das prinzip des cavalieri bei der einf hrung...
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Das Prinzip des Cavalieri bei Das Prinzip des Cavalieri bei der Einführung der der Einführung der der Einführung der der Einführung der Volumenformel für eine Volumenformel für eine Pyramide Pyramide Kristin Hille und Axel Heider
Vergleicht die Körper. Was lässt Vergleicht die Körper. Was lässt sich über die einzelnen Volumina sich über die einzelnen Volumina aussagen?aussagen?
Der Satz von Der Satz von FubiniFubini
� K – Körper im (n+1)-dim. Raum
� Betrachte Intervalle
qp yxyxf ℜ∈ℜ∈ ,),,(
qp II ℜ⊂ℜ⊂ ,� Betrachte Intervallesodass
� Zerlege und in i bzw. j Abschnitte⇒Viele kleine „Kästchen“
yx II ℜ⊂ℜ⊂ ,
nqpIIIK nyx =+ℜ⊂××=⊂ + ,],[ 1βα
xI yI
ijK
Der Satz von Der Satz von FubiniFubini
� Minima
� „Fläche“ über einem bei ix ∆
),(min,
yxfmji yyxx
ij ∆∈∆∈=
� „Fläche“ über einem bei festem
� Alle „Flächen“ über bei festem
ix ∆
∫∆≤∆ixiij dxyxfxm
),(| |
∫∑ ≤∆xI
iiij dxyxfxm ),(| |
jyy ∆∈
jyy ∆∈ xI
Der Satz von Der Satz von FubiniFubini
� Integration über :jy ∆
∫∫∑ ∆≤∆
jx yIi
iij dxyxfxm | ),(| |
dydxyxfxmy Iy iij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆
≤∆ dydxyxfxmj xj y Iy
iiij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆
≤∆
dydxyxfyxmj xy I
iiiij )),((| || | ∫ ∫∑ ∆
≤∆∆
Der Satz von Der Satz von FubiniFubini
� Integration über :jy ∆
∫∫∑ ∆≤∆
jx yIi
iij dxyxfxm | ),(| |
dydxyxfxmy Iy iij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆
≤∆
� Summierung über alle :
∫ ∫∑ ≤∆×∆=y xI I
jijiij dydxyxfyxmZs )),((| |)(
,
dydxyxfxmj xj y Iy
iiij )),((| | ∫ ∫∫ ∑ ∆∆
≤∆
dydxyxfyxmj xy I
ijiij )),((| || | ∫ ∫∑ ∆
≤∆∆
jy ∆
Der Satz von Der Satz von FubiniFubini
� Analog für die Obersumme:
∫ ∫y xI I
dydxyxf )),((
)(
| |,
ZS
yxMji
jiij
=
∆×∆≤∑
Der Satz von Der Satz von FubiniFubini
∫ ∫ ≤≤y xI I
ZSdydxyxfZs )( ) ),(()(
� Zerlegungs-nullfolge
)(lim)(lim0,0,
ZSZsjiji yxyx →∆∆→∆∆
=
∫ ∫ ==y xI I
ZSdydxyxfZs )( ) ),(()(
Der Satz von Der Satz von FubiniFubiniSatz: Ist über integrierbar, so
Sei mit
∫ ∫ ∫ ∫ ∫==I I I I Iy x x y
dxdyyxfdydxyxfdxdyyxf )),(( )),((),(
),( 21 xxx = psrxx sr =+ℜ∈ℜ∈ ,, 21
III ×=
yx III ×=f
Corollar: Ist überintegrierbar, so gilt
21 xxx III ×=
nnn babaI ℜ⊂××= ],[],[ 11 ⋯f
∫ ∫ ∫=I
b
a
b
a nn
n
n
dxdxxxfdxxf1
111 ),,()( ⋯…⋯
Die charakteristische FunktionDie charakteristische Funktion
=)(xcM
Mx ∈ falls ,1
onst ,0 s
)(
1
)1( Mvol
abccb
a
b
a MI M
=
−=== ∫∫∫)())((
)(1
)2( Mvolcdab
cdcb
a
b
a
d
c
b
a
d
c M
=−−=
−== ∫∫ ∫∫ ∫
Die charakteristische FunktionDie charakteristische Funktion
)())()(( )3( Mvolefcdabccb
a
d
c
f
e MI M =−−−== ∫ ∫ ∫∫
Das Das CavalierischeCavalierische PrinzipPrinzip
� K – Körper im�
�
„Ebenenschnitt“
3ℜ],[,),(),,,( 2 βα=ℜ∈= tyxtyxP
}),,(:),{( 2 KtyxyxK t ∈ℜ∈=„Ebenenschnitt“
� Sei ein Intervall, sodass2ℜ⊂× yx II
IIIK yx :],[ =××⊂ βα
∫ ∫∫ ×=
β
αdtdxdytyxcdxdydttyxc
yx II K
Fubini
I K )),,((),,(
Das Das CavalierischeCavalierische PrinzipPrinzip
∫ ∫∫ ×=
β
αdtdxdytyxcdxdydttyxc
yx II K
Fubini
I K )),,((),,(
1),,( =tyxcK
tKyx ∈⇔ ),( 1),( =⇔ yxctK
∫ ∫
∫
×=
=β
αdtdxdytyxc
dxdydttyxc
Kvol
yx II K
I K
)),,((
),,(
)()3(
tKyx ∈⇔ ),( 1),( =⇔ yxctK
∫ ∫ ×=
β
αdtdxdyyxc
yxtII K )),((
Körpergesamter als - K
itt"Ebenenschn" als - KK t ⊂
Das Das CavalierischeCavalierische PrinzipPrinzip
Satz:
Besitzen zwei Körper mit gleicher Höhe und gleichem Grundflächeninhalt in und gleichem Grundflächeninhalt in jeder zur Grundfläche parallelen Ebene eine gleich große Schnittfläche, so sind sie stets volumengleich.
Wege zur Vermutung einer Wege zur Vermutung einer Volumenformel für PyramidenVolumenformel für Pyramiden
ArbeitsaufträgeArbeitsaufträgeArbeitsaufträgeArbeitsaufträge
Pyramidenvolumen V=1/3Pyramidenvolumen V=1/3··A(GA(G))··h h
Satz:
Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und Zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und gleich großem Grundflächeninhalt besitzen das gleiche Volumen.
Volumenvergleich zweier Volumenvergleich zweier PyramidenPyramiden
EEEETSERDAA RD ′∈⊂= |||| ; , ; , ; 2121
hhk
TS
∗=
•
or Streckfaktmit
Streckungr zentrische
Zentren : ,
RRDD ′→′→• ,
ähnlich
sind und , und RRDD ′′•
hk =or Streckfaktmit
ktsfaktor Ähnlichkei •
RRDD AAkAkA ′′ =⋅=⋅= 22
Satz Cavalieri⇒