aufgabe 00 - rs-schesslitz.by.tors-schesslitz.by.to/kroemer/m10_pyramide/combined.pdf · 3 3...

Aufgabe 00 (Einstiegsaufgabe zur Berechnung im Raum)

Das Modell zeigt die Pyramide ABCDS mit rechteckiger Grundfläche ABCD (AB = 11 cm;

BC = 7 cm). Die Spitze S liegt senkrecht über C (SC = 15 cm). (Modell vergrößert gebaut!!)

a) skizziere, wie das Modell direkt von oben aussieht (nicht räumlich zeichnen!!)

b) Beschreibe die Form der Seitenflächen der Pyramide.

c) Zeichne Schrägbilder aus verschiedenen Perspektiven

Achtung: mit der Zeichnung recht weit unten beginnen

(Verzerrungsfaktor ist immer q = 0,5)

i) Schrägbildachse ist AB, Verzerrungswinkel ω = 45°

ii) Schrägbildachse ist AD, Verzerrungswinkel ω = 45°

iii) Schrägbildachse AC, Verzerrungswinkel ω = 60°

d) Berechne das Maß folgender Winkel:

2CDS = _______

2BAS = _______

2CAS = _______

2CSB = _______

2SMB = _______

2ASB = _______

e)

��

��

��!��∀�#��∀�

�� #��∃��

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Pyramide - Arbeitsblatt1 - Lösung

Abschlussprüfung 2010

an den Realschulen in Bayern

Mathematik II

Bitte wenden!

Prüfungsdauer:

150 Minuten

Aufgabe B 2 Nachtermin

B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild

der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das

gleichschenklige Trapez ABCD mit AB || CD ist.

Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Strecke [AB],

der Punkt F ist der Mittelpunkt der Strecke [CD].

Der Punkt N liegt auf der Strecke [EF].

Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senk-

recht über dem Punkt N.

Es gilt: AB 12 cm= ; CD 6 cm= ; EF 8 cm= ;

Es gilt: EN 3 cm= ; SN 8 cm= .

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Strecke [EF] auf der

Schrägbildachse und der Punkt E links vom Punkt F liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: 1

q2

= ; 45ω = ° .

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SFN und die Länge der Strecke [SF].

[Ergebnisse: SFN 57,99= °∢ ; SF 9,43 cm= ] 4 P

B 2.2 Eine Parallele zur Geraden AB durch den Punkt N schneidet die Strecke [AD] im

Punkt G und die Strecke [BC] im Punkt H.

Zeichnen Sie die Strecke [GH] in das Schrägbild zu 2.1 ein und zeigen Sie sodann

durch Rechnung, dass für die Länge der Strecke [GH] gilt:

GH 9,75 cm= . 3 P

B 2.3 Das Dreieck GHF ist die Grundfläche von Pyramiden GHFPn, deren Spitzen Pn auf

der Strecke [SF] liegen.

Für die Pyramide GHFP1 gilt: 1FP 7,5 cm= .

Zeichnen Sie die Pyramide GHFP1 in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [NP1] und das Maß des Winkels FNP1.

[Ergebnis: 1NP 6,44 cm= ] 3 P

B 2.4 Berechnen Sie das Volumen der Pyramide GHFP1.

Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der

Pyramide GHFP1 am Volumen der Pyramide ABCDS. 4 P

B 2.5 Für die Länge der Strecken [NPn] gilt: nNP x cm= (x IR )+∈ .

Für x 4,5= erhält man die Pyramide GHFP2 und die Pyramide GHFP3.

Zeichnen Sie die Strecken [NP2] und [NP3] in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Für x ]4,24; 5[∈ erhält man jeweils zwei Pyramiden.

Begründen Sie, warum es für x 4,24= und für x 5= jeweils nur eine Pyramide

gibt. 3 P

A

BC

D

N

S

FE

Pyramide Arbeitblatt2 Angabe



Mathematik II

Lösungsmuster und Bewertung

1 Minuten

Aufgabe B 2 Nachtermin

RAUMGEOMETRIE

B 2.1

A

B

C

D

FNE

S

P1

P2

P3

8 cm

tan SFN(8 3) cm

=-

∢ SFN 57,99= °∢ SFN ]0 ;90 [∈ ° °∢

2 2SF 8 (8 3) cm= + - SF 9,43 cm=

4

L3

K4

L2

K5

B 2.2 Einzeichnen der Strecke [GH]

Es sei der Punkt K der Fußpunkt des Lotes vom Punkt C auf die Gerade AB;

der Punkt L sei der Fußpunkt des Lotes vom Punkt H auf die Gerade AB.

3 cm

GH 12 cm 2tan HBL

= - �∢

HBL ]0 ;90 [∈ ° °∢

8 cm

tan CBK0,5 (12 6) cm

=� -

∢ CBK ]0 ;90 [∈ ° °∢

CBK 69, 44= °∢

3 cm

GH 12 cm 2tan 69,44

= - �°

GH 9,75 cm=

3

L3

K4

L2

K2

K5


B 2.3 Einzeichnen der Pyramide GHFP1

2 2 2

1 1 1 1NP FP NF 2 FP NF cos P FN= + � × × × ∢

2 2

1NP 7,5 (8 3) 2 7,5 (8 3) cos57,99 cm= + � � × × � × � 1NP 6,44 cm=

1 1

1 1

sin FNP sin P FN

FP NP=

∢ ∢ 1FNP ]0 ;90 ]∈ ° °∢

1FNP 80,94= °∢

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.4 1Pyramide GHFP 1

1 1V GH NF d(P ; NF)

3 2= × × × ×

1d(P ; NF)sin 57,99

7,5 cm° = 1d(P ; NF) 6,36 cm=

1

3

Pyramide GHFP

1 1V 9,75 (8 3) 6,36 cm

3 2= × × × � ×

1

3

Pyramide GHFPV 51,68 cm=

3

Pyramide ABCDS

1 1V (12 6) 8 8 cm

3 2= × × + × × 3

Pyramide ABCDSV 192 cm=

3

3

51,68 cm0,27

192 cm=

Der Anteil beträgt 27%.

4

L2

K2

K5

B 2.5 Einzeichnen der Strecken [NP2] und [NP3]

Die Punkte Pn sind die Schnittpunkte der Strecke [SF] mit einem Kreis k mit dem

Mittelpunkt N und dem Radius r x cm= (x IR )+∈ .

Für x 4,24= gilt: r d(N; SF)= .

Denn: d(N; SF)

sin 57,995 cm

° = d(N; SF) 4,24 cm=

Somit ist die Gerade SF eine Tangente an den Kreis k. Es gibt nur einen Berühr-

punkt und folglich nur eine Pyramide.

Für x 5= gilt: r NF= .

Die Gerade SF ist zwar eine Sekante, jedoch ist einer der beiden Schnittpunkte

mit dem Kreis k der Punkt F, sodass es nur eine Pyramide gibt.

3

L3

K4

L3

K1

K5

17

Hinweis: Bei einigen Teilaufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere

Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte

bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind

Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend

ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu

Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

DRAWNCHECKEDENG APPRMGR APPR

UNLESS OTHERWISE SPECIFIEDDIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS

ANGLES ±X.X°2 PL ±X.XX 3 PL ±X.XXX

NAMEDieter Kroemer

DATE12/02/10 Solid Edge

TITLE

SIZEA3

DWG NO REV

FILE NAME: pyramide_ab6_solidegde.dft

SCALE: WEIGHT: SHEET 1 OF 1

REVISION HISTORY

REV DESCRIPTION DATE APPROVED



Mathematik II

��sungs�uster und Be�ertung

1 Minuten

Aufgabe B 2 aupttermin

RAUMGEOMETRIE

B 2.1

P110

C

P�

A

B

D

M

S

R

F

E

2 2MS 1 (12 4) cm= � � MS cm=

cm

tan Scm

=∢ S M 3 ,= °∢ S M ] ;9∈ ° °∢

4

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.2 Einzeichnen der Strecke [FG]

SR cm 1,5 cm= � SR 4,5 cm=

FG 4,5 cm

cm cm= FG cm=

2

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.3 Einzeichnen des Dreiecks EFG

ER 4,5 cm

4 cm cm= ER 3 cm=

3

Pyramide ABDS

1 1V cm

3 2= 3

Pyramide ABDSV 32 cm=

3

Pyramide EFGS

1 1V 4,5 cm

3 2= 3

Pyramide EFGSV 13,5 cm=

L3

K4

L2

K2

K5


3

3

13,5 cm,42

32 cm=


4

B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks P1SR

1RP 4,5 cm

sin(180 (90 36,87 )) sin100=

° °+ ° ° 1RP 3,66 cm=

1P SR 1 1

1A RP SR sin P RS

2D = � � � ∢

1P RS 180 (100 53,13 )= ° ° + °∢ 1P RS 26,87= °∢

1

2

P SR

1A 3,66 4,5 sin 26,87 cm

2D = � � � �

1

2

P SRA 3,72 cmD =

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.5 Einzeichnen des Punktes P2

2

3 cmsin 36,87

CP° = 2CP 5,00 cm=

2 2

2RP 4,5 (10 5,00) 2 4,5 (10 5,00) cos53,13 cm= + � � � �

2RP 4, 27 cm=

sin sin 53,13

4,5 cm 4, 27 cm

j �= ]26,25 ;100 [j∈ ° °

57,47j = °

4

L3

K4

L2

K2

K5

17


Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der Punkte

bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbesondere sind

Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird, entsprechend

ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung der Lösungsvorlage zu

Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

Pyramide - Arbeitsblatt3 - Angabe

Prüfungsdauer: Abschlussprüfung 2008

150 Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6

Mathematik II Haupttermin Aufgabe B 2

B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein

Schrägbild der Pyramide ABCDS,

deren Grundfläche die Raute ABCD

mit den Diagonalen [AC] und [BD]

ist. Der Schnittpunkt der beiden Dia-

gonalen ist der Punkt M.

Die Spitze S der Pyramide ABCDS

liegt senkrecht über dem Punkt A.

Es gilt: AC 9 cm= ; BD 8 cm= ;

AS 7 cm= .

A

B

C

D

S

M

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

B 2.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Diagonale [AC] auf

der Schrägbildachse liegen soll.


q2

= ; 45ω= ° .

Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [SC] und das Maß ϕ des Win-

kels SCA.

[Ergebnisse: SC 11,40 cm= ; 37,87ϕ = ° ] 4 P

B 2.2 Punkte nZ [SC]∈ mit nZ C x cm= ( x 11, 40< ; x IR+∈ ) sind die Spitzen von

Pyramiden BCDZn.

Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ1 für x 2= in das Schrägbild zu 2.1 ein und be-

rechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels CMZ1. 3 P

B 2.3 Für die Pyramide BCDZ2 gilt: 2MZ AC⊥ .

Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ2 in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Begründen Sie sodann, dass für die Pyramide BCDZ2 gilt: 2 2SZ Z C= . 3 P

B 2.4 In der Pyramide BCDZ3 gilt: 3CMZ 110= °S .

Zeichnen Sie die Pyramide BCDZ3 und ihre Höhe [Z3F] in das Schrägbild zu 2.1

ein und berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [Z3C].

[Ergebnis: 3Z C 7,95 cm= ] 3 P

B 2.5 Ermitteln Sie durch Rechnung den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide

BCDZ3 am Volumen der Pyramide ABCDS. 4 P

Abschlussprüfung 2008 an den Realschulen in Bayern

Mathematik II Haupttermin Aufgabe B 2


RAUMGEOMETRIE

B 2.1

2 2SC 9 7 cm= + SC 11,40 cm=

7 cm

tan9 cm

ϕ = 37,87ϕ = ° ]0 ;90 [ϕ ∈ ° °

4

L3

K4

L2

K5

B 2.2 Einzeichnen der Pyramide BCDZ1

1

sin sin

Z C 1

ε ϕ=ΜΖ

2 2

1MZ 4,5 2 2 4,5 2 cos37,87 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° 1MZ 3,17 cm=

sin sin 37,87

2 cm 3,17 cm

ε °= 22,79ε = ° ]0 ;90 [ε ∈ ° °

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.3 Einzeichnen der Pyramide BCDZ2

MZ2 || AS.

Da der Punkt M der Mittelpunkt der Strecke [CA] ist, muss nach dem Vier-

streckensatz der Punkt Z2 der Mittelpunkt der Strecke [CS] sein.

Damit gilt: 2 2SZ Z C= .

3

L3

K4

L3

K1

A

B

C

D

S

M

. .

Z 1

Z 2

Z 3

F

- 2 -

B 2.4 Einzeichnen der Pyramide BCDZ3 und ihrer Höhe [Z3F]

3

3 3

Z C MC

sin CMZ sin MZ C=

S S

3Z C 4,5 cm

sin110 sin(180 (37,87 110 ))=

° ° − ° + °

3Z C 7,95 cm=

3

L3

K4

L2

K2

K5

B 2.5 3

3PyramideBCDZ

PyramideABCDS

1 1 1AC BD Z F

V 3 2 2

1 1VAC BD AS

3 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3

3

Z Fsin

Z Cϕ = 3Z F 4,88 cm=

3PyramideBCDZ

PyramideABCDS

V0,35

V=


4

L2

K2

K5

17


Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Anzahl der

Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden. Insbeson-

dere sind Lösungswege, bei denen der grafikfähige Taschenrechner verwendet wird,

entsprechend ihrer Dokumentation bzw. ihrer Nachvollziehbarkeit zu bepunkten.

Bei der Korrektur ist zu beachten, dass die Vervielfältigung (Kopie, Folie) der

Lösungsvorlage zu Verzerrungen der Zeichnungen führen kann.

Abschlussprüfung 2006 an den Realschulen in Bayern

Mathematik II Wahlteil – Haupttermin Aufgabe B 2


B 2.1 BC

AM 32

= BC

4 3 cm 32

= BC 8 cm=

4 3 cm

tan10 cm

ϕ = 34,72ϕ = ° ]0 ;90 [ϕ∈ ° ° 2

B 2.2

A

B

C

M

S

ϕ

Q

P2

P1

P3

F

Zeichnen der Pyramide ABCS

2

- 2 -

B 2.3 Einzeichnen des Dreiecks P1QS

1SP SQ

SA SM= 1

SQSP SA

SM= ⋅ 1

SM QMSP SA

SM

−= ⋅

( )22SM 4 3 10 cm= + SM 12,17 cm=

1

(12,17 6)SP 10 cm

12,17

−= ⋅ 1SP 5,07 cm=

oder

1SPcos

SQϕ = ...

4

B 2.4 Einzeichnen des Dreiecks P2QS

2

2

P Q QS

sin ASM sin QP S=

2

6,17 sin 34,72P Q cm

sin(180 2 34,72 )

⋅ °=

°− ⋅ ° 2P Q 3,75 cm=

3

B 2.5 Einzeichnen des Dreiecks BCP3

3

1A BC MP

2= ⋅ ⋅

3

AMcos 20

MP° = 3

4 3MP cm

cos 20=

° 3MP 7,37 cm=

21A 8 7,37 cm

2= ⋅ ⋅ 2A 29,48 cm=

3

B 2.6 Einzeichnen der Pyramide BCP3Q und der Höhe [FQ]

1

V A FQ3

= ⋅ ⋅

3

FQsin SMP

MQ=H

FQsin[(180 90 34,72 ) 20 ]

6 cm° − °− ° − ° =

FQ 6 sin 35,28 cm= ⋅ ° FQ 3,47 cm=

31V 29,48 3,47 cm

3= ⋅ ⋅ 3V 34,10 cm=

3

17







150 Minuten an den Realschulen in Bayern R4/R6

Mathematik II Wahlteil - Haupttermin Aufgabe B 2

B 2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein

Schrägbild der Pyramide ABCS,

deren Grundfläche ein gleichseitiges

Dreieck mit der Dreieckshöhe

AM 4 3 cm= ⋅ ist. Die Spitze S der

Pyramide liegt senkrecht über dem

Punkt A der Grundfläche mit

AS 10 cm= . Der Winkel ASM hat

das Maß ϕ.

A

B

C

M

S

ϕ

B 2.1 Zeigen Sie durch Rechnung, dass gilt: BC 8 cm= und 34,72ϕ = ° . 2 P

B 2.2 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der

Schrägbildachse liegen soll.


q2

= ; 45ω = ° 2 P

B 2.3 Auf der Strecke [MS] liegt der Punkt Q mit MQ 6 cm= . Punkte Pn liegen auf der

Seitenkante [AS] und bilden zusammen mit den Punkten Q und S Dreiecke PnQS.

Unter den Dreiecken PnQS gibt es ein rechtwinkliges Dreieck P1QS mit der

Hypotenuse [QS] .

Zeichnen Sie das Dreieck P1QS in das Schrägbild zu 2.2 ein und berechnen Sie

sodann die Länge der Strecke 1[SP ] . (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: SM 12,17 cm= ] 4 P

B 2.4 Das Dreieck P2QS ist gleichschenklig mit der Seite [QS] als Basis.

Zeichnen Sie das Dreieck P2QS in das Schrägbild zu 2.2 ein und berechnen Sie

sodann auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge des

Schenkels 2[P Q] . 3 P

B 2.5 Für den Punkt 3P hat der Winkel P3MA das Maß 20°.

Zeichnen Sie das Dreieck BCP3 in das Schrägbild zu 2.2 ein und zeigen Sie sodann

dass der Flächeninhalt 29,48 cm² beträgt. (Auf zwei Stellen nach dem Komma

runden.) 3 P

B 2.6 Das Dreieck BCP3 ist die Grundfläche der Pyramide BCP3Q mit der Spitze Q.

Zeichnen Sie die Pyramide BCP3Q und die zugehörige Höhe [FQ] mit dem

Höhenfußpunkt F auf der Strecke 3[P M] in das Schrägbild zu 2.2 ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen der Pyramide BCP3Q. 3 P

Abschlussprüfung 2004 an den vierstufigen Realschulen in Bayern

Mathematik II Aufgabengruppe C Aufgabe C 3


C 3.1

B

A C

D

S

M

N

E

F

P1

P0

Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCDS

8,5 cm

tan4 cm

ε = 64,80ε = ° ]0 ;90 [ε∈ ° °

2 2MS 4 8,5 cm= + MS 9,39 cm=

4

C 3.2 Einzeichnen der Strecke [EF]

EF BD

SN MS=

6 cm 5 cmEF

9,39 cm

⋅= EF 3,19 cm=

2


- 2 -

C 3.3 Einzeichnen des Dreiecks EFP1

ASM 90 64,80= °− °H ASM 25,20= °H

2 2

1 1 1NP SP SN 2 SP SN cos ASM= + − ⋅ ⋅ ⋅ H

2 2

1NP 2,5 5 2 2,5 5 cos 25,20 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° 1NP 2,94 cm=

1 1

sin sin ASM

SP NP

ϕ=

H 0 154,80° < ϕ < °

2,5 cm sin 25,20

sin2,94 cm

⋅ °ϕ = 21,23 ( 158,77 )ϕ = ° ∨ ϕ = °

3

C 3.4 Einzeichnen des Dreiecks EFP0 A ist minimal, wenn gilt: 0[P N] [AS]⊥

min 0A 0,5 EF NP= ⋅ ⋅

00

NPsin P SN

SN=H 0NP 5 cm sin 25, 20= ⋅ ° 0NP 2,13 cm=

minA 0,5 3,19 cm 2,13 cm= ⋅ ⋅ 2

minA 3,40 cm=

3

C 3.5 Einzeichnen der Pyramide ABDN

Pyramidenhöhe hABDN: ABDNhsin

MNε =

ABDNh (9,39 cm 5 cm) sin 64,80= − ⋅ ° ABDNh 3,97 cm=

ABDN ABDN

1 1V BD AM h

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3

ABDN

1 1V 6 4 3,97 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

ABDNV 15,88 cm=

ABCDS

1 1V AC BD AS

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3

ABCDS

1 1V 11 6 8,5 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

ABCDSV 93,50 cm=

3

3

15,88 cmp 100

93,50 cm= ⋅ p 16,98=

oder

3

ABCN

3

ABCDS

V 15,88 cm

V 93,50 cm= ABCN ABCDSV 0,1698 V= ⋅

Der Anteil des Volumens der Pyramide ABCN beträgt 16,98% des Volumens der

Pyramide ABCDS.

4

16







150 Minuten an den vierstufigen Realschulen in Bayern R4

Mathematik II Aufgabengruppe C Aufgabe C 3

C 3.0 Das Drachenviereck ABCD mit AC als Symmetrieachse und M als

Diagonalenschnittpunkt ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S

liegt senkrecht über dem Punkt A und es gilt:

AC 11cm= , BD 6 cm= , AM 4 cm= und AS 8,5 cm= .

C 3.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der


Für die Zeichnung gilt: q = 1

2; ω = 45°

Berechnen Sie sodann das Maß ε des Winkels SMA und die Länge der Strecke

[MS] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnisse: ε= 64,80°; MS 9,39cm= ] 4 P

C 3.2 Der Punkt N [MS]∈ ist der Mittelpunkt der Strecke [EF] mit E [BS]∈ und

F [DS]∈ . Dabei gilt: [EF] || [BD] und SN 5 cm= .

Zeichnen Sie die Strecke [EF] in das Schrägbild zu 3.1 ein und berechnen Sie die

Länge der Strecke [EF] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: EF 3,19 cm= ] 2 P

C 3.3 Die Punkte nP [AS]∈ mit nSP x cm= bilden zusammen mit den Punkten E und F

Dreiecke EFPn. Die Winkel SNPn besitzen das Maß ϕ.

Zeichnen Sie das Dreieck EFP1 für x = 2,5 in das Schrägbild zu 3.1 ein.

Berechnen sie sodann das Maß ϕ des Winkels SNP1. (Auf zwei Stellen nach dem

Komma runden.)

[Teilergebnis: 1NP 2,94 cm= ] 3 P

C 3.4 Unter den Dreiecken EFPn hat das Dreieck EFP0 den kleinsten Flächeninhalt.

Zeichnen Sie das Dreieck EFP0 in das Schrägbild zu 3.1 ein und berechnen Sie

sodann den Flächeninhalt Amin. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) 3 P

C 3.5 Der Punkt N ist die Spitze der Pyramide ABDN.

Zeichnen Sie die Pyramide ABDN in das Schrägbild zu 3.1 ein.

Berechnen Sie anschließend den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide

ABDN am Volumen der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma

runden.) 4 P


Abschlussprüfung 2002an den Realschulen in Bayern

Mathematik II Aufgabengruppe B Aufgabe B 3


B 3.1

A

B

C

D

S

M

P1

Q1

R1

T1

L1

α


10 cmtan 59,04 ]0 ;90 [

6 cmα = α = ° α∈ ° °

2 2AS 10 6 cm AS 11,66 cm= + =4

B 3.2 Einzeichnen der Pyramide P1Q1R1T1M

x ]0;11,66[∈2


- 2 -

B 3.3 1 1 1 1 1 1

1 1V P R Q T ML

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

1 1ML 10 cm SL= −

1SLsin59,04

4 cm° = 1SL 3,43 cm= 1ML 6,57 cm=

1 1P Lcos59,04

4 cm° = 1 1P L 2,06 cm= 1 1 1 1P R 2 P L= ⋅ 1 1P R 4,12 cm=

1 1Q T 3,43 cm

10 cm 10 cm= 1 1Q T 3,43 cm=

3

1 1

1 1V 4,12 cm 3,43 cm 6,57 cm V 15,47 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

3

ABCDS ABCDS

1 1V 12 cm 10 cm 10 cm V 200 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

3

3

15,47 cmp% 100%

200 cm= ⋅ p% 7,74%=

6

B 3.4 2P M 6 cm

sin 59,04 sin[180 (59,04 55 )]=

° °− °+ °

2 2

6 cm sin 59,04P M P M 5,63 cm

sin 65,96

⋅ °= =

°2

B 3.5 0[P M] ist minimal, wenn gilt: 0[P M] [AS]⊥

00

P Msin59,04 P M 5,15 cm

6 cm° = =

2 2 2 2 2(x cm) (10 cm) (5,15 cm) x 10 5,15 x 8,57= − = − =2

16



Punkte bei den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht verändert werden.

Abschlussprüfung 2002an den Realschulen in Bayern

Mathematik II Aufgabengruppe B Aufgabe B 3

B 3.0 Die Raute ABCD mit den Diagonalenlängen AC 12 cm= und BD 10 cm= ist die

Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Diagona-

lenschnittpunkt M der Grundfläche mit MS 10 cm= .

B 3.1 Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbild-

achse liegen soll.


q ; 452

= ω = °

Berechnen Sie sodann das Maß α des Winkels MAS und die Länge der Strecke [AS]

jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: 59,04α = ° , AS 11,66 cm= ]

B 3.2 Die Punkte Pn ∈ [AS], Qn ∈ [BS], Rn ∈ [CS] und Tn ∈ [DS] sind die Eckpunkte von

Rauten PnQnRnTn. Ihre Diagonalen [PnRn] und [QnTn] verlaufen jeweils parallel zu den

Diagonalen [AC] und [BD] und schneiden sich in den Punkten Ln. Es gilt: nP S x cm= .

Die Punkte Pn, Qn, Rn, Tn und M legen Pyramiden PnQnRnTnM fest.

Zeichnen Sie die Pyramide P1Q1R1T1M für x = 4 in die Zeichnung zu 3.1 ein.

Geben Sie an, für welche Werte von x es Pyramiden PnQnRnTnM gibt.

B 3.3 Berechnen Sie das Volumen V1 der Pyramide P1Q1R1T1M und sodann den prozentua-

len Anteil von V1 am Volumen V der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem

Komma runden.)

B 3.4 Die Seitenkante [P2M] der Pyramide P2Q2R2T2M schließt mit der Grundfläche ABCD

der Pyramide ABCDS den Winkel P2MA mit dem Maß ε = 55° ein.

Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [P2M]. (Auf zwei Stellen nach dem Komma

runden.)

B 3.5 In der Pyramide P0Q0R0T0M ist die Länge der Seitenkante [P0M] minimal.

Berechnen Sie 0P M und den dazugehörigen Wert für x. (Auf zwei Stellen nach dem

Komma runden.)


4 16

3.1


tan α = cm10

cm8 ; α = 38,66° 0° < α < 90°

²8²10FS += cm FS = 12,81 cm 4

3.2 Einzeichnen des Dreiecks PQ1R1

cm81,12

cm)981,12(

cm8

QR 11 −= 11QR = 2,38 cm

Abschlussprüfung 2000 B

- 4 -

°−+= 66,38·cos6·9·2²6²9PM1 cm 1PM = 5,72°

A ∆ PQ1R1 = 2

1· 2,38 · 5,72 cm² A ∆ PQ1R1 = 6,81 cm²

5

3.3 )7566,38180sin(

cm6

75sin

xcm

°−°−°=

° ; x = 6,33 x < 12,81 ; x ∈ %

2

3.4 3PM = 6 · sin38,66° cm 3PM = 3,75 cm

PS = ²8²4 + cm PS = 8,94 cm

3PM ∈ [3,75 cm ; 8,94 cm[ 3 14

47

Hinweis: Bei einigen Aufgaben sind auch andere Lösungswege möglich. Für richtige andere

Lösungen gelten die jeweils angegebenen Punkte entsprechend; die Gesamtzahl bei

den einzelnen Teilaufgaben darf jedoch nicht überschritten werden.

3.0 Das Rechteck ABCD mit AB = 10 cm und BC = 8 cm ist die Grundfläche der Pyramide

ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dein Mittelpunkt E der Strecke [AD] und es

gilt ES = 8 cm. Der Punkt F halbiert die Strecke [BC]

3.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [EF] auf der Schrägbildachse

liegen soll.

Für die Zeichnung: q = 2

1 ; ω = 45°

Berechnen Sie sodann das Maß α des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS] je-

weils auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: α = 38,66°]

3.2 Der Punkt P liegt auf [EF] mit EP = 4 cm. Für die Punkte Mn auf [FS] gilt nFM = x cm

mit x < 12.81 und x∈ %. Die Punkte Mn sind die Mittelpunkte von Strecken [QnRn] mit

Qn auf [CS], Rn auf [BS] und [QnRn] [BC].

Die Punkte P, Qn und Rn sind die Eckpunkte von Dreiecken PQnRn. Zeichnen Sie das

Dreieck PQ1R1 für x = 9 in das Schrägbild zu 3.1 ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQ1R1. (Auf zwei Stellen nach

dem Komma runden.)

3.3 Für das Dreieck PQ2R2 gilt ∃FPM2 = 75°. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x auf

zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

3.4 Im Dreieck PQ3R3 hat die Höhe 3PM den kleinstmöglichen Wert. Berechnen Sie 3PM

auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Ermitteln Sie sodann das Intervall für die Höhen nPM der Dreiecke PQnRn

(Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet).

Abschlussprüfung 2000 B

3.0 Im gleichschenkligen Dreieck ABC ist der Punkt M der Mittelpunkt der Basis [BC]

mit BC 12 cm= und AM 7,5 cm= . Das Dreieck ABC ist die Grundfläche der Py-

ramide ABCS mit der Höhe AS 10 cm= .

3.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der Schrägbild-

achse liegen soll.


2; ω = 45°

2 P

3.2 Berechnen Sie das Maß α des Winkels SMA, die Länge der Strecke [MS] und das

Volumen V der Pyramide auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

[Teilergebnis: α = 53,13°; MS 12,50 cm= ] 3 P

3.3 Die Strecke [PQ] ist parallel zu [BC], wobei der Punkt P auf [BS] und der Punkt Q

auf [CS] liegt. Der Punkt N ist der Mittelpunkt der Strecke [PQ] und es gilt:

NM 4 cm= . Punkte Rn auf [AS] sind Eckpunkte von Dreiecken PQRn.

Zeichnen Sie das Dreieck PQR1 mit 1SNR 60= °H in das Schrägbild zu 3.1 ein.

Berechnen Sie sodann den Flächeninhalt des Dreiecks PQR1. (Auf zwei Stellen

nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: PQ 8,16 cm= ] 5 P

3.4 Für das Dreieck PQR2 gilt: 2SR 3 cm= .

Zeichnen Sie das Dreieck PQR2 in die Zeichnung zu 3.1 ein und berechnen Sie das

Maß ε des Winkels PR2Q auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. 3 P

3.5 Das Dreieck PQR3 ist gleichseitig.

Berechnen Sie auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet die Länge der Stre-

cke [NR3] und zeichnen Sie das Dreieck PQR3 in die Zeichnung zu 3.1 ein.

Berechnen Sie sodann das Maß ϕ des Winkels NR3S auf zwei Stellen nach dem

Komma gerundet.

[Teilergebnis: 3NR 7,07 cm= ] 3 P

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1. Schulaufgabe aus der Mathematik Klasse 10 ___ Datum: ________________ Name: ________________


3.1

S

A

B

M

C

P

N

Q

R2

R1

R3

2

3.210 cm

tan7,5 cm

α = 53,13α = ° ]0 ;90 [α∈ ° °

2 2MS 10 7,5 cm= + MS 12,50 cm=

3

ABCS

1 1V 12 7,5 10 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

ABCSV 150 cm=

3

1.

1.

1.

- 2 -

3.3 Einzeichnen des Dreiecks PQR1

1PQR 1

1A PQ NR

2= ⋅ ⋅

PQ (12,5 4) cm

12 cm 12,5 cm

−=

12 8,5PQ cm

12,5

⋅= PQ 8,16 cm=

1NR S 180 (90 53,13 ) 60= °− °− ° − °H 1NR S 83,13= °H

1NR 8,5 cm

sin(90 53,13 ) sin 83,13=

°− ° °

1

8,5 sin 36,87NR cm

sin83,13

⋅ °=

° 1NR 5,14 cm=

1

2

PQR

1A 8,16 5,14 cm

2= ⋅ ⋅

1

2

PQRA 20,97 cm=

5

3.4 Einzeichnen des Dreiecks PQR2

2 2

2NR 3 8,5 2 3 8,5 cos36,87 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° 2NR 6,36 cm=4,08 cm

tan2 6,36 cm

ε= 65,36ε = ° ]0 ;180 [ε∈ ° °

3

3.5 3NRtan 60

0,5 PQ° =

⋅ 3NR 4,08 tan 60 cm= ⋅ ° 3NR 7,07 cm=

Einzeichnen des Dreiecks PQR3

sin sin 36,87

8,5 cm 7,07 cm

ϕ °=

8,5 sin 36,87sin

7,07

⋅ °ϕ =

Aufgrund der Zeichnung gilt:

( 46,17 ) 133,83ϕ = ° ∨ ϕ = °3

16

1.

1.

1.

1.

2.0 Die nebenstehende Skizze zeigt ein

Schrägbild der Pyramide ABCS, deren

Grundfläche ein gleichschenkliges Drei-

eck ABC mit der Basis [BC] ist. M ist der

Mittelpunkt der Basis [BC] mit

BC 12 cm= . Für die Dreieckshöhe

[AM] gilt: AM 8 cm= . Die Seitenflä-

che BCS der Pyramide ABCS ist ein

gleichseitiges Dreieck. Der Neigungs-

winkel SMA der Seitenfläche BCS zur

Grundfläche ABC der Pyramide hat das

Maß 65°.

S

C

M

B

A

2.1 Berechnen Sie die Streckenlänge MS auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Zeichnen Sie sodann das Schrägbild der Pyramide ABCS, wobei [AM] auf der



2; ω = 45°

[Teilergebnis: MS 10,39 cm= ] 3 P

2.2 Berechnen Sie die Länge der Seitenkante [AS] und das Maß α des Winkels MAS.

(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: AS 10,08 cm= ] 2 P

2.3 Berechnen Sie das Volumen V der Pyramide ABCS und den Flächeninhalt der Sei-

tenfläche ABS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)

[Teilergebnis: 3V 150,72 cm= ] 5 P

2.4 Der Punkt F ist der Fußpunkt des Lotes von A auf die Strecke [MS]. Außerdem ist

F der Mittelpunkt der Strecke [PQ] mit P [BS]∈ und Q [CS]∈ und [PQ] || [BC] .

Das Dreieck PQS ist die Grundfläche der Pyramide PQSA mit der Spitze A.

Zeichnen Sie die Pyramide PQSA in das Schrägbild zu 2.1 ein.

Berechnen Sie die Streckenlängen AF , SF und PQ . (Auf zwei Stellen nach dem

Komma runden.)

[Teilergebnisse: SF 7,00 cm= ; PQ 8,08 cm= ] 4 P

2.5 Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide PQSA am Vo-

lumen der Pyramide ABCS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.) 3 P

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1.

1. (Nachhol-)Schulaufgabe aus der Mathematik Klasse 10 ___ Datum: ___ Name:______________


2.1 12

MS 3 cm2

= MS 10,39 cm=

S

Q

C

M

B

A

P

F

65°

α

Zeichnen des Schrägbildes der Pyramide ABCS

3

2.2 2 2AS 8 10,39 2 8 10,39 cos 65 cm= + − ⋅ ⋅ ⋅ ° AS 10,08 cm=

2 2 28 10,08 10,39

cos2 8 10,08

+ −α =

⋅ ⋅ 69,05α = ° ]0 ;180 [α∈ ° °

2

1.

1.

1.

- 2 -

2.3 h 10,39 cm sin 65= ⋅ ° h 9,42 cm=

1 1

V 12 cm 8 cm 9,42 cm3 2

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3V 150,72 cm=

2 2AB 8 6 cm= + AB 10 cm=

2 2 212 10 10,08

cos SBA2 12 10

+ −=

⋅ ⋅H SBA 53,61= °H

2

ABS

1A 10 12 sin 53,61 cm

2Δ = ⋅ ⋅ ⋅ ° 2

ABSA 48,30 cmΔ =

5

2.4 Einzeichnen der Pyramide PQSA

AF 8 cm sin 65= ⋅ ° AF 7,25 cm=

2 2SF 10,08 7,25 cm= − SF 7,00 cm=

PQ SF

BC SM=

7,00 cm 12 cm

PQ10,39 cm

⋅= PQ 8,08 cm=

4

2.5 PQSA

1 1V 8,08 cm 7,00 cm 7,25 cm

3 2= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3

PQSAV 68,34 cm=

3

3

68,34 cm100% 45,34%

150,72 cm⋅ =

3

17

1.

1.

1.

1.

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