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Chapter 13 편도함수
Chapter 13 편도함수
이문배
건국대학교 수학과
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Chapter 13 편도함수
Contents
13.3 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
Definition이변수 함수 f : R2 → R에서 y = b(b는 상수)로 y를 고정하고 x만 변한다고가정하자. 그러면 하나의변수 x만의 함수인 g(x) = f(x, b)를 생각할 수 있다.만일 g가 a에서 도함수를 가지면, 그것을 (a, b)에서 x에 관한 f의편도함수라고 부르고 fx(a, b)로 표시한다.
fx(a, b) = g′(a) = lim
h→0
g(a+ h)− g(a)h
= limh→0
f(a+ h, b)− f(a, b)h
마찬가지로 (a, b)에서 y에 관한 f의 편도함수는 다음과 같이 정의된다.
fy(a, b) = limh→0
f(a, b+ h)− f(a, b)h
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
편도함수의 표기법
z = f(x, y)라고 할 때, 다음과 같이 쓴다.
fx(x, y) = fx =∂f
∂x=
∂
∂xf(x, y) =
∂z
∂x= f1 = D1f = Dxf
fy(x, y) = fy =∂f
∂y=
∂
∂yf(x, y) =
∂z
∂y= f2 = D2f = Dyf
z = f(x, y)의 편도함수를 구하는 규칙
1. fx를 구하기 위해서 y를 상수로 보고 x에 관하여 미분한다.
2. fy를 구하기 위해서 x를 상수로 보고 y에 관하여 미분한다.
Example
f(x, y) = x3 + x2y3–2y2일 때 fx(2, 1), fy(2, 1)를 구하여라.풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
편도함수의 기하학적 해석
Example
f(x, y) = 4− x2 − 2y2일 때 fx(1, 1), fy(1, 1)를 구하여라.풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
Example
f(x, y) = sin
(x
1 + y
)일 때
∂f
∂x,∂f
∂y를 구하여라.
풀이.
Example
z가 방정식 x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1에 의하여 x와 y에 관한 음함수로 정의될
때∂z
∂x와
∂z
∂y를 구하여라.
풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
삼변수 이상의 함수
w = f(x, y, z)일 때 fx =∂w
∂x는 y와 z를 고정시켰을 때 x만의 함수로 보아
미분한 것이다.∂w
∂x= lim
h→0
f(x+ h, y, z)− f(x, y, z)h
Example
f(x, y, z) = exy ln z일 때 fx, fy, fz를 구하여라.
풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
고계편도함수
f가 2변수함수이면 편도함수 fx와 fy도 또한 2변수함수이므로, 그것들의편도함수를 생각할 수 있고, 이것들을 f의 2계편도함수라 부른다.만약 z = f(x, y)이면 다음 표기법을 사용한다.
(fx)x = fxx = f11 =∂
∂x
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂x2=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =∂
∂y
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂y ∂x=
∂2z
∂y ∂x
(fy)x = fyx = f21 =∂
∂x
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂x ∂y=
∂2z
∂x ∂y
(fy)y = fyy = f22 =∂
∂y
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂y2=
∂2z
∂y2
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Chapter 13 편도함수
13.3 편도함수
Example
f(x, y) = x3 + x2y3 − 2y2의 2계편도함수를 구하여라.풀이.
Theorem (클레로의 정리)
점 (a, b)를 포함하는 원판 D위에서 정의되는 함수를 f라 하자. 함수 fxy와fyx가 D에서 연속이면
fxy(a, b) = fyx(a, b)
이다.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
곡면 S가 방정식 z = f(x, y)를 갖는다고 가정하고 또 f는 연속인일계편도함수를 가지며 P (x0, y0, z0)는 S위의 점이라 하자.
C1과 C2를 곡면 S와 수직면 y = y0, x = x0 가 각각 교차함으로써 얻어지는곡선이라 하자. T1과 T2를 점 P에서의 곡선 C1과 C2에 대한 접선이라 하자.그러면 점 P에서의 곡면 S에 대한 접평면은 접선 T1과 T2를 포함하는평면으로 정의된다.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
▶ 접평면의 방정식 :
z − z0 = a(x–x0) + b(y–y0)
⇒ g(x, y) put= z0 + a(x–x0) + b(y–y0)
⇒ ∂f∂x
(x0, y0) = a =∂g
∂x(x0, y0)
⇒ ∂f∂y
(x0, y0) = b =∂g
∂y(x0, y0)
Theoremf가 연속인 편도함수를 갖는다고 가정하자. 점 P (x0, y0, z0)에서 곡면z = f(x, y)에 대한 접평면의 방정식은
z–z0 = fx(x0, y0)(x–x0) + fy(x0, y0)(y–y0)
이다.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Example
(1, 1, 3)에서 z = 2x2 + y2에 대한 접평면을 구하여라.풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Definition점 (a, b, f(a, b))에서 이변수함수 f의 그래프에 대한 접평면의 방정식은
z = f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
이다. 이 접평면의 방정식을 그래프로 갖는 1차함수는
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
이다. 이 식을 (a, b)에서 f의 선형화라 부르고 근사식
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
는 (a, b)에서 f의 일차(선형)근사식 또는 접평면 근사식이라 부른다.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Definitionz = f(x, y)일 때 ∆z = f(a+∆x, b+∆y)− f(a, b)가 다음과 같이 표현되면f는 (a, b)에서 미분가능하다고 한다.
∆z = fx(a, b)∆x+ fy(a, b)∆y + ε1∆x+ ε2∆y
여기서 (∆x,∆y) → (0, 0)일 때 ε1, ε2 → 0이다.
▶ 위 정의는 함수가 미분가능하고 (x, y)가 (a, b)근방의 점일 때 선형근사식은 함수 f의 좋은 근사식임을 말해준다. 다시 말해, 접점 근방에서f의 그래프와 접평면은 거의 일치한다.
Theorem편도함수 fx와 fy가 (a, b) 근방에서 존재하고 (a, b)에서 연속이면 f는 (a, b)에서 미분가능하다.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Example
f(x, y) = xexy가 (1, 0)에서 미분가능함을 보이고, (1, 0)에서의 선형화를구하고 그것을 이용하여 f(1.1, –0.1)의 근사값을 구하여라
풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Definition2변수함수 z = f(x, y)에 대하여
dz = fx(x, y) dx+ fy(x, y) dy =∂z
∂xdx+
∂z
∂ydy
를 f의 미분 또는 전미분이라 한다. 여기서 dx = ∆x, dy = ∆y이다.
▶ dx = ∆x = x–a, dy = ∆y = y–b로 취하면 z의 전미분은
dz = fx(a, b)(x–a) + fy(a, b)(y–b)
▶ 전미분 기호를 사용하면 선형근사식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
f(x, y) ≈ f(a, b) + dz
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
Example
1. z = f(x, y) = x2 + 3xy–y2일 때 전미분 dz를 구하여라.
2. x가 2에서 2.05, y가 3에서 2.96로 변할 때 ∆z와 dz의 값을 비교하여라.
풀이.
Example
반지름이 10cm, 높이가 25cm인 원뿔이 있다 (측정오차는 0.1cm로 한다).전미분을 사용하여 이 원뿔의 부피를 계산할 때 최대오차를 구하여라.풀이.
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Chapter 13 편도함수
13.4 접평면과 1차근사식
3변수 또는 그보다 많은 변수들의 함수w = f(x, y, z)에서
▶ (a, b, c)에서 f의 선형근사식;
f(x, y, z) ≈ f(a, b, c)+ fx(a, b, c)(x–a)+ fy(a, b, c)(y–b)+ fz(a, b, c)(z–c)
선형화 L(x, y, z)는 위 식의 오른쪽이다.
▶ dw =∂w
∂xdx+
∂w
∂ydy +
∂w
∂zdz: f의 전미분
Example
직육면체의 치수가 75cm, 60cm, 40cm로 측정되었다. (측정오차는 0.2cm로한다). 전미분을 사용하여 부피를 계산할 때 최대오차를 구하여라.풀이.
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