chaos in eppelborn1 mathe in eppelborn mathe für alle dank an peter wagner von der sz dank an der...
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Chaos in Eppelborn 1
Mathe in EppelbornMathe für Alle
• Dank an Peter Wagner von der SZ
• Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)
Chaos in Eppelborn 2
Chaos in Eppelborn,Chaos überall.
Warum wir die Zukunft nicht berechnen können, heute nicht und auch in
10 000 Jahren nicht.
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Was auf Sie zukommt:
• 20 Minuten: Einfaches, Wetter und so
• 30 Minuten: Mathe, Bevölkerungswachstum
• 10 Minuten: Einfach, aber wichtig: Eine neue Weltsicht
Stellen Sie bitte Fragen!
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Nach dem Vortrag wissen Sie
• was deterministisches Chaos bedeutet
• dass vieles nie berechnet werden kann
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„Deterministisches Chaos“
• Chaos: gr., formlos, konfus. Ovid: „die in unermesslicher Finsternis liegende gestaltlose Urmasse“. Vorstufe des KosmosHeute: Totales Durcheinander, Auflösung jeder Ordnung
• Kosmos: gr., Ordnung, Weltall• Determinare: lat., bestimmen, festlegen
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Unser Traum:Die Zukunft kennen
• Das Wetter morgen
• Börsenkurse in 4 Wochen
• Steueraufkommen im nächsten Jahr
• Erdbevölkerung in 15 Jahren
Astrologie oder Science?
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Warum es gelingen könnte: Kausalität
• Schwache Kausalität: Gleiche Ursachen, gleiche Wirkungen
• Starke Kausalität: Ähnliche Ursachen, ähnliche Wirkungen
Dazu die Naturgesetze! (Klassische Physik)
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Der Traum von Laplace
Verlauf der Welt aus dem Anfangszustand mit Hilfe der Physik berechnen.
Die Welt ist deterministisch
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Triumph der Methode
• Entdeckung des Planeten Neptun durch Galle 1846
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Triumph der Methode?Wettervorhersage
Kachelmann und Co:
Wie machen die das?
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Methoden der Wettervorhersage:
• 1. Katalog von Situationen: Ähnliche Situation, ähnliche Entwicklung, (Bauernregeln, heute Datenbanken mit Wettersituationen)
• 2. Aktuellen Zustand erfassen: Vorhersage mit Physik und Computern
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Wettervorhersage:DWD
Ausgangsdaten in Gitterpunkten erfassen:
Die ist der Zustand X0
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Wettervorhersage:DWD
• Messen des aktuellen Zustands : X0
• Berechnen des Zustands X1 in 30 Minuten.
• Danach: Berechnen des Zustands in 60 Minuten auf der Basis von X1: X2
So geht’s weiter!
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Math. Prinzip:Diskrete Iteration
• Berechnungsvorschrift f
• X0 gegeben Zustand jetzt
• X1 = f(X0) Zustand in 30 Minuten
• X2 = f(X1)
• X3 = f(X2) .....
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Der Anfang: Edward Lorenz
• Lorenz, amerikanischer Meteorologe, Birkhoff-Schüler
• 1963: Untersuchung eines Computer-Wettermodells mit drei Kenngrößen.
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Lorenz:
• Computerwetter extrem sensibel gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen („chaotisch“)
• Lorenz findet die richtige Interpretation: Die starke Kausalität gilt nicht in seinem System.
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Die weiteren Ergebnisse von Lorenz
Es gibt bei dem Computerwetter
• stabile Wetterlagen,
• periodische Wetterlagen,
• chaotische Wetterlagen
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Lorenz-Attraktor
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Lorenz-Attraktor
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Chaotische Wetterlagen
• Es gibt keine gleichen Wetterzustände (sonst wäre das Wetter periodisch!)
• Das Wetter kann nicht jeden Zustand annehmen
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Suche nach chaotischen Systemen
• Lineare Systeme sind nie chaotisch
• Also: Versuch mit möglichst einfachen nichtlinearen Systemen mit Anwendungen: Wachstumsmodelle
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Exkurs:Lineare Systeme
Ganz einfach:
Doppelte Ursache, doppelte Wirkung
Dreifache Ursache, dreifache Wirkung
......
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Nichtlinear:Lagerverschleiß
Doppelte Beladung,
Sechzehnfacher Verschleiß
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Wachstumsmodelle
• Fibonacci
• Verhuelst
• Polya
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Fibonacci:Kanickelvermehrung
• J1 = 1, E1 = 0
• J2 = 0, E2 = 1
• J3 = E2 , E3 = E2 + J2
• J4 = E3, E4 = E3 + J3
• Ji+1 = Ei, Ei+1= Ei + Ji
Kaninchen sind unsterblich
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Fibonacci:Kanickelvermehrung
• F1 = 1
• F2 = 1
• F3 = F1 + F2
• F4 = F2 + F3
• Fi+1 = Fi-1 + Fi
Kaninchen sind unsterblich
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Einige Fibonaccizahlen
1 12 13 24 35 56 87 138 219 3410 55
41 16558014142 26791429643 43349443744 70140873345 113490317046 183631190347 297121507348 480752697649 777874204950 1,2586E+10
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Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System
Verhuelst:
Einfaches Bevölkerungsmodell
Feigenbaum: Untersuchung des Modells mit Computern
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Das Verhuelst/Feigenbaum-System
Wachstum einer Bevölkerung
• Xi = Größe der Population im i-ten Jahr
• Maximum der Population = 1 (100 %)
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Logistisches Modell
Annahmen:
Xi+1 Xi
Xi+1 1 – Xi
Also:
Xi+1 = r • Xi • (1 – Xi)
r = Fruchtbarkeitsparameter
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Die einfache Mathematik:
xi+1 = f(xi), f(x) = rx(1-x), 0< r <4
r = 1 r = 4
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 1
0
0,5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 2
0
0,5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3
0
0,5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5
0
0,5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
Chaos in Eppelborn 36
Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6
0
0,5
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9
0
0,5
1
1,5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
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Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9
0
0,5
1
1,5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Zeit
Population
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Das Feigenbaumdiagramm
Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene
Fruchtbarkeiten r?
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Nach tausend Perioden 0 < r< 4
Chaos in Eppelborn 41
Nach tausend Perioden0 < r < 3
Chaos in Eppelborn 42
Nach tausend Perioden 3 < r< 4
Chaos in Eppelborn 43
Nach 2000 Perioden:r > 3,5
Chaos in Eppelborn 44
Nach 2000 Perioden:r > 3,8
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Es gäbe noch viel zu sagen zu Feigenbaum:
• Feigenbaumkonstante
• Andere Funktionen
• Der Satz von Sarkowski
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Was ist ein chaotisches System?
• Sensibel gegen Anfangsbedingungen
• Periodische Punkte liegen dicht
• Jede Teilfläche erreicht jedes Gebiet (Topologische Transitivität)
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Einige Themenfelder
• Dreikörperproblem: Poincaré
• Turbulenz: Kolmogoroff
• VWL-Modelle
• Wettermodelle
• Steuerung des Herzschlags
• Populationsmodelle
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Die wichtigste Konsequenz:
Gute Vorhersagen nach n Perioden: Genauigkeit der Anfangsbedingungen
wächst exponentiell in n.
Vieles wird nie berechenbar sein!
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Meine Sicht der Welt:
• Gott sei Dank ist nicht alles vorhersagbar
• Mit Mathe und sonstigen Wissenschaften ist man dennoch gut bedient
• Grenzwissenschaften sind keine Alternative
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Zufall und Wahrscheinlichkeit
• 4 Wege zu Zufall und Wahrscheinlichkeit:
– Die Laplace-Methode (Pascal)– Kolmogoroffs Axiome (etwa 1930)– Kolmogoroffs zufällige Folgen (1960)– Chaos (ab 1965)
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Laplace-Wahrscheinl.
• Beispiel: Würfeln mit einem idealen Würfel
1P(3)
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Axiomatische Wahrscheinl.
• Kolmogoroff: Grundgesetze für Wahrscheinlichkeiten (Rechenregeln), etwa 1930
• Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bleibt dem Anwender überlassen
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Zufällige Folgen
• Kolmogoroff (1960): Wann ist eine Folge zufällig?
• Beispiele:• 0, 0, 0, 0, 0, 0, .....• 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, .....• 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, ....• 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0,
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Zufällige Folgen
• Kolmogoroff:
Eine Folge ist umso zufälliger, je länger ihre Beschreibung ist
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Eine neue Sicht: Chaos
• Würfeln ist chaotisch und erscheint daher als Zufallsexperiment
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Mathe in Eppelborn
• Es geht im Sommer weiter!
• Geplante Themen:– Überleben mit Statistik
– Numerologie, ist da was dran
• Eine lange Nacht der Mathematik in Eppelborn?