beispiel: mehrgeschossiger...
TRANSCRIPT
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 1
Beispiel: Mehrgeschossiger Skelettbau Vorbemerkung: Das Beispiel entstammt dem Buch: Beispiele zur Bemessung nach DIN 1045-1 Band 2 Ernst und Sohn 2003, herausgegeben vom Deutschen Beton- und Bautechnik-Verein E.V. Es wurde insofern berichtigt, daß die in diesem Werk gezeigte falsche Berechnung der Bauwerkssteifigkeiten ebenso korrigiert wurde, wie die Schnittkräfte in den Riegeln des aussteifenden Schachtes. In der hier gezeigten Berechnung wurde auch die eigentliche Erdbebenberechnung auf rein mathematische Routinen zurückgeführt. Damit kann etwas mehr von dem gezeigt werden, was üblicherweise von Programmen erledigt wird, ohne daß der Nutzer die Einzelheiten der Berechnung erkennen muß. Die Berechnung der Aussteifung selbst ist hier nicht ausgeführt, da sie den Rahmen dieses Seminars sprengen würde. Aufgabenstellung
DIN 1045-1, 3.1.1: üblicher Hochbau DIN 1045-1, 8.6.2: (1) ausgesteiftes Tragwerk E DIN 4149: Bauten in deutschen Erdbebengebieten Die Fertigteilunterzüge und –deckenplattenwerden als Einfeldträger angenommen. DIN 1045-1, 9.1: Beton DIN 1045-1, 9.2: Betonstahl
Das zu untersuchende Bauwerk ist ein ausgesteifter, sechsgeschossiger Skelettbau. In diesem Beispiel wird die horizontale Aussteifung (vertikale und horizontale aussteifende Bauteile) behandelt. In einem weiterführenden Beispiel (b) wird anhand dieses Bauwerks auf Aspekte der Erdbebenbemessung der Aussteifung eingegangen. Der Kern sowie die aussteifende Wandscheibe in Achse 7 sind Ortbeton-konstruktionen; Stützen, Unterzüge und Deckenscheiben werden als Fer-tigteilkonstruktionen vorgesehen. Baustoffe:
• Beton C30/37 Ortbeton und Fertigteile • Betonstahlmatten: BSt 500 M (A) • Betonstahl BSt 500 S (A)
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
1 System, Bauteilmaße
2 Räumliche Steifigkeit und Stabilität 2.1 Querschnittswerte Vorausgesetzt wird für das ausgesteifte Skelettsystem, daß eine Ausbil-dung horizontaler, starrer Deckenscheiben erfolgt. Für die weitere Nachweisführung sowohl der lotrechten, aussteifenden Bauteile (Wandscheibe, Kern) als auch des ausgesteiften, mehrgeschos-sigen Skelettragwerkes ist zu entscheiden, ob das Gesamtsystem als verschieblich oder unverschieblich einzuordnen ist. Dazu sind zunächst die Querschnittswerte der aussteifenden Bauteile zu bestimmen: E-Modul Beton C30/37: Ecm = 31.900 N/mm² G-Modul Beton C30/37: Gcm = Ecm/2,4 = 13.300 N/mm²
DIN 1045-1, 8.6.2: (1) Zur Nachweisführungwerden Tragwerke oder Bauteile inausgesteifte oder unausgesteifte eingeteilt, jenachdem ob aussteifende Bauteile vorgese-hen sind oder nicht oder sie werden als ver-schieblich oder unverschieblich betrachtet, jenachdem ob bei Tragwerken die Auswirkun-gen nach Theorie II. Ordnung entsprechend8.6.1(1) zu berücksichtigen sind ... DIN 1045-1, 9.1.7, Tab. 9
G = E / ( )[ µ+12 ] = E / 2,4
Seite 2
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 3
DIN 1045-1, 8.6.2: (5) Sofern keine ge-naueren Nachweise geführt werden,dürfen Tragwerke, die durch lotrechteBauteile wie z.B. massive Wandschei-ben oder Bauwerkskerne ausgesteiftsind, als unverschieblich im Sinne vonAbsatz (1) angesehen werden, wenndie Gleichungen 25 und 26 („Ausstei-fungskriterien“) erfüllt sind. In den aussteifenden Bauteilen solltedie Betonzugspannung unter der maß-gebenden Einwirkungskombination denWert fctm nach Tab. 9 ... nicht über-schreiten. Für die Ermittlung der Querschnittswer-te reicht es i.A. aus, den Zustand Izugrunde zu legen (Ortbetonwand-scheiben bzw. keine klaffenden Fugenin Fertigteilwänden). Im Allgemeinen sind aussteifendeWände, insbesondere bei Ausstei-fungskernen durch Tür- und Fensteröff-nungen gegliedert. Für die Auswertungder Aussteifungskriterien bei größerenÖffnungen sind Ersatzsteifigkeiten zubestimmen. Die Geschoßhöhe von 3,5 m wird derBerechnung der Schubsteifigkeit desÖffnungsbereiches zugrundegelegt. DieSchubsteifigkeit des EG ist größer.
2221, 00,601,325,050,600,7 mAc =⋅−−=
Bezeichnung Wand 3 mit Wandhöhe ml 5,221 = Öffnungsbreite mw 01,3= mittlere Geschoßhöhe mhg 5,3=
minimale Riegelhöhe mhr 37,113,250,3 =−= Kern 1 Trägheitsmomente und Schwerpunkt- bzw. Schubmittelpunktswerte werden programmiert ermittelt und sind hier nur mitgeteilt.
1,75
2,02 0,40
1,33
1,33
0,706 2,294 0,673 0,067
0,83
1,75
Die Werte des offenen Profils ergeben sich zu
)523,696(998,5
469,40
75,50
6
2
4
4
mImA
mI
mI
II
I
=
=
=
=
ω
Der Wert ωI ist jedoch an dem durch die Mitwirkung der Riegel geschlossenen Querschnitt zu berechnen. Berechnung der Riegelsteifigkeit an dem Rahmen:
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 4
4
2
4
2
4559,1
59,1
0292,0
03,1
mI
mA
mI
mA
sl
sl
sr
sQ
=
=
=
=
66,3
69,23
=
=
Qsl
Qsr
κ
κ
4
2
0536,0
34,0
mI
mA
R
R
=
=
2,1=Rκ Mit diesen Werten errechnet sich eine wirksame Dicke von 47,29 mm. Mit diesen Werten ergibt sich die Torsionssteifigkeit zu für das offene Profil 41251,0 m
Bredtsche Torsionssteifigkeit 40261,52 m
2,86
1 3,
889
6,75
3,23
3,
52
3,00
3,
01
74
5,64 1,11
6,75
3,80 2,95
19,46°
x
I y II
M
415,52 mIt =Der Querschnitt des Kerns ist für Biegung ein offenes Profil, während für Torsion die Riegel mit wirken und sich wie ein schubsteifes aber biegeweiches Blech verhalten. Die Torsions-kenngrößen und sowie die Lage des Schubmittelpunktes ist mit dem geschlosse-nen Querschnitt zu ermitteln.
TI ωI
6402,77 mI =ω
Zur Lage des Schubmittelpunktes siehe Skizze. Dieser Schacht wirkt zusammen mit der Wandscheibe auf Achse 7. Die zusammengefaßten Steifigkeiten werden:
mxmy
mI
mI
mI
M
M
II
I
2626,8577,756,11959,40
415,57
28,6728
4
4
6
==
°==
=
=
α
ω
Bauteil 2: Wandscheibe
TI ωI
Der Querschnitt des Kerns ist für Biegung ein offenes Profil, während für Torsion die Riegel mit wirken und sich wie ein schubsteifes aber biegeweiches Blech verhalten. Die Torsions-kenngrößen und sowie die Lage des Schubmittelpunktes ist mit dem geschlosse-nen Querschnitt zu ermitteln.
6,75
m
7,00
m
Wanddicke h2 = 25 cm
x
y Fläche:
22,
22,
75,1
25,000,7
mA
mA
c
c
=
⋅=
Trägheitsmomente:
4
2,
32,
15,7
12/00,725,0
mI
I
cx
cx
=
⋅=
4
2,
32,
01,0
12/25,000,7
mI
I
cy
cy
=
⋅=
Widerstandsmoment Torsion:
4
2,
32,
04,0
3/25,000,7
mI
I
T
T
=
⋅≈
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Wölbwiderstandmoment: 02, =ωI
2,866 =My 2,547
=Mx
M
1
7,86
11,99
x
y
10,1
2
6,75
6,752
40,50
B
D
A
5 7 6
C
2 3 1 4 Beispiel b: Mehrgeschossiger Skelettbau - Erdbeben Aufgabenstellung Im Beispiel b wird anhand des in Beispiel a behandelten mehrgeschossi-gen Skelettbaus auf Aspekte der Erdbebenbemessung der aussteifenden Bauteile eingegangen. Das Ausgangssystem und die Einwirkungen ohne Erdbeben werden direkt aus Beispiel a übernommen. Nach der Bewertung der im Beispiel a gewählten Anordnung der ausstei-fenden Bauteile hinsichtlich der Erdbebenbemessung werden die ausstei-fenden Bauteile in Anordnung und Wanddicke so verändert, daß die Vor-gehensweise bei Anwendung des „vereinfachten Antwortspektrenverfah-rens“ gezeigt werden kann.
Derzeit ist noch nicht entschieden, ob eine eigene deutsche Erdbeben-norm oder ein nationales Anwendungsdokument zur europäischen Erd-bebennorm EN 1998-1 (Eurocode 8) bauaufsichtlich eingeführt wird. In beiden Fällen würden die im Entwurf der DIN 4149 für Deutschland festgelegten Erdbebenlasten gelten. Deshalb werden mit diesem Beispiel einige grundsätzliche Regelungen und Vorgehensweisen bei der Erdbebenbemessung im Rahmen des neuen Normenkonzeptes im Massivbau vorgestellt, obwohl sich der im Vorgriff auf europäische Regelungen entstandene Entwurf der DIN 4149 noch in der Diskussion befindet. Die Ausführungen sind wegen möglicher Änderungen in der endgültigen Erdbebennorm als Anhaltspunkte für die Nachweisführung zu verstehen.
E DIN 4149: Bauten in deutschen Erdbebengebieten
Seite 5
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 6
Baustoffe:
• Beton C30/37 Ortbeton und Fertigteile DIN 1045-1, 9.1: Beton DIN 1045-1, 9.2: Betonstahl DAfStb-Heft 525, zu 9.2.2: Durch die plastische Verformungsfähigkeit (Duktilität) des Betonstahls wird die Voran-kündigung des Bruches durch große Verfor-mungen und eine Energiedissipation bei zykli-scher Belastung (Erdbeben) gewährleistet. Die entsprechenden Kennwerte der Duktili-tätsklassen A und B der Betonstähle wurden aus der europäischen Normung für die Be-messung und Konstruktion von Stahlbeton-bauteilen übernommen. Für Sonderanwendungen existieren neben den Stählen der Klassen A und B noch spezi-elle Stähle mit sehr hohen Duktilitätseigen-schaften (z.B. für Bauten in Erdbebengebie-ten). Bei Verwendung dieser Stähle sind die Bemessungswerte aus den technischen Un-terlagen abzuleiten. Die Bemessungswerte sind dann ggf. außer bei der Bemessung in der außergewöhnlichen Bemessungssituation (Erdbeben) auch in den ständigen oder vor-übergehenden Bemessungssituationen zu verwenden.
• Betonstahlmatten: BSt 500 M (B) • Betonstahl BSt 500 S (B)
Der in kritischen Bereichen von Tragwerken, an die Duktilitätsanforde-rungen gestellt werden, verwendete Betonstahl hat die Anforderungen an hochduktile Stähle nach DIN 1045-1 (Duktilitätsklasse B) zu erfüllen.
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 7
Der diesem Beispiel zugrunde gelegte Norm-entwurf E DIN 4149 entspricht grundsätzlichdem zukünftigen EC 8 – Auslegung von Bau-werken gegen Erdbeben – und ist auf diedeutschen Schwachbebengebiete zugeschnit-ten. E DIN 4149: Bauten in deutschen Erdbeben-gebieten – Lastannahmen, Bemessung undAusführung üblicher Hochbauten, 2002-10 E DIN 4149, 5.1 E DIN 4149, 5.2 E DIN 4149, 5.3.1 (2) E DIN 4149, Tabelle 2 E DIN 4149, 5.3.2 (1) E DIN 4149, Tabelle 3 E DIN 4149, Gl. (1) – (4)
3 Aussteifungsbauteile in deutschen Erdbebengebieten 3.1 Standort und elastisches Antwortspektrum Mit der Einführung des neuen Normenkonzepts im Bauwesen wird auch die entsprechende Norm für Bauwerke in deutschen Erdbebengebieten überarbeitet. Sie wurde zwischenzeitlich als Entwurf E DIN 4149 veröf-fentlicht. Für das vorliegende Beispiel des mehrgeschossigen Skelettbaus, für das die Abmessungen der aussteifenden Bauteile bereits festgelegt sind, ist zunächst die Erdbebeneinwirkung zu bestimmen. In den folgenden Betrachtungen wird davon ausgegangen, daß sich das Gebäude südlich von Aachen befindet. Entsprechend der Bilder 1 und 2 der Norm gilt somit für das Gebäude eine Zuordnung zu der Erdbeben-zone 2 und der geologischen Untergrundklasse A. Als Baugrund steht festes bis mittelfestes Gestein an (Baugrundkl. 1). Mit den vorstehenden Zuordnungen zu der Erdbebenzone und der geo-logischen Untergrundklasse sowie der Klassifizierung des Baugrunds lassen sich die Ordinaten ( )TSe des elastischen Antwortspektrums mittels der folgenden Parameter bestimmen:
Bemessungswert der Bodenbeschleunigung: 2/60,0 smag =
Verstärkungswert der Spektralbeschleunigung: 50,20 =β Dämpfungs-Korrekturbeiwert (5 % Dämpfung): 0,1=η
Parameter zur Beschreibung des elastischen Antwortspektrums:
Bodenparameter: 0,1=S Kontrollperioden: T sB 05,0=
sTsT
D
C
00,220,0
==
Mit diesen Parametern wird das elastische Antwortspektrum nach Norm wie folgt festgelegt:
( ) ( )[ ]( )( )( ) 2
0
0
0
0
/:
/:
:
/11:
TTTSaTSTT
TTSaTSTTT
SaTSTTT
TTSaTSTTT
DCgED
CgEDC
gECB
BgEBA
⋅⋅⋅⋅⋅=≤
⋅⋅⋅⋅=≤≤
⋅⋅⋅=≤≤
⋅−⋅+⋅⋅=≤≤
βη
βη
βη
βη
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Schwingdauer [sec]
Bes
chle
unig
ungs
ampl
itude
[m/s
ec²]
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 8
3.2 Untersuchungen für das vorliegende Bauwerk 3.2.1 Ermittlung der Bemessungsspektren
In dieser Berechnung wird die Hauptrichtung Imit x und die Hauptrichtung II mit y bezeich-net. S. 46 Querschnittswerte siehe Abschnitt 3.1
siehe Beispiel a E DIN 4149, 6.3.2.4 (7) E DIN 4149, Gl. (37) E DIN 4149, 8.4.2.1 (5) E DIN 4149, Gl. (38) siehe Seite 53 E DIN 4149, Tabelle 8 s. S. 44 E DIN 4149, 8.4.2.2.1 (3)
Zur Beurteilung der Mindest-Torsionssteifigkeit sind zunächst die Torsi-onsradien der einzelnen Hauptrichtungen und der Trägheitsradius des Tragsystems im Grundriß zu bestimmen.
ir sl
Nach dem Script Seite 46 bestimmt sich das Quadrat des Torsionsradius für Bauwerke, die sich auf einen Ersatzstab zurückführen lassen, wie folgt:
∑∑ ∑ ∑ ⋅⋅++⋅+⋅
=iyxc
tiMicyiMicxyx I
hIIyIxIr
,/,
22,,
2,,2
/173,0ω
Verhältnis in x-Richtung: mrmr xx 03,1419741,57/15,525,22173,028,6728 222 =→=⋅⋅+= Verhältnis in y-Richtung: mrmr yy 62,162,27696,40/67,458528,6728 22 =→=+= Der Trägheitsradius des Tragsystems im Grundriß ermittelt sich für ein Bauwerk mit rechteckigem Grundriß und den Grundrißabmessungen L und B zu:
( )( )
2
22
222
9,170
12/25,2050,40
12/
m
BLls
=
+=
+=
mls 1,13=
Somit ergibt sich für die Bedingung der Mindest-Torsionssteifigkeit: 80,007,11,13/03,14/ >==slr Das Tragwerk ist zur Bestimmung des Verhaltensbeiwerts q für die Dukti-litätsklasse 3 demnach den Wandsystemen zuzuordnen. Der zur Berücksichtigung der Energiedissipationsfähigkeit eingeführte Verhaltensbeiwert q ist für jede Bemessungsrichtung wie folgt zu bestimmen: 50,10 ≥⋅⋅= WR kkqq Der Grundwert ist für den Tragwerkstyp Wandsystem gem. Tabelle 8 festgelegt:
0q
50,20 =q Der Beiwert zur Berücksichtigung der Regelmäßigkeit im Aufriß be-trägt für regelmäßige Tragwerke:
Rk
00,1=Rk
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 9
Hinweis: Die angegebene Beziehung für denBeiwert ist nur für den Bereich auszuwerten. Für gilt immer . E DIN 4149, 8.4.2.2.1 (4) siehe Seite 54 E DIN 4149, Gl. (39) Eibl / Keintzel: Vergleich der Erdbebenausle-gung von Stahlbetonbauten nach DIN 4149und Eurocode 8 Beton- und Stahlbetonbau 90 (1995), S. 217 E DIN 4149, Gl. (39) E DIN 4149, Gl. (38) E DIN 4149, Gl. (6) – (9) α - Verhältnis zwischen dem Bemessungs-wert der Bodenbeschleunigung und dega r
Erdbeschleunigung g E DIN 4149, 8.3.1 Verhaltensbeiwert Duktilitätsklasse 2 dq E DIN 4149, 8.4.2.2, Gl. (38) Verhaltensbeiwert q Duktilitätsklasse 3
0,1=Wk30 >α
Wk 30 0 ≤≤ αDer Beiwert zur Berücksichtigung der vorherrschenden Versagensart bei Tragsystemen mit Wänden ist für Wände, Mischsysteme, bei denen Wände überwiegen, und Kernsysteme wie folgt anzusetzen:
Wk
( ) 0,150,050,2/1 0 ≤⋅−= αWk Das vorherrschende Maßverhältnis 0α der Wände des Tragsystems darf, wenn die Maßverhältnisse aller Wände i eines Tragsystems sich nicht signifikant unterscheiden, wie folgt bestimmt werden:
WiWi lH /
∑ ∑= WiWi lH /0α Dabei ist die Höhe der Wand i und die Länge des Querschnitts der Wand i. Nach Eibl / Keintzel dürfen alle Wände i ungeachtet der Be-messungsrichtung berücksichtigt werden.
WiH Wil
( ) ( ) 0,1339,474,00,375,64/50,2260 =→>=++⋅⋅= Wkα Der Verhaltensbeiwert q ist für das Tragwerk in der Duktilitätsklasse 3 für jede Bemessungsrichtung: 5,15,20,10,15,2 >=⋅⋅=q Mit diesen Parametern wird das auf die Erdbeschleunigung g normierte Bemessungsspektrum Norm wie folgt festgelegt: ( )TSd
( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2
0
0
0
0
//:
//:/:
/1/1:
TTTqSTSTT
TTqSTSTTTqSTSTTT
TTqSTSTTT
DCdD
CdDC
dCB
BdBA
⋅⋅⋅⋅⋅=≤
⋅⋅⋅⋅=≤≤⋅⋅=≤≤
⋅−+⋅⋅=≤≤
βηα
βηαβα
βα
Mit den vorstehend ermittelten Verhaltensbeiwerten für die Duktilitäts-klassen 2 und 3 folgen die nachstehend dargestellten Bemessungsspek-tren:
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Schwingdauer [sec]
Bes
chle
unig
ungs
ampl
itude
[m/s
ec²]
Obere Kurve: Duktilitätsklasse 1 Mittlere Kurve: Duktilitätsklasse 2 Untere Kurve: Duktilitätsklasse 3
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
3.2.2 Ermittlung der Erdbebeneinwirkungen 3.2.2.1 Ermittlung der an der Schwingung beteiligten Vertikallasten Der Bemessungswert der Beanspruchungen aus Erdbeben wird unter Berücksichtigung aller Vertikallasten, die in die folgende Kombination eingehen, ermittelt: ∑ ∑ ⋅+ kiEikj QG ψ''''
Die Kombinationsbeiwerte iEi 2ψϕψ ⋅= berücksichtigen dabei die Wahr-scheinlichkeit, daß die veränderlichen Lasten kii Q⋅2ψ während des Erd-bebens nicht in voller Größe vorhanden sind. Die Beiwerte ϕ ermitteln sich für Verkehrslasten in „Sonstigen Gebäu-den“ bei unabhängig voneinander genutzten Geschossen zu: Geschosse 01 – 05: 5,0=ϕ Geschoß 06: 0,1=ϕ Die Kombinationsbeiwerte i2ψ werden aus DIN 1055-100 entnommen: Büro (Kategorie B) 3,02 =ψ Treppen (Kategorie B) 3,02 =ψ Dächer (Kategorie H) 0,02 =ψ Schnee (Orte bis NN + 1000 m) 0,02 =ψ Veränderliche Einwirkungen mit Kombinationsbeiwert 2ψ
Veränderliche Einwirkungen E 2ψ
Innenstützen B2-B6 C4-C6
redEkEk QQ ,
Randstützen A2-A6 B1 D4-D6 C1
redEkEk QQ ,
Eckstützen A1, A7 D1, D7
EkEk QQ ,
06 Schnee 0,00 45,6 0 24,1 0 12,8 0
06 Summe kN 0 0 0
05 Büro 0,30 91,1 27,3 48,3 14,5 25,6 7,7
05 Treppe 0,30
01-05 Summe kN 5 x 27,3 5 x 14,5 5 x 7,
Summe 1-6 kN 137 73 3
Summe kN ∑ i i = 8 1.092 i = 10 725 i = 4 15
Gesamt: 2.592 kN =redEkQ ,
Vertikale Einwirkungen W zur Ermittlung der Erdbebeneinwirkungen k
Veränderliche Einwirkungen E Last
Innenstützen B2-B6 C4-C6 W k
Randstützen A2-A6 B1 D4-D6 C1 W k
Eckstützen A1, A7 D1, D7 Wk
06 Summe kN 305,9 220,6 153,
02-05 Summe kN 4 x 387,8 4 x 258,5 4 x 170,
01 Summe kN 392,4 283,3 196,
Summe 1-6 kN 2.250 1.538 1.03
Summe kN ∑ i i = 8 18.000 i = 10 15.380 i = 4 4.124
Gesamt: W 51.625 kN =k
E DIN 4149, Gl. (12) “+” zu kombinieren mit Seite 31 E DIN 4149, 5.4 (3) E DIN 4149, Tabelle 5 An dieser Normauslegung sind sicherlichZweifel angebracht, da es nicht die Absichtder Norm sein kann, die vorgesehene Erhö-hung auf ein Geschoß zu beziehen, das keinezu erhöhenden Lasten trägt. Da die Beispiel-sammlung des dbv jedoch so verfährt, wirddiese Rechnung hier belassen. DIN 1055-100, Tabelle A.2 DIN 1055-3, Tab. 1, Kategorie T: Treppen undTreppenpodeste, Fußnote d: Hinsichtlich der Einwirkungskombinationennach DIN 1055-100 sind die Einwirkungen derNutzungskategorie des jeweiligen Gebäudesoder Gebäudeteils zuzuordnen.
im Beispiel: Kategorie B Büroflächen
Seite 10
red
Wand 2 B7-C7
redEkEk QQ ,
Kern 1 C2-D3
redEkEk QQ ,
48,3 0 139,4 0
0 0
96,5 29,0 187,7 56,3
129,4 38,8
7 5 x 29,0 5 x 95,1
9 145 476
4 i = 1 145 i = 1 476
Wand 2 B7-C7 W k
Kern 1 C2-D3 W k
2 513,5 1.503,2
4 4 x 595,0 4 x 1.754,5
4 678,5 2.027,8
1 3.572 10.549
i = 1 3.572 i = 1 10.549
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 11
3.2.2.2 Überprüfung von Vereinfachungsmöglichkeiten
Allgemeine Hinweise siehe S. 14 - 15 E DIN 4149, 6.6 Hochbauten sind entsprechend ihrer Bedeu-tung für den Schutz der Allgemeinheit bzw.der mit einem Einsturz verbundenen Folgen(Verlust von Menschenleben, Kulturgütern undSachwerten) einer Bedeutungskategorie zu-zuordnen. E DIN 4149, 6.3.2.2 E DIN 4149, Gl. (15) E DIN 4149, 6.3.2.2: (2) Zur Bestimmung derGrundschwingzeiten T beider ebenen Model-le des Bauwerks dürfen vereinfachte Bezie-hungen der Baudynamik (z.B. Rayleigh-Verfahren s. S. 93) angewendet werden. DieGleichung entspricht der aus DIN 4149 A 81
1
E DIN 4149, 6.1: (3) In Stahlbeton- und Mauerwerksbauten mußdie Steifigkeit der tragenden Bauteile im All-gemeinen unter Annahme von gerissenenQuerschnitten angesetzt werden. 1) 1) ... Wenn keine genaueren Angaben vorlie-gen, sollte eine Steifigkeit von 50 % derjeni-gen des ungerissenen Querschnitts ange-nommen werden. Die Werte sind der Natur des Energieverfah-rens folgend etwas zu niedrig. Außerdem bil-det die Berechnung die Wirkung der Dreh-schwingung nicht zutreffend ab, die die Fre-quenz noch einmal senken würde.
Für Hochbauten der Bedeutungskategorie II bis IV können die vorge-schriebenen Nachweise als erbracht angesehen werden, wenn die für die Erdbebenbemessungskombination mit q = 1 ermittelte Gesamterdbeben-kraft kleiner als die Horizontalkraft der anderen Einwirkungskombinatio-nen ist und weitere Konstruktionsmerkmale eingehalten sind. Die seismische Gesamterdbebenkraft für jede Hauptrichtung wird wie folgt bestimmt:
bF
( ) WTSF db ⋅= 1
Dabei ist: die Ordinate des Bemessungsspektrums ( )1TSd bei Schwingzeit T 1
die Grundschwingzeit des Bauwerks für die Translations- 1T bewegung in der betrachteten Richtung
das Gesamtgewicht des Bauwerkes W Die Bestimmung der Grundschwingzeiten T erfolgt nach dem Energie-verfahren
1
8
6.021
121 ⋅⋅
⋅⋅⋅=
IEhmhT π
Wandhöhe mh 5,22=
mittlere Geschoßhöhe mh 75,31 =
0,10/6/516251 =m mittlere Geschoßmasse t4,860=
m73,11 =α Schwingzeitbeiwert (n = 6) 900.3150,0, ⋅=redcmE
= reduzierter E-Modul C30/37 2/950.15 mMN
∑ = 4,, 41,57 mI jxc
∑ = 4,, 96,40 mI iyc
Grundschwingzeit für Schwingungen in x-Richtung:
sm
mMNm
ktmT x 516,0896,401595075,3
8604,06,05.2224
2
22,1 =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅= π
Grundschwingzeit für Schwingungen in y-Richtung:
sm
mMNm
ktmT y 436,0841,571595075,3
8604,06,05,2224
2
22,1 =
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅= π
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Mit den vorstehend ermittelten Grundschwingzeiten kann die Gesamt-erdbebenkraft mit einem Verhaltensbeiwert q = 1 berechnet werden: ( ) ( )( ) ( ) ( )yxCgyxdyxb TTqSWTSWF /10/1/ // ⋅⋅⋅⋅=⋅= βα
( )kN
F xb
65,2996516,0/20,050,20,106,051625,
=
⋅⋅⋅⋅=
( )kN
F yb
3632
436,0/20,050,20,106,051625,
=
⋅⋅⋅⋅=
Aus Tabelle 4.2 und 4.3 ergeben sich für die Bemessungswerte der hori-zontalen Einwirkungen aus Wind und Schiefstellung: kNFkNH xbxd 65,29964,937 , =<= kNFkNH ybyd 0,36325,1772 , =<= Es zeigt sich, daß die vorgeschriebenen Nachweise für die Aufnahme der Horizontallasten infolge Erdbeben noch nicht als erbracht anzusehen sind. Weiter Voraussetzungen für Vereinfachungen, wie sie in E DIN 4149, 7.1 genannt sind, treffen für das Tragwerk nicht zu. 3.2.2.3 Hinweise zur Festlegung des Berechnungsverfahrens Das vereinfachte Verfahren (nach Kap. 3.9) kann bei Bauwerken ange-wandt werden, die sich durch zwei ebene Modelle darstellen lassen und deren Verhalten durch Beiträge höherer Schwingungsformen nicht we-sentlich beeinflußt wird. Diese Anforderungen werden als erfüllt erachtet von Bauwerken, wenn die auf Seite 44 beschriebenen Kriterien erfüllt sind. Die im Kap. 3.10 angegebenen Bedingungen sind gleichzeitig zu beach-ten. Darüber hinaus müssen unabhängig von den o.g. Kriterien alle Bau-werke, die nach dem vereinfachten Antwortspektrenverfahren berechnet werden sollen, eine Grundschwingzeit T in beiden Hauptrichtungen auf-weisen, die die folgenden Grenzwerte nicht überschreitet:
1
⋅
≤sT
T C
0,24
max 1
wobei entsprechend der Zuordnung zu der Erdbebenzone und den geologischen Untergrundverhältnissen E DIN 4149, Tabelle 3 zu ent-nehmen ist.
CT
Bei der Feststellung der Regelmäßigkeit im Grundriß zeigt sich: Das letzte Kriterium einer guten Torsionsaussteifung ist hier mindestens zwei-felhaft. Die Kriterien für die Regelmäßigkeit im Aufriß sind erfüllt. Auch die Kriterien für die Anwendbarkeit des Näherungsverfahrens zur Berücksichtigung von Torsionswirkungen sind erfüllt.
E DIN 4149, Gl. (15) mit Gl. (8), da T sTTs DC 0,22,0 1 =<<= Werte für 0,, βα S und T nach 6.1C
E DIN 4149, 6.3.1 E DIN 4149, 6.3.2.1 (1) E DIN 4149, 6.3.2.1 (2) E DIN 4149, 4.3.2, 4.3.3 und Seite 44 E DIN 4149, 6.3.2.1 (2) Vergleiche Tabelle auf Seite 26
Seite 12
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 13
Somit ist vor einer Festlegung noch zu untersuchen, ob die Anwendung des Näherungsverfahrens wirtschaftlich sinnvoll ist. Zu diesem Zweck ist die tatsächliche Exzentrizität zwischen dem Stei-figkeitsmittelpunkt und dem normalen Massenschwerpunkt des Bauwerks zu bestimmen.
0e siehe Seite 47 Eine „genaue“ Berechnung des Massen-schwerpunktes aus den Auflagerkräften derKonstruktion ist ohne Zweifel möglich, verbes-sert jedoch die Genauigkeit des Ergebnissesnicht. Die Verwendung von in DIN 4149 geht oh-nehin von gleichmäßiger Massenverteilungaus.
sl
xr yr
Hier wurden die Maße in den Hauptachsendes Systems angegeben. Eine Unterscheidung in und ist mecha-
nisch unsinnig.
Der Massenschwerpunkt kann ohne nennenswerten Fehler im Flächen-schwerpunkt des Bauwerkes angenommen werden. Für die Lage des Massenschwerpunkts, bezogen auf den Schubmittel-punkt, ergibt sich somit: in x-Richtung: mxMm 77,5= in y-Richtung: myMn 61,9= Da die Lage des Massenschwerpunkts bereits auf die Lage des Schub-mittelpunkts bezogen ist, entspricht diese Lage der tatsächlichen Exzen-trizität e . Somit ist: 0
54,29661,977,59,170
54,29622
20
20
2
=++
=++ yxs eel1972 => r
Es wird also eine Untersuchung mehrerer Schwingungsformen ausge-führt. Eine Berechnung mit zwei ebenen Modellen ist hier gemäß den in der Norm angegebenen Kriterien nicht möglich. Aus diesem Grund wird ein räumliches Modell verwendet.
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 14
3.2.2.4 Ermittlung der Schwingungsformen
E DIN 4149, 6.3.3.1 (4) E DIN 4149, 6.3.3.1 (5) E DIN 4149, 6.1 (3)
Wird ein räumliches Modell verwendet, sollte die Bemessungs-Erdbebeneinwirkung in den Hauptachsen der Aussteifung angenommen werden. Die Schnittgrößen und Verschiebungen aus allen Schwingungsformen, die wesentlich zum globalen Schwingungsverhalten beitragen, sind zu berücksichtigen. Dies gilt als erfüllt, wenn:
- die Summe der Ersatzmassen (der „effektiven modalen Massen“) für die berücksichtigten Schwingungsformen mindestens 90 % der Ge-samtmasse des Tragwerkes beträgt, oder
- alle Schwingungsformen mit Ersatzmassen („effektiven modalen
Massen“) von mehr als 5 % der Gesamtmasse berücksichtigt werden. Die vorstehend genannten Bedingungen sind für beide Hauptrichtungen nachzuweisen. In Stahlbeton- und Mauerwerksbauten muß die Steifigkeit der tragenden Bauteile im Allgemeinen unter Annahme von gerissenen Querschnitten angesetzt werden. Liegen keine genaueren Angaben vor, sollte eine Stei-figkeit von 50 % derjenigen des ungerissenen Querschnitts angenommen werden. Aus diesem Grund werden die zuvor ermittelten elastischen Querschnittswerte und ein reduzierter E-Modul mit 50 % seines Wertes nach DIN 1045-1 verwendet. Zur Berechnung der Eigenfrequenzen und Eigenformen ist ein Programm für dynamische Berechnungen sinnvoll. Die Modellbildung muß die Mas-senverteilung im Bereich der Decken entweder vollständig widerspiegeln oder die Massenträgheitsmomente der Geschosse mit abbilden. Eine Abbildung des gesamten Tragsystems (zur Abtragung der Vertikal-lasten) ist nicht erforderlich. Bei der Abbildung der mechanischen Eigenschaften ist, wenn mehr als die drei ersten Eigenformen von Interesse sind, auf eine Abbildung der Schubverformungen (sowohl Querschub als auch Schub aus sekundä-rem Wölbmoment) nicht zu verzichten. Hier wird die Berechnung bei-spielartig mit der Deformationsmethode gezeigt. Dabei wird auf die An-wendung eines vorgefertigten Programms verzichtet. Geschoßmassen von unten nach oben
M Θ __________________________________________________________ 1. 946,41 t 161741,47 t m² 2. 871,85 t 148999,16 t m² 3. 871,85 t 148999,16 t m² 4. 871,85 t 148999,16 t m² 5. 871,85 t 148999,16 t m² 6. 728,27 t 124461,34 t m² Mit diesen Angaben ermittelt sich die Massenmatrix, die das Schwin-gungsverhalten des Gebäudes beschreibt:
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 15
M1
945.95
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
945.95
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
161624.43
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
148963.75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
148963.75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
=
M2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
148963.75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
871.85
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
148963.75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
728.27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
728.27
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
124431.76
=
Die Berechnung der Schwingungen muß die Ausmitten der Geschoß-massen vom Schubmittelpunkt der Aussteifung aus berücksichtigt wer-den. Dabei ist die ungewollte Ausmitte einzuarbeiten: Ausmitte um die ungewollte Ausmitte vergrößert:
y ηMt e21+ ex cos α0( )⋅+ ey sin α0( )⋅+( ):=
x ξMt e22+ ex sin α0( )⋅+ ey sin α0( )⋅+( )−:=
x
6.781−
6.781−
6.781−
6.781−
6.781−
6.781−
m= y
11.638
11.638
11.638
11.638
11.638
11.638
m=
Zur Berechnung der Schwingung ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Bauwerkes erforderlich. Sie bestimmt sich einfach, indem die Verfor-mungsmatrix aufgestellt wird, die sich mit jedem Programm leicht ermit-teln läßt. Hier ist die Verformung mit gemischter Torsion eingearbeitet
Siehe Seite 41
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 16
s
worden. Hier wurden für die Verdrehungen die Gleichungen von Born-scheuer (Stahlbau 1952) verwendet. Die Biegeverformungen ergeben sich aus den elementaren Biegelinien eines Kragarmes. Die Verfor-mungsmatrix ist:
Verformungsmatrix
δ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
0
12
3
4
5
6
7
8
910
11
1213
14
15
1617
90 -26 4 171 -50 7 200 -71 10 132 -90 13 -79 -107 16 -478 -124 18
-26 79 -2 -50 149 -4 -71 151 -6 -90 22 -8 -107 -306 -9 -124 -896 -114 -2 0 7 -4 1 10 -6 1 13 -8 1 16 -9 1 18 -11 2
171 -50 7 420 -115 17 656 -176 26 834 -231 34 912 -283 42 846 -332 49
-50 149 -4 -115 380 -10 -176 599 -15 -231 748 -20 -283 763 -24 -332 581 -29
7 -4 1 17 -10 1 26 -15 2 34 -20 3 42 -24 4 49 -29 4
200 -71 10 656 -176 26 1136 -296 44 1596 -408 60 1996 -512 76 2295 -612 90
-71 151 -6 -176 599 -15 -296 1054 -25 -408 1494 -35 -512 1864 -44 -612 2100 -53
10 -6 1 26 -15 2 44 -25 4 60 -35 5 76 -44 6 90 -53 8
132 -90 13 834 -231 34 1596 -408 60 2376 -595 88 3134 -773 114 3833 -945 139-90 22 -8 -231 748 -20 -408 1494 -35 -595 2247 -51 -773 2983 -66 -945 3650 -81
13 -8 1 34 -20 3 60 -35 5 88 -51 8 114 -66 10 139 -81 12
-79 -107 16 912 -283 42 1996 -512 76 3134 -773 114 4289 -1045 154 5428 -1311 193-107 -306 -9 -283 763 -24 -512 1864 -44 -773 2983 -66 -1045 4108 -90 -1311 5219 -113
16 -9 1 42 -24 4 76 -44 6 114 -66 10 154 -90 13 193 -113 17
-478 -124 18 846 -332 49 2295 -612 90 3833 -945 139 5428 -1311 193 7052 -1693 250
-124 -896 -11 -332 581 -29 -612 2100 -53 -945 3650 -81 -1311 5219 -113 -1693 6798 -14518 -11 2 49 -29 4 90 -53 8 139 -81 12 193 -113 17 250 -145 21
10 9−=
Als reduzierte Gesamtsteifigkeitsmatrix wird die Inversmatrix dieser Ver-formungsmatrix verwendet. Aus der Lö ung der verallgemeinerten Eigenwertgleichung
( ) 0det 2 =⋅− MK ω ergibt sich:
Eigenwerte numerisch:
ω
7.482
10.698
19.317
30.097
34.605
75.573
154.931
285.236
451.693
611.349
= f
1.19
1.70
3.07
4.79
5.51
12.03
24.66
45.40
71.89
97.30
Hz= T
0.840
0.587
0.325
0.209
0.182
0.083
0.041
0.022
0.014
0.010
s=
Für diese Eigenwerte werden die Eigenformen ausgewertet und gra-phisch aufgetragen. Die betrachteten Richtungen sind die Hauptachsen der Gesamtaussteifung. Die Verformung wird für die Verbindung der Massenschwerpunkte angegeben (verschoben um die ungewollte Aus-mitte).
600 400 200 0
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
200 0 200 400 600
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
40 20 0
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
Die erste Eigenform T = 0,840 sec ist of-fenbar die Grundschwingung in x – Richtung. Die Verschiebungen in der anderen Hauptachse sind kleiner. Sie entstehen hauptsächlich durch die Ver-drehung.
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 17
400 200 0 200
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
1000 500 0 500
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
10 5 0
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
500 0 500 1000
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
400 200 0 200
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
100 50 0
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
400 200 0 200 400
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
500 250 0 250 500
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
20 0 20
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
Die zweite Eigenform T = 0,587 sec ist die Grundschwingung in y - Rich-tung. Die dritte Eigenform T = 0,325 sec ist offensichtlich die Dreh-Grund-schwingung. Die Verdrehung ist si-gnifikant größer als bei den ersten beiden Eigenformen. Es folgen dann die Oberschwingun-gen, die wieder in der gleichen Rei-henfolge auftreten. Hier die vierte Eigenform mit T = 0,209 sec. Fünfte Eigenform mit T = 0,182 sec.
500 0 500
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
400 200 0 200 400
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
10 0 10 20
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 18
1000 500 0 500
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
200 0 200 400
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
200 100 0 100 200
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
1000 500 0 500
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
400 200 0 200 400
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
100 0 100
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
1000 500 0 500 1000
1
2
3
4
5
6Verformung in x Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
500 0 500
1
2
3
4
5
6Verformung in y Richtung
Verschiebung in mm
Ges
chos
se
100 0 100
1
2
3
4
5
6Verdrehung 1000 fach
Versdrehung in 1000rad
Ges
chos
se
Die sechste Eigenform T = 0,083 ist wieder eine Drehschwingung, bei der die Biegeverformungen eigenartig aus-sehen. Die Eigenformen von der siebenten Eigenform an sind recht hochfre-quente Schwingungen, die in den Modellbildungen nicht mehr recht abgebildet werden können. Eine Be-rechnung der reinen Biege- Wölb- und Torsionsverformung bildet diese Schwingungen nicht mehr hinrei-chend ab. Hier sind die Schubver-formungen der aussteifenden Bau-teile ebenso zu verfolgen wie die Verformungen in den als starr an-genommenen Decken. Dies ist je-doch ohne praktische Bedeutung, da sich diese Eigenformen am Erd-beben nicht beteiligen. Die Eigenformen beteiligen sich am Erdbeben nach dem sogenannten Beteiligungsvektor, der von der Erregungsrichtung abhängt:
Erdbeben in y RichtungIT 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0( )=
b ψT
M⋅ I⋅:= Beteiligungsvektor:F
b2
b2∑:=
28.482
12.356
15.646
6.68
17.596
mErdbeben in x Richtung
Siehe Seite 37
F18.63
0.585
0.022
0.003
0
%=
IT 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0( )=
F
22.327
36.549
1.137
25.896
10.171
3.749
0.163
0.007
0.001
0
%=
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 19
Das Antwortspektrum nach DIN E 4149
TB 0.05s:= qu 1.5:= αg 0.6m
s2:=
TC 0.2s:= β0 2.5:=
TD 2s:= S 1:= Sd T1 q,( ) αg S⋅ 1T1
TB
β0
q1−
⋅+
⋅
T1 TB<if
αg S⋅β0
q⋅
TB T1≤ TC<if
αg S⋅β0
q⋅
TC
T1
⋅
TC T1≤ TD<if
αg S⋅β0
q⋅
TC
T1
⋅
TD
T1
⋅
otherwise
:=
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Schwingdauer [sec]
Bes
chle
unig
ungs
ampl
itude
[m/s
ec²]
Das Norm – Antwortspektrum nach DIN E 4149 ergibt sich hier für die Verhal-tensbeiwerte q = 1 (obere Kurve) – Duktili-tätsklasse 1, q = 1,5 (mittlere Kurve) – Dukti-litätsklasse 2 q = 2,5 (untere Kurve) – Dukti-litätsklasse 3 Mit diesen Gleichungen lassen sich nun für jede Eigenform und Erre-gungsrichtung die Erregerkräfte ermitteln. Das Ergebnis für die Duktili-tätsklasse 2 ist unten aufgetragen. (mit B ist hier der jeweils zugehörige Spektralwert bezeichnet). Die Spalten stehen jeweils für eine Erregung, wobei sechs Spalten aus dem Erdbeben in y – Richtung und vier Spalten aus dem in x – Richtung stammen. Erregungen, die weniger als 5% der Masse bewegen, sind weggelassen.
Gleichungen siehe Seite 36 sowie S. 90 f für die Matritzendarstellungen
H M γ⋅ diag B( )⋅
Horizontalkräfte und Momente aus dem Erdbeben in beiden Richtungen in kN bzw. kNm:
HG
2.3
1.5
116.4
25.9
18.5−
280.1
53.1
40.2−
502.5
81.9
63−
751.9
111.2
85.9−
1011.8
116.9
90.4−
1063.4
7.2−
22.6−
36
17.3
20.8
86.1
42.4
62
153.7
67.9
103
229.1
93.3
143.5
307.4
98.4
152.5
322.5
55.2−
31.1
271.5−
11.3−
12.1
628.5−
23.5
1.9−
1089.6−
57.7
16.1−
1585.7−
93.8
32.4−
2088.1−
110.5
43.3−
2160.7−
112.4
230.7−
418
140.6
238.5−
671.2
148.8
236.5−
608.3
111.6
178.2−
90.5
19.6
30.5−
805.3−
111−
203.6
1579.8−
387.8
291.9
600.8
409.2
257.4
1002.4
408.2
240.6
1002.2
304.9
187.4
399.7
48
40.3
706−
348.4−
230.5−
1724.3−
88.3
38.6−
1206.3−
33.1
9.3−
2223.3−
16.8
1.3−
2544.4−
33.5
13.1−
1654.6−
34.6
18.7−
215.4
48−
20.2
2101.2
1.8−
1.1−
88.2−
19.6−
14
212.2−
40.2−
30.5
380.7−
62.1−
47.7
569.7−
84.3−
65.1
766.6−
88.6−
68.5
805.7−
10.7−
33.3−
53
25.5
30.6
126.7
62.4
91.3
226.2
99.9
151.6
337.1
137.3
211.3
452.4
144.8
224.5
474.6
189.4−
388.7
704.3−
236.9−
401.8
1130.9−
250.7−
398.5
1024.9−
188−
300.3
152.4−
32.9−
51.4
1356.8
187
343−
2661.8
252.3
189.9
390.9
266.2
167.5
652.2
265.6
156.6
652
198.4
121.9
260.1
31.2
26.2
459.4−
226.7−
150−
1121.9−
=
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
E
Wenn alle maßgebenden modalen Schnittgrößen oder Verschiebungen als voneinander unabhängig betrachtet werden können, kann der Höchstwert einer Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbeben-einwirkung wie folgt angenommen werden:
E
∑= 2iEE EE
Dabei ist: die betrachtete Schnittgröße oder Verschiebung infolge
Erdbebeneinwirkung (Kraft, Verschiebung, etc.) EE
der Wert dieser Schnittgröße oder Verschiebung infolge Erdbebeneinwirkung, entsprechend der Schwingungs-form i
iEE
0 5 10
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10
20
30
40
50
Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7Erregung 8Erregung 9Erregung 10
WölbbW
in M
N/m
² Da das System durch gemischte Torsion trägt, muß die Wölbwirkung für jede einzelne Erre-gung berechnet und über die Höhe zusammen-gestellt werden. Zu dieser Berechnung werden die Gleichungen von Bornscheuer verwendet. Für den Wölbwiderstand ist hier der des gesam-ten Querschnittes zu setzen. So gilt:
κ h gI t
C gt 2.4⋅⋅:=
279,14,2276,6728
151,525,22 6
4
=⋅
⋅mmm
Mtk11 a ξ, κ, Mzi,( ) Mzi 1cosh κ( ) cosh κ a ξ−(⋅⋅
−
⋅
Mzicosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ 1(⋅⋅
cosh κ( )
⋅
:=
Mtk12 a ξ, κ, Mzi,( ) Mzicosh κ( ) cosh κ a ξ−( )⋅ ⋅ −
c
⋅
Mzicosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ ⋅⋅
cosh κ( )−
⋅
:=
Wk11 a ξ, κ, Mzi, l,( )Mzi l⋅
κ
cosh κ( ) sinh κ a −(⋅⋅−
⋅
Mzi l⋅
κ
cosh κ a⋅( ) 1−( ) sinh κ⋅
cosh κ( )
⋅
:=
Diese Gleichungen sind für alle La-sten an allen Lastpunkten ausgewer-tet worden. Die Schnittkraft an jedem Punkt ergibt sich so als die Summe der entsprechenden Schnittkräfte an dem Punkt aus allen Lasten.
E DIN 4149, 6.3.3.2 (2) siehe Seite 36 E DIN 4149, Gl. (30)
15 20
imomente
Höhe
Seite 20
) cosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ 1 ξ−( )⋅ ⋅−
cosh κ( )
a ξ≥if
ξ− )
otherwise
cosh κ a⋅( ) 1−( ) cosh κ 1 ξ−( )⋅ ⋅
osh κ( )
a ξ≥if
1 ξ−( )
otherwise
ξ) cosh κ a⋅( ) 1−( ) sinh κ 1 ξ−( )⋅ ⋅−
cosh κ( )
a ξ≥if
1 ξ−( )⋅
otherwise
Dipl.-Ing. Matthias Küttler Prüfingenieur für Baustatik
Seite 21
KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
0 5 10 15 20
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7Erregung 8Erregung 9Erregung 10
Torsionsmomente Reine Torsion
Höhe
prim
äres
Tor
sion
smom
ent i
n M
N/m
0 5 10 15 20
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7
Torsionsmomente Wölbkraftorsion
Höhe
seku
ndär
es T
orsi
onsm
omen
t in
MN
/m
Die Torsionsmomente der Reinen (St.-Venantschen) Torsion treten im oberen Bereich der Gebäude auf. Sie sind für die Bemessung der Sturzbereiche im Kern wichtig. Das sekundäre Torsionsmoment (Wölbtorsionsmoment) wird zur Torsionseinspannung hin größer. Das gesamte Torsionsmoment be-steht aus der Summe des primären und des sekundären Torsionsmo-mentes. Es ist als Gleichgewichts-kraft leicht zu kontrollieren. Erregung 8
Erregung 9 Erregung 10
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 22
Für die Schnittgrößen in den aussteifenden Bauteilen ergeben sich fol-gende in den Matritzen dargestellten Werte, wobei zu beachten ist, daß es sich hierbei um einhüllende Größen handelt.
T
3.3
586.6
846.9
1001.7
1074.9
1093.2
1092.6
1
178.4
257.5
304.5
326.7
332.2
332
6.8−
1219.3−
1756.9−
2074.3−
2222.4−
2258−
2256.1−
1.5−
322.1−
525.4−
694.7−
813.6−
871.3−
885.2−
0.9−
215−
391.2−
560.9−
693.1−
763.8−
782.6−
2.1−
258.6−
219.2−
70.4−
101
216.4
253.3
2.5−
444.5−
641.7−
759−
814.5−
828.3−
827.9−
1.5
262.6
379
448.1
480.8
488.9
488.6
2.6
542.8
885.2
1170.5
1370.8
1468.1
1491.4
0.6−
139.9−
254.5−
364.9−
451−
496.9−
509.2−
kNm=
Die Torsionsmomente ergeben sich an den Geschoßpunkten:
D102614.748−
650.038−
5278.274
1.139
70.408
0
5847.908
650.038
706.44−
1.139
kNm=
D97953.176−
100.711−
5299.068−
0.771−
328.923−
0
2345.99−
100.711
9264.419−
0.771−
kNm=
D811417.962−
1186.305−
8325.891
2.156
185.943−
0
11654.816
1186.305
7990.97−
2.156
kNm=
D72714.865−
1282.69−
5214.053−
1.378−
314.673
0
4011.383−
1282.69
4297.166−
1.378−
kNm=
D61052.9
661.406−
1020.986
0.018−
266.267
0
611.778
661.406
1332.943
0.018−
kNm=
D54018.834−
999.101−
8112.64
1.751
108.216
0
8988.16
999.101
1085.789−
1.751
kNm=
D44720.217
59.772
3145.001
0.458
195.216
0
1392.347
59.772−
5498.441
0.458
kNm=
D33728.542
2123.757−
5072.669
0.324
864.99
0
3540.295
2123.757
5205.795
0.324
kNm=
D27757.615−
806.002−
5656.793
1.465
126.333−
0
7918.538
806.002
5429.24−
1.465
kNm=
D13583.055
1692.883
6881.461
1.819
415.303−
0
5294.189
1692.883−
5671.362
1.819
kNm=Stab 1Stab 2
MηMξW1MnyMnx
Die Schnittkräfte an der Einspannstelle werden aus diesen Beanspruchungen (Wölbbimomente in kNm²):
Zur Überlagerung der Kräfte: Siehe Seite 36 dort finden sich auch Hin-
weise zu den Grenzen der Summenregel - Die Schnittgrößen und Verschiebungen des Tragwerks sind für jede Horizontalkomponente getrennt zu ermitteln, wobei für die modalen Werte die vorstehend erläuterten Kombinationsregeln anzuwenden sind.
- Der Maximalwert je-
der Schnittgröße am Tragwerk infolge der zwei Horizontalkom-ponenten der Erdbe-beneinwirkung kann dann als Quadratwur-zel der Summe der Quadrate der für die beiden Horizontal-komponenten berech-neten Werte ermittelt werden.
Ge
Mit der Quadratsummenregel zusammengefaßt wird daraus:
An der Fundamentoberseite
Ge D( )18283.63
3598.66
18283.36
4.16
1141.97
0
19442.04
3598.66
17046.39
4.16
kNm=
Die Torsionsmomente in allen Geschossen werden:In der EG Decke
D1( )11341.15
2368.57
10834.82
2.52
748.17
0
11922.67
2368.57
10191.41
2.52
kNm=
In der Decke 1. OG
Ge D2( )8027.74
1805.93
7625.75
1.85
549.05
0
8561.43
1805.93
7021.3
1.85
kNm= Zu T( )
9
1631
2398.1
2912.2
3214.1
3334.8
3355.9
kNm=
In der Decke 2. OG
Ge D3( )5721.06
1359.81
5733.91
1.45
388.5
0
6360.64
1359.81
5015.03
1.45
kNm=
In der Decke 3. OG
Ge D4( )5721.06
1359.81
5733.91
1.45
388.5
0
6360.64
1359.81
5015.03
1.45
kNm=
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
3.2.3 Nachweis der Standsicherheit im Grenzzustand der
Tragfähigkeit Entsprechend ihrer Bedeutung für den Schutz der Allgemeinheit bzw. für die mit einem Einsturz verbundenen Folgen werden Hochbauten in vier Bedeutungskategorien unterteilt. Das vorliegende Verwaltungsgebäude ist der Bedeutungskategorie II zuzuordnen. Für die Bedeutungskategorie II ist der zugehörige Bedeutungsbeiwert 1γ : 20,11 =γ Im Folgenden wird die Einwirkungskombination angegeben, die für alle tragenden Bauteile – einschließlich Verbindungen – und die maßgeben-den nichttragenden Bauteile gilt. Maßgebende nichttragende Bauteile nach Norm sind z.B. Brüstungen, Giebel, Antennen, technische Anlagenteile, Trennwände, Geländer, Schornsteine auf Dächern. Für derartige Bauteile, die im Falle des Versagens Gefahren für Personen hervorrufen oder das Tragwerk des Bauwerks beeinträchtigen können, muß einschließlich deren Verbindun-gen, Verankerungen oder Befestigungen nachgewiesen werden, daß die-se die Bemessungs-Erdbebeneinwirkung aufnehmen können.
In dem Stab 1 ergeben sich aus diesen Schnittkräften die folgenden Spannungen:
σL
83−
98−
35−
90
18
42−
87−
84−
92
65
114−
103−
76−
84−
30−
61
28
4−
39−
48−
48−
42
46
8
118−
122−
55
97
78−
95−
16−
18−
9−
12
9
3
63
74
27
69−
14−
32
128−
124−
136
95
168−
152−
65
81
81
70−
77−
14−
77−
80−
36
63
51−
62−
N
cm=
Zur einfacheren Auswertung werden die Schnittkräfte in den einzelnen Querschnittsteilen bereStab 1Normalkräfte
Ne
167.7−
1125.11−
465.62
916.91
88.87−
157.99−
68.11
1324.05
417.56−
816.36−
147.33−
957.59−
265.56
750.42
87.2
80.49−
810.45−
51.59−
739.74
202.39
222.54−
571.56−
1280.37
162.77
649.26−
31.2−
223.05−
28.33
180.47
44.91
127.07
852.49
352.8−
694.74−
67.34
232.53−
100.25
1948.78
614.58−
1201.55−
135.63
1365.54
86.92
1246.41−
341.01−
144.79−
371.87−
833.04
105.9
422.42−
=
Biegemomente
Me
3.38
1191.83−
2387.31−
1371.91
225.39
0.61−
3344.84−
519
3399.62
40.75−
1.79
1018.11−
1733.98−
643.05
119.3
2.13
5.8−
1701.64−
78.85−
141.96
1
3364.16−
802.66−
3317.24
66.35
0.37
169.36−
396.24−
53.91
24.65
2.56−
903.04
1808.86
1039.49−
170.78−
0.9−
4923.07−
763.88
5003.7
59.98−
3.59−
9.77
2867.13
132.85
239.19−
0
2−
5−
215
43
=
Schubkräfte
SQ
0.19
70.3−
132.29−
83.85
12.8
0.03−
182.65−
26.97
186.78
2.01−
0.07
40.5−
81.5−
12.02
4.65
0.31
6.82
233.95−
8.54−
20.39
0.14
514.32−
103.76−
517.02
9.35
0.06
24.79−
63.61−
4.32
3.79
0.15−
53.27
100.24
63.54−
9.7−
0.04−
268.83−
39.7
274.9
2.95−
0.52−
11.49−
394.18
14.39
34.35−
0.09
334.63−
67.51−
336.38
6.08
kN=
E DIN 4149, 6.6 und Tabelle 6 siehe Seite 28 E DIN 4149, 7.2.2 E DIN 4149, 6.5 DIN 1055-100, A.4 DIN 1055-100, A.4, Gl. (A.7) E DIN 4149, 7.2.2. (1)Seite 23
Zusammengefaßt wird:
2σzus
257.614
273.98
207.052
224.017
243.74
223.29
N
cm2=
itgestellt
kN Ng
491.266
2441.421
2882.177
2147.001
1699.837
kN=
.65
188.8
22.23
8.28
.17
kNm Mg
6.433
7405.022
5002.079
7460.534
428.599
kNm=
Qg
0.676
701.676
515.729
708.825
45.02
kN=
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Die Einwirkungskombination für den Grenzzustand der Tragfähigkeit im Kombinationsfall „Erdbeben“ ergibt sich aus der Kombination des Be-messungswertes aus einer quasi-ständigen Einwirkungskombina-tion und dem Bemessungswert einer Einwirkung aus Erdbeben.
permdE ,
AEdE
DIN 1045-1, 7.2: Imperfektionen (1) Für die Nachweise im Grenzzustand derTragfähigkeit sind mit Ausnahme der au-ßergewöhnlichen Bemessungssituationenungünstige Auswirkungen möglicher Imper-fektionen des unbelasteten Tragwerks zuberücksichtigen. DIN 1055-100, 3.1.2.5.4: seismische Einwirkung außergewöhnliche Einwirkung infolge Erd-beben
siehe Beispielsammlung zu DIN 1045-1,Teil 2
iQk
iiPkGkEdpermdAEddE EEEAEEE ,
1,21, ⋅+++⋅=+= ∑
≥ψγ
Horizontallasten aus Imperfektion brauchen nicht berücksichtigt zu wer-den. Ermittlung der Schnittkräfte Schnittkräfte OK Bodenplatte: Normalkräfte - aus Beispiel siehe Buch: Kern 1: ∑ =+=⋅+= kNQGN iEkiEkAEd 1078747610311,,2ψ Wand 2: ∑ =+=⋅+= kNQGN iEkiEkAEd 36451453500,,2ψ Die Schnittkräfte in den aussteifenden
Bauteilen enthalten immer auch einen AnteilBiegemomente (und Wölbbimomente), diezur Berechnung des Spannungszustandesnicht vernachlässigt werden können.
Zugehörige Momente im Kern:
kNmmmmkNM Edx 6,23747275.6889.3
475.6107871 −=
−+−⋅=
kNmmmkNM Edy 47,4584275.680.3107871 =
−⋅=
Die angegebenen Bemessungsschnittgrößen aus Erdbeben sind beim Nachweis der Tragfähigkeit mit wechselnden Vorzeichen zu berücksichti-gen. Nachweisführung bei Wänden in der Duktilitätsklasse 2 Generell gelten die in DIN 1045-1 angegebenen Festlegungen für die Bemessung und bauliche Durchbildung. Da es sich bei einer Erdbebenbeanspruchung um eine Kurzzeitbelastung handelt, kann für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit der Wert mit cdf 0,1=α ermittelt werden. Zusätzlich sind die folgenden Bedingungen einzuhalten:
a) Im Rahmen der Erdbeben-Norm sind die in DIN 1045-1 für die Grundkombination angegebenen Teilsicherheitsbeiwerte 5,1=cγ und 15,1=sγ anzuwenden.
E DIN 4149, 8.3 (4) DIN 1045-1: 9.1.6 (2) E DIN 4149, 8.1.3 (2)
Seite 24
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 25
b) Für Wände wird der Bemessungswert der Querkraft durch Multipli-kation der aus der Berechnung erhaltenen Querkraft mit dem Fak-tor 5,1=ε bestimmt. Dies gilt auch für die Querkraft in den Riegeln über den Türen.
E DIN 4149, 8.4.7.3 siehe Seite 53 ff
E DIN 4149, 8.3 (3) siehe Seite 53 E DIN 4149, 8.3 (5) E DIN 4149, 8.3. (7) Hinweis: Im Normentext wird der Bemes-sungswert der aufzunehmenden Längskraft mit bezeichnet. Aus Gründen der Ver-
einheitlichung wird hier verwendet. SdN
AEdN E DIN 4149, 8.3. (8)
DIN 1045-1: 9.1.6. (2) E DIN 4149, 8.1.3 (2) E DIN 4149, 8.4.1 E DIN 4149, 8.4.7.2.2 siehe Seite 63
c) Der in kritischen Bereichen verwendete Betonstahl hat die Anfor-
derungen an hochduktile Stähle (B) nach DIN 1045-1 zu erfüllen.
d) In symmetrisch bewehrten Druckgliedern (Stützen und Wänden), die für die Abtragung der horizontalen Erdbebenlasten über Biege-beanspruchung herangezogen werden, darf der Bemessungswert der bezogenen Längskraft ( )cdcAEdd fAN ⋅= /ν mit =AEdN Bemes-sungswert der aufzunehmenden Längskraft und =cA
25,0 Gesamtflä-
che des Betonquerschnitts, den Grenzwert =dν für Stützen und 20,0=dν für Wände nicht überschreiten.
e) In Rahmenriegelanschlüssen mit Rechteckquerschnitt wird der
größte zulässige Bewehrungsgrad der Zugbewehrung zu 03,0max =ρ angesetzt. Der Bewehrungsquerschnitt auf der Druck-
seite muß mindestens der Hälfte der Zugbewehrung entsprechen. Nachweisführung bei Wänden in der Duktilitätsklasse 3 Durch die Zuordnung des Tragwerks in die Duktilitätsklasse 3 konnten gegenüber der Duktilitätsklasse 2 ca. 30 % kleinere Bemessungsschnitt-größen ermittelt werden. Demgegenüber steht aber ein größerer Umfang an Nachweisen und Anforderungen an die bauliche Durchbildung der Bauteile. Generell werden die Biege- und Querkrafttragfähigkeit wie in DIN 1045-1 ermittelt. Zusätzliche Bewehrungsregeln, die über die Anforderungen nach DIN 1045-1 hinausgehen, sind in 3.4 zusammengestellt. Da es sich bei einer Erdbebenbeanspruchung um eine Kurzzeitbelastung handelt, kann für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit der Wert mit cdf 0,1=α ermittelt werden. Im Rahmen der Erdbeben-Norm sind die in DIN 1045-1 für die Grund-kombination angegebenen Teilsicherheitsbeiwerte 5,1=cγ und 15,1=sγ anzuwenden. Hinsichtlich der zu verwendenden Baustoffe gelten folgende Anforderun-gen:
a) Die Verwendung einer Betonfestigkeitsklasse niedriger als C16/20 ist nicht gestattet.
b) Außer für geschlossene Bügel und für Querhaken sind nur Rip-
penstähle als Bewehrung in kritischen Bereichen zulässig.
c) Der in kritischen Bereichen verwendete Betonstahl hat die Anfor-derungen an hochduktile Stähle (B) nach DIN 1045-1 zu erfüllen.
d) Geschweißte Matten sind zulässig, wenn sie den unter b) und c)
angegebenen Bedingungen entsprechen.
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 26
cr
Im Hinblick auf die Bemessungsschnittgrößen sind für schlanke Wände mit einem Verhältnis Höhe zu Länge größer als 2,0 weitere An-forderungen zu erfüllen.
WW lH /
00,233,375,6/50,22/ >==WW lH Zur Berücksichtigung der Unsicherheit hinsichtlich der wirklichen Momen-tenverteilung über die Wandhöhe während des Bemessungserdbebens kann folgendes vereinfachtes Verfahren angewendet werden:
a) Das Diagramm des Bemessungswertes des Biegemoments über die Wandhöhe ist als Einhüllende des berechneten Biegemomen-tendiagramms zu bestimmen, die in Vertikalrichtung um einen Längenbetrag gleich der Höhe des kritischen Wandbereiches versetzt ist. Wenn das Tragwerk keine bedeutenden Unstetigkeiten in Massenbelegung, Steifigkeit oder Tragfähigkeit entlang seiner Höhe aufweist, darf die Einhüllende als Gerade angenommen wer-den.
crh
b) Die Höhe des kritischen Bereichs über der Unterkante der Wand kann wie folgt abgeschätzt werden:
h E DIN 4149, Gl. (54) s. S. 64 E DIN 4149, Gl. (55) E DIN 4149, 8.4.7.2.2 (4) E DIN 4149, 7.2.3
===
=mHml
hw
wcr 75,36/5,226/
75,6max
aber
≥⋅≤=
=⋅=⋅≤
GeschossenfürhGeschossenfürmh
mlh
s
s
w
cr
7260,5
50,1375,622
Für die Wände des vorliegenden Bauwerks kann somit die Höhe des kri-tischen Bereichs zu abgeschätzt werden. mhcr 0,5= Ein mögliches Anwachsen der Querkraft nach dem Plastifizieren an der Unterkante der Wand ist zu berücksichtigen. Dies kann dadurch erfüllt werden, daß man die Ordinaten der Einhüllenden des Bemessungswer-tes der Querkraft V entlang der Wand mit einem Vergrößerungsfaktor AEd
7,1=ε multipliziert. Die Nachweisführung für den Grenzzustand der Tragfähigkeit entspre-chend DIN 1045-1 ist hier nicht Gegenstand. Für die tragenden Bauteile und das Gesamttragwerk ist die der Schnitt-größenermittlung zugrundegelegte Duktilität nachzuweisen. Es sind bestimmte Anforderungen zu erfüllen, deren Einhaltung zur Si-cherstellung der geplanten Anordnung der Fließgelenke und zur Vermei-dung von Sprödbruchverhalten erforderlich ist.
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 27
Vor einer ausführlichen Behandlung der Anforderungen an Wände zur Sicherstellung einer ausreichenden Duktilität sollten zunächst die beson-deren Maßnahmen bei Wänden betrachtet werden.
E DIN 4149, 8.4.7.6 (1) E DIN 4149, Gl. (69) siehe Seite 68 E DIN 4149, 8.4.7.6 (2) E DIN 4149, Gl. (70)
Als Mindestmaßnahme gegen seitliche Instabilität von Wänden mit freien Rändern sollte die Stegdicke der Wand (die Wanddicke zwischen den Randelementen) im kritischen Bereich nicht kleiner sein als:
wob
===⋅=⋅==
mmhmmlqbmm
b
s
wcrwo
25020/500020/22560/67500,260/150
min
worin für kein größerer Wert als 1wl mhs 0,86, =⋅ eingeführt zu werden braucht. Die Dicke b der umschnürten Wandabschnitte (der Randelemente) soll-te folgenden Regeln genügen:
w
a) wenn
=⋅=⋅=⋅=⋅
≥mlmb
lw
wc 35,175,62,02,0
50,025,022max
dann
E DIN 4149, Gl. (71)
==≥
mmhmm
bs
w 50010/500010/200
b) wenn
E DIN 4149, 8.4.7.6 (3)
cε
wb
fl
fb
wob
clwob
2‰
=⋅=⋅=⋅=⋅
<mlmb
lw
wc 35,175,62,02,0
50,025,022max
dann
==≥
mmhmm
bs
w 33315/500015/200
Die Länge l ist dabei die Länge des Wandabschnitts mit Umschnü-rungsbewehrung.
c
Wenn der am stärksten gedrückte Rand der Wand an einem ausreichen-den Querflansch
mit einer Flanschbreite mhb sf 33,015/ =≥ und einer Flanschlänge mhl sf 0,15/ =≥ anschließt, ist kein umschnürtes Randelement erforderlich.
vorhandene Wanddicken mmbh w 250== Anhand der vorstehenden Kriterien ist ersichtlich, daß für das vorliegende Tragwerk aufgrund der erforderlichen Wanddicken in den Bereichen, in denen Randelemente vorzusehen sind, die Nachweise zur Sicherstellung
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 28
der erforderlichen Duktilität in der Duktilitätsklasse 3 nur erfüllt werden können, wenn entweder die einzeln stehende Wand an den freien Enden durch Verstärkungen auf mindestens 35 cm Dicke gebracht wird oder die Dehnung dieser Wand geringer als 0,2 % wird. Obgleich eine Verstär-kung der Aussteifung wünschenswert wäre, wird hier der Nachweis mit den angesprochenen nachträglichen Verstärkungen geführt. Schnittkräfte für Duktilitätsklasse 3 Mit den gleichen Berechnungen wie oben werden die Schnittkräfte mit dem Verhaltensbeiwert von 2,5 bereitgestellt:
0 5 10 15 20
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7Erregung 8Erregung 9Erregung 10
Torsionsmomente Wölbkraftorsion
Höhe
seku
ndär
es T
orsi
onsm
omen
t in
MN
/m
0 5 10 15 20
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7Erregung 8Erregung 9Erregung 10
Torsionsmomente Reine Torsion
Höhe
prim
äres
Tor
sion
smom
ent i
n M
N/m
0 5 10 15 20
60
50
40
30
20
10
10
20
30
Erregung 1Erregung 2Errgeung3Erregung 4Erregung 5Erregung 6Erregung 7Erregung 8Erregung 9Erregung 10
Wölbbimomente
Höhe
W in
MN
/m²
Der Verlauf der Torsionsbeanspruchung über die Höhe in charakteristischen Größen. Es ist wichtig, diese Kräfte für jede Erdbebenerregung einzeln auszuwerten, da diese Schnittkräfte erst zum Schluß zusammengefaßt werden dürfen.
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Tel.: 0221/9636290 Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen Fax: 0221/636090
Seite 29
T
2
352
508.1
601
644.9
655.9
655.6
0.6
107
154.5
182.7
196
199.3
199.2
4.1−
731.6−
1054.1−
1244.6−
1333.4−
1354.8−
1353.7−
0.9−
193.3−
315.2−
416.8−
488.1−
522.8−
531.1−
0.5−
129−
234.7−
336.5−
415.9−
458.3−
469.6−
1.3−
155.2−
131.5−
42.2−
60.6
129.9
152
1.5−
266.7−
385−
455.4−
488.7−
497−
496.7−
0.9
157.5
227.4
268.9
288.5
293.4
293.2
1.6
325.7
531.1
702.3
822.5
880.8
894.9
0.3−
83.9−
152.7−
218.9−
270.6−
298.2−
305.5−
kNm=
Die Torsionsmomente ergeben sich an den Geschoßpunkten:
D101568.849−
390.023−
3166.964
0.684
42.245
0
3508.745
390.023
423.864−
0.684
kNm=
D94771.906−
60.427−
3179.441−
0.463−
197.354−
0
1407.594−
60.427
5558.651−
0.463−
kNm=
D86850.777−
711.783−
4995.535
1.293
111.566−
0
6992.889
711.783
4794.582−
1.293
kNm=
D71628.919−
769.614−
3128.432−
0.827−
188.804
0
2406.83−
769.614
2578.3−
0.827−
kNm=
D6631.74
396.844−
612.591
0.011−
159.76
0
367.067
396.844
799.766
0.011−
kNm=
D52411.301−
599.461−
4867.584
1.051
64.93
0
5392.896
599.461
651.474−
1.051
kNm=
D42832.13
35.863
1887.001
0.275
117.13
0
835.408
35.863−
3299.064
0.275
kNm=
D32237.125
1274.254−
3043.601
0.194
518.994
0
2124.177
1274.254
3123.477
0.194
kNm=
D24654.569−
483.601−
3394.076
0.879
75.8−
0
4751.123
483.601
3257.544−
0.879
kNm=
D12149.833
1015.73
4128.876
1.091
249.182−
0
3176.513
1015.73−
3402.817
1.091
kNm=Stab 1Stab 2
MηMξW1MnyMnx
Die Schnittkräfte an der Einspannstelle werden aus diesen Beanspruchungen (Wölbbimomente in kNm²):
Auch hier werden die mit der Quadratsummenformel zusammengefaßten Schnittkräfte angegeben:
Ge D4( )
3432.63
815.89
3440.34
0.87
233.1
0
3816.38
815.89
3009.02
0.87
kNm=
In der Decke 3. OG
Ge D3( )3432.63
815.89
3440.34
0.87
233.1
0
3816.38
815.89
3009.02
0.87
kNm=
In der Decke 2. OG
Ge D2( )4816.64
1083.56
4575.45
1.11
329.43
0
5136.86
1083.56
4212.78
1.11
kNm=
In der Decke 1. OG
Zu T( )
5.4
978.6
1438.9
1747.3
1928.5
2000.9
2013.5
kNm=Ge D1( )6804.69
1421.14
6500.89
1.51
448.9
0
7153.6
1421.14
6114.85
1.51
kNm=
In der EG Decke
Ge D( )10970.18
2159.2
10970.02
2.49
685.18
0
11665.22
2159.2
10227.84
2.49
kNm=
MηMξW1MnyMnx
An der Fundamentoberseite
Die Torsionsmomente in allen Geschossen werden:
Mit der Quadratsummenregel zusammengefaßt wird daraus:
Dipl.-Ing. Matthias Küttler KÜTTLER UND PARTNER Prüfingenieur für Baustatik Ingenieurbüro für Baukonstruktionen
Seite 30
Tel.: 0221/9636290 Fax: 0221/636090
3 4
2 1 6 5
Die Berechnung des Kernes ist mit einer Aufteilung der Schnittkräfte auf die geraden Querschnittsteile sinnvoll möglich. Diese Aufteilung wird durch eine Spannungsberechnung ausgeführt. Dies ist erforderlich, weil die Bernoulli – Hypothese (der Hypothese vom Ebenbleiben der Quer-schnitte) nicht erfüllt ist und somit die Bemessung nach den Regeln des Stahlbetonbaues nicht möglich ist (Sie setzt die Bernoulli – Hypothese voraus). Die mit 1γ vervielfachten Spannungen und Schnittkräfte sind:
In dem Stab 1 ergeben sich aus diesen Schnittkräften die folgenden Spannungen: Zusammengefaßt wird:
σL
50−
59−
21−
54
11
25−
52−
50−
55
39
69−
62−
45−
50−
18−
37
17
3−
23−
29−
29−
25
28
5
71−
73−
33
58
47−
57−
10−
11−
5−
7
6
2
38
45
16
41−
8−
19
77−
74−
81
57
101−
91−
39
49
48
42−
46−
8−
46−
48−
21
38
30−
37−
N
cm2= σzus
154.569
164.388
124.231
134.41
146.244
133.974
N
cm2=
Zur einfacheren Auswertung werden die Schnittkräfte in den einzelnen Querschnittsteilen bereitgestelltStab 1Normalkräfte
Ne
100.62−
675.07−
279.37
550.15
53.32−
94.79−
40.87
794.43
250.54−
489.81−
88.4−
574.56−
159.34
450.25
52.32
48.3−
486.27−
30.95−
443.85
121.43
133.52−
342.93−
768.22
97.66
389.56−
18.72−
133.83−
17
108.28
26.95
76.24
511.5
211.68−
416.84−
40.4
139.52−
60.15
1169.27
368.75−
720.93−
81.38
819.32
52.15
747.84−
204.61−
86.87−
223.12−
499.82
63.54
253.45−
kN= Ng
294.76
1464.853
1729.306
1288.201
1019.902
kN=
Biegemomente
Me
2.03
715.1−
1432.39−
823.14
135.24
0.37−
2006.91−
311.4
2039.77
24.45−
1.07
610.87−
1040.39−
385.83
71.58
1.28
3.48−
1020.99−
47.31−
85.18
0.6
2018.5−
481.6−
1990.34
39.81
0.22
101.62−
237.74−
32.34
14.79
1.54−
541.83
1085.31
623.69−
102.47−
0.54−
2953.84−
458.33
3002.22
35.99−
2.15−
5.86
1720.28
79.71
143.51−
0.39
1313.28−
313.34−
1294.97
25.9
kNm= Mg
3.86
4443.013
3001.247
4476.32
257.159
kNm=
Schubkräfte
SQ
0.12
42.18−
79.38−
50.31
7.68
0.02−
109.59−
16.18
112.07
1.2−
0.04
24.3−
48.9−
7.21
2.79
0.18
4.09
140.37−
5.12−
12.23
0.08
308.59−
62.26−
310.21
5.61
0.03
14.87−
38.17−
2.59
2.27
0.09−
31.96
60.14
38.12−
5.82−
0.03−
161.3−
23.82
164.94
1.77−
0.31−
6.9−
236.51
8.63
20.61−
0.05
200.78−
40.5−
201.83
3.65
kN=Qg
0.405
421.006
309.438
425.295
27.012
kN=
Aus den primären Torsionsmomenten werden die Querkräfte in den Rie-geln ermittelt:
Mit m
t
AM2
=T und über jeweils ein Geschoß wird: ∫=2
1
gm
gmR TdsQ
Je Erregung Zusammengefaßt:
QR
25.545
32.658
38.465
41.58
42.078
21.314
7.769
9.929
11.692
12.636
12.786
6.476
53.096−
67.749−
79.65−
85.968−
86.915−
44.011−
13.992−
20.313−
26.694−
31.438−
33.494−
17.244−
9.314−
15.155−
21.562−
26.77−
29.341−
15.235−
11.351−
8.318−
2.654−
3.825
8.219
4.881
19.356−
24.745−
29.145−
31.505−
31.882−
16.149−
11.434
14.614
17.209
18.599
18.819
9.532
23.576
34.226
44.978
52.971
56.434
29.054
6.06−
9.86−
14.029−
17.417−
19.09−
9.912−
kN= Zu QR( )
71.003
92.526
111.849
124.284
128.29
65.426
kN=