das fünfeck und der schierlingsbecher

Horst Steibl, AORat i.R Uni Hannover

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Das Fünfeck und der Schierlingsbecher

oder

Das Gift der schönen Bilder

Über die Entstehung und Überwindung von Einsichtsblockaden

GDM Tagung 2003 Dortmund

eine Fallstudie

http://counter.digits.com/wc/-d/4/Dortmund200360 HEIGHT=20 BORDER=0 HSPACE=4 VSPACE=2>

Dies ist ein Web-counter


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Das Fünfeck aus dem DIN-Format

180°

180°

180°

Winkelsumme im Fünfeck 540°;

Winkel an einer Ecke 540° :5 = 108°

eide

Was haben wir gemacht?

Meinen Dank an Jürgen Flachsmeyer

.

.

.


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Falten einer Ecke auf die Gegenecke

Ecke auf Gegenecke legen Von den aufeinanderliegenden Ecken

lotrecht auf die gesuchte Faltlinie streichen

Vom Lotfußpunkt nach beiden Seiten ausstreichen

Satz: Die Verbindungsstrecke der entsprechenden Punkte steht lotrecht auf der Spiegelachse und wird von ihr halbiert.


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Wenden wir dieses Wissen einmal an:

Falten der Diagonalen .....

Ich lege angeblich Wert auf das Hinterfragen meiner Handlungen!


5

Die Faltlinien im Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´

Falte A auf C und die Mittelsenkrechte von PQ. Welcher Funktion hat diese?Falte die Strecke PB´auf diese Mittelsenkrechte. Welche Funktion hat diese Faltlinie im Rechteck? Falte entsprechen die Strecke DQ auf P´B´´. Welche Figur entsteht?

Und dennoch habe ich es hier versäumt und wandte mich lieber

dem „schönen Bild“ des Fünfecks zu


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Winkelsumme im Fünfeck 540°; Winkel an einer Ecke 540° : 5 =

108°90°

54° 36°

Winkel im Fünfeck

18°

90° 126° 36° Rest: 154°

72° 72°+36°=108°

DynaGeo

108°

Was aber ist mit den Seitenlängen?

.

. Die Diagonale muss den rechten Winkel in 54° +36° teilen

Wenn die Diagonale den rechten Winkel in 54° + 36° teilt, dann sind alle 5 Winkel gleich groß: 108°


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TAN-54°-Rechteck

54°

GK

AK

tan54°=1,376

DIN-Blatt, Wurzel-2-Rechteck

54,7°

1,414 = tan54,7°

2 * a

a

36° 35,3°

Strecke

Beim DIN-A-4-Blatt 8 mm abschneiden und man hat ein TAN_54°-Rechteck


8

Die Faltlinien im Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´


dynageo

Bei jedem Falten guckten mich diese Linien vorwurfsvoll an


9

Hilfe kam vom Schierlingsbecher

Punkt auf Linie

Doch wie kommt der gelbe Punkt so auf die Gegenseite, dass die obere Seite parallel zur Diagonale ist?


10

Falten einer Linie auf eine nicht parallele Linie heißt:

Falten der Winkelhalbierenden der Trägergeraden

TRÄGERGERADEN


11

Die Trägergeraden der Faltlinien im Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´


18°18°

18°36°

36°

72°72°

goldene Dreiecke

72°

Eine leichte Aufgabe: Die 18-er Reihe ........ 18°; 36°, 54°, 72°, 90°, 6 * 18° = 108°

Sehen Sie die goldenen Dreiecke?


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11,177 cm

7,903 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´


Zugp118°

72°

72°

36°

36°

108°

Die goldenen Dreiecke

72°

36°

DynaGeo


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Die Seitenlänge des Fünfecks im Einheits-tan-54°-Rechteck

8,378 cm

5,924 cm

A

B

C

D

PQ

B´

B´´

P´


1

s = d

tan(72)

d = 1 + (tan 54)²

1 + (tan 54)²

tan(72)s =

s = 0.552786404...Tan 54°

Was für eine Zahl ?!


14

1 8 °

1

s

s

)36sin(

1

bzw. mit den Additionstheoremen der Trigonometrischen Funktionen:

)36sin(

1

)36sin(

)18tan(

s

)18(cos2

1

)18cos()18sin(2

)18tan(2

s

Klaus Ulrich Guder hat mir freundlicherweise zum Faltfünfeck folgende Lösung für die Zahl 0.552786404... geschickt:

Die Diagonale des tan(54°)-Rechtecks ist

Damit ergibt sich


15

s10

d52

18 °

In dieser Zeichnung des regelmäßigen 10-Ecks kann man sehen, dass ist.)18cos(25 d

)18(cos44 225

210 ds

2

51

10s

r

und Kantenlänge des Zehnecks:

212

1025

2 4

2

4

22

)18(cos2

1

sd

s

zwischen Radius

...552786405,05

11

5

55

s

Durch Umformen und Einsetzen für φ erhält man nun

Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erhält man nun:

und mit folgender Beziehung

Vielen Dank Uli

das fünfeck und der schierlingsbecher

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