Binomialkoeffizienten 42Binomischer Lehrsatz 42binare Operation 44binare Relation 18binare Suche 164Binarzahlen 53Bogenlange 93

Cr-Funktion 240Cassinische Kurven 96Cauchy-Bedingung 144, 146Cauchy-Folge 146Cauchy-Kriterium (Folgen) 145Cauchy-Kriterium (Funktionen) 144Cauchy-Kriterium (Reihen) 171

412 Sachverzeichnis

chaotisch 148charakteristische Gleichung 289, 303charakteristisches Polynom 289, 302cis-Funktion 206Cosinus 206Cotangens 221Coulombfeld 102

Dampfungskonstante 313darstellen (Funktion) 277Definitionsbereich 24Diagonalverfahren 76Differentialgleichung

erster Ordnung 291Differentialgleichung der

harmonischen Schwingung 305Differentialgleichungn-ter Ordnung 296

Differentialoperator 300Differenzenquotient 227differenzierbar (an einer Stelle) 226differenzierbar, r-mal 239differenzierbare Funktion 228Differenzmenge 13direkter Beweis 4disjunkt 13Distributivgesetz (Korper) 45Distributivgesetze (Mengen) 14divergent (Folge) 130divergent (Reihe) 169Division 45Dreiecksungleichung 49, 82, 86, 106Dualbruchentwicklung 53Durchmesser 322Durchschnitt 13

ε-Schlauch 118ε-Umgebung 106echt gebrochen (rat. Funktion) 363Eigen-Kreisfrequenz 313Eigenfunktion 303, 389eigentlich monoton 140Eigenwert 289, 303, 389Eindeutigkeitssatz (Dgln) 293eineindeutig 27Einheitssphare 154

Einheitswurzeln 34, 215Einheitswurfel 154einschaliges Hyperboloid 98Einschrankung einer Funktion 30einseitige Ableitung 227Eins 44elementare Funktionen 239Element 11elliptisches Integral 371endlich (Intervall) 71endlich (Menge) 41endliche Folge 90Endpunkte (Intervall) 70Endstuck einer Folge 151Entropie 267Erweiterungskorper 79erzeugen (Aquivalenzklasse) 20erzeugen (Schnitt) 65euklidischer Abstand 86Eulersche Formeln 206Eulersche Zahl 195Existenzsatz (Dgln) 293existieren (uneigentl. Integral) 373Exponentialfunktion 191Exponentialreihe 191

n-faches kartesisches Produkt 34λ-faches eines Vektors 85Fakultat(funktion) 40Faltungsprodukt 189Familie 33Familie von Mengen 33fast uberall 334Fehlerschranke 56feiner (Teilung) 324Fibonacci-Folge 40, 193Fixpunkt 168Folge 34, 90Fortsetzung einer Funktion 30x-freie Differentialgleichung 394Fundamentalbereich 210Fundamentalperiode 210Fundamentalsatz der Algebra 8, 83Funktion 24, 26Funktion der Klasse Cr 240

Sachverzeichnis 413

Einheitswurzeln 34, 215Funktionalgleichung

der Exponentialfunktion 191Funktionenfolge 185Funktionenreihe 185Funktionentheorie 91Funktionsterm 24Funktionswert 24

Gammafunktion 376Gausssche Zahlenebene 81genauer Grad (Polynom) 112geographische Breite 100geographische Lange 100geometrische Reihe 169geordnet (Menge) 18geordneter Korper 47geordnetes Paar 15geordnetes n-Tupel 33gerade Funktion 202Geschwindigkeit 231gesattigt (Zahlbasis) 58Gewichtssatz 262Gitterpunkt 34Gitter 212gleich (Mengen) 12gleichmassig stetig 162Glied einer Folge 90Glied einer Reihe 169globale Maximalstelle 160globales Maximum 160Grad (Polynom) 112Graph 25Grenzwert 117, 130grosste untere Schranke 69Gruppe 45

halboffen 71harmonische Reihe 170Haufungspunkt einer Folge 135Haufungspunkt einer Menge 117Hauptsatz der

Infinitesimalrechnung 338, 341Hauptsatz uber

monotone Funktionen 166Hauptteil 362

Hauptwert des Arguments 222Hauptwert (uneigentl. Integral) 379hohere Ableitungen 239Holdersche Ungleichung 266homogene Dgl 288, 397homogene Eulersche Dgl 317homogene lineare Dgl 299, 383homogene lineare Dgl

zweiter Ordnung 387homogene Randdaten 388hyperbolische Funktionen 202hyperbolischer Pythagoras 202hyperbolischer Cosinus 202hyperbolisches Paraboloid 97

identische Abbildung 32identitiv 18imaginare Achse 81Imaginarteil 79Implikation 5implizite Funktion 32Indexgleichung 318Indexmenge 33Indexpolynom 318indirekter Beweis 4Induktionsschritt 38Infimum 68inhomogene lineare Dgl 308injektiv 27Inklusion 12Integral 327Integralkriterium fur Reihen 377Integration einer Dgl 381Integrationskonstanten 291interpolieren 257Intervall 70Intervallarithmetik 56Intervallschachtelung 77Isothermen 95

Jensensche Ungleichung 262Jet 271Jordan-Nullmenge 333

Kalkul 1Kardinalitat 41

414 Sachverzeichnis

kartesisches Produkt 16kaskadisch 53Kettenregel 235kleinste obere Schranke 68Koeffizienten (Polynom) 112Koeffizienten (Potenzreihe) 186Koeffizientenvektor 112kommutative Gruppe 45Kommutativitat 14, 44kompakt 154kompatibel (Zahlendaten) 57Komplement 13komplexe Amplitude 313komplexe Analysis 91komplexe Zahlen 80komponentenweise Addition 85Komponente 15Konjugation 81konjugiert komplexe Zahl 81konkav 257konstante Reihe 185konstituierende Gleichungen 286Kontraposition 6konvergent (Folge) 130konvergent (Reihe) 169konvergent (uneigentl. Integral) 373Konvergenzbereich 185Konvergenzkriterium von Abel 180Konvergenzradius 186konvex 257Koordinaten 85Koordinatenebene 34Koordinatenfunktionen 90Koordinatenraum 34Korn 325Korper 44kritischer Punkt 243Kronecker-Delta 300Kugelkoordinaten 102Kurzungsregel 52

Landausches o-Symbol 231Lange (endliche Folge) 90Lange (Intervall) 71Lange (Wort) 19

leere Menge 11Leibnizsche Formel 240Leibnizsche Reihe 180Lemniskate 84Lemniskate 96lexikographisch geordnet 19Limes inferior 149Limes superior 149linear geordnet 18lineare Dgl erster Ordnung 382lineare Dgl zweiter Ordnung 288lineare Konvergenz 175Linearkombination 290linksseitig stetig 113linksseitiger Grenzwert 120Lipschitz-Bedingung 104Lipschitz-stetig 108lipstetig (an einer Stelle) 104, 108lipstetig (global) 108logarithmische Spirale 400Logarithmusfunktion 199Logarithmusreihe 274lokal beschrankt 158lokal extremal 242lokal integrierbar 338lokal maximal 242lokale Extremalstelle 242Losung einer Dgl 288

Majorante 173Majorantenkriterium 173maximales Element 68Maximum 160Menge 11Messpunkt 323Metrik 106metrischer Raum 106minimales Element 68Minimum 160Minkowskische Ungleichung 264Minorante 173Mittelwertsatz der

Differentialrechnung 249Mittelwertsatz der

Integralrechnung 332

Sachverzeichnis 415

mittlere Geschwindigkeit 231momentane Zuwachsrate 225Momentangeschwindigkeit 231Monom 112monoton fallend 140monoton wachsend 140Multiplikation 44multiplikatives Inverses 44

nach oben beschrankt 68nach oben konvex 257nach oben unbeschrankt 68Nachfolger 36naturlicher Logarithmus 199naturliche Metrik 106negative Zahl 47Niveauflache 98Niveaulinie 95p-Norm 263Null 44Nullmenge 333Nullpolynom 112Nullvektor 85Nummerierung 72

oberer Limes 149obere Schranke 68Obermenge 30, 65Obersumme 336offen (Intervall) 71offen (Menge) 152offene Uberdeckung 156Ordnungsvollstandigkeit 65orthogonal 86Orthogonaltrajektorie 298o-Symbol 231

Paarbildung 15Parameter 92Parameterbereich 98Parameterdarstellung 92Partialbruchzerlegung 361Partialsumme 169partielle Integration 349partielle Summation 181partikulare Losung 309

Partition 41Pascalsches Dreieck 42Peano-Axiome 36Periode 210periodisch 210Polardarstellung 83, 213Polarkoordinaten 216Polygonverfahren 295Polynom 112Polynom in n Variablen 112positive Halbachse 71positive Zahl 47Potenzen 40Potenzmenge 15Potenzreihe 185, 186Produkt 56Produktregel 234Punkt 11, 85punktierte Ebene 213punktierte Umgebung 117

quadratische Konvergenz 283Quadratur 382Quadratwurzel 142Quantoren 2, 7Quotientenkriterium 174Quotientenmenge 20Quotientenregel 234

Randbedingungen 387Randwertproblem 388rationale Funktion 112rationale Funktion von

zwei Variablen 367rationale Zahlen 22Realteil 79rechte Seite einer Dgl 292rechtsseitig stetig 113rechtsseitiger Grenzwert 120reelle Achse 81reelle Funktion 91reeller Vektorraum 86reelle Zahl 58reflexiv 18Regel von

Bernoulli–de l’Hopital 252

416 Sachverzeichnis

Reihe 169Reihe mit positiven Gliedern 171Rekursion 39Relation 18reprasentieren (Aquivalenzklasse) 20Resonanzfall 310Resonanzfunktion 314Restglied 272Restklassenring modulo q 21Restsumme 172Reuleaux-Dreieck 5Richtungsfeld 292Riemann-integrierbar 326Riemannsches Integral 327Riemannsche Summe 322, 324, 336Ring 21, 45

Sattelflache 97sattigen (Zahlbasis) 58Satz von Bolzano-Weierstrass 148Satz von der gleichmassigen

Stetigkeit 163Satz von Heine-Borel 156Satz vom Maximum 160Satz von Rolle 249schlicht 97Schlupf 105schneiden (Mengen) 13Schnitt 65Schranke 68Schraubenlinie 94Schwankung 322Schwankungssumme 324Schwarzsche Ungleichung 86Schwerpunkt 262separierbare Dgl 390Signumfunktion 50Singleton 11Sinus 206Skalar 85Skalarprodukt 86Spektrum 303Sprungstelle 120Stammfunktion 340stationare Losung 314

stationarer Punkt 243stetig (an einer Stelle) 105, 107stetige Funktion 107Stirlingsche Formel 40, 403streng konvex 257streng monoton 140stuckweise stetig 120Stutzfunktion 258Stutzgerade 5, 258Substitution 353Subtraktion 45Summe (Funktionenreihe) 185Summe einer Reihe 169Summe 46, 56Supremum 68surjektiv 27symmetrische bilineare Funktion 86symmetrische Differenz 14symmetrisch 18System von Dgln 1. Ordnung 296

Tangens 221Tangentialraum 102Tangentialvektor 102Taylor-Reihe 271Taylorsches

Approximationspolynom 271Teilfolge 136Teilintervall 323Teilmenge 12Teilung eines Intervalls 323Teilungspunkt 323teleskopierende Summe 171Toleranz 105totale Ordnung 18transitiv 12transitiv 18Trendfunktion 227triviale Losung 299

uberabzahlbar 76Uberdeckungsradius 156Uberdeckungssatz 156Umgebung eines Punktes 106Umgebung von ∞ 125Umgebungsfeld 155

Sachverzeichnis 417

Umkehrabbildung 28Umkehrfunktion 28Umkehrung 5unbeschrankt (Menge) 68unbestimmt integrieren 343unbestimmtes Integral 341uneigentlich konvergent 134uneigentlicher Grenzwert 127uneigentlicher

Haufungspunkt (Folge) 135uneigentlicher

Haufungspunkt (Menge) 126uneigentliches Integral 373uneigentlicher Punkt 125unendliche Folge 34, 90“unendlich viele” xk 135ungebrochener Teil 360Ungenauigkeit 56ungerade Funktion 202Ungleichung zwischen dem

arithmetischen und demgeometrischen Mittel 265

unimodal 168unterer Limes 149Untermenge 65Untersumme 336Urbild 27Urbildpunkt 26

Variation der Konstanten 385Vektor 85Vektorfeld 102Vektorprodukt 87vektorwertige Funktion 90Verankerung 38Vereinigung 13, 33Vervollstandigung 36Vielfachheit (Nullstelle) 268, 360vollstandige Induktion 37vollstandiger metrischer Raum 146

Wallissches Produkt 352Wendepunkt 260Wertemenge 24Wertevorrat 24Wertzuwachs 225Winkel 216Wort 19n-te Wurzel 7, 30, 142, 167

Zahlbasis 58Zahlendatum 56Zahlfolge 90Zentralwert 56Zielbereich 24zusammengesetzte Abbildung 32zweistellige Relation 18Zwischenwertsatz 163

418 Sachverzeichnis

CHRISTIAN BLATTER

ANALYSIS ZWEI

ETHZStudiengange

Mathematik und Physik

Sommersemester 2004

16. November 2003 / c© cbl.

Inhaltsverzeichnis Analysis Zwei

11 Funktionenfolgen und -raume

11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Abschreckende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Konvergenzbegriffe fur Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . 5

11.2 Gleichmassige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Der M -Test fur gleichmassige Konvergenz von Reihen . . . . . 12Stetigkeit der Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Funktionen als Punkte eines Funktionenraums . . . . . . . . . 14Ableitung der Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11.3. Grenzubergang unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . 18“Dominated Convergence” . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

11.4 Integrale mit einem Parameter . . . . . . . . . . . . . . . 24Ableitung unter dem Integralzeichen . . . . . . . . . . . . . 25Anwendung auf Taylor-Entwicklungen . . . . . . . . . . . . 27

11.5 Potenzreihen II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Potenzreihen sind Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 32Die Binomialreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Der Satz von Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

11.6 Differentialgleichungen III . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Verwandlung in eine Integralgleichung . . . . . . . . . . . . 40Der allgemeine Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 42Beweis des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes . . . . . . . . . 43Differentialgleichungen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . 47

12 Mehrdimensionale Differentialrechnung

12.1 Vereinbarungen und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . 49Punkte, Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 49Die Norm einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . 51Lineare Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

12.2 Der Ableitungsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Richtungsabhangige Zuwachsraten . . . . . . . . . . . . . . 56Die Tangentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Stetigkeit der partiellen Ableitungen genugt . . . . . . . . . . 62Die Falle n = 1 und m = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Komplex-analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 67

iv Inhaltsverzeichnis

12.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Die verallgemeinerte Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . 72Anwendungen der Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . 75

12.4 Mittelwertsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Eine pauschale Abschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . 80Anhang: Die Theta-Vereinbarung . . . . . . . . . . . . . 82

12.5 Hohere partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . 84Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge . . . . . . . 85Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Stationare Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Kritische Punkte bei zwei Variablen . . . . . . . . . . . . 93

12.6 Hauptsatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Was heisst “stetig differenzierbar”? . . . . . . . . . . . . . 97Der Satz uber die Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . 99Die Funktionaldeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . 104Anwendung: Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . 105Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Anwendung auf Gleichungssysteme: Implizite Funktionen . . . 110

12.7 Kurven und Flachen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 116Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Beispiele zum Immersionssatz . . . . . . . . . . . . . . . 121“Koordinatenpflaster” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Hyperflachen (Flachen der Kodimension 1) . . . . . . . . . 127Durch r Gleichungen definierte Flachen . . . . . . . . . . . 130

12.8 Extremalaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Bedingte lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Lagrangesche Multiplikatoren . . . . . . . . . . . . . . . 138Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Globale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

13 Mehrfache Integrale

13.1 Definition und Grundeigenschaften . . . . . . . . . . . . . 152Was ist neu hier? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Das Fundament: Integral uber einen Quader . . . . . . . . . 153Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Messbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Integrale uber beliebige Bereiche . . . . . . . . . . . . . . 163Allgemeine Riemannsche Summen . . . . . . . . . . . . . 168

Inhaltsverzeichnis v

13.2 Der “Satz von Fubini” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Integral uber das Produkt zweier Quader . . . . . . . . . . 171Reduktion von Integralen uber allgemeine Bereiche . . . . . . 175

13.3 Weitere Eigenschaften des Masses . . . . . . . . . . . . . 186Bewegungsinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Volumendilatation unter einer linearen Abbildung . . . . . . 188Die Gramsche Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 190

13.4 Variablentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 193Hilfssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Die Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . 197Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

13.5 Langen und Flacheninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . 204Das d-dimensionale Volumen von krummen d-Flachen . . . . 204Langen von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Totale Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112-Flachen im dreidimensionalen Raum . . . . . . . . . . . 215

14 Vektoranalysis

14.1 Vektorfelder, Linienintegrale . . . . . . . . . . . . . . . 223Vereinbarungen und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . 224Begriff des Vektorfelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Linienintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Umkehrung des Richtungssinns . . . . . . . . . . . . . . 235Ketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

14.2 Konservative Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Ein erster Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

14.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Infinitesimale Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 246Der Fall n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Der Fall n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

14.4 Die Greensche Formel fur ebene Bereiche . . . . . . . . . . 256Zerlegung der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Glatt berandete Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Zulassige Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261Umlaufszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Flachenberechnung mit Hilfe von Randintegralen . . . . . . . 266Ein Umweg fur ein Integral . . . . . . . . . . . . . . . . 267

vi Inhaltsverzeichnis

14.5 Fluss und Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Stromungsfelder in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . 272Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Fluss durch eine orientierte Flache . . . . . . . . . . . . . 277Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

14.6 Der Satz von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Glatt berandete Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Der Satz von Gauss fur zulassige Bereiche . . . . . . . . . . 288Anwendungen des Satzes von Gauss . . . . . . . . . . . . 289Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Die Warmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 294

14.7 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Zulassige Flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

14.8 Die Integrabilitatsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . 308Einfach zusammenhangende Gebiete . . . . . . . . . . . . 309Die Integrabilitatsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Sachverzeichnis Analysis Zwei

Ableitung 58Additivitat (Mass) 165adjungiertes Feld 272allgemeiner Fixpunktsatz 42Anfangspunkt 118Anfangswertproblem 39aquivalent (Ketten) 236aquivalent (Param’darst.) 116, 124Arbeitsintegral 232Arcussinusreihe 34Arcustangensreihe 19Astroide 203ausseres Integral 172ausseres Mass 157

Banachraum 15bedingt lokal minimal 134bedingt stationarer Punkt 137Beispiel von Schwarz 218beschrankte Variation 212Bewegung 188Bildkette 299Bildkurve 299Binomialkoeffizienten 33Binomialreihe 33

Cantor-Menge 170Cauchy-Bedingung 12Cauchy-Kriterium fur

gleichmassige Konvergenz 12Cauchy-Riemannsche

Differentialgleichungen 70charakteristische Funktion 163Coulombfeld 227

Descartessches Blatt 266Determinantenfunktion 144Differential 58Differential (r-tes) 87Differentialoperatoren 231

differenzierbar (an einer Stelle) 58n-dimensionales Mass 164d-dimensionales Volumen 205Divergenz 274, 282

y-einfacher Bereich 176einfach zusammenhangend 310Elementarmatrix 188elliptisches Integral 208Endpunkt 118Epizykloide 270exakt 240Exponentialabbildung 54Extremum mit

Nebenbedingungen 138

fast disjunkt 164Feld 223Feldlinie 229Feldstarke 226Fixpunktsatz 42d-Flache 124Flachenformeln 266Flacheninhalt 205Flachenkurve 125Flachennormale 127Fluss (uber eine Kette) 272, 273Fluss (durch eine Flache) 278Fourier-Reihe 37Funktionaldeterminante 104Funktionalmatrix 61

gemeinsamer Definitionsbereich 5geschlossen (Vektorfeld) 248geschlossener Ausdruck 16geschlossene Flache 300geschlossene Kurve 118glatt berandeter Bereich 258, 284gleichmassige Konvergenz 5gliedweise differenzieren 16

318 Sachverzeichnis

gliedweise integrieren 19global injektiv 124Gradient 65Gradientenfeld 228Gramsche Determinante 190Greensche Formel 259Greensche Identitaten 298Guldinsche Regeln 221

Hadamardsche Ungleichung 144harmonische Funktion 292Hessesche Form 92holomorphe Funktion 68homogenes Vektorfeld 226Hyperflache 127

Immersion 122Immersionssatz 119implizite Funktion 111indefinit 91infinitesimale Zirkulation 247inneres Integral 172Integrabilitatsbedingung 313Integral mit einem Parameter 24Integral 155, 163Integralgleichung 40integrierbar 155, 163integrierender Faktor 315inverse Kurve 235Iterierte 43

Jacobische Determinante 104Jacobische Matrix 61Jet 88Jet-Extension 47Jordansches Mass 164

Keplersche Fassregel 184Kern 119Kette 236, 237Kettenregel 72Kochsche Kurve 117Kodimension 127Koeffizientenvergleich 32Kolonnenvektor 49kompakte d-Flache 204

komplex differenzierbar 68komplex-analytisch 68konservativ 240konstante Kurve 117Kontinuitatsgleichung 291Kontraktionsprinzip 42Konvergenz

(Funktionenfolge) 5, 7(Funktionenreihe) 9(im quadratischen Mittel) 8

Konvergenzbereich 5Konvergenzintervall 31Koordinatendifferential 54, 67Korn 169Kriterium von Weierstrass 12kritischer Punkt 91, 104Kugelkoordinaten 193Kurve 238Kuspe 108

Lagrangesche Multiplikatoren 138Lagrangesche Prinzipalfunktion 139Lange 205, 213Langenelement 207Laplace-Operator 292Lebesgue-Integral 20leerer Streckenzug 309Leibnizsche Regel 25Leibnizsche Regel “mit Extras” 76lineare Abbildung 50lineare Form 87lineares Funktional 52Linienelement 233Linienintegral 233, 237logarithmische Spirale 209lokal gleichmassige Konvergenz 7lokal injektiv 124lokal lipstetig 43Losung (System von Dgln) 39

M -Test 12Mobiusband 276Mass 153, 164Matrix einer Abbildung 50Maximalrang 119

Sachverzeichnis 319

messbar 159Messpunkte 154, 169Mittelwertsatz der

Differentialrechnung 79modulo (exakt) 240Momentengleichung 201monoton wachsende

Funktionenfolge 9Monotonie (Mass) 165Multiindex 96

Nebenbedingung 127, 138negativ definit 91nichtentarteter kritischer Punkt 92nichtorientierbare Flache 276Niveaumenge 127Norm 14, 51Normalenableitung 298normierter Vektorraum 14nullhomotop 309Nullmenge 157numerische Exzentrizitat 208Oberflache 285, 288Oberflachenelement 215, 278offene d-Flache 124Operation 309orientierte Flache 276orthogonale Abbildung 206

Parallelepiped 187Parameterdarstellung 118, 124Parametertransformation 116, 124parametrisierte Flache 124parametrisierte Kurve 116partielle Ableitung 25, 60partielle Funktion 56periodische Bahn 115periodischer Punkt 115Permutationsmatrix 189Polardarstellung einer Kurve 207polares Tragheitsmoment 203positiv definit 91Potential 228, 242Pullback (Funktionen) 134, 194Pullback (Felder) 301, 302punktweise Konvergenz 7

Quader 153Quadergebaude 165quadratische Form 87Quellstarke 274, 282

Ruckkehrpunkt 117, 211Randmenge 159Randzyklus 247, 259, 261, 300Rang 119regular (Abbildung) 122regular (lineare Abbildung) 98, 119regularer Punkt (Flache) 130regularer Punkt (Funktion) 90, 104regularer Punkt (Vektorfeld) 228rektifizierbar 213Richtungsableitung 71Riemann-integrierbar 155Riemannsche Summe 154, 169Riemannsches Integral 155, 163Rotation 247, 249, 252

Sattelpunkt 92Satz uber die beschrankte

Konvergenz 20Satz uber implizite Funktionen 111Satz von Abel 35Satz von Dini 11Satz von Gauss in der Ebene 275Satz von Gauss 288Satz von Messpunkten 154, 169Satz von Stokes 304Scherung 189ε-Schlauch 6schlicht 119Schwankung 155Schwankungssumme 155, 169Seele 6Selbstdurchdringung 124semidefinit 91singular (lineare Abbildung) 98singularer Punkt (Vektorfeld) 228skalares Oberflachenelement 215Skalarfeld 228d-Spat 187Sphare 127Spur 118, 237

320 Sachverzeichnis

Standardbasis 49Standardsimplex 185stationarer Punkt 91stationar (Temperaturverteilung) 294sternformig 310stetig differenzierbar

(Abbildung) 98(r-mal) 86(Vektorfeld) 226

stetige Kurve 117stratifizierte Menge 146Stratum 146Streckenzug 81stuckweise stetig differenzierbar 237sup-Norm 14System von

Differentialgleichungen 39

Tangentialabbildung 58Tangentialbundel 225Tangentialebene 124Tangentialraum 54Tangentialvektor 54Taylorsches

Approximationspolynom 88Teilung 153M -Test 12Thetaterm 82Theta-Vereinbarung 82Torus 218, 285totale Variation 212transversal 130

Umlaufszahl 264

Variation 212Vektorfeld 225vektorielles Linienelement 233vektorielles Oberflachenelement 278verallgemeinerte Kettenregel 72voll lokal minimal (maximal) 134Volltorus 285Volumen 153, 164

Warmefluss 295Warmeleitungsgleichung 296Warmeleitzahl 295Wellengleichung 96Winkelgeschwindigkeitsvektor 227Wirbeldichte 249wirbelfrei 248

Zentralfeld 226Zerlegung (eines Bereichs) 168Zerlegung der Einheit 258Zirkulation 245, 247zulassiger Bereich 261, 288zulassige Flache 299zulassige Koordinaten 224zulassige Operation 309zulassig (rechte Seite einer Dgl.) 43zusammenhangend 81Zusammenhangskomponente 244Zuwachsrate 53Zykloide 209Zyklus 238Zylinderkoordinaten 193