Populationsdynamik mit grafikorientierter Modellbildung

W. Oehme, Universität Leipzig

Bild: Wikipedia.org User Abubiju

Inhalt

1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung Kinematik der geradlinigen Bewegungen

2. Ausgewählte Ansätze im Physiklehrplan der Sekundarstufe 22.1. Mechanik: Bewegungen mit Reibung

TurmspringenWurfbewegungen

2.2. ElektrizitätslehreEinschalten einer Spule

2.3. Mechanische und elektromagnetische SchwingungenGedämpfter mechanischer Schwinger

3. Populationsdynamik

4. Ausblick

1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung

Nneu = Nalt + ΔNyalt = yneu + Δy

ΔN

y

t

ΔtΔy

dtdy

Tangente mit Anstieg

Kontinuierliche Veränderung Diskrete Veränderung

y

t

Δy

Δt

ΔNBild: Wikipedia.org User Darkone

Bild: Wikipedia.org User StefanGe

Bild: Wikipedia.org User Abubiju

ΔN

Bild: Wikipedia.org User Barbarossa

Kontinuierliche Veränderungen

y

x

Δx

Δy

dxdy

Tangente mit Anstieg

y

t

Δt

Δy

dtdy

Tangente mit Anstieg

xdxdyyy

yyy

altneu

altneu

Δ⋅+≈

Δ+=

Anstieg der Tangente

tdtdyyy

yyy

altneu

altneu

Δ⋅+≈

Δ+=

Anstieg der Tangente

Euler-Verfahren der Zeitintegration

tdtdvvv

tavvvvvtav

dtadvdtdva

Δ⋅+=

Δ⋅+=Δ+=Δ⋅=Δ⋅=

=

tdtdsss

tvssssstvs

dtvdsdtdsv

Δ⋅+=

Δ⋅+=Δ+=Δ⋅=Δ⋅=

=

Anstieg der Tangente bzw. Änderungsrate

Definitionsgleichung

Gleichungs- und grafikorientierte ModellbildungBeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

a -> v -> s

)(1.0)(0)(0

)(0)(5

1

2

ststms

smvsma

Startwertettt

tvsstavv

=Δ==

⋅=

⋅=

Δ+=Δ⋅+=Δ⋅+=

−

−

Gleichungsorientierte Modellbildung mit Moebius

Grafikorientierte Modellbildung mit Moebius

Verschiebung

Benennung

Papierkorb

Zustandsgröße

Änderungsrate

Wirkungspfeil

„Rückübersetzung“

„Rückübersetzung“ und Startwerte

Problem bei grafikorientierter Programmierung mit Moebius:

Vereinfachtes und nicht vereinfachtes Modell

2. Ausgewählte Ansätze im Physiklehrplan der Sekundarstufe 2

2.1. Mechanik: Bewegungen mit Reibung

Fahrphysik

Fallbewegungen mit Luftreibung: Fallschirmspringer, Regentropfen

Fallbewegungen mit Reibung in Flüssigkeiten:Wasserspringer nach dem Eintauchen,Absinkende Kugel

Bild: Flickr.com User Kamalsell

Bild: Behdad Esfahbod, Toronto Canada

Bild: Reg Mckenna, UK

Beispiel: Turmspringen

FINA-Regeln für die Tiefe des Sprungbeckens

5,00 m10 m

3,80 m3 m

3,60 m1 m

BeckentiefePlattform

Problemstellung: Warum wächst die Beckentiefe nicht proportional zur Absprunghöhe?

Bild: Reg Mckenna, UK

Bild: Wikipedia.org User Breesk, UK

Beispiel: 10 m-Sprung

smghv

mvmgh

/14221 2

≈=

=

2*vcam −=⋅

Phase 1: freier Fall aus 10 m Höhe

Phase 2: Tauchphase

Modell: Wirbelbildung -> Newtonsche ReibungAuftriebskraft = Gewichtskraft

Acc

vcvAcF

FFFF

FFFF

WW

WWW

W

AG

WAG

⋅⋅=

⋅=⋅⋅⋅=

−=−=

++=

ρ

ρ

21

21 22

rr

rrrr

Annahme: m= 60 kg

2vmc

dtdv

⋅−=

Bild: Reg Mckenna, UK

Grafisches ModellDiskussion:

a) t = 2,0 s -> v < 1,0 m/s und x < 4,0 m

b) Vollkugel: cw = 0,45ρw = 10³ kg/m³A = 0,15 m²

c = 1/2*cw*ρw*A = 35

c) Sprunghöhe 1m:v = 4,5 m/st = 2,0 s -> v< 1,0 m/s und x<3,0 m

Beispiel: Schräger Wurf

Eleganter: Geschlossene Lösung

Zunächst ohne Luftreibung

Beispiel: Schräger Wurf mit Luftreibung

vvcvvvcF

gmF

FFF

W

G

WG

rrr

rr

rrr

⋅⋅−=⋅⋅−=

⋅=

+=

222

0

yx

y

x

vvv

vv

v

gg

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

r

r

Erweitertes Modell wegen geschwindigkeitsabhängiger Reibung (komplex!)

yy

xx

vvcgmmavvcam

vvcgmam

⋅⋅−⋅−=⋅⋅−=⋅

⋅⋅−⋅=⋅rrr

x

y WFr

vr

GFr

2.2. Elektrizitätslehre: Einschaltvorgang an einer Spule

U

UR UL

0)0( =

⋅=

⋅==+

IdtdILU

IRUUUU

L

R

LR

2.3. Mechanische und elektromagnetische Schwingungen

Beispiel: Mechanische Schwingung mit ReibungModell: Langsame Schwingung eines Körpers in einer Flüssigkeit

Stokessche Reibung, geeignete Wahl des Ursprungs

xmk

dtdv

xkdtdvm

xkamFF

konsFF

F

AG

⋅−=

⋅−=⋅

⋅−=⋅=

=+rr

rr.Zunächst ohne Reibung:

FFr

GFr

AFr

x

0

vmcx

mk

dtdv

vcxkdtdvm

vcxkamvcFFFF

R

RF

⋅−⋅−=

⋅−⋅−=⋅

⋅−⋅−=⋅⋅−=+=rrr

mit Reibung:Reibungskraft entgegengesetzt zur aktuellen Bewegungsrichtung

FFr

GFr

AFr

x

0

Mechanische Schwingung mit Reibung

Ohne Reibung (ungedämpft) Mit Reibung (gedämpft)

Mechanische Schwingung mit Reibung

3. Populationsdynamik

• Lineares und exponentielles Wachstum• Beschränktes und logistisches Wachstum• Räuber-Beute-Modelle

– Ohne intraspezifische Wechselwirkung (Grundmodell)

– Mit intraspezifischer Wechselwirkung– Phasendiagramme

Bild: Wikipedia.org User Abubiju

Bild: Wikipedia.org User Barbarossa

Bild: Wikipedia.org User Roger McLassus

Lineares und exponentielles Wachstum

1aX =& XaX ⋅= 1&

Beschränktes und logistisches Wachstum

)1(1 GXXaX −⋅⋅=&

)(1 XGaX −⋅=&

)(1 XGaX −⋅=&

Die Wachstumsgeschwindigkeit verringert sichmit der Annäherung an den Grenzwert G.

Die Wachstumsgeschwindigkeit weicht umso stärkervon der des exponentiellen Wachstums ab, je näher die Population dem Grenzwert G kommt.

Räuber-Beute-ModelleGrundmodell

Quelle: Universität Bonn

Räuber-Beute-SystemeWeg zu den Lotka-Volterra-Gleichungen

XaX ⋅= 1& YaY ⋅−= 2

&

YXbYaY

YXbXaX

⋅⋅+⋅−=

⋅⋅−⋅=

22

11

&

&

Isolierte Populationen

Population X: Beute mit unbeschränkter Futterreserve

Exponentielles Wachstum

Population Y: Räuber ohne FutterExponentieller Abfall

Wechselwirkende PopulationenLotka-Volterra-Gleichungen

Begegnungsterme

Beute X

Räuber Y

Bild: Wikipedia.org UserManuel Anastácio

Grafikorientierte Modellierung

YXbYaY

YXbXaX

⋅⋅+⋅−=

⋅⋅−⋅=

22

11

&

&Lotka-Volterra-Gleichungen als Wachstumsraten

Rückkopplung

Rückkopplung

Wechselwirkung

Räuber-Beute-Modelle mit intraspezifischerWechselwirkung

Lotka-Volterra-GleichungenYYcYXbYaYXXcYXbXaX⋅⋅−⋅⋅+⋅−=

⋅⋅−⋅⋅−⋅=

222

111

&

&

PhasendiagrammeY(X)-Darstellung

Population ohne intraspezifische Wechselwirkung

Population mit intraspezifischer Wechselwirkung

Population strebt gegen FixpunktPopulation verläuft stets zyklisch,Verlauf abhängig von den Startwerten

Quelle: Bachelorarbeit D. Oehler, 2009

Logistisches Wachstumkontinuierlich und diskret

)1(GXXaX −⋅⋅=& )1(1 nnn xxcx −⋅⋅=+

GX ≤<0

Kontinuierlich: Verhulst-Gleichung Diskret: Logistische Gleichung

10 << x

3500

=<<

GGX

Logistisches WachstumVerhulst-Gleichung und Lotka-Volterra-Gleichung

XXGaXaX

GXXaX

⋅⋅−⋅=

−⋅⋅=

&

& )1(XXcXaX ⋅⋅−⋅= 11

&

1

1

cGa

aa

=

= variabler

4. Ausblick

Lehrplanbezug

LP Physik Sachsen:LK 11: LB 4 Modellbildung und SimulationLK 12: LB 8 Deterministisches Chaos

LP Mathematik SachsenKl. 10: LB 1 Wachstumsvorgänge und periodische Vorgänge

Wahlpflicht 2 Logistisches WachstumGK/LK 11 und 12: Wahlpflicht

Dynamische Systeme und fraktale StrukturenDifferentialgleichungen

Künstlich linearisierte Welt

Reale nichtlineare Welt

tsv = )1(

GXXaX −⋅⋅=&

Bild: Wikipedia.org User The weaver