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Bemessung und Konstruktionvon Bauteilen im Stahlbeton
Formelsammlung
Jan Höffgen
3. März 2014
Diese Zusammenfassung wurde auf der Basis des Master-ModulsBemessung und Konstruktion von Bauteilen im Stahlbeton
im WS 2013/14 erstellt.
Verweise in Schneider Bautabellen für Ingenieure beziehen sich auf die 19. Auflage.
Kein Anspruch auf Vollständigkeit oder Fehlerfreiheit.Wer einen Fehler findet, melde ihn mir bitte.
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis1 Fundamente 3
1.1 Unbewehrte Streifenfundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Bewehrte Einzelfundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Zweiachsig gespannte Platten 52.1 Schnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Verfahren nach Pieper/Martens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Belastungsumordnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Mindestbiegemomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4 Querkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Durchstanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Nachweise im GZG 103.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Begrenzung der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Begrenzung der Rissbreiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1 Rissbreitennachweise für äußere Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3.2 Mindestbewehrung für Zwang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4 Begrenzung der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.1 Indirekte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4.2 Direkte Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Bemessung von Diskontinuitätsbereichen 164.1 Rahmenecke mit negativem Moment (Zug außen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Rahmenendknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Rahmeninnenknoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.5 Konsolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.6 Ausklinkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Torsion 19
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1 FUNDAMENTE
1 Fundamente• Erhöhung der Betondeckung
– um k1 = 20 mm bei Betonieren gegen eine unebene Sauberkeitsschicht (d = 5÷ 10 mm)
– um k2 = 50 mm bei Betonieren gegen Erdreich
1.1 Unbewehrte Streifenfundamente1. Sohlspannung: σgd = pd
Aso
2. Schnittgrößen
• MEd = σgd · a2
2
• VEd = σgd · a– a = b− c: Abstand Fundamentkante − Rand des abzustützenden Bauteils
3. Biegenachweis: σc ≤ fctd
• σc = MEd
W =3·σgd·a2
b·(0,85·hf )2
• fctd = αct · fctk;0,05γc
4. Querkraftnachweis: τcp ≤ fcvd
(a) Betonfestigkeiten
• fcd,pl = αcc,pl · fckγc• fctd,pl = αct,pl · fctk;0,05γc
– αct,pl = αcc,pl = 0,70
(b) Betondruckspannung bei Längsdruckkraft: σcp = NEdAcc
(c) Grenzspannung σc,lim = fcd,pl − 2 ·√fctd,pl(fctd,pl + fcd,pl)
(d) fcvd =
{ √(fctd,pl)2 + σcd · fctd,pl für σcp ≤ σc,lim√(fctd,pl)2 + σcd · fctd,pl − 1
4 (σcd − σc,lim) für σcp > σc,lim
(e) τcp = k · VEdAcc
• k = S·Accb·I (= 1,5 für Rechteckquerschnitte)
5. Wenn die Nachweise erfüllt sind, kann das Fundament unbewehrt ausgeführt werden.
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1 FUNDAMENTE
1.2 Bewehrte Einzelfundamente1. Schnittgrößen
• Allgemein
– Bestimmung der Sohldruckverteilung und Berechnung der Momente am Stützenrand durchFlächenlast
• Zentrische Belastung
– MEd,x/y = NEd · b8 ·(1− c
b
)2∗ bx/y: Fundamentbreite∗ cx/y: Austandsfläche des abzustützenden Bauteils
• Exzentrische Belastung
– Randpannungen bei Rechteckfundamenten in Abhängigkeit der Ausmitte ex/y =MEd,x/y
NEd
0 < e ≤ b6 : σ1,2 = NEd
bx·by (1± 6eb )
b6 < e ≤ b
3 : σ = 2·NEd3·( b2−e)·b
, Klaffende Fuge bis 3e− a2
– σm = σ1+σ2
2 , ∆σ = σ2 − σm ≥ 0
– MEd,x/y = by/x
(σm ·
b2x/y8 + ∆σ · b
2x/y
12
)2. Geometrie
(a) d1,y = cnom + 12 · Φsl,y
(b) d1,x = d1,y + Φsl,x (Richtungen vertauschbar)
(c) d1,m = 12 · (d1,y + d1,x)
(d) dm = hf − d1,m
3. Ermittlung von Baustoffkenngrößen
• Betonfestigkeit: fcd = αcc · fckγc (Dauerstandsfestigkeitsbeiwert αcc = 0.85)
• Stahlfestigkeit: fyd =fykγS
[i.d.R.
= 5001.15 = 435 N
mm2
]4. Ermittlung der erforderlichen Bewehrungsfläche (Spannungsblockverfahren)
(a) Ermittlung des auf den Schwerpunkt der Zugbewehrung bezogene Bemessungsmoment:MEds = MEd[−NEd · (h2 − d1)]
(b) Bestimmung des bezogenen Moments µEds = MEds
b·d2·fcd• b: Breite der Druckzone
(c) Berechnung von ζ = zd = 1
2
(1 +√
1− 2 · µEds)
(d) Berechnung der Bewehrungsfläche As1 = 1fyd
(MEds
ζ·d +NEd
)5. Aufteilung der Bewehrung im Einzelfundament
• Aufteilung der Fundamentbreite in 8 Streifen
•Streifen c/b ≤ 0,3 c/b > 0,31 + 2 16,7 % 25 %3 + 4 33,3 % 25 %
der berechneten Bewehrung
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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN
2 Zweiachsig gespannte Platten
2.1 Schnittgrößenermittlung zweiachsig gespannter Platten2.1.1 Verfahren nach Pieper/Martens
• Voraussetzungen
– Verkehrslast qd ≤ 2 · gd– Gleichlast
– Plattendicke konstant
– w ≈ 0 an den Rändern, Plattenfelder untereinander biegesteif
• Bestimmung der Feldmomente
1. Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps
2. Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes(lylx≥ 1)
3. Ablesen der Beiwerte fx und fy für drillsteife (oder f0x und f0y für drillweiche) Platten ausTafeln
4. Berechnung der Feldmomente mf,ix/y = pd · l2xfx/y
mit pd = gd + qd
• Bestimmung der Stützmomente
1. Ablesen der Beiwerte sx und sy für beide Platten, die am Unterzug gelagert sind
– Für Stützmoment an der langen Seite (my,erm) sx ablesen
2. Berechnung der Stützmomente
ms,ij = ms,ji = −
max
{12 · pd · lx/y ·
(1
sx/y,ij+ 1
sx/y,ji
)0,75 ·maxms,ij
}für lxi
lxj< 5
max{msi,msj} für lxilxj
> 5
2.1.2 Belastungsumordnungsverfahren
• Voraussetzungen
– min lx/ymax lx/y
≥ 0,75
– Gleichlast
– Plattendicke konstant
– w ≈ 0 an den Rändern, drillsteife Plattenecken, Plattenfelder untereinander biegesteif
• Bestimmung der maximalen Feldmomente
1. Berechnung der Feldmomente maf für die realen Lagerungsbedingungen für die Belastung
p′ = gd + qd2
(a) Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps
(b) Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes(lylx≥ 1)
(c) mf,ix/y = p′ · l2x/y
TW
2. Berechnung der Feldmomente mbf für allseitig gelenkige Lagerung für p′′ = ± qd2
– Für maximales Feldmoment Feld mit + qd2 , für minimales Feldmoment Feld mit − qd2 be-
lasten
3. mf,ges = maf +mb
f
• Bestimmung der Stützmomente
1. Berechnung der Stützmomente mas,ij und ma
s,ji für die realen Lagerungsbedingungen für dieBelastung p′ = gd + qd
2
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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN
2. Berechnung der Stützmomente mbs,ij und mb
s,ji mit Einspannungsrandbedingung an der un-tersuchten Stützung für p′′ = ± qd2
3. ms,ij,ges = mas,ij +mb
s,ij
4. ms,ges = 12 · (ms,ij,ges +ms,ji,ges)
– Stützmomente nicht abmindern
• Berücksichtigung der Querdehnung: mf,x(ν 6= 0) = mf,x(ν = 0) + ν ·mf,y(ν = 0)
– GZT: ν = 0
– GZG: ν = 0,2
2.1.3 Mindestbiegemomente
• mEd,z ≥ ηz · VEd, mEd,y ≥ ηy · VEd
2.1.4 Querkraft
• Ermittlung der Querkraft mit Lasteinzugsflächen
– 45◦-Winkel zwischen gleicher Lagerung, 60◦-Winkel zwischen ungleicher Lagerung
– Bestimmung der Ordinatenwerte der resultierenden Streckenlasten: VEd = TW · pd · l (S5.54)
• Ermittlung der Querkraft nach Platten-DG in Abhängigkeit der Lagerungsbedingung
– q = pd · lxTW
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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN
2.2 Durchstanzen• Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Verfahrens nach EC
– Kreisförmige Stützen mit Umfang u0 ≤ 12 · d– Rechteckige Stützen mit einem Umfang u0 ≤ 12 · d und einem Verhältnis Länge zu Breite
hb ≤ 2
– andere Formen
• Ermittlung des kritischen Rundschnitts u1 im Abstand a1 = 2 · d mit d = 12 (dx + dy)
– Anwendbar bei schlanken Fundamenten (aλd > 2 mit aλ = b−c2 )
• Einwirkende Schubspannung: νEd = β · VEdu1·d
– VEd: Einwirkende Normalkraft auf Stützung
∗ Begrenzungslinie der Normalkraft bei Wänden/Wandecken im Abstand ∆ = 1,5 · d vonden Enden des kritischen Rundschnitts
∗ Fundamente: V ∗Ed = VEd −Acrit · σbg(Acrit)[= VEd(1− AcritAF
) für σbg = const.]
– β berücksichtigt Exzentrizität
∗ Innenstütze: β = 1,1 für Stützweitenverhältnis 0,8 <leff,1leff,2
< 1,25
∗ Randstütze: β = 1,4
∗ Eckstütze: β = 1,5
∗ Wandecke: β = 1,2
∗ Wandende: β = 1,35
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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN
• Durchstanzwiderstand ohne BewehrungνRd,c(u1) = CRd,c · k · (100 · ρl · fck)1/3 + 0,10 · σcp ≥ νmin + 0,10 · σcp
– CRd,c =
0,18γc
für Flachdecken und Bodenplatten0,18γc·(0,1 · u0
d + 0,6)
für Innenstützen bei Flachdecken mit u0
d < 40,15γc
für Fundamente
– ρl =√ρl,x · ρl,y ≤
0,02
0,50 · fcdfyd (ab ≤C30/37 relevant)
∗ ρl,x/y =As1,vorh,x/ybeff,x/y·dx/y
(Druckbewehrung nicht ansetzen)
∗ beff =
b+ 2 · 3 · d falls Zugbewehrung nicht gleichmäßig über beff liegt
1 m sonst
– k = 1 +√
200d ≤ 2
– σcp = 12 (σcp,x + σcp,y) ≤ 2 MPa
– νmin =
0,0525γc· k3/2 · f 1/2
ck für d ≤ 600 mm0,0375γc· k3/2 · f 1/2
ck für d > 800 mm
– Wenn νEd ≤ νRd,c, keine Durchstanzbewehrung erforderlich
• Überprüfung der Druckstrebe: νEd ≤ νRd,max = 1,4 · νRd,c(u1) (günstige Plattennormalkraft darfnicht angesetzt werden)
• Berechnung der erforderlichen Durchstanzbewehrung
– Grundbewehrung je Reihe: Asw,i =(νEd(u1)−0,75·νRd,c)·sr·u1
1,5·fywd,ef ·sinα
∗ fywd,ef = 250 + 0,25d ≤ fyd (d in [mm])
– Durchstanzbewehrung je Reihe
∗ Asw,1 = 2,5 ·Asw,i∗ Asw,2 = 1,4 ·Asw,i∗ Asw,≥3 = 1,0 ·Asw,i
• Konstruktive Durchbildung
– Bügelabstände
∗ Rad. Abstand der ersten Bewehrungsreihe von der Lasteinleitungsfläche: s0 = 0,3÷ 0,5 · d∗ Rad. Abstand jeder weiteren Bewehrungsreihe untereinander: sr ≤ 0,75 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel innerhalb u1: st ≤ 1,5 · d∗ Tan. Abstand der Bügelschenkel außerhalb u1: st ≤ 2,0 · d
– uout = β · VEdνRd,c·d : minimaler äußerer Rundschnitt im Abstand aout = uout−u0
2·π
∗ νRd,c zu berechnen wie oben mit CRd,c = 0,15γc
∗ av ≥ aout − 1,5 · d: Verlegebereich· Bestimmung, wie viele Reihen angeordnet werden müssen (mindestens 2)
– Asw,min = 0,08γc·√fckfyk· sr · st: Mindestquerschnitt eines Bügelschenkels (→ φsw,min)
– φsw,max = 0,05 · d– Konstruktiv erforderliche Durchstanzbewehrung: nerf,i =
us,ist
∗ us,i: Umfang der Bewehrungsreihe
– Statisch erforderliche Durchstanzbewehrung: nerf,i =4·Asw,iπ·φ2
sw,gew
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2 ZWEIACHSIG GESPANNTE PLATTEN
2.2.1 Ausführliche Ermittlung des Lasterhöhungsfaktors β
• Exzentrische Lasten bei Randstützen oder Innenstützen mit ungleichen Stützweiten
• Vorgeschrieben, wenn ec ≥ 1,2
Sektormodell
• Ermittlung des Einzugsbereichs der Stütze über Querkraftnullpunkte
– Erstellung des Querkraftverlaufs (S****) und Berechnung der Nullpunkte mit Strahlensatz →Rechteck
• Quadrant in vier Sektoren (22,5◦) einteilen
• Berechnung der Sektorflächen Ai als Dreiecke
• VEd,i = Ai · pd: Maßgebende Querkraft
• Berechnung der Teilumfangflächen Ui je Sektor
– Im Bereich der Ecken einer Rechteckstütze ist u1 ein Kreisbogen; deshalb Winkel ϕ zwischenFundamentecke und Sektorgrenzen graphisch bestimmen → Ui = π · a1 · ϕ
180◦
• max νi = maxνEd,iUi
• β = max νiνEd,m
Plastische Schubspannungsverteilung
• β = 1 + k · MEd
VEd· u1
W1für einachsiale Biegung
– Kreisquerschnitt: β = 1 + MEd
VEd· 0,6·πD+4d
• β = 1 +
√(ky · MEd,y
VEd· u1
W1,y
)2+(kz · MEd,z
VEd· u1
W1,z
)2für zweiachsiale Biegung
– Rechteckquerschnitt (vereinfacht): β = 1 +
√(MEd,y
VEd·by
)2+(MEd,z
VEd·bz
)2– k: Momentenfaktor in Abhängigkeit des Verhältnisses der Stützenabmessungen mit c1: Ab-
messung parallel zur Lastausmittec1/c2 ≤ 0,5 1,0 2,0 ≥ 3,0k 0,45 0,60 0,70 0,80
– W1: Statisches Moment des kritischen Rundschnitts (aus DAfStB Heft 600)
∗ Rechteckstützen: W1 = 12 · c
21 + c1 · c2 + 4 · c2 · d+ 16 · d2 + 2 · π · d · c1
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3 NACHWEISE IM GZG
3 Nachweise im GZG
3.1 Grundlagen• Bemessung im Zustand II ⇒ MEd ≥Mcr = W · fctm
• Einwirkungskombinationen
– Seltene Kombination: pd,rare =∑j≥1 gk,j + qk,1 +
∑i>1 ψ0,i · qk,i
– Häufige Kombination: pd,frequ =∑j≥1 gk,j + ψ1,1 · qk,1 +
∑i>1 ψ2,i · qk,i
– Quasi-ständige Kombination: pd,perm =∑j≥1 gk,j +
∑i≥1 ψ2,i · qk,i
• Äquivalenzfaktor αe = EsEcm
– Es = 200000 MPa: E-Modul des Stahls
• Druckzonenhöhe xq mit Tafeln von Dutulescu (Biegung mit/ohne Normalkraft; Balken/Plattenbalken)
– Rechteckbalken unter reiner Biegung ohne Druckbewehrung: xq = αe·As1b ·
(−1 +
√1 + 2·b·d
αe·As1
)– Plattenbalken mit Platte unter Zug: b = bw, Berechnung als Rechteckquerschnitt
– Für Biegung und Normalkraft evtl. Polynom 3. Grades zu approximieren: xq,i+1 = xq,i− f(xi)f ′(xi)
• Innerer Hebelarm: zq = d− 13xq
• Effektive Betonzugfläche: Ac,eff = b · hc,ef
– Biegung: hc,ef = d1 ·
2,5 für h
d1≤ 10
(2, 5 + 0,05 · ( hd1 − 10)) für 10 < hd1< 60
5 für hd1≥ 60
≤ 13 (h− xq)
– Gesamter QS unter Zug: hc,ef,ges = 2 · d1 ·
2,5 für h
d1≤ 5
(2, 5 + 0,1 · ( hd1 − 5)) für 5 < hd1< 30
5 für hd1≥ 30
≤ hJ.H. Seite 10
3 NACHWEISE IM GZG
– hc,ef = 2,5 · d1 immer für dünne Bauteile
– In Plattenbalken mit Platte unter Zug: b = 2 · (beff,i + 1,5 · d1) + bw
• Spannungsberechnung im Zustand II
– Reine Biegung
∗ Betonrandspannung: σc = −MEd
Ii· xq
[= − 2·MEd
beff ·xq·zq
]∗ Stahlspannung: σs1 = MEd
zq·As1
– Biegung und Normalkraft
∗ σc = −Ec · χ · xq· Krümmung χ = − NEd
Ec·Si,NL [m−1]
mit Si,NL: Statisches Moment bez. auf Nulllinie (nach Dutulescu)∗ σs1 = Es · χ · (d− xq)∗ σs2 = −Es · χ · (xq − d2)
• Spannungsberechnung für Plattenbalken im Zustand I (für Mindestbewehrung)
1. Bestimmung des Schwerpunkts
2. Zerlegen des Plattenbalken in Teilquerschnitte (Steg + Gurte)
3. Am Zugrand Betonzugfestigkeit fct,eff4. Berechnung der Druckspannung am Druckrand über Strahlensatz (lineare Spannungsvertei-
lung)
5. Analog Berechnung der Spannungen in den Schwerpunkten der Teilquerschnitte
3.2 Begrenzung der Spannungen• σc,rare ≤ 0,6 · fck ⇒ keine Längsrisse in der Druckzone
• σc,perm ≤ 0,45 · fck ⇒ kein nichtlineares Kriechen
• σs,rare ≤ 0,8 · fyk ⇒ keine plastischen Verformungen
3.3 Begrenzung der Rissbreiten3.3.1 Rissbreitennachweise für äußere Einwirkungen
Direkte Berechnung der Rissbreite
• Berechnung für die quasi-ständige Einwirkungskombination
• Differenz der mittleren Dehnungen: εsm − εcm = max
1Es·[σs − 0,4 · fct,effeff ρ · (1 + αe · eff ρ)
]0,6 · σsEs
– Effektive Zugfestigkeit fct,eff = fctm i. d. R. für äußere Lasten
– Effektiver Bewehrungsgrad eff ρ = AsAc,eff
• Rissabstand sr,max = min
φs
3,6·eff ρ (abgeschlossene Rissbildung)σs·φs
3,6·fct,eff (Einzelrissbildung)
• Rissbreite wk = sr,max · (εsm − εcm) [mm]
• Nachweis: wk ≤
0,4 mm für X0, XC1
0,3 mm sonst
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3 NACHWEISE IM GZG
Rissbreite über Grenzdurchmesser der Bewehrung
• φ∗s in Abhängigkeit von σs,perm und werl
– φ∗s = wk · 3,48·106
σ2s
• φs = φ∗s ·max
σs·As14·(h−d)·b·2,9fct,eff2,9
, verpflichtend bei fct,eff < 2,9 MPa, optional bei fct,eff > 2,9 MPa
• Nachweis: φsl,vorh ≤ φs
Rissbreite über Stababstände
• Nachweis: sl,vorh ≤ sl,max
3.3.2 Mindestbewehrung für Zwang
• erfAs = kc · k · fct,eff · Actσs
– fct,eff =
{0,5 · fctm für Zwang im frühen Betonalter (Hydratation)fctm ≥ 3,0 MPa für Zwang nicht mit Sicherheit innerhalb 28 Tagen
– kc =
0,4 ·[1− σc
k1·fct,eff
]≤ 1,0 für rechteckige QS und Stege von Plattenbalken
0,9 · Fcr,GurtAct·fct,eff ≥ 0,5 für Zuggurte von Plattenbalken
∗ σc: Betonspannung in Schwerelinie des (Teil-)Querschnitts (Druck positiv)
∗ k1 =
1,5 · hh∗ für Drucknormalkraft23 für Zugnormalkraft
∗ h∗ =
{h für h < 1 m1 m für h ≥ 1 m
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3 NACHWEISE IM GZG
∗ kc =
{0,4 für reine Biegung1,0 für zentrischen Zug
∗ Fcr,Gurt = σc,Gurt · hGurt · (beff − bw) (wenn Gurt komplett unter Zug)
– k =
0,8 für inneren Zwang und h ≤ 300 mm0,52 für inneren Zwang und h ≥ 800 mm1,0 für äußeren Zwang
∗ h ist der kleinere Wert von Höhe und Breite des (Teil-)Querschnitts
– Act: Betonzugquerschnittsfläche des (Teil-)Querschnitts
– σs =√wk · 3,48·10
6
φ∗s≤ fyk
∗ φ∗s = φs · 2,9fct,eff
• Mindestbewehrung infolge Hydratation erforderlich, wenn εt = ∆T · αT ≥ εc =fct,effEc
– αT ≈ 1 · 10−5 K−1
• Mindestbewehrung in Plattenbalken außerhalb des Wirkungsbereichs der Bewehrung aus GZT(2,5 · d1) verlegen und über die Höhe der Zugzone verteilen
3.4 Begrenzung der Verformungen3.4.1 Indirekte Berechnung
• zul ld =
K ·
[11 + 1,5 ·
√fck · ρ0ρ + 3,2 ·
√fck ·
(ρ0ρ − 1
)1,5]für ρ ≤ ρ0
K ·[11 + 1,5 ·
√fck · ρ0
ρ−ρ′ + 112 ·√fck ·
√ρ′
ρ0
]für ρ > ρ0
– l: Maßgebende Stützweite
∗ bei zweiachsig gespannten Platten der kleinere Wert für lK
∗ bei dreiseitig gelagerten Platten die Stützweite parallel zum freien Rand∗ bei Flachdecken der größere Wert für l
K
– ρ = As1Ac
: erforderlicher Zugbewehrungsgrad in Feldmitte/an der Einspannung für das Bemes-sungsmoment
– ρ0 = 10−3 ·√fck: Referenzbewehrungsgrad
– ρ′ = As2Ac
: erforderlicher Druckbewehrungsgrad
– K: Beiwert für verschiedene statische Systeme (rechts: Werte für ld )
∗ Verwendung der Tabellenwerte für Stützweitenverhältnisse 0,8 <leff,1leff,2
< 1,25
∗ Für andere Verhältnisse Berechnung mit lK : Abstand der Momentennullpunkte
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3 NACHWEISE IM GZG
• Erhöhung von zul ld um Faktor 310σs,perm
≥ 1
– σs,perm ≈ MEd,perm
MEd· As,erfAs,vorh
· fyd
• Abminderung von zul ld um
– 0,8 für gegliederte Querschnitte mit bbw
> 3
– 7leff [m] für Balken und Platten mit leff > 7 m, die leichte Trennwände tragen, die durchübermäßige Durchbiegung beschädigt werden können
– 8,5leff [m] für Flachdecken mit leff > 8,5 m, die leichte Trennwände tragen, die durch übermäßigeDurchbiegung beschädigt werden können
• NW: zul ld ≥ vorh ld
• Zusätzlich nach NA: ld ≤
K · 35 allgemein
K2 · 150l wenn verformungsempfindliche Bauteile beeinträchtigt werden
• Wenn NW nicht eingehalten, As1 erhöhen oder direkte Berechnung durchführen.
3.4.2 Direkte Berechnung
• Berücksichtigung des Kriechens durch Modifikation des Beton-E-Moduls: Ec,eff = Ecm1+ϕ(∞,t0)
– Berechnung von h0 = 2 · Acu mit u: Umfangslänge des QS, die dem Trocknen ausgesetzt ist
– Ablesen der Kriechzahl ϕ in Abhängigkeit der relativen Luftfeuchte, des Belastungsalters t0,der Zementart, der Betonfestigkeitsklasse und h0 aus Anhang
– Nichtlineares Kriechen, wenn σc,perm > 0,45 · fck (siehe Abschnitt 3.2):ϕnl(∞, t0) = ϕ(∞, t0) · exp(1,5 · (kσ − 0,45)) mit kσ = σc
fck(t0)
• Berücksichtigung des Schwindens über Endschwinddehnung εcs = εcd + εca
– εcd(t) = βds(t, ts) · kh · εcd0: Trocknungsschwinden∗ εcd0
∗ khh0 [mm] 100 200 300 ≥500kh 1,0 0,85 0,75 0,70
∗ βds(t, ts) = t−ts(t−ts)+0,04·h1,5
0
→ 1,0 für t→∞ (ts: Endzeitpunkt der Nachbehandlung)
– εca = βas(t) · εca(∞)
∗ εca(∞) = 2,5 · (fck − 10) · 10−6
∗ βas(t) = 1− exp(−0,2 ·√t)→ 1,0 für t→∞
• Mcr = fctm ·W
• αe =Es[,mod]Ec,eff
– Es,mod = Es
1−0,4·Ac,eff ·fctmAs1·Es·εs
(darf vernachlässigt werden)
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3 NACHWEISE IM GZG
• κp = κp,L+K + κp,S : Verkrümmung im Zustand I
– κp,L+K =MEd,perm
Ec,eff ·Ii Verkrümmung infolge Last und Kriechen
∗ Ii = I +As1 · e2s1 = bh3
12 +As1 · (h2 − d1)2: ideelles FTM
– κp,S = εcs · αe · SIi : Verkrümmung infolge Schwinden
∗ S = As1 · zs1 = As1 · (d− h2 )
• κq = κq,L+K + κq,S : Verkrümmung im Zustand II
– Bestimmung von xq, zq und Iq nach Dutulescu
– κq,L+K = εsd−xq
=MEd,perm
As1·zq·Es·(d−xq)
– κq,S = εcs · αe · SIq = εcs · αe ·As1 · d−xqIq
• ζ = 1− β ·(
Mcr
MEd,perm
)2: Gerissener Querschnittsanteil
– β =
{0,5 für Langzeiteinwirkungen1,0 für Kurzzeiteinwirkungen
• κ = ζ · κq + (1− ζ) · κp
• vorh w = K · κ · l2eff : Vorhandene Durchbiegung
– K in Abhängigeit des Momentenverlaufs (siehe Anhang)
• Grenzwerte
– Zulässiger Durchhang (algemein) w ≤ l250
– Zulässige Durchbiegung bei vorformungsempfindlichen angrenzenden Bauteilen: w ≤ l500
– Bei Kragträgern Bestimmung der Grenzwerte mit der 2,5-fachen Kraglänge
• Maximale bauliche Überhöhung: w ≤ l250
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4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN
4 Bemessung von Diskontinuitätsbereichen
4.1 Rahmenecke mit negativem Moment (Zug außen)• Biegebewehrung der Stütze (außen) umbiegen, in den Riegel führen und dort mit der Riegelbeweh-
rung stoßen
– Biegerollendurchmesser so groß wählen, wie die Platzverhältnisse zulassen, um inneren Hebel-arm zu gewährleisten
– Mindestbiegerollendurchmesser Dmin
∗ Mindestwert der Betondeckung: c′ = cnom + φsw
– Übergreifungslänge l0 ab Ende der Abbiegung
∗ Querbewehrung im Stoßbereich: Unter Zug 2× 3 Stäbe auf jeweils l03 mit Abstand
ssw = 150 mm und Gesamtfläche Ast ab Stoßbeginn anordnen; bei Druckstäben je einweiterer Stab im Abstand 4 · φ vor dem Stoß
4.2 Rahmenecke mit positivem Moment (Zug innen)• Biegebewehrung der Stütze und des Riegels als Schlaufe um 180◦ umbiegen und ab Stützenmitte
mit lbd verankern (Biegerollendurchmesser beachten)
• Schrägbewehrung erforderlich, wenn ρ =As1,maxb·d ≥ 0,4 %
– AsS = 12 ·As1,max
– Schrägstab ab Diagonale jeweils mit lbd verankern
– Alternativ jeweils Zulage zur Biegebewehrung von 50 %, mit lb,rqd ab Innenkante verankern
• Im Riegel und in der Stütze Steckbügel mit Abstand s ≤ 10 cm anbringen
– Steckbügel ab Auflagerinnenkante mit lbd verankern
– Berechnung des Bügelquerschnitts über Umlenkkräfte (erforderlich ab h = 100 cm)
∗ Fcd,R = MEd
zR: Riegeldruckkraft
∗ Fcd,S = MEd
zS: Stützenzugkraft
∗ Ucd =√F 2cd,R + F 2
cd,S : Umlenkkraft
∗ As,bu = Ucdfyd
: erforderlicher Bügelquerschnitt
• Im Riegel bis zum Abstand dR und in der Stütze bis zum Abstand dS Bügel mit Abstand s ≤ 10 cmanordnen
4.3 Rahmenendknoten• Stützenbewehrung muss im Knoten verankert werden
– Wenn hbeam < lbd,erf : Zulagebewehrung anordnen und am Knotenrand in beide Richtungenmit lbd verankern
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4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN
• Riegelbewehrung mit Mindestbiegerollendurchmesser zwei mal umbiegen und in der Riegeldruckzo-ne mit lbd verankern
• Querkraftnachweis im Knoten
– Vjh = Fsd,beam − |VEd,col,o|: Einwirkende Knotenquerkraft
∗ Fsd,beam =|MEd,beam|zbeam
= fyd ·As1,erf : Stahlkraft im Riegel∗ VEd,col,o: Querkraft in der Stütze an der Oberseite des Knotens
– Vj,cd = 1,4 ·(
1,2− 0,3 · hbeamhcol
)· beff · hcol · f
1/4cd
∗ fcd = fckγc
∗ 1,0 ≤ hbeamhcol
≤ 2,0: Schubschlankheit
∗ beff = 12 · (bbeam + bcol) ≤ bcol: effektive Knotenbreite
– Wenn Vjh ≤ Vj,cd nur konstruktive Steckbügel φsw = 8 mm im Abstand s ≤ 10 cm anordnenund mit lbd im Riegel verankern
– Vj,Rd = Vj,cd + 0,4 ·Asj,erf · fyd ≤{
2 · Vj,cdγN · 0,25 · fcd · beff · hcol
∗ Asj,erf : erforderliche Steckbügelbewehrung∗ γN = γN1 · γN2
· γN1 = 1,5 ·(
1− 0,8 · |NEd,col,u|Ac,col·fck
)≤ 1,0: Einfluss der Stützendruckkraft NEd,col,u (q. s.)
· γN2 = 1,9− 0,6 · hbeamhcol≤ 1,0: Einfluss der Schubschlankheit
4.4 Rahmeninnenknoten• Bewehrung darf durchlaufen
• Nachweis der Verankerung der Riegelbewehrung im Knoten: lbd,beam ≤ hcol (auch bei durchlaufenderBewehrung)
– Wenn lbd ≥ hcol, Zulagebewehrung anordnen, sodass NW eingehalten
• Nachweis der Verankerung der Stützenbewehrung im Knoten: lbd,col ≤ hbeam
• Querkraftnachweis analog Abschnitt 4.3
– Wenn Zugseiten der Riegel entgegengesetzt: Fsd,beam = |MEd1|+|MEd2|zbeam
4.5 Konsolen• Nachweis der Druckstrebe: VEd = FEd ≤ VRd,max = 0,5 · ν · b · z · fcd
– ν = 0,7− fck200 ≥ 0,5 (fck in [MPA])
– fcd = fckγC
– z = 0,9 · d– Bestimmung der erforderlichen Mindestabmessungen: erfd = FEd · γC
0,45·ν·b·fck
• Nachweis der Zugstrebe
– ZEd = FEd · acz0 +HEd · aH+z0z0
: Zuggurtkraft∗ ac: Abstand Auflagermitte – Innenkante∗ z0 = d · (1− 0,4 · VEd
VRd,max): Lage der Druckstreben
∗ HEd ≥ 0,2 · FEd: Berücksichtigung behinderter Verformungen∗ aH = dL + d1 mit dL: Dicke der Lagerplatte
– As,erf = ZEdfyd
: erforderliche Zugbewehrung (oben einlegen)
– Bewehrungsführung∗ Schlaufen mit D ≥ 4 · φ
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4 BEMESSUNG VON DISKONTINUITÄTSBEREICHEN
∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lbd ab Innenkante der Auflagerplatte· α1 = 0,7 für innen liegende Schlaufen, α1 = 0,5 für D ≥ 15 · φs; α5 = 2
3
∗ Umbiegen der Bügel mit D = 10÷ 20 · φ∗ Verankerung der Zugbewehrung mit lb,rqd in der Stütze
• Bei abgehängten Lasten: zusätzliche Schlaufen mit As2 = 0,6·FEdfyd
·√
ak0,85·d + 1
– ak: Randabstand Konsolenrand – Lasteinfläche
• erforderliche Bügelbewehrung
– ac ≤ 0,5 · hc und VEd > 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,5 ·As– ac ≤ 0,5 · hc und VEd < 0,3 · VRd,max: geschlossene horizontale Bügel nach konstruktiven
Gesichtspunkten
– ac > 0,5 · hc und VEd ≥ ·VRd,c: geschlossene vertikale Bügel mit Asw,ges ≥ 0,7 · FEdfyd
– ac > 0,5·hc und VEd < VRd,c: geschlossene vertikale Bügel nach konstruktiven Gesichtspunkten
4.6 Ausklinkungen
• Annahme: HEd ≥ 0,2FEd
• Abschätzung der ni Bügel der Zugstreben
• Berechnung der Abmessungen und Winkel
– e′ = e+ cnom + n2 · φsw + n−1
2 · a mit a ≥ max{φsw; dg + x; 20 mm}– dk = hk − cnom − φsw − 1
2 · φsl– zk = dk − cnom − φsw − 1
2 · φsl,1 (Bewehrung für Fsd,1 in einer Lage)
– da = d1,u − d1,m– l′1 = da · cot θ (θ aus Querkraftbemessung)
– θ1 = arctan(zke′
)– θ2 = arctan
(zkl′1
)• Berechnung der Strebenkräfte
– Fsd,1 = FEd · cot θ1 +HEd
– Fsd,2 = FEd +HEd · 1cot θ1+cot θ2
• As,i =Fsd,ifyd
: Gesamtbewerungsfläche je Strebe
• Überprüfung, ob Annahme der Bügelschenkel korrekt war
• Untere Biegebewehrung mit Schlaufen stoßen und Schlaufen verankern
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5 TORSION
5 Torsion• Ermittlung der Torsionsmomente: S4.10 f
• Rechteckquerschnitt vereinfacht als Hohlkasten mit tef,i = 2 · d1 berechnen
– Ak = bk · hk = (b− tef )(h− tef ) (bezogen auf Mittellinie)
– uk = 2 · (bk + hk)
– Hohlkasten als Hohlkasten, wenn tw ≤ 16 max{b, h} → tef = tw
• Schubfluss aus Querkraft und Torsion: VEd,T+V = VEd,V + VEd,T
– VEd,V = VEd · tefb– VEd,T = TEd · zi
2·Ak
∗ zi = max
{h− tef,ib− tef,i
}: Abstand zwischen den Mittellinien zweier gegenüberliegenden
Hohlkastenseiten; Schubfluss an der langen Seite mit großem zi maximal
– Betrachtung der langen Rechteckseiten, da dort Torsionsschub maximal und Querkraftschubvorhanden
• Druckstrebenwinkel θ analog für Querkraftbemessung
– 1,0 [≡ θ = 45◦] ≤ cot θ =1,2+1,4
σcdfcd
1−VRd,cc
VEd,T+V
≤ 3,0 [≡ θ = 18,43◦] (für senkrechte Querbewehrung)
∗ für geneigte Querbewehrung: unterer Grenzwert 0,58∗ σcd = NEd
Ac: Druckspannung (positiv)
∗ fcd = αcc · fckγc : Bemessungswert der Betondruckfestigkeit
∗ VRd,cc = c · 0,48 · 3√fck · (1− 1,2 · σcdfcd ) · bw · z
· c = 0.5
· bw = tef,i (kleinste Breite in der Zugzone)· z = zi
– vereinfacht: cot θ = 1.0→ θ = 45◦
• Nachweis der Druckstreben
– Berechnung der maximalen Querkrafttragfähigkeit
∗ vertikale Querbewehrung: VRd,max = 12 · αcw · bw · z · ν1 · fcd · sin 2θ
∗ Um α geneigte Querbewehrung: VRd,max = αcw · bw · z · ν1 · fcd · cot θ+cotα1+cot2 θ
· αcw = 1.0
· ν1 = 0.75 · ν2· ν2 = 1.1− fck
500 ≤ 1.0 (nur für Festigkeitsklassen größer C50/60 relevant)
· z = min
{0.9 · dd− 2 · cnom ≥ d− cnom − 30 mm
}: Innerer Hebelarm
– Berechnung der maximalen Torsionstragfähigkeit: TRd,max = ν · αcw · fcd ·Ak · tef,i · sin 2θ
∗ ν =
{0,75 bei Kastenquerschnitten mit Bew. an den Außenseiten0,525 sonst
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5 TORSION
– Interaktionsnachweis
∗ Kompakt- und Vollquerschnitte:(
TEdTRd,max
)2+(
VEdVRd,max
)2≤ 1
∗ Kastenquerschnitte: TEdTRd,max
+ VEdVRd,max
≤ 1
• Bei rechteckigen Vollquerschnitten nur Mindestbewehrung erforderlich, wenn
– TEd ≤ VEd·bw4,5
– VEd ·(
1 + 4,5·TEdVEd·bw
)≤ VRd,c
– TEdTRd,c
+ VEdVRd,c
≤ 1,0
• Nachweis der Zugstreben: Berechnung der erforderlichen Querbewehrungsfläche
– Querkraft: asw,V =V ∗Ed
fyd·z·cot θ
– Torsion: asw,T = TEd2·Ak·fyd·cot θ
– asw,V+T = asw,V + 2 · asw,T (Querkraft für Gesamtquerschnitt (zweischnittig), Torsion bzgl.einer Wand (einschnittig)) ⇒ Gesamte Bügelbewehrung
• Torsionslängsbewehrung: Asl,T = TEd·uk·cot θ2·Ak·fyd
– Darf durch zu viel eingelegte Biegelängsbewehrung (zum Teil) abgedeckt werden– In Druckgurten entsprechend der Druckkräfte abzumindern
• Konstruktive Durchbildung
– Abstände aller Bügel nach Stahlbeton II∗ Berechnung des Querkraftausnutzungsgrads: VEd
VRd,max
∗ Bestimmung des maximalen Bügelabstands sl,max
∗ Bestimmung des maximalen Bügelschenkelabstands im Querschnitt st,max
– Zusätzlich Maximalabstand der Torsionsbügel: sl ≤{uk8 ; b;h
}– Torsionsbügel entweder als Übergreifungsstoß mit l0 schließen oder in den Ecken um 135◦
umbiegen und mit 10φ verankern; Schlösser hintereinander versetzt anordnen– Torsionslängsbew: s ≤ 35 cm, über die Höhe zi zu verteilen, ein Stab je Ecke
• Torsion bei zusammengesetzten Querschnitten:Aufteilung des Torsionsmoments auf Teilquerschnitte und getrennte Bemessung
– Teilmoment: TEd,i = TEd · IT,i∑i IT,i
– Torsionsflächenmomente: S4.29
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EN 1992-1-1:2004 + AC:2010 (D)
a) trockene Innenräume, relative Luftfeuchte = 50%
ANMERKUNG — der Schnittpunkt der Linien 4 und 5 kann auch über dem Punkt 1 liegen — für t0 > 100 darf t0 = 100 angenommen werden (Tangentenlinie ist zu verwenden)
b) Außenluft, relative Luftfeuchte = 80%
Bild 3.1 — Methode zur Bestimmung der Kriechzahl ij(f, t0) für Beton bei normalen Umgebungsbedingungen
32
DIN EN 1992-1-1:2011-01
B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9
Nor
mC
D -
Stan
d 20
12-0
8