chaos und fraktale m. bostelmann michael bostelmann
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Chaosund
Fraktale
M. Bostelmann
Michael Bostelmann
Michael Bostelmann
Unser Protagonist : Flohrian
Michael Bostelmann
Flohrian ist verliebt
Michael Bostelmann
Sie liebt mich ..., sie liebt mich nicht...
Lieber nicht!
Michael Bostelmann
Lieber was mit Springen ...
Michael Bostelmann
Flohrian zeichnet eine Strecke von A nach B.
Dann stellt er sich in der Mitte auf.
Er wirft eine Münze und springt nach folgender Regel:
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis BMichael Bostelmann
Erster Wurf
Zahl
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Zweiter Wurf
Zahl
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Dritter Wurf
Kopf
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Flohrian nimmt sich vor, solange zu springen, bis er einen Punkt erreicht, auf dem er schon einmal war.
Liegt dieser Punkt in der linken Hälfte der Strecke AB, dann wird seine Liebe erwidert.
Liegt er in der rechten Hälfte, dann liebt sie ihn nicht.
Im Falle der Mitte zählt der vorherige Punkt.
Michael Bostelmann
Aufgabe 1
Die Strecke AB wird durch das Intervall [0;1] repräsentiert.
Stelle eine Definitionsgleichung für die Folge (xn) der Sprünge auf mit x0 = 0,5.
Hinweis:
Der Übergang von xn auf xn+1 hängt natürlich vom Ergebnis des Münzwurfs ab.
Xn+1 =
zeigtZahlMünzediefalls3
2x
3
1
zeigtKopfMünzediefallsx3
1
n
n
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis BMichael Bostelmann
Aufgabe 2
Schreibe ein Programm flohrian(n) für den TI-92, das für n Sprünge die Markierungen setzt.
flohrian(n)Prgm Local k,p,x ClrDraw PtText "x",-.02,.54 PtText "x",.98,.54 PtText "A",-.07,.6 PtText "B",1.03,.6 .5 x
For k,1,n rand(2) p If p>1 Then x/3 x Else 2/3+x/3 x EndIf PtOn x,.5 EndForEndPrgm
Michael Bostelmann
MUSTER!?!Da steckt doch
Mathematikdahinter!
Eine einfache
Regel muss her!
Lieber rechnen
als springen!
Michael Bostelmann
Kopf : x1 = 0,16666...
x0 = 0,5
Zahl : x1 = 0,83333...
Das gibt ja ganz eklige Perioden!!!
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Wegen dieser ständigen Division durch 3.
...mmmhhh...
Michael Bostelmann
Im Dreiersystem sollte das
viel einfacher sein!
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
!!!Ach du Sch !!!
Aufgabe 3Was hat Flohrian so
erschreckt?
reck
Michael Bostelmann
Offenbar hat er keine Chance einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen, denn im n-ten Sprung erreicht er eine Zahl, deren Periode in der (n+1)-ten Stelle nach dem Komma beginnt, die also verschieden von allen vorhergehenden Zahlen ist.
“Ich hätte vielleicht doch nicht in der Mitte beginnen sollen.”, denkt er.
Michael Bostelmann
Aufgabe 4Bei welchen Startwerten hat Flohrian eine Chance, einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen?
Abbrechende Tertialbrüche kommen offenbar nicht in Frage, weil sich die letzte, von Null verschiedene Stelle bei jedem Sprung um eine Position nach rechts verschiebt.
Rein periodische Zahlen mit den Ziffern 0 und 2 bieten eine Chance, wenn sich durch entsprechende Sprünge eine neue Periode einschiebt.Beispiel:
Michael Bostelmann
S0 = [0; 1]
S1 = S0 \ {(0,z1z2z3...)3 / z1=1}
S2 = S1 \ {(0,z1z2z3...)3 / z2=1}
S3 = S2 \ {(0,z1z2z3...)3 / z3=1}
Eine maximal löchrige Menge
Offenbar spielt hier eine Teilmenge des Intervalls [0; 1] eine Rolle, deren Elemente in der Tertialbruchdarstellung nur Nullen und Zweien aufweisen. Diese Teilmenge S wollen wir nun auf zwei verschiedene Arten schrittweise konstruieren.
Offenbar gilt Sn = S. Diese Menge ist nichts anderes als der
Cantor-Staub, ein bekanntes Fraktal. n
lim
Mengentheoretisch
Michael Bostelmann
Grafisch
Nichts als Staub
Die Cantor-Menge hat die Eigenschaft, dass sie völlig zerstäubt ist, d.h. keine zwei verschiedenen Elemente hängen zusammen. Oder anders ausgedrückt, zwischen zwei verschiedenen Elementen aus S finden wir immer ein Element nicht aus S. Dies lässt sich leicht zeigen.
Wie man leicht sieht, trifft Flohrian bei seinen Sprüngen mit dem Startwert 0,5 nie ein Element aus S, denn jede Position enthält immer die Periode mit 1, die sich jedoch immer weiter nach hinten schiebt. Aber er kommt immer näher an S heran. In gewissem Sinne konvergiert die Menge seiner Markierungen gegen S.
Seien p und q zwei verschiedene Elemente aus S und o.B.d.A p<q. Die erste Nachkommastelle, an der sich p und q in der Tertialdarstellung unterscheiden, sei an der n-ten Position. Dann hat p dort eine 0 und q eine 2. Sei r die Zahl, die bis zur (n-1)-ten Nachkommastelle mit p und q übereinstimmt und dann an der n-ten Stelle eine 1 hat, dann ist r nicht aus S und p<r<q.
Michael Bostelmann
Selbstähnlichkeit
Ein zentraler Begriff im Zusammenhang mit Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit oder auch Skaleninvarianz. Der Cantor-Staub eignet sich gut, um diesen Begriff zu verdeutlichen. Wir greifen hierzu auf den bekannten Ähnlichkeitsbegriff aus der Mittelstufengeometrie zurück:
Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch eine zentrische Streckung in kongruente Figuren überführt werden können.
Nehmen wir zum Beispiel das linke Drittel von S, also S* = { (0,0z2z3...)3 / zi{0;2} } und strecken es mit dem Faktor 3. Dann erhalten wir
3·S* = { 3·(0,0z2z3)3 / zi {0;2} } = { (0,z2z3...)3 / zi {0;2} } = S
Die Menge S ist zu einem echten Teil ihrer selbst ähnlich – eben selbstähnlich.
Michael Bostelmann
Eine neue Interpretation des
klassischen Dimensionsbegriffs
1. Dimension
Michael Bostelmann
2. Dimension
Michael Bostelmann
3. Dimension
Michael Bostelmann
Verallgemeinerter Dimensionsbegriff
Verkleinert man ein Objekt mit dem Faktor k und passt das verkleinerte Objekt n-mal in das
ursprüngliche Objekt, so heißt die Zahl d mit
k d = ndie Dimension des Objekts.
Es ist also
d = logkn
Michael Bostelmann
Die Dimension des Cantor-Staubs
Bei der Selbstähnlichkeit haben wir gesehen, dass wir das erste Drittel S* des Cantor-Staubs erhalten, wenn wir die Menge S im Maßstab 1:3 verkleinern.
S* passt zweimal in S, da das mittlere Drittel leer ist.
Für die Dimension d gilt dann:
3d = 2 oder d = log32 = 0,6309...
Die Dimension ist also nicht ganzzahlig, sondern gebrochen - eben fraktal.
Michael Bostelmann
Ein naher Verwandter des Cantor-Staubs
Vor einigen Jahren wurde im Bundeswettbewerb-Informatik folgende Aufgabe gestellt (sinngemäß):
Ein Goldgräber erhält einen Claim, der die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat. Da er keine Ahnung hat, wo er mit dem Graben anfangen soll, sucht er sich zunächst einen beliebigen Punkt aus. Um den nächsten Grabungsort zu finden, wählt er einen der drei Eckpunkte beliebig aus und bestimmt den Mittelpunkt zwischen diesem Eckpunkt und seiner momentanen Position. Dies wiederholt er immer wieder. Ein entsprechendes Programm sollte die Grabungsorte für n Grabungen grafisch darstellen.
Aufgabe 5 Schreibe ein Programm für den TI-92, das für n Grabungen die Grabungsorte markiert.
Michael Bostelmann
gold(n)Prgm Local k,p,x,y FnOff : PlotsOff : ClrDraw setGraph("axes","off") 0xmin : 100xmax 0ymin : 100ymax [[20][80][50]]px [[5][5][90]]py 50x:50y Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[2]),det(py[2]) Line det(px[2]),det(py[2]),det(px[3]),det(py[3]) Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[3]),det(py[3])
PtOn x,yFor k,1,n rand(3)p (x+det(px[p]))/2x (y+det(py[p]))/2y PtOn x,y EndForEndPrgm
Das Goldgräber-Programm
Michael Bostelmann
Das Sierpinski-Dreieck
Aufgabe 6 Berechne die fraktale Dimension des Sierpinski-Dreiecks
Verkleinert man das Sierpinski-Dreieck im Maßstab 1:2, so passt es 3-mal in das ursprüngliche Dreieck. Es ist also
2d = 3 also d = log23 = 1,5849...
Michael Bostelmann