basissysteme, ort und impuls - institut für...

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Basissysteme, Ort und Impuls

Zweites Projekt zur VO Quantenmechanik

Gruppe Fermi

Gruppenmitglieder: Arnulf Wurzer, Markus Rems, David Tudiwer,Oliver Senekowitsch, Martin Stolterfoht, Paul Pirkner

1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL 2

1 Basissysteme und Basiswechsel

1.1 Basissysteme von Operatoren

Ein quantenmechanischer Zustand |a〉 werde dargestellt durch einen Vektor aus dem Vek-torraum (Hilbertraum). Dieser Vektor kann durch eine Linearkombination von Elementeneiner beliebigen Basis |ϕn〉 aufgespannt werden, wobei diese aus einer maximalen Anzahllinear unabhangiger Vektoren besteht und die Anzahl der Basiselemente die Dimensiondes Vektorraums bestimmt.

|α〉 =∑nan |ϕn〉 (1.1)

Ein Operator auf dem Vektorraum, der selbstadjungiert ist, fur den A = Atgilt, hat reelleEigenwerte und orthogonale Eigenvektoren. Die Eigenvektoren bilden eine orthonormaleBasis.

Jedes Element des Vektorraumes kann nun in der Basis des Operators dargestellt werden.

|α〉 = cn |an〉 (1.2)

|an〉 ... n-tes Basiselement der Operatoreigenbasis.

1.2 Basiswechsel

Es ist nun sinnvoll zu fragen, wie man vom Basissystem des einen Operators ins Basis-system eines anderen transformieren kann.

1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL 3

1.2.1 Allgemein

Ein Basiswechsel ist ein Isomorphismus - also eine bijektive Abbildung zwischen zweimathematischen Strukturen - bei der Teile der einen Struktur auf bedeutungsgleiche Teileeiner anderen Struktur abgebildet werden.2

In unserem Fall sind die zwei Basissysteme {an} und {bn} die mathematischen Struk-turen. Bedeutungsgleiche Abbildungen meint, dass die speziellen Eigenschaften - alsolineare Unabhangigkeit der neuen Basiselemente sowie Vollstandigkeit im Bezug auf denVektorraum - erhalten bleiben.

1.2.2 Basiswechsel von Operatoren

Der Basiswechsel wird mit Hilfe einer unitaren Transformation durchgefuhrt.

|bk 〉 = u |ak〉 (1.3)

mit u = Σk|bk〉〈ak|

|bk〉 ... k-tes Basiselement des Raums B|ak〉 ... k-tes Basiselement des Raums A

Beweis: u |ak〉 =∑i

|bi〉〈ai|uk 〉 =∑i

|bi〉 δik = |bk〉

wie vorher erwahnt ist u eine unitare Transformation

⇐⇒ uut = utu = 1

Beweis: uut =∑i

|bi〉〈ai|∑k

|ak〉〈bk| =∑i,k

|bi〉〈ai|ak 〉〈bk| =∑i,k

|bi〉δik〈bk| =∑i

|bi〉〈bi| = 1

Wir fassen zusammen: Der Operator U =∑i

|bi〉〈ai| fuhrt die Basiselemente der Basis B

in jene der Basis A uber und ist unitar.

Nun stellt sich die Frage was mit einem Operator passiert, wenn man die Operatoren Uund U t auf ihn anwendet.

2 VERALLGEMEINERUNG AUF UNENDLICH DIMENSIONALEVEKTORRAUME4

Aik{ai}= 〈ai|A|ak〉 .... i, k tes Element des Operators A im Basissystem von {ai}

UAU t =∑i

|ai〉〈bi|Aik{ai}

∑k

|bk〉〈ak|

=∑i,k

|ai〉〈bi| 〈ai|A|ak〉 |bk〉〈ak|

=∑i,k

〈ai|ai〉〈bi|A|bk〉〈ak|ak〉

=∑i,k

〈bi|A|bk〉 = Aik {bi} .... i, k tes Element des Operators A im Basissystem von {bi}

Der Operator in der Basis {ai} wird also in die Basis {bi} transformiert.

2 Verallgemeinerung auf unendlich dimensionaleVek-

torraume

Die bisher dargestellten Beziehungen gelten zunachst nur fur endlich dimensionale Vek-torraume, konnen aber unter bestimmten Voraussetzungen auf unendlich dimensionaleVektorraume verallgemeinert werden.1

Zunachst stellt sich die Frage, wie sieht die Basis eines unendlich dimensionalen Vektor-raum aus? Fur endlich dimensionale Vektorraume war die Basis diskret und bestand auseiner endlichen Anzahl von Basiselementen.

Fur unendlich dimensionale Vektorraume ist das im Allgemeinen nicht mehr erfullt. Hierkann die Basis auch kontinuierlich sein.

Dies hat Auswirkungen auf die bekannten Relationen:

4 IMPULSOPERATOR 8

Das bedeutet also, dass die Wirkung des Translationsoperators auf einen Zustand alsTranslation (der Koordinaten) der Wellenfunktion und somit der Koeffizienten der Bas-isfunktion verstanden werden kann.

Es gelten folgende Relationen:

T (dx + dx′) = T (dx) ◦ T (dx′)

T (−dx) = T (dx)−1 daraus folgt T (dx) ◦ T (−dx) = T (dx− dx)

= T (0) = I mit I=Identitatsoperator

T ist unitar: T (dx)t ◦ T (dx) = I

Es gibt eine Verallgemeinerung auf R3 : T ( ~dx) = T (dx, dy, dz)

4.2 Impulsoperator als Generator des Translationsoperators

Zunachst wollen wir zeigen, dass sich ein unitarer Operator U als Exponentialfunktioneines hermitischen Operators H darstellen lasst.

Annahme: U = eiH zu zeigen U tU = 1

U t = (eiH)T

=∑n

(iH)n

n!=∑n

(−i)n(Ht)n

n!

mit H = H t folgt∑n

(−iH)n

n!= e−iH

⇒ UUt = eiHe−iH = 1 q.e.d.

Da T ein unitarer Operator ist, muss er sich durch die Exponentialfunktion eines hermi-tischen Operators P darstellen lassen.

T (dx) = eic~P d~x ,

wobei c eine Konstante ist und festgelegt wird als c ≡ − 1} .

⇒ T (dx) =∑n

(−i} )

n

n!(~Pd~x)n ' 1− i

}~Pd~x+O(d~x)2

Da der Exponent dimensionierbar sein muss, folgt fur [~P ] :

4 IMPULSOPERATOR 9

[~P ] [d~x]

[}]= 1 ⇒ [~P ] =

[}]

[dx]=

[E] [t]

[s]=

[F ] [s] [t]

[s]=

=[m] [s] [t]

[t]2=

[m] [s]

[t]= [m] [v] = [P ]

woraus Folgt, dass der Operator ~P die Dimension eines Impulses hat.

4.3 Eigenschaften des Impulsoperators

Als erstes wollen wir die Eigenschaft festhalten, die wir im vorherigen Abschnitt benotigthaben um den Impulsoperator als Generator der Translation zu identifizieren.

P ist ein hermitischer Operator ⇒ P t = P

Nun soll eine Kommutatorrelation zwischen dem Ortsoperator X und dem ImpulsoperatorP hergeleitet werden.

Dazu ist es notwendig den Kommutator von X und T(dx) zu berechnen.

[X,T (dx)]|x〉 = X T (dx) |x〉 − T (dx)X |x〉= X |x+ dx〉 − T (dx) x |x〉= (x+ dx) |x+ dx〉 − x |x+ dx >

= dx |x+ dx >

⇒ [X,T (dx)] = dx

(4.1)

T (dx) = 1− i

}Pxdx⇒ [X,T (dx)] = [X, 1− i

}Pxdx] = dx

= X(1− i

}Pxdx)− (1− i

}Pxdx)X

= X − i

}dxX P x −X +

i

}dx P x X

= − i}

dx[X,P ] = dx

⇒ [X,P ] = i} (4.2)

4 IMPULSOPERATOR 10

Um die Kommutatorrelation zu vervollstandigen fehlen uns noch:

[Xi, Pj] fur i 6= j

[Pi, Pj]

[X,T (dy)] |~x〉 = X T (dy) |~x〉 − T (dy)X |~x〉 = X|x, y + dy, z〉 − x T (dy) |~x〉

= x |x, y + dy, z〉 − x |x, y + dy, z〉 = 0

[X,T (dy)] = 0⇒ [X,Py] = 0⇒ [Xi, Pj] = 0 (4.3)

fur i 6= j

[T (dx), T (dy)] |~x〉 = T (dx)T (dy) |~x〉 − T (dy)T (dx) |~x〉 = 0 ⇒ [Pi, Pj] = 0 (4.4)

und somit vervollstandigt sich der Satz an Relationen zu:

[Xi, Pj] = 0

[Pi, Pj] = 0

[Xi, Pj] = i} δij(4.5)

4.4 Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum

Wir betrachten einen Zustand |α〉 auf den der Translationsoperator angewendet wird.

Um die Wirkung des Impulsoperators herauszuarbeiten, wendet man einmal den Trans-lationsoperator selbst an. Anschließend stellt man ihn durch den Impulsoperator dar undvergleicht die beiden Ergebnisse.

T (dx)|α〉 =´R

dx T (dx) |x〉〈x|α〉 =´R

dx |x〉 ψα (x− dx)

4 IMPULSOPERATOR 11

nun entwickelt man ψα bis zur ersten Ordnung in dx.

T (dx)|α〉 =

ˆ

R

dx |x〉 (ψα(x) − ∂

∂xψα(x) dx + O(dx2)) (4.6)

T (dx)|α〉 = (1− i

}Pxdx + O(dx2)) |α〉

=

ˆ

R

dx |x〉〈x| (1− i

}Pxdx + O(dx2)) |α〉

(4.7)

Durch Vergleich der beiden Ausdrucke erhalt man:

〈X|Px|α〉 = −i} ∂

∂x〈x|α〉 (4.8)

Zusammenfassend noch einige nutzliche Ergebnisse:

〈x|Px|x′〉 = −i} ∂

∂xδ(x− x′)

〈β|Px|α〉 =

ˆdx′Ψβ(x′)(−i} ∂

∂x′)Ψα(x′)

〈x|P nx |α〉 = (−i})n

∂n

∂xn〈x|α〉

〈β|P nx |α〉 =

ˆdx′Ψβ(x′)(−i})n

∂n

∂x′nΨα(x′)

(4.9)

4.5 Wellenfunktion im Impulsraum

Die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum ist die Eigenwertgleichung

P |p〉 = p|p〉

|p〉 sind die Eigenzustande und p die Eigenwerte des Impulsoperators.

5 FOURIERTRANSFORMATION 12

Um die Wellenfunktion im Impulsraum Φ einzufuhren gehen wir wieder vom allgemeinenZustand |α〉 aus, der im Impulsraum aufgespannt wird.

|α〉 =

ˆ

R

dp′〈p′ |α〉 |p′〉 =

ˆ

R

dp′Φα |p〉 (4.10)

Dies geschieht ahnlich der Aufspannung eines allgemeinen Zustandes im Ortsraum durchdie Eigenzustande des Ortsoperators.

Die Wellenfunktion des allgemeinen Zustandes soll normiert sein, also das Normquadratder Wellenfunktion muss 1 sein.

‖Φ‖2 =

ˆdp′|〈p′ |α〉 |2 = 1 (4.11)

Die Wellenfunktion im Ortsraum haben wir schon besprochen, als nachsten Schritt mussenwir einen Basiswechsel vom Ortsraum in den Impulsraum durchfuhren. Dies geschiehtdurch eine Fouriertransformation (ist eine unitare Transformation).

5 Fouriertransformation

Der Ubergang von Ortsraum in den Impulsraum entspricht einer Transformation zwischenzwei VONS (vollstandig orthonormiertes System).

Der Transformationsoperator U ist:

U∣∣α(k)

⟩=∣∣b(k)⟩ (5.1)

Uik =⟨ai|U

∣∣ak⟩ =⟨ai∣∣bk⟩ (5.2)

wobei∣∣α(k)

⟩und

∣∣b(k)⟩ ein VONS aus dem Hilbertraum darstellt.

Fur den Basiswechsel schreiben wir U |x〉 = |p〉, wir brauchen dafur den Ausdruck fur〈x|p >. Wir erhalten 〈x|p > durch folgende Gleichungen:


Die erste ist die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum und wird von links mit〈x| multipliziert.

〈x| P |p〉 = p 〈x|p〉 (5.3)

und aus der Formel fur die Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum erhalt man:

〈x|Px|p〉 = −i} ∂

∂x〈x|p〉 (5.4)

Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen ergibt:

−i} ∂∂x〈x|p〉 = p 〈x|p〉

Das ist eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung fur 〈x|p〉.∂

∂x〈x|p〉′

〈x|p〉 = p−i} = p i} ⇒ ln〈x|p〉 = px i

} +N0

ln〈x|p〉 = pxi

}+N0

〈x|p〉 = N exp (i

}px)

〈x|p〉 hat die Form einer ebenen Welle und entspricht einer Ortswellenfunktion einesallgemeinen Zustands.

|p〉 =

ˆdx |x〉〈x|p〉 =

ˆdxN exp(

i

}px) |x〉 (5.5)

dabei wurde die Vollstandigkeitsrelation fur unendlichdimensionale Vektorraume verwen-det.

Der Transformationsoperator fur den umgekehrten Fall lautet:

U−1|p〉 = |x〉 (5.6)

mit U−1 = U t ⇒ U t|p〉 = |x〉


Somit ist |x〉 =´

dp |p〉〈p|x〉 und man sieht, dass der Transformationsoperator fur denBasiswechsel vom Impulsraum zum Ortsraum der Komplex-Konjugierte Operator ist.Damit konnen wir die Normierung berechnen:

〈x|x′〉 =´R

dp 〈x|p〉〈p|x′〉=´

dpN2exp( i}(xp− px′)) = N2´

dp exp(− i}p(x

′ − x))

mit 2πδ(x− x′) =´

dp exp(−i(x− x′)p) und folgender Variablentransformation fur p

p} = p′ ⇒ dp = } dp′ ergibt das Integral:

2π}N2 δ(x− x′) = δ(x− x′) und somit N = 1√2π}

Daraus folgt:

〈x|p〉 =1√2π}

exp (i

}xp) (5.7)

〈p|x〉 =1√2π}

exp (− i}

xp) (5.8)

Damit ist gezeigt, dass der Basiswechsel zwischen Orts & Impulsraum uber die Fourier-transformation zusammenhangt.

Das Paar der Fouriertransformierten lautet:

f(x, t) = Ψα(x, t) = 〈x|α〉 =´

dp 〈x|p〉〈p|α〉 =´

dp 〈x|p〉Φα(p, t)

⇒ Ψα(x, t) =1√2π}

ˆ

R

dp Φα(p, t) exp (i

}xp) (5.9)

g(p, t) = Φα(p, t) =〈p|α〉 =´

dx 〈p|x〉〈x|α〉 =´

dx 〈p|α〉Ψα(x, t)

⇒ Φα(p, t) =1√2π}

ˆ

R

dx Ψα(x, t) exp (− i}

xp) (5.10)

Fur Ψ(x, t) und Φ(p, t) gilt das Parsevalsche Theorem:

6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION 15

∞

−∞

dp∣∣Φ(p, t)|2 =

∞

−∞

dp∣∣Ψ(x, t)|2 = 1 (5.11)

Φ(p, t) ist die Amplitude einer Welle mit dem Impuls p. Die Integration von |Φ(p, t)|2 uberalle Impulse soll den Wert 1 ergeben. D.h. |Φ(p, t)|2dp ist die Wahrscheinlichkeit dasElektron mit einem Impuls zwischen p und p+dp zu finden.

6 Die Gaußsche Wellenfunktion

Die Gaußsche Wellenfunktion hat im Ortsraum die allgemeine Form:

〈x|α〉 = ψα(x, t) = 14√πσ2

exp(ikx− x2

2σ2 )

Der erste Term des Exponenten bezeichnet dabei eine ebene Welle zur Wellenzahl k, derzweite Term ist die charakteristische Gaußkurve:

Um diese Funktion darzustellen plotten wir sie mit Mathematica. Dabei ist, wie wir untennoch sehen werden, ein Maß fur die Breite der Wellenfunktion und k proportional zumImpuls in x-Richtung.

Fur wahlen wir 2 und fur k 1:

Figure 6.1: [Realteil der Gauß-Wellenfunktion]


Figure 6.2: [Imaginarteil der Gauß-Wellenfunktion]

Figure 6.3: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion]

Wenn man nun verkleinert, sieht man dass die Ortsraumdarstellung ”lokalisierter” wird:

Fur σ = 1, k = 1:

Figure 6.4: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion; mit = 1 und k = 1:]


Dieses Wellenpaket soll auf 1 normiert sein:

|ψ(x)|2 = 1√

π σexp (−x2

σ2 )

∞

−∞dx exp (−x2

σ2 ) =√π σ

wenn der Realteil von σ2 > 0 ist.

Zwischen den beiden Darstellungen im Orts und Impulsraum ψ(x,t) bzw φ(p,t) bestehteine Korrelation, die auf die Unscharferelation hindeutet. Ist namlich ψ(x,t) in einem engenBereich lokalisiert, so ist die Verteilung von φ(p,t) breit. Um das zu zeigen wollen wir dieFunktion im Impulsraum darstellen. Dazu mussen wir die Funktion fouriertransformierenund wahlen α = 1

2σ2 und β = i ( p} + k ):

FT(ψ(x)) = 14√πσ2

1√2π}

∞

−∞dx exp ( i}px) exp (ikx− x2

2σ2 ) =

= 14√

4π3σ2}2

∞

−∞dx exp (( p} + k) ix − x2

2σ2 ) = 14√

4 π3σ2}2exp (β

2

4α)√

πα

= 14√

4 π3σ2}2exp ((− p2

}2 − 2pk} − k

2) σ2

2)√

2σ2π

also gilt: 〈p|α〉 = φα(x) =√σ

4√π}2

exp ( σ2

2}2 (p+ k}))

Man sieht das die Funktion im Impulsraum reell ist und um den Wert p = }k =〈p〉 zentriert ist.

Das Gauß-Wellenpaket im Impulsraum mit Mathematica geplottet ergibt:


Figure 6.5: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 2 und k = 1:]

Fur einen kleineren Wert von ergibt sich:

Figure 6.6: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 1 und k = 1:]

Die Breite der Funktion im Impulsraum }/σ ist also umgekehrt proportional zur Breiteim Ortsraum σ, also je lokalisierter das Paket im Ortsraum ist, desto ausgedehnter istes im Impulsraum. Kurz gesagt: Je scharfer der Impuls ist, desto ausgedehnter ist dieOrtsraumverteilung.

Fur den Fall das σ gegen Unendlich geht ist die Darstellung im Ortsraum eine ebene Welleund im Impulsraum die δ − Funktion.Diese entspricht genau der Unscharferelation, diejedoch fur das Gauß-Wellenpaket minimal wird.

Dazu mussen wir uns jedoch die Erwartungswerte fur den Orts und Impulsoperator her-leiten:

〈X〉 = 1√π σ

∞

−∞x exp [−x2

σ2 ] dx = 0

weil der Integrand eine ungerade Funktion ist und uber ein symetrisches Intervall integriertwird.


〈X2〉α = 1√πσ2

∞

−∞dx exp(−ikx − x2

2σ2 ) x exp (ikx − x2

2σ2 ) = = 1√2σ2

∞

−∞dx x2 exp (x

2

σ2 ) =

1√πσ2

(−1) ddα

(√

πα

) =

= 1√πσ2

−1

2√πσ2

(−πσ2) = σ2

2

〈P 〉α = 1√πσ2

∞

−∞dx exp(−ikx− x2

2σ2 ) (−i} ddx

) exp(ikx − x2

2σ2 ) =

= −i}√πσ2

∞

−∞dx (ik − x

σ2 ) exp (x2

σ2 ) = i}√πσ2

(ik)√πσ2 = }k

〈P 2〉α = 1√πσ2

∞

−∞dx exp(−ikx− x2

2σ2 ) (−}2 d2

dx2 ) exp (ikx − x2

2σ2 ) =

= −}2√πσ2

∞

−∞dx (− 1

σ2 − k2 − 2ikxσ2 − x2

σ4 ) exp(x2

σ2 ) =

= −}2√πσ2

∞

−∞dx (− 1

σ2 − k2 + x2

σ4 ) exp(x2

σ2 ) =

= −}2√πσ2

(− 1σ2 − k2)

√πσ2 + −}2

√πσ2

(−1σ4 ) d

dα(√

πα

) =

= }2k2 + }2

σ2 − }2

σ4σ2

2= }2

2 σ2 + }2 k2

Daraus folgt die Unscharferelation:

⟨(X − 〈X〉)2⟩ ⟨(P − 〈P 〉)2⟩ =

⟨(4X)2⟩ ⟨(4P )2⟩ = (〈X2〉 − 〈X〉2)(〈P 2〉 − 〈P 〉2) = }2

4

6.1 Darstellung im dreidimensionalen Raum

Im dreidimensionalen Raum muss man bei der Fouriertransformation gleichviele Normierungs-faktoren wie Raumrichtungen haben. Ansonsten sind eindimensionaler und dreidimen-sionaler Raum analog. Es werden ein paar Beispiele angefuhrt.

Betrachten wir z.B. die Eigenwertgleichung im eindimensionalen Raum:


X|x〉= x|x〉

analog dazu im dreidimensionalen Raum:

~X|~x〉 = ~x |~x〉

Orthonormalitat:

Eindimensional: 〈x|x′〉 = δ (x − x′)

Dreidimensional: 〈~x| ~x′⟩

= δ3(~x − ~x′)

Allgemeiner Zustand:

Eindimensional: 〈α|β〉 =´R

dx ψβ (x) ψα (x)

Dreidimensional: 〈α|β〉 =´R3

d3x ψβ(~x) ψα( ~x)

Wirkung des Impulsoperators:

Eindimensional: 〈α|P |β〉 =´R3

dx ψβ (−i} ddx

) ψα

Dreidimensional: 〈α|P |β〉 =´R3

d3x ψβ (−i}O)ψα

Fouriertransformation:

Eindimensional: 〈x|p〉 = 1√2}π exp ( i

}xp)

Dreidimensional: 〈x|p〉 = 1√(2}π)3

exp( i}~x ~p)

Man sieht hier bei der Fouriertransformation, dass der Normierungsfaktor fur den dreidi-mensionalen Raum unter der 3. Potenz steht, weil es sich um 3 voneinander unabhangigeRaumrichtungen handelt.

7 QUELLENANGABEN 21

7 Quellenangaben

Vorlesungsskriptum von Martin Hebenstreithttp://physik.uni-graz.at/˜cbl/QM/

”Quantenmechanik”, 4. Aufl., Torsten Fließbach, ELSEVIER

”Mathematische Methoden in der Physik”, 2. Aufl., Lang/Pucker, ELSEVIER

”Quantenmechanik”, 7. Aufl., Schwabl, Springer Verlag

”Modern Quantum Mechanics”, J.J. Sakurai, Pearson Verlag

”Vorlesungen uber Physik. Bd. 3 Quantenmechanik”, Feynman, Oldenbourg

http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik

http://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche Unsch%C3%A4rferelation

basissysteme, ort und impuls - institut für...

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