baireuther – aufbau arithmetischer grundvorstellungen 1. arithmetische grundvorstellungen -...

Baireuther – Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen

1. Arithmetische Grundvorstellungen - Begriffsbildung2. Grundvorstellungen von Zahlen und Zahlenräumen 2.1. Zahlaspekte 2.2 Zahldarstellung in Lernmaterialien3. Grundvorstellungen zu Addition und Subtraktion 3.1. Aufbau von Operationsverständnis 3.2. Ausbau flexibler Rechenkompetenzen 3.3. Schulung effektiver Rechenkompetenzen 3.4. Rechnen in erweiterten Zahlbereichen4. Grundvorstellungen zu Multiplikation und Division 4.1. Aufbau von Operationsverständnis 4.2. Ausbau flexibler Rechenkompetenzen (4.3. Schulung effektiver Rechenkompetenzen 4.4. Rechnen in erweiterten Zahlbereichen) 5. Aufbau von Arithmetischen Grundvorstellungen 5.1. Aufgabenkultur 5.2. Integration verschiedener Grundvorstellungen

Grundvorstellung - Begriffsbestimmung

Erweiterte und modifizierte Beschreibung

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen - Unterrichtskultur

förderlich für operatives Handeln

mentale (visuelle) Repräsentation

durch sinnstiftende Lernerfahrungen

integrationsfähig

tragfähig

Grundvorstellung

liegt dem systematischen mathematischen Handeln zugrunde

bedeutungsvoll

ausbaufähig

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Mentale oder visuelle Repräsentation- sinn- und bedeutungsvoll

Prinzip vom Intermodalen Transfer:Lernerfahrungen sollen so angelegt sein, dass auf Dauerdie Übertragung zwischen allen drei Repräsentationsmodi möglich ist.

E-I-S-Prinzip (J.S. Bruner 1972)Lernerfahrungen müssen sowohl auf der enaktiven wie auf der ikonischen als auch auf der symbolischen Ebene angesiedelt sein.

Terme und Rechenhandlungen regelmäßig interpretieren

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Offen und förderlich für operatives Handeln

Kennzeichen kognitiver Gruppierungen:- Kompositionsfähigkeit- Assoziativität- Reversibilität- Identität

Operatives Prinzip (H. Aebli 1963)Die aus konkreten Lernhandlungen (durch Verinnerlichung) erworbenen mentalen Operationen sollen sich in Gruppierungen organisieren

Konkrete Rechenhandlungen in systematischen Zusammenhang einbetten: - Nachbaraufgaben - Umwegaufgaben- Umkehraufgaben- Ergebnisgleiche Aufgaben

jeweils anschaulich interpretieren

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Tragfähig für größere Aufgabenbereiche

speziell: Generalisierende VariationDamit die Allgemeingültigkeit einer mathematischen Regel (einer Formel, eines Verfahrens) erkennbar wird, muss ausgehend von einfachen Beispielen ein beliebig fortsetzbares Netz von Erfahrungen entstehen.

Was passiert, wenn ...?

Prinzip der mathematischen Variation (Z.P. Dienes 1970)Damit es beim Schüler zur Bildung eines Begriffes (Verfahrens ..) kommt, müssen genügend variierte repräsentative Beispiele vorliegen.

speziell: Funktionale VariationDamit die Wirkung einer mathematischen Zuordnung deutlich wird, müssen die Eingaben systematisch variiert werden.

Was passiert, wenn ...?

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Ausbaufähig bei Erweiterungen des Zahlenraumes

Welche Vorstellungen haben wir bei „einfacheren“ Beispielen ?

Die Behandlung eines Wissensgebietes soll so erfolgen, dass auf höherem Niveau ein Ausbau möglich wird

Die Behandlung eines Wissensgebietes ist nicht aufzuschieben, bis sie abschließend möglich erscheint

Spiralprinzip (Bruner 1972)

Prinzip des vorwegnehmenden Lernens

Prinzip der Fortsetzbarkeit

Ausbau der „digitalen“ Grundvorstellung


Produkt großer Zahlen

3

6 3 0

1 02

5

6

18

+4 0 2 4 6 4

4 8

1 6+

Einmaleins

27

34

4E

2Z 6H

7E

3Z

8Z

4E

2Z6H

7E

3Z

8Z

Ausbau der „digitalen“ Grundvorstellung


Deutung

Diese Vorstellung ermöglicht auf allen Ebenen wichtige (arithmetische)Erfahrungen zur Multiplikation

2,7

3,4

.2 ,7 3,4. 1= (27 34) 100

.

.

51= (13 11) 4 5

. 114

134

13

511

. .

Brüche

52

43

43

4von 3

52

Dezimal-brüche

Die systematische Bestimmung von Flächeninhalten ist Grundvorstellung für die systematische Berechnung von Produkten.

Ausbau der „analogen“ Grundvorstellung


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Multiplikation als Operation mit Skalen

a) Vervielfachen mit Skalen1m al 2m al 3m al 4m al 5m al ...

1 4 7 10 13 162 5 8 11 14 173 6 9 12 15M aßzahl-S kala

Zähl-Skala

ab b

Zähl-Skala

M aßzahl-S kala

1

.

a

b) Umkehrungen: Division

- Messenb

M aßzahl-S kalac

c:bZähl-Skala

1

1

aZähl-Skala

M aßzahl-S kalacb :a

1

Ausbau der „analogen“ Grundvorstellung


Brüche

c) Dezimalbrüche

d) Rationale Zahlen

2,3

1

.

3,72

1

1 2 3

.

3/4

2/5

0 1-1-2-4-5-6 2 3 4 5

12 -1 -20

.-3

Ausbau der Grundvorstellung „proportional“


b) Vervielfachung mit großen Zahlen

.1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0

.1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0 .1 0

a) Vervielfachung des Zahlenraumes – analoge Skalen

.10

Ausbau der Grundvorstellung „proportional“


d) Proportionale Zuordnung

c) Division als direkte Umkehroperation

Der Multiplikation (Division) mit Größen entspricht als Grundvorstellung die proportionale Zuordnung mit der Doppelskala als Visualisierung.Diese Grundvorstellung ermöglicht auf allen Ebenen wesentliche Einsichten in die Auswirkung der Multiplikation auf Größenordnungen.

E uro

C H F r

Aufbau arithmetischer Grundvorstellungen – UnterrichtskulturGrundvorstellung: - Integrationsfähig in arithmetisches Gesamtkonzept

Kannst Du die Aufgabe auch anders darstellen? Was ändert sich, was bleibt gleich?

Prinzip der Variation der Veranschaulichung

Um bei der Begriffsbildung individuelle Zugänge und das Erfassen des mathematischen Kerns zu fördern, muss die begriffliche Struktur in möglichst vielen repräsentativen

Veranschaulichungen geboten werden

Grundvorstellungen - Perspektiven

Erweiterte und modifizierte Beschreibung


förderlich für operatives Handeln

mentale (visuelle) Repräsentation

durch sinnstiftende Lernerfahrungen

integrationsfähig

tragfähig

Grundvorstellungen werden nur wirksam, wenn sie kontinuierlich genutzt und regelmäßig evaluiert werden

bedeutungsvoll

ausbaufähig

baireuther – aufbau arithmetischer grundvorstellungen 1. arithmetische grundvorstellungen -...

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