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Symmetrie und Spiegelungen
Bericht einer Lernwerkstatt-Sequenz
Franziska Frey
Lernwerkstatt der Birger-Forell-Grundschule
Koblenzer Straße 22 10715 Berlin
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Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 3
2. Symmetrische Figuren im Alltag 3
2.1. Die Symmetrie der Natur 3
2.1.1. Gesicht und Körper des Menschen 3
2.1.2. Hexagonal- und Spiralsymmetrie 4
2.2. Raummodelle und Architekt 4
2.2.1. Symmetrien der regelmäßigen Polyeder 4
2.3. Ornamente und Muster 4
2.4. Schrift 5
2.5. Symmetrie und Gleichgewicht 5
2.6. Antisymmetrie: Tag und Nacht oder Yin und Yang 5
2.7. (Anti-)Symmetrie und Spiegelung in der Psychologie 5
3. Symmetrie - ein geometrischer Begriff 6
3.1. Symmetrien im Zweidimensionalen 6
3.1.1. Achsen- oder Spiegelsymmetrie 6
3.1.2. Verschiebesymmetrie 6
3.1.3. Dreh- oder Punktsymmetrie 6
3.2. Symmetrien im Dreidimensionalen 7
3.2.1. Ebenensymmetrie 7
3.2.2. Rotationssymmetrie 7
3.2.3. Kugelsymmetrie 7
3.3. Kombination von Symmetrien 7
4. Symmetrie und Spiegelungen im Rahmenlehrplan Grundschule 8
4.1. Rahmenlehrplan Mathematik 8
4.2. Rahmenlehrplan Sachunterricht 9
4.3. Rahmenlehrplan Naturwissenschaften 9
5. Zusammenfassung 10
6. Literatur | Links | Bildnachweis 11
Anhang: Stationen in der Lernwerkstatt Arbeitsauftrag 1-13
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1. Einleitung
Während der Lernwerkstatt-Sequenz Symmetrie und Spiegelungen, die in der Lern-
werkstatt der Birger-Forell-Schule im Schuljahr 2013/14 durchgeführt wird, werden den
Schülerinnen und Schülern an Stationen verschiedene Materialien und Gegenstände
zur Verfügung gestellt, mithilfe derer sie verschiedene Phänomene der Symmetrie
beobachten und erforschen können.
Im Bericht werden unterschiedliche Symmetrieformen und -erscheinungen erläutert.
Anschließend wird der Stellenwert des Themas in den Rahmenlehrplänen Mathematik
und Sachunterricht der Berliner Grundschulen aufgezeigt. Zusammenfassend wird
vorgestellt, wie die Lernwerkstatt-Sequenz von verschiedenen Lern- und Altersgruppen
genutzt wird. Die Arbeitsaufträge und Stationen, die in der Lernwerkstatt zur Verfügung
stehen, werden als Anhang aufgelistet.
2. Symmetrische Figuren im Alltag
Wir sind täglich von symmetrischen Zeichen, Figuren
und Körpern umgeben. Viele Pflanzen und Tiere,
Menschen technische Geräte und Fahrzeuge, auch
Gebäude und Verzierungen wirken achsensymmetrisch.
Wir nehmen Formen als ebenmäßig und harmonisch
wahr, auch ohne uns deren symmetrische Erscheinung
bewusst zu machen.
2.1. Die Symmetrie der Natur
Das Prinzip der Symmetrie durchzieht die ganze Natur.
Viele höhere Lebewesen sind mehr oder weniger
annähernd spiegel- oder rotationssymmetrisch aufgebaut.
So scheint die sprichwörtliche Schönheit der Natur im
wesentlichen auf der Proportionalität der Symmetrie zu
beruhen.
2.1.1. Gesicht und Körper des Menschen
Auch der Mensch verfügt über eine vertikale
Symmetrieebene, die anatomische Sagittalebene.
Der Aufbau und die Verteilung der inneren Organe
muss allerdings nicht spiegelsymmetrisch sein. Auch
weisen die scheinbar zueinander symmetrischen
Körperteile mehr oder weniger große Unterschiede
auf in Lage-, Form- und in ihrer Größe.
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2.1.2. Hexagonal- und Spiralsymmetrie
Einige der schönsten Beispiele für Drehung und
Spiegelung in der Natur bietet die unendliche Vielfalt der
Schneekristalle. Jeder Schneekristall ist ein Unikat,
jedoch allen gemeinsam ist die sechszählige Drehachse.
Die Symmetrie der Schnee-flocken folgt der hexagonalen
Anordnung der Wasser-moleküle im Eiskristall.
Auch Helices und Spiralen basieren auf dem Prinzip der
Wiederholung. Innerhalb einer Spirale verändern sich
Drehung und Verschiebung allmählich und regelmäßig.
Das Prinzip der Drehung bei konstanter Verschiebung
lässt sich bei Wendeltreppen gut erkennen.
2.2. Raummodelle und Architektur
Bilaterale Symmetrie lässt sich bei Gebäuden aller Art
finden. An den Fassaden historischer Gebäude sind
häufig drehsymmetrische Motive zu entdecken. Die
Kuppeln vieler bedeutsamer Bauwerke sind zugleich
spiegel- und drehsymmetrisch. Zwei- bis sechszählige
Symmetrien können die Grundrisse alter Festungen
besitzen. Interessante Architekturbeispiele weisen auch
acht- und mehrzählig symmetrische Grundrisse auf. Bei
Rundbauten kann man Rotationssymmetrien beobachten.
2.2.1. Symmetrien der regelmäßiger Körper
Die regelmäßigen Polyeder, die von Archimedes
entdeckten halbregelmäßigen Polyeder, die Stern-
polyeder, die Prismen und Antiprismen weisen alle
Drehachsen und Spiegelebenen auf.
2.3. Ornamente und Muster
Bei Friesen und Randverzierungen werden Muster erzeugt durch Translation von
Motiven. Durch die unendliche Wiederholung des gleichen Motivs wird Periodizität
erzeugt. Die durch Verschiebung, Spiegelung und Drehung erzeugten Wieder-
holungseffekte kann man auch als repetitive Symmetrie beschreiben.
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2.4. Schrift und Zeichen
Unter Spiegelschrift versteht man eine Schrift, die erst bei
einer Betrachtung durch einen Spiegel in herkömmlicher
Weise lesbar ist. Auch Palindrome können Spiegelwörter
sein, z.B.: AHA, AUA, MIT TIM, OHO, OTTO,
TAT, TOT, TUT, UHU.
Viele Verkehrszeichen weisen Dreh-
und/oder Spiegelachsen auf.
2.5. Symmetrie und Gleichgewicht
Die meisten Fahrzeuge sind links-rechts-symmetrisch
aufgebaut, da die bilateral symmetrisch ausbalancierte
Konstruktion der Beweglichkeit dient. Raketen, die
senkrecht von der Erdoberfläche starten, besitzen eine
zylindrische Symmetrie.
2.6. Antisymmetrie: Tag und Nacht oder Yin und Yang
Im Allgemeinen bezeichnet Antisymmetrie nicht das
Fehlen von Symmetrie oder Ebenmäßigkeit, sondern eine
besondere Art der Symmetrie. Bei vorhandener Spiegelung
oder Translation der Formen können deren Kontraste oder
Farben wechseln. Auch bei der Antidrehsymmetrie können
Positiv- und Negativformen als auch Kontraste wechsel-
seitig auftreten.
2.7. (Anti-)Symmetrie und Spiegelung in der Psychologie
Das Bild des Narziss spiegelt den Gefühlszustand der Selbstver-
liebtheit wider. Durch Spiegelung - empathische Äußerungen -
fühlt sich das Gegenüber emotional nicht allein gelassen.
Die Unterscheidung wird auch in der Psychologie angewendet: in
einer symmetrischen Spiegelung werden Form und Inhalt identisch
gespiegelt: ein weißer Schwan spiegelt sich weiß im Wasser. In
einer antisymmetrischen Spiegelung wird die Form identisch
gespiegelt, während ihr Inhalt in das Gegenteil verkehrt wird.
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3. Symmetrie - ein geometrischer Begriff
Der geometrische Begriff Symmetrie beschreibt die Eigenschaft, dass ein geome-
trisches Objekt durch Bewegungen (spiegeln, verschieben, drehen, kippen) auf sich
selbst abgebildet werden kann. Verschiedene geometrische Objekte zusammen
betrachtet, werden ebenfalls als zueinander symmetrisch bezeichnet, wenn sie eine
symmetrische Figur bilden.
Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche
Symmetrien:
3.1. Symmetrien im Zweidimensionalen
Im Zweidimensionalen unterscheidet man zwischen
Punkt- und Achsensymmetrie, außerdem treten Radial-
und Translationssymmetrien durch Drehen, Spiegeln und
Verschieben auf.
3.1.1. Achsen- oder Spiegelsymmetrie
Achsensymmetrie und Spiegelsymmetrie sind bei
zweidimensionalen Figuren gleichbedeutende Begriffe.
Eine geometrische Figur ist dann achsensymmetrisch,
wenn sie durch Achsenspiegelung an einer Symmetrie-
achse auf sich selbst abgebildet werden kann.
3.1.2. Verschiebesymmetrie
Wenn eine Figur durch Verschieben mit sich selbst zur
Deckung gebracht werden kann, so heißt das Verschiebe-
symmetrie.
3.1.3. Punkt- oder Drehsymmetrie
Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie durch die
Spiegelung bzw. Drehung an einem Symmetriepunkt auf
sich selbst abgebildet wird.
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3.2. Symmetrien im Dreidimensionalen
Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht
die Ebenensymmetrie im Dreidimensionalen. Daneben
gibt es die Punkt- oder Rotationssymmetrie und die
Kugelsymmetrie im Raum sowie die Translations-
symmetrien.
3.2.1. Ebenen- oder Spiegelsymmetrie
Die Symmetrie zu einer Symmetrie-
ebene wird in dreidimensionalen
Räumen auch als Spiegelsymmetrie
bezeichnet.
3.2.2. Rotationssymmetrie
Dreidimensionale Darstellungen werden als
rotationssymmetrisch bezeichnet, wenn eine Drehung
um eine Achse (Symmetrieachse) um jeden beliebigen
Winkel die geometrische Konstruktion auf sich selbst
abbildet.
Die Rotationssymmetrie wird auch als Zylinder-
symmetrie bezeichnet. Dreidimensionale Objekte mit
dieser Eigenschaft werden auch Rotationskörper
genannt.
3.2.3. Kugelsymmetrie
Die Kugelsymmetrie wird auch als Radialsymmetrie
bezeichnet. Sie ist ein Spezialfall der
Rotationssymmetrie bei einer möglichen Spiegelung um
jede beliebige Achse durch denselben Mittelpunkt.
3.3. Kombination von Symmetrien
Verschiedene Symmetrieoperationen lassen sich
kombinieren, z.B. Drehung, Drehspiegelung,
Verschiebung, Gleitspiegelung, Schraubung.
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4. Symmetrie und Spiegelungen im Rahmenlehrplan der Grundschule
Wer die Prinzipien von Spiegelung, Drehung und Verschiebung verstehen gelernt hat,
wird Ähnlichkeiten und Regelmäßigkeiten auch in anderen mathematischen
Zusammenhängen erkennen. So durchzieht das Thema Symmetrie und Spiegelungen
die betreffenden Rahmenlehrpläne der Grundschule alle Jahrgangsstufen.
Im Rahmenlehrplan Mathematik der Jahrgangsstufe 1-6 finden sich innerhalb des
Themenfeldes Form und Veränderung in allen Jahrgangsstufen Anforderungen und
Inhalte in denen das Gebiet Symmetrie und Spieglungen eine wesentliche Rolle spielt.
Im Rahmenlehrplan Sachunterricht der Jahrgangsstufe 3/4 werden Spiegelungen als
Naturphänomen genauer erschlossen.
Im Rahmenlehrplan Naturwissenschaften der Jahrgangsstufe 5/6 werden physikalische
Phänomene mit den geometrischen Gesetzmäßigkeiten der Symmetrie in
Zusammenhang gebracht, wenn die Lichtbrechung und Spiegelung, die Entstehung
von Schneeflocken und Kristallen näher beobachtet wird.
4.1. Rahmenlehrplan Mathematik
Themenfeld: Form und Veränderung
Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beschreiben Gesetzmäßigkeiten in
geometrischen Mustern, setzen diese fort und entwickeln eigene Muster. (S.20)
Die Schülerinnen und Schüler entdecken Abbildungen in ihrer Umwelt und erkennen
ihre Eigenschaften. Ausgehend von achsensymmetrischen Figuren werden die
Kenntnisse zur Abbildungsgeometrie zunehmend angereichert und vertieft.
Kongruenzabbildungen, wie Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen,
werden von den Schülerinnen und Schülern dargestellt, beschrieben und
miteinander in Beziehung gesetzt. Sie erzeugen ebene und räumliche Figuren auf
der Basis ihrer Kenntnisse. (S.28)
Anforderungen Inhalte Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 1/2 (S.32) - identische und spiegelsymmetrische Bilder erkennen, benennen, vervollständigen und darstellen - Beziehung zwischen Original und Bild bei Spiegelungen benennen
Spiegelung, Spiegelachse, deckungsgleich; Symmetrieachse; ist symmetrisch zu Form, Größe; Lage zur Spiegelachse von Original und Bild; Spiegelbilder, Klecksbilder, Faltschnitte; Muster, Ornamente; Figuren mit keiner, einer oder mehreren Symmetrieachse(n);
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Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 3/4 (S.35) - verschobene und gedrehte Figuren erkennen, benennen, vervollständigen und herstellen
Bild, Original, Symmetrie; Verschiebung, Drehung; drehsymmetrische Figuren; schubsymmetrische Muster und Bordüren;
Form und Veränderung / Jahrgangsstufen 5/6 (S.39) - Symmetrien in ebenen Figuren und Körpern identifizieren - Figuren auf Kongruenz untersuchen und vergleichen
Konstruktion von Spiegelungen, Verschiebungen und Drehungen; Nacheinanderausführung von Abbildungen; Kongruenz;
4.2. Rahmenlehrplan Sachunterricht
Anforderungen Inhalte Naturphänomene erschließen / Jahrgangsstufen 3/4 (S.41) - Original und Spiegelbild vergleichen
Spiegelungen Spiegelschrift, Kaleidoskop
- optische Täuschungen wahrnehmen und beschreiben
Farbkreisel Wechselbilder, Abbildungen
4.3. Rahmenlehrplan Naturwissenschaften
Anforderungen Inhalte Welt des Großen - Welt des Kleinen / Jahrgangsstufen 5/6 (S.32) - Beobachtungen zu Lichtphänomenen beschreiben:
lineare Ausbreitung des Lichtes, Schattenwurf, Spiegelung
- Experimente zur Lichtreflexion planen, durchführen und protokollieren :
Lichtreflexion und -absorption, Reflexion am ebenen Spiegel, Reflexionsgesetz, Spiegelbild
Modelle und Modellbildung / Jahrgangsstufen 5/6 (S.37) - einfache naturwissenschaftliche Phänomene beobachten und beschreiben:
Blumen im Schnee, Entstehung von Kristallen Lichtspiegelungen
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5. Zusammenfassung
Die derzeitige Sequenz Symmetrie und Spiegelungen steht
den Schülerinnen und Schülern der Birger-Forell-Grundschule
zu unterschiedlichen Zeiten als Unterrichtsprojekt- und
Lernwerkstattangebot zur Verfügung.
Im Vormittagsbereich bearbeiten sie die im Rahmen eines
Projektes vorbereiteten Stationen, die im Anhang des Berichts
durch die Arbeitsaufträge näher vorgestellt werden. Als
abschließenden Höhepunkt der Stationsarbeit werden die
Kinder in Partnerarbeit ein von ihnen ausgewähltes Phänomen
oder einen Versuch vor der Klasse präsentieren und näher
erläutern.
Im Nachmittagsbereich können sie im Rahmen eines
entsprechenden Kurses oder einer AG die Materialien und
Aufgabenstellungen selbstständig wählen, um zu beobachten,
zu gestalten und zu forschen. Hier geht es weniger um
Vollständigkeit in der Vermittlung der verschiedenen Aspekte
des Themas, als mehr um Individualität und Selbst-
bestimmung im Lernprozess der Kinder.
Die Lernwerkstattsequenz wird auch im Rahmen von
TransKiGs-Transfer (Berlin) genutzt. Kindergruppen der
umliegenden Kitas experimentieren gemeinsam mit
Grundschulkindern einer jahrgangsübergreifenden Lern-
gruppe (1.-3.Jg.).
Die Lernwerkstattsequenz Symmetrie und Spiegelungen wird im Laufe des Schuljahres
durch Materialien und Angebote ergänzt und erweitert, die von Lehrerinnen und
Erzieherinnen der Schule oder von Kindern in der Lernwerkstatt erarbeitet werden.
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6. Literatur: - Istvan Hargittai und Magdolna Hargittai: Symmetrie. Eine neue Art, die Welt zu sehen. Rowohlt 1998 - David Wade: Macht der Symmetrie Artemis & Winkler 2011 - Symmetrien entdecken - Vom Handeln zum Vorstellen in: Mathematik differenziert, Westermann 3/2013 - Kathrin Richter und Claudia Schneider: Symmetrien spielerisch erkunden in: Mathematik lehren, Friedrich-Verlag Heft 161/2010 - Symmetrien: Parkettierungen in: Grundschule Mathematik, Friedrich-Verlag Heft Nr. 22/2009 - Katrin Wemmer: Stationentraining Symmetrie Persen-Verlag 2013 - Roland Bauer: Symmetrie: Lernen an Stationen in der Grundschule / 2.-4. Schuljahr Cornelsen Scriptor 2009 - Rahmenlehrplan Mathematik Grundschule - Rahmenlehrplan Sachunterricht Grundschule - Rahmenlehrplan Naturwissenschaften Grundschule Links: http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_(Geometrie) http://sinus-sh.lernnetz.de/sinusag/materialien/mathematik/themenkisten/ http://www.tk.de/tk/wissen/zahlen-und-zeichen/symmetrie-10004228/538314 http://www.br.de/grips/faecher/grips-mathe/25-symmetrie-flugwerft102.html Bildnachweis: Seite 1: http://www.tydecks.info/online/Bilder/Penrose34.gif Seite 3: http://www.oly-forum.com/gallery/view/gloriette-mit-wasserspiegelung http://a400.idata.over-blog.com/2/27/36/38/Ausmalbilder-Tiere/schmetterling-7.jpg http://www.kunstforschung.de/Symmetrie_09.html Seite 4: http://www.oberstufeninformatik.de/info11/turtle/Kochkurve.html http://www.origamiweb.de/models/shell3-b.jpg http://www.balance-nbg.de/showpage.php?SiteID=12&edet=199 http://stubber.math-inf.uni-greifswald.de/mathematik+kunst/polyeder.html http://de.wikipedia.org/wiki/Fries Seite 5: http://666kb.com/i/b6p1dmm55901l4yvc.gif http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Airplane_model_fausek_n_v.jpg http://www.diecircuskiste.de/cgi-bin/his-webshop.pl?f=NR&c=260047&t=temartic http://www.mathematik.de/spudema/spudema_beitraege/beitraege/kuhlenschmidt/ http://artinspired.pbworks.com/w/page/13819678/Positive and Negative Space http://www.wikipaintings.org/en/m-c-escher/circle-limit-i http://german.postersguide.com/dayandnightescherposters95847.html http://aarau-shiatsu.ch/glossar/ki-chi-qi/ http://www.iposs.de/957/der-narziss-rucksichtslos-und-gierig/ Seite 6: http://de.wikipedia.org/wiki/Achsensymmetrie http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrie_%28Geometrie%29 http://german.postersguide.com/dayandnightescherposters95847.html http://mathe-insel.de/theorie/voderberg/ Seite 7: http://www.mathematische-basteleien.de/archimedes.htm http://www.mathematische-basteleien.de/hyperboloid.htm http://www.mathematische-basteleien.de/torus.htm http://mathe-insel.de/theorie/voderberg/ http://www.math-inf.uni-greifswald.de/mathe/index.php/geschichte-und-kultur/167 http://www.livenet.ch/sites/default/files/media/2675-Pusteblume.jpg