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Ausgleich von Ausgleich von SterbetafelnSterbetafeln
Andrea Borenich
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Ausgleich von Sterbetafeln
Sterbetafeln Bestimmung der rohen
Sterbewahrscheinlichkeiten Ausgleich von Sterbetafeln
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Inhalt von Sterbetafeln
Sterbewahrscheinlichkeit qx eines x-jährigen
zahlreiche weitere Kenngrößen
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Arten von Sterbetafeln:
Periodensterbetafel Selektionssterbetafel Kompakttafel Dekrementtafel Generationssterbetafel
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Periodensterbetafel
Werden auf Grund von gewöhnlichen
Sterbehäufigkeiten berechnet Beziehen keine weiteren Parameter außer
dem Alter mit ein
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Selektionssterbetafel
Zusätzliche Parameter (Zeitpunkt)
z.B.: Eintreten der Invalidität Durchführung einer ärztlichen Kontrolle
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Kompakttafel
beinhaltet Abschlusszeitpunkt der Versicherung
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Dekrementtafel
Auch andere Austrittsmöglichkeiten als Tod zugelassen (werden wie Tod behandelt)
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Generationssterbetafel
Entwicklung der Sterbewahrscheinlichkeiten über einen längeren Zeitraum hinweg betrachtet
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Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (1) Lx… Gesamtheit der Personen mit Alter x
Tx… Anzahl der Todesfälle im folgenden Jahr
qx… Wahrscheinlichkeit des Todes einer Person (Zufallsereignis)
Rel. Häufigkeit: (einfacher Schätzwert für qx)
xxx LqTE
x
x
L
T
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Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (2) Geschlossene Gemeinschaft:
Eintritt nur durch Geburt möglich
Austritt nur durch Tod möglich Offene Gemeinschaft:
Freiwilliger Ein- und Austritt möglich
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Bestimmung der rohen Sterbewahrscheinlichkeiten (3) Geburtsdaten der Personengesamtheit
unterscheiden sich voneinander die Daten aus Volkszählungen ergeben
sich zu gewissen Stichtagen => Einführung von ganzzahligen t, τ
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Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (1) L(t, τ ):
Anzahl der Lebenden am 1.1. eines Kalenderjahres t, die im Kalenderjahr τ geboren sind
T(−)(t, τ ):Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τgeboren sind und das Lebensjahr t− τ zum Zeitpunkt des Todes noch nicht vollendet haben
T(+)(t, τ )Zahl der Todesfälle im Kalenderjahr t von Personen, die im Jahr τ geboren sind und das Lebensjahr t − τ zum Zeitpunkt des Todes bereits vollendet haben
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Schätzwert für qx bei geschlossener Gemeinschaft (2)am Stichtag 1.1. des Jahres t:
Lx = L(t, t − x − 1) + T(+)(t − 1, t − x − 1)
sowie
Tx = T(+)(t − 1, t − x − 1) + T(−)(t, t − x − 1),
Schätzwert für qx:
1) - x - t 1, -(t T 1) - x - t L(t,
1) - x - t (t,T 1) - x - t 1, -(t T
L
Tq̂
)(
(-))(
x
xx
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Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (1) Ex… Die Zahl neu eintretender Personen des Alters x Ax… Die Anzahl abwandernder Personen des Alters x ex,v... die vom v-ten Eintretenden im
Beobachtungszeitraum innerhalb der Personengemeinschaft verbrachte Zeit
ax,v … die vom v-ten Austretenden außerhalb verbrachte Zeit
diese Zeiten betragen im Durchschnitt ein halbes Jahr (sofern keine anderen Informationen vorliegen).
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Schätzwert für qx bei offener Gemeinschaft (2)Es gilt und .
Zahl der Todesfälle:
Schätzwert für qx:
v
xvx, 2
Ee
v
xvx, 2
Aa
xxx
v vxxxvx,xvx,xxx q
2
A - E qL qaqe qL]E[T
2A-E
L
Tq̂
xxx
xx
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Ausgleich von Sterbetafeln
Anzahl der Todesfälle ist als Zufallsvariable gewissen Schwankungen unterworfen
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Möglichkeiten
Graphische Ausgleichung Sterbegesetze Analytische Ausgleichung Mechanische Ausgleichung
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Graphische Ausgleichung
Konstruktion einer Kurve, die sich optisch gut an die Daten anpasst
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Sterbegesetze (1)
Gompertz:
Aus der Annahme, die Sterbeintensität
sei von der Form
ergibt sich .
lx… Zahl der Lebenden
xx lnldx
dμ x
x bcμ
xcx kgl
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Sterbegesetze (2)
Makeham:
Erweitert man dies auf , so erhält man
.
Der Vorteil besteht hier darin, dass verschiedenste
versicherungsmathematische Formeln eine
besonders schöne Form erhalten.
xx bcaμ
xcxx gksl
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Analytische Ausgleichung (1)
Ausgleichende Kurve in der Form f(x,a0,…,am), wobei ai Parameter
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Analytisches Verfahren von King und Hardy (1)
Formel von Makehamxcx
x gksl 1)(cc
x
1xxx
x
sgl
lq1p
xbca lng1)(cclnslnp xx
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Analytisches Verfahren von King und Hardy (2)Parameter a, b, c müssen geschätzt werdendie rohen Sterbewahrscheinlichkeiten für x0 < x < x0+3m−1 gegeben
die Wahrscheinlichkeit für einen (x0 + (k − 1)m)-jährigen, weitere m Jahre zu leben
1
11 0
ˆˆm
iixp
1
12 0
ˆˆm
iimxp
1
123 0
ˆˆm
iimxp
1
11 0
m
iixp
1
12 0
m
iimxp
1
123 0
m
iimxp
k
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Analytisches Verfahren von King und Hardy (3)
1
011 0)ˆln(ˆlnln
0
0
m
iix
ix pcbca
1
022 0)ˆln(ˆlnln
0
0
m
iimx
imx pcbca
1
02
233 0)ˆln(ˆlnln
0
0
m
iimx
imx pcbca
mc1
12
23 )ˆlnˆln
ˆlnˆln(
)ˆlnˆln()1(
121
m
mc
cma)ˆlnˆ(ln
)1(
11220
mx cc
cb
n
xnx
nxnx cpp
pp
lnln
lnln 2
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Analytische Ausgleichung (2)
Nachteil:
Bei geringer Anzahl von Parametern werden die
Kurven nicht gut genug angepasst bzw. erst ab
einem gewissen Alter (meist etwa > 30 Jahre)
können brauchbare Näherungen geliefert werden.
Bei großer Parameterzahl wächst hingegen der
rechnerische Aufwand.
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Mechanische Ausgleichung
Durch Mittelwertbildung werden
Schwankungen ausgeglichen und dadurch
wird die Datenreiche geglättet
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Mechanische Ausgleichung von Wittstein (1) arithmetische Mittel aus fünf aufeinander
folgenden Werten gebildet und dieser Vorgang einmal iteriert
jinji
n aA
2
2
2
2 5
1
5
1
)a a2 a3 a4 a5 a4a3a2(a25
1A 4n3n2n1nn1n-2n3n4nn
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Mechanische Ausgleichung von Wittstein (2)Dies kann auch folgendermaßen interpretiert werden. Man legt für je eine Gerade
durch die Punkte (n − i, an−i) und (n − i + 5,
an−i+5). Auf jeder dieser Geraden wird der Wert an der Stelle n bestimmt und daraus das arithmetische Mittel gebildet. Dabei kommt man auf
50 i
4
0555
1
iinininn aa
iaA
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Andere Methoden
Wollhouse -> Parabeln Karup -> Polynome 3. Grades