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Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Biegung
© Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und
weiter gegeben werden.
In diesem Foliensatz geht es um:
Inhalt
© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung
Biegespannung
Flächenträgheitsmoment
Satz von Steiner
Durchbiegung
Folie 2© Prof. Dr. Remo Ianniello
𝜎 𝑏
FTM
© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung Folie 3
Biegespannung
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Auf
gabe
Qui
z
Biegung
Biegung Folie 4
Die Balken in der Skizze denke man sich aus lauter waagerechten Schichten bestehend, etwa wie ein Buch. Die Schichten sind aber miteinander verwachsen.
Durch die Kräfte am Ende der Balken werden die Balken tordiert / gestreckt / gebogen / gestaucht.
In der oberen Hälfte jedes Balkens herrscht
Zug / Druck / Schub / Torsion, in der unteren Druck.
Nur die mittlere Schicht ist nicht gespannt. Diese Schicht besteht aus neutralen Fasern. Krümmt sich der Balken, werden die die neutralen Fasern länger / kürzer / bleiben gleich lang.
Diese verschiedenen Spannungen werden als Torsions- / Schub- / Biege-
Spannung zusammengefasst.Am stärksten ist die Biegespannung
in der obersten / mittleren / untersten Schicht.
𝜎 𝑏FTM
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Biegespannung
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Bei Zug-Druck gilt für die Spannung:
mit A = Querschnittsfläche
Gilt das auch bei Biegung ?F und A sind bei beiden Balken gleich. Ist dann auch in beiden Balken die Biegespannung gleich?
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𝜎 𝑏FTMσ = F/A
Auf
gabe
Qui
z
Biegemoment
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 6
Momenten-Bilanzσ
b hängt vom Biegemoment M
b = F∙r / nur von der Belastungskraft F ab.
Dieses Biegemoment Mb wird im Querschnitt des Bretts
gelöscht / kompensiert / verstärkt / geschwächt.Dazu wirken im Querschnitt Kräfte: Zugkräfte in der oberen - und Scher- / Zug-/ Druck-Kräfte in der unteren Hälfte. Diese Kräfte erzeugen eine Torsion, Kraft, ein Gegenmoment zum Biegemoment.Der Hebelarm im Querschnitt ist sehr lang / breit / kurz, daher müssen die Kräfte dort entsprechendparallel / groß / klein / senkrechtsein.
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𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
gabe
Biegung
Biegung Folie 7
Springer auf dem BrettEin Springer steht mit seinen 81 kg am Ende eines Sprungbrettes. Betrachten Sie den Querschnitt des Brettes 3,4 m hinter dem Mann. Das Brett ist 8 cm hoch und 40 cm breit.
a) Wie groß ist das Moment Mb, mit dem der Springer eine Biegung im Brett verursacht?
b) Würde diese Biegung durch zwei einzelne, antiparallele Kräfte im Querschnitt kompensiert (blau): Wie groß wären die Kräfte, wenn sie mittig in der oberen bzw. unteren Hälfte wirken würden?
c) Wie sähe das Kräfteprofil im Querschnitt aus?
𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
Qui
z
Biegespannung
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8© Prof. Dr. Remo Ianniello
Hebelarm L
Biegespannung (Zug)
Biegespannung (Druck)
neutrale Faser (spannungsfrei)
gestreckte Randfasergestauchte Randfasergrößte
Biegepannung
2
3Biegespannung (Druck)
gestreckte Randfaser
Biegespannung (Zug)
gestauchte Randfaser
größte Biegepannung
größte Biegepannung
Hebelarm L
𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
Qui
z
Biegespannung
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 9
StützwirkungObwohl sich Biegespannungen aus Zug- und Druck-Spannungen zusammen setzen, sind die zulässigen Spannungen für Biegung größer als die für Zug oder Druck.
Beispiel Einsatzstahl 18CrNi8Re = 785 N/mm2 < bF = 1.100 N/mm2
Wie ist dieser Unterschied zu erklären?
Die Festigkeitswerte bei Biegebelastung sind infolge der Stützwirkung größer als bei Zug- bzw. Druck-Belastung
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𝜎 𝑏FTM
Biegespannung
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Schmetterlings-Gleichung
Flächenträgheits-Moment I
Widerstands-Moment W
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b,max y
= ey
Gleichung der Biegespannung 𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
gabe
Biegespannung
Biegung Folie 11
SprungbrettEin stämmiger Herr steht am Ende eines Sprungbrettes, 4,5 m von der Einspannung entfernt. Mit seinen 98 kg verbiegt er das Brett (W = 106 mm³) bis die Randfasern stark unter Biegespannung stehen.a) Wie groß ist diese Biegespannung?b) Wo tritt sie auf?c) Das Brett ist 40 cm breit und 10 cm
dick. In welchem Abstand von der neutralen Faser ist die Spannung nur halb so groß?
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𝜎 𝑏FTM
© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung Folie 12
Flächenträgheits-Moment (FTM)
Auf
gabe
Qui
z
Flächenträgheitsmoment
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 13
Das Flächenträgheitsmoment (FTM) I stellt den Widerstand gegen die Verbiegung dar. Aus der Schmetterlingsgleichung wird klar:
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𝜎 𝑏=𝑀𝑏
𝑊 =𝑀𝑏
𝐼 ∙𝑒 𝐼𝑀𝑏
𝜎 𝑏
Fazit: Je größer das FTM ist, um so • höher / geringer ist bei gegebenem Mb
die entstehende Biegespannung b
• höher / geringer ist (bei vorgegebenemb) das anwendbare Moment Mb , kurz:
• desto höher / geringer ist die Verbiegbarkeit.
𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
Qui
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Flächenträgheitsmoment
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
StabilitätMan kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet. Sie sollen z.B. den Stab eines hydraulischen Hebels besser gegen Biegung auslegen ohne Mehrausgaben für das Material zu benötigen.
a) Wie könnte der Querschnitt geändert werden, um die höhere Stabilität gegen Biegung zu erreichen?
b) Wie könnte man die Stabilität eines Flachstabes gegen Verbiegung erhöhen?
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𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
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Flächenträgheitsmoment
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
StabilitätMan kann einen Stab gegen Verbiegung stabilisieren, ohne mehr Material zu verwenden, in dem man seine Querschnittsfläche anders anordnet.
a) Wie könnte man die Stabilitäteiner Container-Wand erhöhen?
b) Kennen Sie Beispiele aus der Praxis, bei denen die Oberflächengestaltung eine höhere Stabilität bewirkt?
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𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Qui
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Querschnitts-Größen
Biegung Folie 16
Wo stehen in Ihrer Formelsammlung diea) Flächenträgheitsmomente (FTM) für folgende Querschnitte ?b) Widerstandsmomente (W) für dieselben Querschnitte ?
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𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
Auf
gabe
Widerstandsmoment
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AchseEine Achse aus Vergütungsstahl C 60 E mit d = 40 mm wird auf Biegung beansprucht. Die Sicherheitszahl ist hier v = 3 zu setzen.a) Wie groß ist das maximal erlaubte
Biegemoment?b) Wie groß ist die Biegespannung in
einer Faser, die von der Randfaser einen Abstand von 5 mm hat?
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𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
Auf
gabe
Widerstandsmoment
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
WelleEine Welle aus S 185 mit d = 36 mm wird auf Biegung beansprucht. Die zulässige Biegespannung betrage b zul = 183 N/mm2.
a) Wie groß ist das axiale Widerstandsmoment?
b) Wie groß ist das maximal erlaubte Biegemoment?
c) Wie erhält man bei bekanntem b max
(=
b zul) die Biegespannung von
by in
einer Faser, die von der Rand-faser einen Abstand von 6 mm hat?
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Auf
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Widerstandsmoment
Biegung Folie 19
Alle Balken in der Skizze sind gleich breit. Die Kräfte wirken im selben Abstand von der Mauer (gleicher Hebelarm).
Ein Versuch zeigt: Bricht der Balken A durch die Last F, so bricht der Balken B, der doppelt so hoch ist, erst durch 4F. Balken C ist drei mal so hoch wie A und bricht erst bei 9F.
Die Höhen der Balken verhalten sich wie 1 : 2 : 3,
ihre Tragfähigkeiten aber wie 1 : 4 : 9 oder 1² : 2² : 3².
Daher wächst die Tragfähigkeit linear / quadratisch mit der Höhe.
Dagegen bewirkt 2fache und 3fache Breite nur 2fache und
3fache Tragfähigkeit. Daher wächst die Tragfähigkeit
linear / quadratisch mit der Breite.
𝜎 𝑏FTM
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WiderstandsmomentDas Volumen einer Walze V = b·/4·h² wächst mit dem
Quadrat des Durchmessers h und linear zur Breite b.Daher ist die Tragfähigkeit des Balkens dem Volumen
der „eingeschriebenen“ Walzen proportional.Wächst die Höhe, so wächst
die Tragfähigkeit quadratisch!
Biegung Folie 20
𝜎 𝑏FTM
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Auf
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Qui
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Widerstandsmoment
Biegung Folie 21
Je größer das Volumen der einbeschriebenen Walze, desto schwerer brechen die Balken.
Die Walzen A und B haben gleiches Volumen. Also brechen die Balken A und B durch
dieselbe Last.Die Querschnitts-
flächen der Balken A und B sind aber
verschieden!
Balken B und C haben dieselbe Querschnitts-
fläche, Balken C bricht aber bei kleinerer
Last. Warum?Weil das Volumen der Walze in C kleiner ist.
Im selben Verhältnis hat sich seine Tragfähigkeit verringert.
𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
gabe
Widerstandsmoment
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
FlachstahlEin Flachstahl aus E 335 mit den Abmessungen 25 mm 10 mm soll das Biegemoment Mb = 100 Nm aufnehmen.
a) Wie groß sind axiales Flächen- und Widerstandsmoment, wenn der Flachstahl hochkant gebogen wird?
b) Wie groß sind I und W, wenn der Flachstahl flachkant gebogen wird?
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𝜎 𝑏FTM
Frag
en
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
1) Was unterscheidet die Biegespannung von der Zugspannung?Sie ist nicht von der Kraft pro Querschnitt abhängig.
2) Wovon hängt das Widerstandsmoment ab? A) vom Werkstoff, B) vom E-Modul, C) von der Querschnittsgeometrie, D) von der Biegespannung?C) von der Querschnittsgeometrie
3) Was ist die Bedeutung des axialen Flächenträgheitmoments I ? Widerstand gegen die Verbiegung.
4) Welche geometrische Größe ist für die Biegestabilität maßgebend? Der durchschnittliche Abstand der Querschnittsfläche von derBiegeachse (neutralen Faser), das FTM, das Widerstandsmoment
5) Wie berechnet man bei unsymmetrischen Querschnitten die Position der Biegeachse? Die Biegeachse verläuft immer durch den Schwerpunkt derQuerschnittsfläche. Man bildet den gemeinsamen Schwerpunkt.
6) Wie hängen Randfaserabstand e, Widerstandsmoment W und lächenträgheitsmoment I miteinander zusammen? I = W·e
Fragen
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𝜎 𝑏FTM
© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung Folie 24
Satz von Steiner
Auf
gabe
Qui
z
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
1) Komplizierte geom. Flächen werden unterteilt.
2) Berechnung der Position von Gesamtschwerpunkt S0 und der Teilschwerpunkte Si.
3) Abstand Li der Teilschwerpunkte vom Gesamtschwerpunkt bestimmen
4) Satz von Steiner auf jede Teilfläche anwenden:
5) Teil-Trägheitsmomente summieren:
Was meinen Sie?Wie wird das Trägheitsmoment von „komplizierten“ Flächen berechnet?
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𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
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Satz von Steiner
Biegung Folie 26
WinkelstahlDas FTM eines Winkelstahls 50 x 50 x 5 beträgt laut Tabelle Ix = 11 cm4. a) Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie
den Querschnitt in zwei Teilflächen zerlegen und die FTM der beiden Teilflächen addieren.
b) Wie groß ist Iy ?c) Biegt man den Winkelstahl um die 45°
Achse , ergibt sich ein Wert von I = 17,4 cm4. Warum ist dieser Wert größer als der in a)
d) Welche Biegeachse müsste demnach den kleinsten Wert für I von 4,59 liefern?
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𝜎 𝑏FTM
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Da nur die Abstände von der Biegeachse eingehen, und nicht die x-Position, darf man Teile parallel zur Achse
verschieben.
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𝜎 𝑏FTM
Auf
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Qui
z
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 28
Satz von SteinerStimmt es, dass das Widerstandsmoment einer Teilfläche den kleinsten Wert annimmt, wenn seine Schwerachse mit der gemeinsamen Biegeachse übereinstimmt?Begründen Sie Ihre Antwort.
Zur Erinnerung:
Der Gesamtschwerpunkt liegt auf der gemeinsamen Biegeachse.
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𝜎 𝑏FTM
Auf
gabe
Auf
gabe
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
I – und T – TrägerAuf einen Träger mit rechteckigem Querschnitt wirkt ein Biegemoment von M
b= 180 Nm.
Der Träger wird um die x-Achse gebogen. Wie groß sind …a) das axiale Flächenmoment?b) das axiale Widerstandsmoment?c) die Biegespannung ? d) Wie groß ist das axiale
Flächenmoment Ix desselben
rechteckigen Querschnitts, wenn er ein Teil eines T-Profils ist?
e) Wie groß ist das Flächen-trägheitsmoment Iy des T-Querschnitts?
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𝜎 𝑏FTM
© Prof. Dr. Remo IannielloBiegung Folie 30
Durchbiegung
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DurchbiegungBegriffe Biegemomente Mb verursachen die
Krümmung k einer vorher geraden Trägerachse.
Krümmungsradius = Kehrwert der Krümmung k.
Durchbiegung w = Abweichung der neutralen Faser (bei Belastung) von der Höhe ohne Belastung an einer Stelle.
f = maximale Durchbiegung (oft auch nur „Durchbiegung“ genannt)
Biegung Folie 31
𝜎 𝑏FTM
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Durchbiegung
Biegung Folie 32
Die Biegelinie w(x) = elastische Linie = • Verlauf w(x) der neutralen Faser eines
belasteten Trägers über die Trägerlänge.• gibt die Durchbiegung w an der Stelle x
des Balkens an
𝜎 𝑏FTM
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Durchbiegung
Biegung Folie 33
Je größer das Biegemoment Mb, desto so
• stärker wird der Träger gekrümmt (k groß) • kleiner wird der Krümmungsradius .
Je weniger elastisch ein Werkstoff (E-Modul groß), desto• kleiner die Krümmung, • größer der Krümmungsradius
Je starrer sich ein Träger gegen Biegung verhält, desto • größer das Flächenträgheitsmoment I• kleiner die Krümmung.
Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang:
𝜌 1𝑀𝑏+
E
+
I
=
𝜌 𝐸 ∙ 𝐼𝑀𝑏
𝜎 𝑏FTM
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Durchbiegung„Reine Biegung“: Das Biegemoment wird am einen Ende durch ein Kräftepaar eingeleitet und am anderen Ende aufgenommen. Entlang des Trägers ist Mb konstant.Mit
und mit E, I = konstant folgt:Krümmungsradius = konstant. Die Biegelinie ist ein Kreisbogen.
Biegung Folie 34
𝜌=𝐸 ∙ 𝐼𝑀 𝑏
𝜎 𝑏FTM
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Durchbiegung
Biegung Folie 35
Biegemoment ist nicht konstant
Durchbiegung w(x) kann bei best. xE zu hoch werden
Zu hohe Durchbiegung w(x) kann z. Bruch führen
Aufgabe: max. Durch-biegung f = wmax ermitteln
f mit fzul vergleichen
Bei Bedarf: Bauteil verstärken; Verkehrslast einschränken
𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 36
TrägerEin I-Träger I-140 wird durch eine mittig angreifende Einzelkraft von F = 8,5 kN belastet.Ermitteln Sie für den Angriffspunkt von Fa) den Krümmungsradiusb) die Krümmungc) die maximale
Durchbiegung
𝜎 𝑏FTM
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Durchbiegung
Biegung Folie 37
Ein Element des Balkens an der Stelle x verschiebt sich nach unten um w(x) und verdreht sich dabei um den Winkel (x).
Zusammenhang zw. w(x) und (x)(x) = Neigung der Biegelinie w(x)
tan (x) = Steigung der Biegelinie, d.h.tan (x) = Ableitung dw/dx = w‘(x).
(x)
x
w(x)
𝜎 𝑏FTM
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DurchbiegungBiegelinieDie Biegelinie beschreibt den Verlauf der Neutralen Faser im belasteten Zustand.Ihre Abweichung von der Linie im unbelasteten Zustand kann man als Funktion w(x) darstellen.Für verschiedene Standardsituationen ist diese Funktion bereits tabelliert als „Gleichung der Biegelinie“.
Biegung Folie 38
𝜎 𝑏FTM
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Durchbiegung
Biegung Folie 39
𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 40
Stahlträger IGegeben ist ein einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 m, belastet durch die Einzellast F = 1 kN. Der Querschnitt ist quadratisch: h = b = 40 mm. Gesucht ista) die Gleichung der Biegelinie,b) die Durchbiegung
am Trägerende,c) der Neigungswinkel
am Ende des Trägers.
𝜎 𝑏FTM
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Die Formelsammlung liefert:
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DurchbiegungZusammenhang der GrößenDie Krümmung k der elastischen Linie w(x) ist die 2. Ableitung der Biegelinie. Sie lässt sich aus den Kennwerten des Bauteils darstellen:
Biegung Folie 41
=1𝜌=
𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼=−𝑤 ′ ′ (𝑥 ) !
Integrieren liefert die Gleichung des Neigungswinkels:
tan (𝜑)=∫ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥=𝑤 ′ (𝑥)
Noch einmal Integrieren liefert die Biegelinie:
∬ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥=𝑤 (𝑥)
𝜎 𝑏FTM
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Vorsicht: Minuszeichen ab w‘‘(x) !
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DurchbiegungZusammenhang der GrößenDiese Integrale sind zunächst nicht weiter bearbeitbar: Im Integral steht keine Koor-dinate x, über die sich integrieren ließe.
Biegung Folie 42
tan (𝜑)=∫ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥=𝑤 ′ (𝑥)
Daher wird Mb als Funktion von x ausgedrückt, z.B.
Mb = F·x
Jetzt ist ein Integrieren möglich:
∫ 𝑀𝑏𝐸𝐼 𝑑𝑥=
1𝐸𝐼∫𝐹𝑥𝑑𝑥
𝜎 𝑏FTM
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¿𝐹 𝑥22𝐸𝐼 +𝐶1=𝑤 ′ (𝑥)
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DurchbiegungRandbedingungenErstellt man die Gleichung der Biege-linie selbt, muss man Integrale lösen. Man erhält dabei eine Integrationskonstante.Diese Konstante lässt sich mit Hilfe von Randbedingungen lösen, die sich aus der Lagerung des Trägers ergeben:
Biegung Folie 43
𝜎 𝑏FTM
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 44
Stahlträger IIDer einseitig eingespannter Stahlträger der Länge L = 3 mist immer noch durch die Einzellast F = 1 kN belastet. Querschnitt: h = b = 40 mm. Gesucht ista) die selbst erstellte Gleichung der Biegelinie,b) die Durchbiegung am Trägerende,c) der Neigungswinkel am Ende des Trägers.
𝜎 𝑏FTM
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𝑤 (𝑥 )=∬𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥
𝑤′ (𝑥 )=tan (𝜑 )=∫ 𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼 𝑑𝑥
𝑤′ ′ (𝑥 )=−𝑀𝑏𝐸 ∙ 𝐼
(1)
(2)
(3) Rand
bedi
ngun
g
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 45
KranEin Kran ist für eine maximale Traglast von m = 3.000 kg aus gelegt. Die feststehende Säule (Rohr) hat die Abmessungen D = 300 mm und d = 240 mm; Sie besteht aus Stahl und ist unten fest eingespannt. Gesucht ist diea) Biegespannung in der Säule b) Durchbiegung der Säule bei B
𝜎 𝑏FTM
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Übungs-Aufgaben
Biegung Folie 46
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Auf
gabe
Auf
gabe
FTM
Biegung Folie 47
WinkelstahlDas FTM eines Hohlprofils 50 x 30 mm² und der Wanddicke s = 3 mm beträgt laut Tabelle Ix = 13,6 cm4. Verifizieren Sie diesen Wert, indem Sie den Querschnitt in zweiTeilflächen zerlegen und die FTM der Teilflächen voneinander subtrahieren.
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Auf
gabe
Auf
gabe
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Abgerundeter Biegeträger
Ein Biegeträger aus Baustahl S235JR hat ein Biegemoment auf zunehmen.
Wie groß darf dieses Biegemoment werden, wenn die zulässige Biegespannung σ
zul 72,5 N/mm2
beträgt, und das Bauteil um diea) x-Achse,
I1 = 7.854 mm4, I2 = 33.333 mm4, Mb max = 298,5 Nm
b) y-Achse gebogen wird ?I1 = 135,4210³ mm4, I2 = 208,3 10³ mm4, Mb max = 992,52 Nm
© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 48
Auf
gabe
Auf
gabe
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Zusammengesetzter Träger
a) Wo liegt der gemeinsame Schwerpunktder Flächen 1, 2 und 3?Ergebnis: S=(14,53 mm / 47,3 mm)
b) Wie groß sind die Abstände der Teilschwerpunkte l1 und l2 von derneutralen Faser?l1 = 28,7mm, l2=2,3mm, l3=37,3mm
c) Wie groß sind die Flächenmomenteder Teilflächen?I1 = 454.512,6mm4, I2 = 53.405,8mm4, I3 = 569.849mm4
d) Wie groß ist das Gesamt-Flächenmoment?Iges= 1,08106 mm4
e) Wie groß ist das Widerstandsmoment?W = 22.750 mm³
Folie 49© Prof. Dr. Remo Ianniello
Auf
gabe
Auf
gabe
Satz von Steiner
Biegung © Prof. Dr. Remo Ianniello
Schiene
Für den dargestellten Querschnitt ist
a) das Flächenträgheitsmoment I für eine Biegung um die Waagerechte zu bestimmen,Ix = 907,939·106 mm4
b) sowie das Widerstandsmoment Wy der Fläche.Wy = 517,867·103 mm3
© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 50
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 51
Schnapp-ElementDie Skizze zeigt einen Deckel mit Schnapp-Element. Damit das Schnapp-Element am (nicht gezeichneten) Rahmen einrasten kann, muss sich das untere Ende des Schnapp-Elements um f = 15 mm nach rechts bewegen, während der Deckel nach unten gedrückt wird. Deckel und Rahmen sind als starr anzu-nehmen. Das Schnapp-Element der Länge l = 18 mm hat einen Rechteck-Querschnitt: Breite b = 8 mm, Dicke t. Es besteht aus Kunststoff:• E-Modul E = 2.000 N/mm², • Biegefließspannung bF = 50 N/mm²).
Wie groß muss die Dicke t sein, damit bmax= 0,7·bF wird?
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Auf
gabe
Lösu
ng
Durchbiegung
Biegung Folie 52
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 53
Eingespannte StreckenlastGegeben ist ein einseitig eingespannter Träger der Länge L, belastet durch die gleichbleibende Streckenlast q.
In der Streckenlast ist das Eigengewicht des Trägers enthalten. Gesucht ist a) die Gleichung der Biegelinieb) die Durchbiegung
am Ende des Trägersc) der Neigungswinkel
am Ende des Trägers
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Auf
gabe
Lösu
ng
Durchbiegung
Biegung Folie 54
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 55
FreiträgerEin Freiträger vom Profil I 160 ist mit einer Streckenlast von fq = 179 N/m (Gewichts-kraft) belastet. Länge l = 4 m, F = 900 N, E = 2,1105 N/mm²Berechnen Sie die Durchbiegung am freien Ende, hervorgerufen nur durch die Streckenlast, wenn die y-Achse des Querschnittes senkrecht steht.Welche Durchbiegung tritt auf, wenn statt der Streckenlast am freien Ende in der y-Richtung nur die Kraft F angreift?Wie groß ist die Durchbiegung, hervorgerufen durch Streckenlast q und Kraft F, wenn der Träger mit waagerechter y-Achse befestigt wird?Welche Stützkräfte sind in beiden Trägerlagen (horizontal und vertikal) am freien Ende erforderlich, damit der Träger an dieser Stelle keine Durchbiegung hat?
a) f1 = 2,917 mm, b) f2 = 9,778 mm c) f = 217 mm d) Fx = 1.168 N = Fy
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 56
Stützträger mit mittiger EinzellastErmitteln Sie für den Stahlträger aus der Abbildunga) den Verlauf des Biegemoments M(x) und das maximale Biegemomentb) durch 2-fache Integration der Differentialgleichung der elastischen Linie
die Durchbiegung f = ymax(x)
c) die erforderliche Festigkeit des Werkstoffes bmax d) den Krümmungsradius für den Angriffspunkt von Fe) die Krümmung f) die Gleichung der Biegelinie
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Auf
gabe
Lösu
ng
Durchbiegung
Biegung Folie 57
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 58
Stützträger mit StreckenlastBetrachten Sie einen Stützträger, der über seine ganze Länge mit einer Streckenlast q(x) belastet ist (DIN 1025 - I 120). L = 6 m, q = 2 kN/mGesucht sind die Gleichungen füra) die Querkraftb) das Biegemomentc) den Biegewinkeld) die maximale Durchbiegung an einer
beliebigen Stelle x des Trägers.
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Auf
gabe
Lösu
ng
Durchbiegung
Biegung Folie 59
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Auf
gabe
Auf
gabe
Durchbiegung
Biegung Folie 60
Stützträger mit MischlastBestimmen Siea) die Lagerkräfteb) die Gleichung der Biege linie
unter der Annahme, dass die größte Durchbiegung an der Angriffsstelle von F liegt
c) das erforderliche Flächenmoment I für eine Durchbiegung von maximal 4 mm
d) das dazu erforderliche IPE-Profil und die tatsächliche Durchbiegung