Vol. XXVII, 1976 99

B e s t i m m u n g eines k o n v e x e n K S r p e r s d u r c h gewisse Ber i ihrmaf~e

Von

Ror_~ SCHNW.tDE~

1. Einleitung. Die Fragestellung, die in dieser Note behandelt werden soll, 1/~gt sich in zun/iehst noch ungenauer Weise folgendermaBen formulieren. Es seien K, K' konvexe KSrper (nichtleere, kompakte, konvexe Punktmengen) im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum En (n > 2). Mit s sei die Einheitssph/~re des E n bezeichnet.

einen Einheitsvektor u e s sagen wit, dab K' den KSrper K in Richtung u be- r//hrt, wenn K n K ' ~=0 ist, aber K und K' dutch eine Hyperebene mit Normalen- vektor u getrennt werden kSnnen derart, dab u yon K nach K' weist. Es sei nun K als fest, K' als frei beweglich gedacht mit der Einschr/~nkung, dab K' den K6rper K beriihren soll. Fiir eine geeignete Teilmenge co c s bezeichne # (K, K'; co) das (noch zu definierende) MaB aller Lagen, in denen K' den KSrper K in einer zu co gehSrenden Richtung beriihrt. Ist dana, bei gegebenem K6rper K', der KSrper K durch die Kenatnis des BeriihrmaBes/z (K, K' ; co) fib hinreichend viele Teilmengen co c s bis auf eine Translation eindeutig bestimmt ?

Zur Pr/gzisierung der Fragestellung ist zun/~chst das MaB /z anzugeben, das der Betrachtung zugrundegelegt werden soil. Ein geometrisch naheliegendes MaB erh/~lt man nach Firey [6] in der folgenden natiirlichen Weise. Sei co c s eine Borelmenge. Fiir s > 0 sei M~ (K, K'; co) die Menge aller Bewegungen /~ des E n, fiir die F K ' den/iuBeren ParallelkSrper yon K im Abstand ~ mit einem ~ e ]0, e[ in einer Richtung aus co beriihrt. Die Menge M~(K, K'; co) ist dana eine Borelmenge in der Bewegungs- gruppe des E~; ihr Haarsches MaB, dividiert durch e, besitzt ffir e -+ 0 einen Grenz- wert/x(K, K'; m). Hierdureh ist ein BorelmaB /z(K, K'; .) auf s erkl/~rt; fiir eine Borelmenge co c s wird/z (K, K' ; co) als MaB der Menge aller Bewegungen/~ ange- sehen, fiir die F K ' den KSrper K in einer zu co gehSrenden Richtung beriihrt.

Die Auswahl des MaBes/x ist natfirlich einer gewissen Willkiir unterworfen; durch einen andersartigen, axiomatischen Zugang (siehe [9]) wird jedoch unterstrichen, dab diese Auswahl im wesentlichen die einzig mSgliche ist, wena das MaB gewissen plausiblen, durch die erstrebte anschauliche Bedeutung als BeriihrmaB motivierten Forderungen geniigen soil

Ffir die bequemere Handhabung des Mal3es bt ist seine Darstellbarkeit durch andere in der Theorie der konvexen KSrper gel~ufige MaBe yon Nutzen, es gilt nimlich

,~-I /n -- 1\ (1) /z (K, K'; co) ---: ~=0| \ c ~ W~+i (K') S~ (K; co), ) /9

7*

100 R. SCHNEIDZR ARCH. MATH.

wo S~ (K; ") das i~-te Oberfl~chemnaB des KSrpers K im Sinne yon Fenchel-Jessen [5] und A.D. Aleksandrov [ 1] (vgl. aueh Busemann [4] ) und Wp+z (K') = n-z Sn-l-~ (K' ; /2) das (p + 1)-te QuermaBintegrat yon K' bezeiehnet. Der Faktor c h~ngt yon der Normierung des Haarschen MaBes auf der Bewegungsgruppe ab.

Die Gleichung (1) ist in einer yon Firey [6] bewiesenen Formel enthalten. Der Be- weis benutzt polyedrisehe Approximation und erfordert eine explizite integral- geometrische Berechnung; er ist recht lang. Wir skizzieren zun~chst in Abschnitt 3 fiir den Spezialfall der Gleichung (1) einen kurzen Beweis, der direkt die Fenchel- Jessensehe Darstellung der Oberfl~chenmaBe und ihren Zusammenhang mit ge- mischten Volumina heranzieht. Ein Nebenergebnis dieses Beweises, eine integral- geometrische Formel ffir Oberfl~chenmaBe, wird in Absehnitt 5 notiert.

Verm6ge der Gleiehung (1) ist nun klar, dab die eingangs gestellte Frage, die wir dahingehend pr~zisieren wollen, ob K bei gegebenem K' dureh die Werte/~ (K, K'; co) ffir alle Borelmengen co c/2 bis auf eine Translation eindeutig bestimmt ist, dutch eine positive Antwort auf die folgende Frage ebenfalls positiv beantwortet wird. Folgt, wenn ~1 . . . . . ~ - 1 niehtnegative, nicht s~mtlich versehwindende reelle Kon- stanten sind, aus der Gleichheit

~r SI (K; o~) + ... + ~-zS~-z(K; o~) =

ffir alle Borelmengen a~ c/2, dab die konvexen KSrper K und/~ durch eine Trans- lation ineinander iiberfiihrt werden kSnnen ? Naeh dem Satz yon Aleksandrov- Fenehel-Jessen trifft dies jedenfalls dann zu, werm genau einer der Koeffizienten ~1, --., ~n-1 yon Null versehieden ist. Insbesondere folg~ aus/~ (K, K ' ; .) = # (/~, K'; .) die Gleiehheit (bis auf eine Translation) yon K und/~, falls K' nur aus einem Punkt besteht.

Fiir n = 3 hat Firey [6] die obige Frage positiv beantwortet unter der Voraussetzung, dab die Berandungen der KSrper K und/~ hinreichend glatt sind, und er hat in [7] das Problem in der allgemeinen Fassung formuliert. Im folgenden wird die Frage ffir den dreidimensionalen Raum ohne die Glattheitsvoraussetzung erledig~ durch den Beweis des nachstehenden Satzes.

Satz. Seien K, K c E 8 konvexe K6rper mit

]i~r aUe Borelmengen co c /2, wo ~1 > 0 und ~r ~ 0 Kons$anten sind. Dann geht K dutch eine Translation aus K hervor.

2. Bezeichnungen und Hilfsmittel. Wir stellen zunachst zusammen, was in den nAchsten beiden Abschnitten an Kenntnissen fiber gemisehte Volumina und Ober- fl~chenmaBe benStigt wird.

Es bezeiehne ~n die Nfenge der konvexen KSrper im En und B die Einheitskugel des En mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Fiir die gemischten Volumina der K6rper K, K, B e R~ benutzen wir die Abkfirzung

V ( K . . . . . K , ~ . . . . . K , B , . . . , B ) = V r s ( K , ~ ) , r , s ~ r + s ~ n .

u XXVII, 19Z6 BeriihrmaBe konvexer Kiirper 101

F ib K e ~n sei h(K, .) die Stiitzfunktion yon K, also h(K, u) ---- max(<x, u>lx ~ K} fOr u ~ E n, wo <,> das in En gegebene Skalarprodukt bezeichnet. Sei K e ~n und r e {0, 1 . . . . , n -- 1}. Nach Fenchel-Jessen [5] gilt

1 (2) Fir (r:, K) ---- n j h (/~, u) dSr (K; u)

fOr alle konvexen K6rper /~ e ~n, was zur Definition des Oberfl~chenmal3es Sr (K; ") dienen kann. Eine andere, direktere Darstellung der Oberfl~chenmalie erhs man nach [5] folgendermai]en.

Sei K e ~n, co c /2 eine Borelmenge und e > 0. Zu jedem u e co und jedem Rand- punkt x yon K, der in einer Stfitzhyperebene an K mit ~ul3erem Normalenvektor u liegt, bilden wir die Strecke {x d- ~ u I 0 < q < e}. Die Vereinigungsmenge Be (K; co) dieser Strecken wird als die zu co und ~ geh6rige Biirstenmenge yon K bezeichnet; sie ist eine Borelmenge, mid fiir ihr Volumen gilt

1 ~ / n \

Von den zwischen den gemischten Volumina bestehenden Ungleichungen werden wir die folgende zu benutzen haben: Ffir beliebige konvexe K6rper K z , . . . , Kn , K* e ~ gilt

[V(K1, K*, Ka . . . . , Kn) -- F(K2, K*, K a , . . . , K,)] 2 _>--

>_ V (K *, K *, Ka , . . . , Kn) [ V (K1, K1, Ka . . . . , Kn) --

-- 2 V (K i , K2, Ka . . . . . Kn) 4- V(Ku, K2, Ka . . . . . Kn)]

(siehe Aleksandrov [2], Abschnitt 3; den spi ter zu benutzenden Spezialfall kann man auch aus Bonnesen-Fenchel [3, S. 93] erhalten). Daraus folgt:

(4) Gibt es einen konvexen KSrper K* e ~n mit V(K*, K*, K3 . . . . . Kn) > 0

und V(Ki , K*, K3 . . . . . Kn) = V(Kz, K*, K3, . . . , Kn), so gilt

V(KI , K1, K 3 , . . . , Kn) + V(Kz, K2, Ka . . . . . Kn) <=

<= 2 V(K1, K~, K3 . . . . . Kn) .

Im Fall n = 2 gilt hier, wenn noch V(K1, K*) > 0 vorausgesetzt wird, das Gleich- heitszeichen nur, wenn K1 und Kg. homothetisch sind (Bonnesen-Fenchel [3], S. 98(5) und S. 99 oben).

FOr K e ~n und u e ~Q bezeichne Ku den konvexen KSrper, der dutch Orthogonal- projektion yon K auf die zu u senkrechte Hyperebene durch den Ursprung entsteht. FOr die (n -- 1)-dimensionalen gemischten Volumina yon Ku, Ku , Bu schreiben wit

v(Ku . . . . . Ku, l~u . . . . . -Eu, Bu . . . . . B~) = vre(K, K; u), r, s ~_ r + s <= n -- 1. �9 W �9 / ~, . /

Es gilt

(5) vrs(K, g ; u) = n V ( K , . . . , K , g . . . . . g , B , . . . , B, U) , % - r J % " / �9 J

, ] ,~-V- , - ,

102 R. SCHNEIDER AI~.CH. MATH.

wenn U eine zu u parallele Strecke der L~nge 1 ist (Bonnesen-Fenchel [3], S. 45), und

(6) f vrs (K, -g; u) d2 (u) = ~-I Vrs (K, g ) , ~2

wo ~ das Lebesguesche l~aB auf tier Sph/~re ~2 und zn-z das Volumen der (n -- 1)- dimensionalen Einheitskugel bezeichnet (Bonnesen-Fenchel [3], S. 49).

8. Beweis der Gleiehung (1). Mit v bezeiehnen wit das (beliebig nomierte) Haarsehe MaB auf der Bewegungsgruppe des E n. Seien K, K ' e ~n konvexe K6rper, sei co c ~2 eine Borelmenge. Dann ist, wie Firey [6] gezeigt hat, die Menge Me (K, K' ; co) eine Borelmenge in der Bewegungsgruppe. Gem&B den in der Einleitung gegebenen Er- kl~rungen ist zu zeigen, dab der Grenzwert

1 (7) lim -- v (M~ (K, K ' ; oJ)) : :/z (K, K ' ; co)

e.-> O-.k ~

existiert und (bei geeigneter Wahl der Konstanten c) mit der rechten Seite yon (1) fibereinstimmt. Zun/ichst 1/~Bt sich bekanntlich das Haarsehe MaB einer Borelmenge in der Bewegungsgruppe durch sukzessive Integrationen in der Translationsgruppe (die wir mit E n identifizieren k6rmen) und der Drehgruppe SO (n) des E n ermitteln; insbesondere k6nnen wir

(8) ~,(M~(K,K'; co))s~,o fd ' rd~

schreiben, wo dutch de Integration bezfiglich des (geeignet normierten) Haarschen MaBes auf SO (n) angezeigt ist und d~ das Volumenelement im E n bezeichnet; dabei ist T (~b) bei gegebener Drehung ~b ~ SO (n) die l~enge aller Translationsvektoren t, ffir die ~b K' H- t e M~ (K, K' ; co) K' ist. Man macht sich mfihelos klar, dab

T(r ---- B~(K -- C K' ; co)

ist (wobei K - - /~ ---- {x -- y [ x ~ K, y ~/~} gesetzt ist). Aus (8) und (3) folg~ also

i ~/n\ ~(M~(K, K' ; oo)) : f -2- ~ | .] ei Sn-~(K -- q~ K' ; co) dqS ,

�9 .~O(n) it, i = l \ ~]

woraus sich nicht nur die behauptete Existenz des Grenzwertes (7), sondern auch fiir diesen die Darstellung

' . J '~._~ (K - r K' o~) de (9) /z (K, K , w) : SO (n)

er~bt. Hieran liest man ab, dab/~(K, K ' ; .) ein BorelmaB auf I2 ist. Sei/~ e ~ ein beliebiger konvexer K6rper. Nach einer (zul~ssigen ~)) Vertausehung der Integrations- reihenfolge findet man unter Verwendung yon (2)

---- n f V,, n-, (/s K -- ~SK') d ~ . ~O (n)

~) Siehe z . B . J . Nv.vEv, Mathematical Foundations of the Calculus of Probability. San Fran- cisco et al. 1965; S. 74, Proposition III.2.1.

u XXVII, 1976 BeriihrmaBe konvexer Kiirper . 103

Aus einer integralgeometrischen Formel yon Hadwiger [8] (in (101) auf S. 231 fiir i = 0 ersetze man A durch K + 2/~, B durch - - K ' and vergleiche nach Entwicklung beider Seiten die Koeffizienten yon 2) leitet man die Gleichung

n:..t / n - - l \

SO(n) mit einer (yon der Normierung des Haarschen MaBes abh~ngenden) Konstanten a her. Mit erneuter Verwendung yon (2) ergibt sich also

- - - 1 ) }

mit einer Konstanten c. Da/~ ein beliebiger konvexer KOrper war, k6nnen wit in bekannter Weise (Fenchel-Jessen [5]) yon der Gleichheit der Integrale zuriick- schlieBen auf die Gleichheit der MaBe, beziiglieh deren integriert wurde. Damit ergibt sich die Gleichung (1).

4. Beweis des Satzes. In diesem Abschnitt ist n ~ 3 vorausgesetzt. Es seien K , / ~ e ~a zwei konvexe KSrper derart, dab

(10) cr r + cr $2 (K; co) - - - - - ~1 $1(/~; CO) -~- 0r $2 (1~; r

flit alle Borelmengen m c [2 gilt, wobei ~1 > 0 und ~2 ~ 0 Konstanten sind. Gemi~B (2) bedeutet das, dab ffir jeden konvexen KSrper ~ e ~3 die Gleichung

(11) : r

besteht. Start Vrs (K, ~) schreiben wir kurz Vrs, analog Vrs (u) start Vrs (K, /s u). W~hlen wir in (11) speziell/~----- K bzw. ~ ----/~, so ergibt s ich

(12) al W2o 2F g2 V30 ~--- gl Vii -~- ~2 V12,

(13) ~1 Vn + ~ V21 = ~t Vo2 + ~2 Vo3.

Fiir den KSrper K* = ~1 B + a2 K + :r .g gilt daher

V ( K , K * , K + g) = ~l(V~o + Vn) + :r 2 V21+ VI2) = = ~ (Vo2 + Vn) + ~2 ( Vo3 + 2 VI~ + V~O = = V ( ~ , K * , K + . K ) .

Ist V(K*, K*, K + K ) = 0, so besCeht, da K* innere Pankte hat, der K6rper K ~ / ~ nur aus einem Punkt ; das gleiehe gilt daher fiir K und/~ . In diesem Fall ist also nichts mehr zu beweisen. Wir diirfen daher V (K*, K*, K + /~) > 0 annehmen. Aus (4) folgt dann

V ( K , K , K + .K) + V(g , I~ ,K + K) ~ 2 V ( K , K , K + g ) , also

(14) V3o ~- Vo3 ~ Vzx + Vt2.

Sei u e ~ und U eine zu u parallele Strecke der L~nge 1. W~hlen wir in (11) speziell /~---- U, so ergibt sich nach (5)

~1 v~0 (u) + ~ v~o (u) = ~ vo~ (u) + ~2 vo2 (u) .

104 R. SCHNEIDER ARCH. MATH.

Daraus folgt

v(Ku, K*) = al vlo(u) + ~2v~o(u) + ~r (u) -=

= ~1 vol (u) + ~2 vo2 (u) + ~2 v l l (u) =

= v (~,~,, K* , ) .

Nach (4) folgt daraus

(15) v20(u) + vo2(u) _< 2vn(u) .

Integration fiber aUe Richtungen u liefert wegen (6)

(16) V~o § Vo2 ~ 2 Vll.

Aus (14) und (16) folgt wegen ~1, ~2 ~ 0

~1 ( V20 + V02) + ~2 (V30 + V03) _-< 2 ~1 Vn + ~2 (V21 + rl~).

Andererseits zeigt Addition yon (12) und (13), dal3 hier das Gleichheitszeichen stehen mull Wegen ~1 > 0 gilt dann fOr alle u e/2 in (15) das Gleichheitszeiehen. Ist u e ~2 eine Richtung mit v (Ku, K'u) = v (-~u, K'u) = O, so bestehen Ku und/~u je nur aus einem Punkt, also geht insbesondere/s durch eine Translation aus Ku hervor. Ist v (Ku, K'u) = v (.Ku, K'u) :4= O, so mfissen Ku und .~u wegen der Bemerkung naeh (4) homothetisch und wegen v(Ku, .K'u) = v(.Ku, I~u) darm translationsgleich sein. Da somit in jeder Richtung die Projektionen yon K u n d / ~ Translate voneinander sind, geht nach einem bekannten Satz auch/~ dutch eine Translation aus K hervor.

5. Eine Folgerung aus verschiedenen Darstellangen des BeriihrmaBes. In Abschnitt 3 wurde flit das BerfihrmaB/z (K, K' ; r zunachst die Darstellung (9) gewonnen und daraus dann die Gleichung (1) hergeleitet. Insbesondere ist also for beliebige konvexe K6rper K, K ' e ~n und Borelmengen r c /2 die Identi tat

SO(n) ~=0

hergeleitet worden. Hier k6nnen fOr K und K ' Linearkombinationen konvexer K6rper mit variablen Parametern eingesetzt werden. Die Oberfl~chenmal3e lassen sieh dana als Polynome in den Parametern ansdrficken, wobei als Koefffzienten gewisse ge- mischte Oberfl~ehenmai3e auftreten (Fenehel-Jessen [5], Absehnitt 5). Das gemisehte Oberfl~ehenmaB S(K1 . . . . . Kn-1; ") der KSrper K1, . . . ,Kn-1 ~ ~n ist dadurch cha- rak~risier~, dal3 fOr alle konvexen KSrper ~ ~ ~n die DarsteHung

1 V(E , Ki . . . . , K~-I) = -- [ h (/~, u) d S ( K i . . . . . K~_I; u)

9~ d

grit. Da fOr alle Wert~ der in K trod K' eingehenden Parameter die Ftmktion ~-> S~-i (K § ~ K ' ; 03) attf SO (n) Borel-meBbar ist (wie sioh beim Nachweis yon (9)

ergab), schlieBt man, dab aueh die Koeffizienten des ent~prechenden Polynoms meB- bar sind. I)urch Koeffizientenvergleioh finder man nun fOr die gemisoht~n Ober- fl~ohenmaBe die folgende integralgeome~rische Formel, in der Kx . . . . , K~_I ~ ~n

u XXVII, 1976 BeriihrmaBe konvexer Kiirper 105

beliebige konvexe KSrper sein diirfen und co c Q eine Borelmenge ist:

S S (~ K1 . . . . . r Kv , K~+I . . . . , Kn-1 ; co) d e = SO(n)

= c V ( K 1 , . . . , K p , B . . . . , B) S ( B . . . . . B, K ~ + l , . . . , Kn-1; co).

Literaturverzeichnis

[1] A. D. ALv, XSA:SDROV, Zur Theorie der gemisehten Volumina yon konvexen K5rpern, I (rus- sisch). Mat. Sb. N. S. 2, 947--972 (1937).

[2] A. D. ALV.r:SA~D~OV, Zur Thcorie der gemischten Volumina yon konvexen KSrpern, I I (russiseh). Mat. Sb. N. S. 2, 1205--1238 (1937).

[3] T. BOO,SEN und W. FENCHEL, Theorie der konvexen KSrper. Berlin 1934, [4] H. BtrsE~A~r~r, Convex surfaces. New York 1958. [5] W. FE~rC~-Er. und B. JESSEN, Mengenfunktionen und konvexe KSrper. Danske Vid. Selsk.

Mat.-Fys. Medd. 16, 3 (1938). [6] W. J. FmEY, Kinematic measures for sets of support figures. Mathematika 21, 270--281

(1974). [7] W. J. FIREY, Some open questions on convex surfaces. In: Proc. Int. Congr. Math., Vancouver

1974 (ira Druck). [8] H. H~DWrGER, Vorlesungen fiber Inhalt, Oberfi~che und Isoperimetrie. Berlin-GSttingen-

Heidelberg 1957. [9] R. SCm~Er.D~R, Kinematische BerfihrmaBe ffir konvexe KSrper. Abh. Math. Sere. Univ.

Hamburg (ira Druck).

Anschrift des Autors:

Rolf Schneider Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universit~t D-78 Freiburg i. Br. Hebelstr. 40

Eingegangen am 28. 1. 1975