annette eickerapmg 1 1 19.01.2014 annette eicker 19.01.2012 kreiselgleichungen...
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Annette Eicker APMG 1
1
11.04.23
Annette Eicker19.01.2012
Kreiselgleichungen
(Euler-Liouville-Gleichung)
Annette Eicker APMG 1
2
11.04.23
RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung
rp mImpuls:
Träge Masse
Impulsänderung benötigt Kraft:
Kp
Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:
ML
Drehimpuls:
dTL
Trägheitstensor
Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit
Wiederh.: Lineare Bewegung <-> Rotation
Annette Eicker APMG 1
3
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Starrer KörperStarrer Körper
Wiederh.: Drehimpulsbilanz
Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:Gesamtdrehimpuls in Koordinaten:
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
z
y
x
z
y
x
dmyxdmyzdmxz
dmyzdmzxdmxy
dmxzdmxydmzy
L
L
L
22
22
22
TdL
Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt
Hauptachsensystem
Wahl des Koordinatensystem,so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt
Hauptachsensystem
C
B
A
00
00
00
T
Annette Eicker APMG 1
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11.04.23
RotationRotationLineare BewegungLineare Bewegung
rp mImpuls:
Träge Masse
Impulsänderung benötigt Kraft:
Kp
Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL):
Kr m
Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment:
ML
Drehimpuls:
dTL
Trägheitstensor
Drehvektor(Winkelgeschw.)Geschwindigkeit
Wiederh.: Lineare Bewegung <-> Rotation
Dies führt auf dieEulerschen Kreiselgleichungen (DGL):
zyxz
yzxy
xzyx
MABC
MCAB
MBCA
)(
)(
)(
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Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen Einfacher Fall:
- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)
- Rotationsellipsoid
Einfacher Fall:
- Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung)
- Rotationsellipsoid
Wiederh.: Trägheitsbewegung
zyxz
yzxy
xzyx
MABC
MCAB
MBCA
)(
)(
)(
CBA
0M
C
A
A
00
00
00
T
KreiselgleichungenKreiselgleichungen
0
0
0
z
zxy
zyx
A
CAA
AC
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Eulersche KreiselgleichungenEulersche Kreiselgleichungen
Wiederh.: Trägheitsbewegung
zyxz
yzxy
xzyx
MABC
MCAB
MBCA
)(
)(
)(
AbkürzungAbkürzung
: z
C Aconst
A
Allgemeine LösungAllgemeine Lösung
0
0
cos ( )
sin ( )x
y
z
k t t
k t t
c const
KreiselgleichungenKreiselgleichungen
0
0
0
z
zxy
zyx
A
CAA
AC
k ist eine beliebige Konstante!
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Wiederh.: TrägheitsbewegungFigurenachse Drehimpulsachse
Drehachse
Allgemeine LösungAllgemeine Lösung
0
0
cos ( )
sin ( )x
y
z
k t t
k t t
c const
Drehvektor im erdfesten System:
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Wiederh.: Trägheitsbewegung
BilanzgleichungBilanzgleichung
0L dt
d
Drehimpulsvektor ist raumfestDrehimpulsvektor ist raumfest
constL
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Rotation der Erde
constA
ACz
:
DrehvektorDrehvektor
0
0
cos ( )
sin ( )
z B
k t t
k t t
d
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/sz
ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2
305Sterntagez
C A
A
Frequenz
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Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
~305 Tage
Bewegung der Drehachse im erdfesten System
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Rotation der Erde
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s
Eigenschaften der Erde• Masse M 5,97371024 kg• Äquatorradius a 6378136,6 m• Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2
• Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2
• Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2
• tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s
constA
ACz
:
DrehvektorDrehvektor
0
0
cos ( )
sin ( )
z B
k t t
k t t
d
z
Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage
ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 2
305Sterntagez
C A
A
Wie kommt dieser Unterschied zustande?
Wie kommt dieser Unterschied zustande?
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Erklären die Drehmomente von Sonne und Mond die
Chandlerperiode?
Erklären die Drehmomente von Sonne und Mond die
Chandlerperiode?
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Drehmomente von Sonne und Mond
http://www.greier-greiner.at/hc/navi.htm
DrehmomentDrehmoment
Bjj
jj
jj
j
jj
AByx
CAzx
BCzy
r
GMt
)(
)(
)(3
)( 5M
Mit der Postion von Sonne und Mond
Mit der Postion von Sonne und Mond
Bj
j
j
j
z
y
x
t
)(r
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Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
~305 Tage
Bewegung der Drehachse im erdfesten System
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Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
~14 Tage
~305 Tage
Bewegung der Drehachse im erdfesten System
Mond
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Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
~182 Tage
Bewegung der Drehachse im erdfesten System
Sonne
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Drehmomente haben keinen signifikanten Einfluß auf die
Eulerperiode.
Drehmomente haben keinen signifikanten Einfluß auf die
Eulerperiode.
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Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006
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Rotation der Erde
Figurenachse DrehimpulsachseDrehachse
Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006IERS C04 ZeitreiheIERS C04 Zeitreihe
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Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006Zeitraum: August 2002 - Dezember 2006
Wahre Bewegung des Drehvektors
Tageslänge (August 2002 - Dezember 2006)Tageslänge (August 2002 - Dezember 2006)
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System Erde
Die Erde ist kein starrer Körper
• Atmosphärischer Massentransport
• Massentransporte in Ozean und Kryosphäre
• Hydrologischer Massentransport
• Erdgezeiten
• Plattentektonik
• Nacheiszeitliche Landhebung
• Erdkern
• Erdbeben etc…
Die Erde ist kein starrer Körper
• Atmosphärischer Massentransport
• Massentransporte in Ozean und Kryosphäre
• Hydrologischer Massentransport
• Erdgezeiten
• Plattentektonik
• Nacheiszeitliche Landhebung
• Erdkern
• Erdbeben etc…
©MIT/Haystack
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Drehimpulsbilanz
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
dmrrL AbleitungsoperatorAbleitungsoperator
xdxx
Dt
D
dt
d
deformierbarer Körperdeformierbarer Körper
hTdL
dmDt
Dxd
xxL
dmDt
Ddm
xxxdxL
MassentermMassenterm Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)
Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)
Erinnerung: beim starren Körper
Erinnerung: beim starren Körper
0D
Dt
x
und
L Td
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Drehimpuls
Relative Drehimpulse
=> (Euler-Liouville-Gleichung)
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Drehimpulsbilanz
Gesamtdrehimpuls:Gesamtdrehimpuls:
dmrrL AbleitungsoperatorAbleitungsoperator
xdxx
Dt
D
dt
d
deformierbarer Körperdeformierbarer Körper
hTdL
dmDt
Dxd
xxL
dmDt
Ddm
xxxdxL
MassentermMassenterm Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)
Bewegungstermterm(relativer Drehimpuls)
Erinnerung: beim starren Körper
Erinnerung: beim starren Körper
0D
Dt
x
und
L Td
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BilanzgleichungBilanzgleichung
Kreiselgleichungen
AbleitungsoperatorAbleitungsoperator
dDt
D
dt
d
ML dt
d
DrehimpulsDrehimpuls
hTdL
Im rotierenden SystemIm rotierenden System
D
Dt
Ld L M
MhTddhTd
Dt
D )(
Euler-Liouville-GleichungEuler-Liouville-Gleichung
MhdTddhd
TdT
Dt
D
Dt
D
Dt
D
Erinnerung: starrer KörperErinnerung: starrer Körper
D
Dt
dT d Td M
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Rotationsdeformation
Euler-Liouville-GleichungEuler-Liouville-Gleichung
MhdTddhd
TdT
Dt
D
Dt
D
Dt
D
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11.04.23
Rotationsdeformation
Euler-Liouville-GleichungEuler-Liouville-Gleichung
MhdTddhd
TdT
Dt
D
Dt
D
Dt
D
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Rotationsdeformation
Euler-Liouville-GleichungEuler-Liouville-Gleichung
MhdTddhd
TdT
Dt
D
Dt
D
Dt
D
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Rotationsdeformation
Euler-Liouville-GleichungEuler-Liouville-Gleichung
MhdTddhd
TdT
Dt
D
Dt
D
Dt
D
Die Rotationsdeformation (polar tides) verändert den Trägheitstensor und verlangsamt die Eulerperiode zur Chandlerperiode
Die Rotationsdeformation (polar tides) verändert den Trägheitstensor und verlangsamt die Eulerperiode zur Chandlerperiode
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Variationen der Atmosphäre
Geoid
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TrägheitstensorTrägheitstensor
Atmosphärenmodell NCEP
A D E
D B F
E F C
T
E
F
C
F. Seitz, 2004F. Seitz, 2004
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Realtive DrehimpulseRealtive Drehimpulse
Atmosphärenmodell NCEP
x
y
z
F. Seitz, 2004F. Seitz, 2004
)(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
th
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Modell Nuvel-1AModell Nuvel-1A
Nicht nur Atmosphäre und Ozean erzeugen relative Drehimpulse.
Frage: Wie definiert man ein erdfestes Koordinatensystem?
Nicht nur Atmosphäre und Ozean erzeugen relative Drehimpulse.
Frage: Wie definiert man ein erdfestes Koordinatensystem?
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Modell Nuvel-1AModell Nuvel-1A
Nicht nur Atmosphäre und Ozean erzeugen relative Drehimpulse.
Frage: Wie definiert man ein erdfestes Koordinatensystem?
Nicht nur Atmosphäre und Ozean erzeugen relative Drehimpulse.
Frage: Wie definiert man ein erdfestes Koordinatensystem?
No Net Rotation (NNR) = Tisserand-Bedingung
Das Koordinatensystem wird so gewählt,dass der relative Drehimpuls verschwindet
No Net Rotation (NNR) = Tisserand-Bedingung
Das Koordinatensystem wird so gewählt,dass der relative Drehimpuls verschwindet
0
dmDt
Dxxh
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Realisierung
Raumverfahren: GPS, VLBI, SLR, LLRRaumverfahren: GPS, VLBI, SLR, LLR
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Realisierung
Fundamentalstation WettzellFundamentalstation Wettzell
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Realisierung
Fundamentalstation WettzellFundamentalstation Wettzell
VLBIVLBI
SLRSLR
LAGEOSLAGEOS
GPSGPS
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International Earth rotation and Reference systems Service (IERS)
http://www.iers.org
International Earth rotation and Reference systems Service (IERS)
http://www.iers.org
Gemeinsame Bestimmung von Stationskoordinaten & Geschwindigkeiten (Realisierung des Koordinatensystems) und
Erdrotationsparameter
Gemeinsame Bestimmung von Stationskoordinaten & Geschwindigkeiten (Realisierung des Koordinatensystems) und
Erdrotationsparameter