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Universität Duisburg-Essen, Campus Essen, Fachbereich Mathematik, IEM – AG Zahlentheorie

Definition und gemeinsame Eigenschaften der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie Proseminar Algebra WS 2008/2009, “Geometrische Algebra” Dozent: Prof. Dr. Dr. h.c. Gerhard Frey

Anna Dittmer (2226161), Katharina Wikker (2220833), Marc Bosse (2216113)

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INHALTSVERZEICHNIS

1. Definition der Symplektischen und Orthogonalen Geometrie ......................................................... 3

1.1 Motivation ............................................................................................................................... 3

1.2 Definitionen ............................................................................................................................. 4

2 Gemeinsame Eigenschaften von Orthogonalen und Symplektischen Geometrien ........................... 6

2.1 Ortogonale Unterräume und Radikal ........................................................................................ 6

2.2 Nicht-singuläre Unterräume ..................................................................................................... 8

2.3 Isometrien ................................................................................................................................ 8

2.4 Isotrope Vektorräume ............................................................................................................ 11

2.5 Hyperbolische Ebenen und Räume ......................................................................................... 13

2.6 Fortsetzungen von Isometrien und der Satz von Witt ............................................................. 14

2.7 Drehungen und Spiegelungen ................................................................................................ 20

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1. DEFINITION DER SYMPLEKTISCHEN UND ORTHOGONALEN GEOMETRIE

1.1 MOTIVATION

Sei 𝑉 ein n-dimensionaler Vektorraum. Sei ∙∶ 𝑉 × 𝑉 → 𝐾 , 𝐴,𝐵 ↦ 𝐴𝐵 beliebige Bilinearform, 𝐾 ein

kommutativer Körper.

Ein Vektor A heißt orthogonal zu einem Vektor 𝐵, falls 𝐴𝐵 = 0.

Problem: In welchen metrischen Strukturen ist 𝐵𝐴 = 0, wenn 𝐴𝐵 = 0 ist?

Annahme: Sei V ein Vektorraum und 𝐴,𝐵,𝐶 𝑉.

Dann gilt:

𝐴 𝐴𝐶 𝐵 − 𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 𝐴𝐵 − 𝐴𝐵 𝐴𝐶 = 0

Da K kommutativ ist gilt auch:

𝐴𝐶 𝐵 − 𝐴𝐵 𝐶 𝐴 = 0

𝐴𝐶 𝐵𝐴 − 𝐴𝐵 𝐶𝐴 = 0

𝐴𝐶 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵 𝐶𝐴 (𝟑.𝟏𝟒)

Für 𝐶 = 𝐴 erhalten wir:

𝐴2 ∙ 𝐵𝐴 = 𝐴2 ∙ 𝐴𝐵

Falls 𝐴² ≠ 0 𝐵𝐴 = 𝐴𝐵. Das heißt:

Falls 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵 𝐴² = 0. (∗)

(analoge Aussage bezüglich 𝐵 : 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴 𝐵2 = 0)

Seien nun 𝐴 und 𝐵 zwei spezielle Vektoren aus 𝑉, so dass gilt: 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵.

Wir wollen zeigen, dass 𝐶² = 0 für jeden beliebigen Vektor 𝐶.

i) Dies ist sicherlich richtig, wenn gilt: 𝐴𝐶 ≠ 𝐶𝐴, denn 𝐴𝐶 ≠ 𝐶𝐴 𝐶2

ii) Also nehmen wir an, dass gilt: 𝐴𝐶 = 𝐶𝐴. Da nach Voraussetzung für spezielle 𝐴 und 𝐵

𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵gilt und außerdem (𝟑.𝟏𝟒) erfüllt sein muss, folgt automatisch: 𝐴𝐶 = 𝐶𝐴 = 0. Wir

können 𝐴 und 𝐵 vertauschen und können deswegen auch 𝐵𝐶 = 𝐶𝐵 = 0 annehmen.

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Betrachte:

𝐵𝐴 = 𝐵𝐴 + 0 = 𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐵(𝐴 + 𝐶)

und

𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 + 0 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 = (𝐴 + 𝐶)𝐵

Aber nun folgt wegen der Voraussetzung 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵:

𝐵 𝐴 + 𝐶 = 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵 = (𝐴 + 𝐶)𝐵

Daraus folgt: 𝐴 + 𝐶 2 = 0 (wegen (∗))

Weil 𝐵𝐴 ≠ 𝐴𝐵 𝐴² = 0 und 𝐴𝐶 = 𝐶𝐴 = 0 folgt, dass 𝐶² = 0, denn:

𝐴 + 𝐶 2 = 0 𝐴2 + 𝐴𝐶 + 𝐶𝐴 + 𝐶2 = 0 + 0 + 0 + 𝐶2 = 0

1.2 DEFINITIONEN

Wir sehen, dass es zwei Typen metrischer Strukturen gibt, die die Eigenschaft 𝐴𝐵 = 0 𝐵𝐴 =

0 haben.

1) Die Symplektische Geometrie

Hier fordern wir

𝑋2 = 0 ∀ 𝑋 ∈ 𝑉 (𝟑.𝟏𝟓)

Ersetzt man den Vektor 𝑋 durch eine Summe aus Vektoren 𝑋 + 𝑌, so erhält man:

(𝑋 + 𝑌)2 = 𝑋2 + 𝑋𝑌 + 𝑌𝑋 + 𝑌2 = 0

und deswegen:

𝑋𝑌 = −𝑌𝑋 ∀ 𝑋,𝑌 ∈ 𝑉 𝟑.𝟏𝟔

Gleichung (𝟑.𝟏𝟔) zeigt, dass 𝐴𝐵 = 0 tatsächlich 𝐵𝐴 = 0 impliziert. Weil der Körper 𝐾 unter

Umständen die Charakteristik 2 hat und es damit ein 𝑘 ≠ 0 gibt, so dass trotzdem 𝑘 = −𝑘 gilt,

können wir mit dem Spezialfall 𝑋 = 𝑌 aus (𝟑.𝟏𝟔) nicht sofort (𝟑.𝟏𝟓) schließen.

Sei die Bilinearform ∙ durch die Gram’sche Matrix 𝐺 =

𝑔11 ⋯ 𝑔1𝑗

⋮ ⋱ ⋮𝑔𝑖1 ⋯ 𝑔𝑖𝑗

gegeben. Dann gilt in

einer Symplektischen Geometrie

𝑔𝑖𝑖 = 0, 𝑔𝑖𝑗 = −𝑔𝑗𝑖 𝟑.𝟏𝟕

da 𝑔𝑖𝑗 = 𝐴𝑖 ∙ 𝐴𝑗 , 𝐴𝑖 ,𝐴𝑗 Basisvektoren von V.

Eine solche Bilinearform, für die 𝟑.𝟏𝟕 gilt, heißt schiefsymmetrisch oder alternierend.

Wenn 𝟑.𝟏𝟕 erfüllt ist, gilt auch:

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𝑋2 = 𝑔𝑖𝑗 𝑥𝑖𝑥𝑗

𝑛

𝑖 ,𝑗=1

= 0

Es wird deutlich, dass 𝟑.𝟏𝟕 notwendige und hinreichende Bedingung für eine Symplektische

Geometrie ist und dass das Untersuchen einer solche Geometrie gleichbedeutend mit dem

Untersuchen von schiefsymmetrischen Bilinearformen ist.

2) Die Orthogonale Geometrie

Wenn 𝑉 nicht symplektisch ist, aber dennoch die Eigenschaft 𝐴𝐵 = 0 𝐵𝐴 = 0 hat, dann gilt

notwendigerweise

𝑋𝑌 = 𝑌𝑋 ∀ 𝑋,𝑌 ∈ 𝑉 𝟑.𝟏𝟖

Dies ist eine symmetrische Bilinearform.

Einschub: Quadratische Formen

DEFINITION: Eine quadratische Form ist eine Abbildung 𝑄:𝑉 → 𝐾 (nicht-linear), die

zwei Bedingungen erfüllt:

1. 𝑄 𝑎𝑋 = 𝑎2𝑄 𝑋 𝑎 ∈ 𝐾, 𝑋 ∈ 𝑉

2. 𝑋 ∘ 𝑌 = 𝑄 𝑋 + 𝑌 − 𝑄 𝑋 − 𝑄(𝑌)

Wenn die Charakteristik von 𝐾 nicht 2 ist, ist reicht diese Geometrie völlig aus, weil die

symmetrischen Bilinearformen in eindeutiger Beziehung zu den quadratischen Formen stehen

und man einfach sagen kann, dass 𝑋2 die quadratische Form ist, die zu unserer Bilinearform

gehört.

Wenn 𝐾 allerdings die Charakteristik 2 hat, dann sind die symmetrischen Bilinearformen nicht

allgemein genug. In diesem Fall beginnt man mit einer beliebigen quadratischen Form 𝑄(𝑋)

und definiert die Bilinearform durch

𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋𝑌 = 𝑄 𝑋 + 𝑌 − 𝑄 𝑋 − 𝑄 𝑌 𝟑.𝟏𝟗

Da wegen

𝑋 ∙ 𝑋 = 𝑋2 = 𝑄 𝑋 + 𝑋 − 𝑄 𝑋 − 𝑄 𝑋

= 𝑄 2𝑋 − 2𝑄 𝑋 = 22𝑄 𝑋 − 2𝑄(𝑋) = 2𝑄(𝑋)

𝑋 ∙ 𝑋 = 2𝑄(𝑋) gilt, wird klar, dass

𝑋 ∙ 𝑋 = 𝑋2 = 0 𝟑.𝟐𝟎

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gilt (Charakteristik von 𝐾 ist 2).

Die eigentliche Bilinearform ist dann symplektisch, denn wenn die Charakteristik 2 ist, dann gibt

es keinen Unterschied zwischen 𝟑.𝟏𝟔 und 𝟑.𝟏𝟖 .

𝑉 hat also eine Symplektische Geometrie, die durch eine Quadratische Form ergänzt wird und

sich auf sie durch 𝟑.𝟏𝟗 bezieht.

Ist die Charakteristik ungleich 2, so gilt 𝑋 + 𝑌 2 = 𝑋2 + 2𝑋𝑌 + 𝑌2,

ist sie gleich 2, so gilt 𝑄(𝑋 + 𝑌) = 𝑄 𝑋 + 𝑄(𝑌)

(z.B. Satz des Pythagoras in der euklidischen Ebene: 𝑋 + 𝑌 2 = 𝑋2 + 𝑌2, weil Katheten 𝑋 und

𝑌 orthogonal sind)

2 GEMEINSAME EIGENSCHAFTEN VON ORTHOGONALEN UND SYMPLEKTISCHEN GEOMETRIEN

2.1 ORTOGONALE UNTERRÄUME UND RADIKAL

In diesem Abschnitt werden wir sowohl orthogonale als auch symplektische Geometrien untersuchen.

In beiden Fällen ist die Orthogonalität von Vektoren oder Untervektorräumen eindeutig definiert. Ist 𝑈

ein Unterraum von 𝑉, dann hat der orthogonale Unterraum 𝑈⊥ eine eindeutige Bedeutung:

𝑈⊥ ≔ 𝐴 ∈ 𝑉 𝐴𝐵 = 0 ∀ 𝐵 ∈ 𝑈}

Die zwei Kerne der Bilinearform sind gleich, sie sind der Raum 𝑉⊥ .

ker ∙ = 𝐴 ∈ 𝑉 𝐴𝐵 = 0 ∀ 𝐵 ∈ 𝑉} =∶ 𝑉⊥

DEFINITION 3.4: 𝑉⊥ heißt Radikal von 𝑉 und wird mit rad 𝑉 bezeichnet.

Wenn 𝑈 ein Unterraum von 𝑉 ist, dann ist die Bilinearform auf 𝑈 eingeschränkt vom gleichen Typ wie

sie auch als Bilinearform von 𝑉 ist – orthogonal oder symplektisch. 𝑈 selbst hat ein Radikal, welches

aus den Vektoren von 𝑈⊥ besteht, die auch in 𝑈 sind. Mit anderen Worten:

rad 𝑈 = 𝑈 ∩ 𝑈⊥ = 𝐴 ∈ 𝑈 𝐴𝐵 = 0 ∀ 𝐵 ∈ 𝑈}, 𝑈 ⊂ 𝑉 𝟑.𝟐𝟏

DEFINITION 3.5: Ist 𝑉 die direkte Summe

𝑉 = 𝑈1 ⊕𝑈2 ⊕𝑈3 ⊕…⊕𝑈𝑟 𝟑.𝟐𝟐

von Unterräumen (d.h. jedes 𝐴 ∈ 𝑉 lässt sich eindeutig als Summe von 𝐴𝑖 ∈ 𝑈1

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schreiben), die gegenseitig orthogonal zueinander sind, dann nennt man 𝑉 die

orthogonale Summe der 𝑈𝑖und benutzt das Symbol

𝑉 = 𝑈1 ⊥ 𝑈2 ⊥ 𝑈3 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑈𝑟 𝟑.𝟐𝟑

Sei 𝑉 ein Vektorraum, welcher die direkte Summe 𝟑.𝟐𝟐 von Unterräumen 𝑈𝑖 ist. Es sei eine

geometrische Struktur auf jedem Unterraum gegeben. Dann gibt es einen eindeutigen Weg, diese

Strukturen zu einer von 𝑉 zu erweitern, so dass 𝑉 zu einer orthogonale Summe der 𝑈𝑖 wird.

Seien

𝑋 = 𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

, 𝑌 = 𝐵𝑖

𝑛

𝑖=1

Vektoren von 𝑉 und 𝐴𝑖 ,𝐵𝑖 ∈ 𝑈𝑖 , dann muss man offensichtlich definieren:

𝑋𝑌 = 𝐴1𝐵1 + 𝐴2𝐵2 +⋯+ 𝐴𝑟𝐵𝑟 𝟑.𝟐𝟒

𝟑.𝟐𝟒 definiert eine Bilinearform auf 𝑉 und 𝑉 hat eine symplektische bzw. orthogonale Geometrie,

wenn alle Geometrien in den 𝑈𝑖 symplektisch bzw. orthogonal sind. Die Geometrie von 𝑉 induziert auf

jedem 𝑈𝑖 seine ursprüngliche Geometrie und 𝑈𝑖 und 𝑈𝑗 sind orthogonal für 𝑖 ≠ 𝑗.

Sei 𝑉 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 +⋯+ 𝑈𝑟 ,𝑈𝑖 orthogonal zu 𝑈𝑗 für 𝑖 ≠ 𝑗, aber sei die Summe nicht direkt. Sei

außerdem

𝑋 = 𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

,𝐴𝑖 ∈ 𝑈𝑖

und nimm an, dass 𝑋 ∈ rad 𝑉 = 𝐶 ∈ 𝑉 𝐶𝐷 = 0 ∀ 𝐷 ∈ 𝑉}, also 𝑋𝐶 = 0 ∀ 𝐶 ∈ 𝑉, insbesondere also

𝑋𝐵𝑖 = 0 ∀ 𝐵𝑖 ∈ 𝑈𝑖 , dann ist entweder 𝐴𝑖𝐵𝑖 = 0 bzw. 𝐴𝑖 ∈ rad 𝑈𝑖 :

𝐴1 + 𝐴2+. . +𝐴𝑖 + ⋯+ 𝐴𝑟 𝐵𝑖 = 𝐴1𝐵𝑖 + 𝐴2𝐵𝑖 +⋯+ 𝐴𝑖𝐵𝑖 …+ 𝐴𝑟𝐵𝑖 = 𝐴𝑖𝐵𝑖 = 0

Umgekehrt: Wenn jedes 𝐴𝑖 ∈ rad 𝑈𝑖 ist, dann ist 𝑋 ∈ rad 𝑉. In anderen Worten: Wenn die 𝑈𝑖

gegenseitig orthogonal zueinander sind, dann ist

rad 𝑉 = rad 𝑈1 + rad 𝑈2 +⋯+ rad 𝑈𝑟 𝟑.𝟐𝟓

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2.2 NICHT-SINGULÄRE UNTERRÄUME

(Ein Vektorraum 𝑉 ist nicht-singulär, falls rad 𝑉 = 0.)

Sollte jeder Unterraum 𝑈𝑖 im obigen Fall nicht-singulär sein, dann folgt sofort, dass rad 𝑉 = 0 und 𝑉

nicht-singulär ist.

In diesem Fall ist die Summe doch direkt:

In der Tat können wir annehmen: Falls

𝑋 = 𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

= 0

(damit ist 𝑋 ∈ rad 𝑉, da 𝑋 der Nullvektor ist)

erhalten wir, dass 𝐴𝑖𝐵𝑖 = 0 für jedes beliebige 𝐵𝑖 ∈ 𝑈𝑖 . Deshalb sind alle 𝐴𝑖 ∈ rad 𝑈𝑖 = 0.

Wenn jedes 𝑈𝑖 nicht-singulär ist, können wir deswegen 𝟑.𝟐𝟑 schreiben.

Betrachte nun den Unterraum rad 𝑉 von 𝑉 und sei 𝑈 ein rad 𝑉 zu 𝑉 ergänzender Untervektorraum

(komplementärer Unterraum), also

𝑉 = rad 𝑉 ⊕𝑈;

rad 𝑉 ist orthogonal zu 𝑉 und deswegen auch zu 𝑈 und wir bekommen

𝑉 = rad 𝑉 ⊥ 𝑈 𝟑.𝟐𝟔

Wir folgern

rad 𝑉 = rad rad 𝑉 ⊥ rad 𝑈 = rad 𝑉 ⊥ rad 𝑈

Weil die letzte Summe direkt ist, muss rad 𝑈 = 0. 𝑈 ist deswegen nicht-singulär.

Bemerkung:

Die Geometrie auf 𝑉 induziert im Allgemeinen keine Geometrie auf einem Quotientenraum. Allerdings

tut sie dies für den Quotientenraum 𝑉 rad 𝑉 . Auf natürliche Art und Weise wird definiert:

𝑋𝑌 = 𝑋 + rad 𝑉 ∙ 𝑌 + rad 𝑉 𝟑.𝟐𝟕

2.3 ISOMETRIEN

(Eine Isometrie ist ein Isomorphismus, der der die geometrische Struktur bzw. Metrik erhält.)

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SATZ 3.3: Jeder Raum 𝑈, der rad 𝑉 zu 𝑉 ergänzt, hat eine orthogonale Aufteilung 𝟑.𝟐𝟔 zur

Folge. 𝑈 ist nicht-singulär und kanonisch isometrisch zu 𝑉 rad 𝑉 .

DEFINITION (UND SATZ) 3.6:

Sei 𝑉 = 𝑈1 ⊥ 𝑈2 ⊥ 𝑈3 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑈𝑟 , 𝑉′ = 𝑈′1 ⊥ 𝑈′2 ⊥ 𝑈′3 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑈′𝑟 orthogonale

Zerlegung zweier Vektorräume 𝑉 und 𝑉′ und nimm an, dass es eine Isometrie 𝜎𝑖

von 𝑈𝑖 nach 𝑈𝑖′ gibt für alle 𝑖. Wenn

𝑋 = 𝐴𝑖

𝑟

𝑖=1

,𝐴𝑖 ∈ 𝑈𝑖

ein Vektor von 𝑉 ist, dann kann man eine Abbildung 𝜎:𝑉 → 𝑉′ durch

𝜎𝑋 = 𝜎1𝐴1 + 𝜎2𝐴2 +⋯+ 𝜎𝑟𝐴𝑟 𝟑.𝟐𝟗

definieren, die eine Isometrie ist und mit

𝜎 = 𝜎1 ⊥ 𝜎2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝜎𝑟 𝟑.𝟑𝟎

bezeichnet werden soll.

Wir nennen dies die orthogonale Summe der Abbildungen 𝜎𝑖 .

Beweis:

„metrik-erhaltend“

Zu zeigen 𝑋𝑌 = 𝜎 𝑋 𝜎 𝑌

Linke Seite: 𝑋𝑌 = 𝐴𝑖𝑛𝑖=1 ∗ 𝐵𝑗

𝑛𝑗=1 = 𝐴𝑖𝐵𝑗

𝑛𝑖 ,𝑗=1

Rechte Seite: 𝜎 𝑋 𝜎 𝑌 = 𝜎𝑖𝐴𝑖𝑛𝑖=1 ∗ 𝜎𝑗𝐵𝑗

𝑛𝑗=1 = 𝜎𝑖𝐴𝑖𝜎𝑗𝐵𝑗

𝑛𝑖 ,𝑗=1 = 𝐴𝑖𝐵𝑗

𝑛𝑖 ,𝑗=1

zur Isomorphie: „injektiv“

Sei 𝜎 𝑋 = 0. Zu zeigen 𝑋 = 0

𝜎 𝑋 = 𝜎 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯+ 𝐴𝑟 = 𝜎1 𝐴1 +⋯+ 𝜎𝑟 𝐴𝑟 = 0

Weil die 𝑈′𝑖 senkrecht sind (Voraussetzung.: 𝑉′ = 𝑈′1 ⊥ 𝑈′2 ⊥ 𝑈

′3 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑈′ 𝑟 ), muss

jeder Summand 0 sein

die 𝜎𝑖 sind injektiv 𝐴𝑖 = 0 ∀𝑖 𝑋 = 0.

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„surjektiv“

𝑉′ ∋ 𝑋′ ≔ 𝜎1 𝐴1 + ⋯+ 𝜎𝑟 𝐴𝑟 = 𝜎 𝐴1 + 𝐴2 +⋯+ 𝐴𝑟

dann ist 𝐴1 + 𝐴2 +⋯+ 𝐴𝑟 = 𝑋.

SATZ 3.4: Sei 𝑉 = 𝑈1 ⊥ 𝑈2 ⊥ 𝑈3 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑈𝑟 und jedes 𝜎𝑖 eine Isometrie von 𝑈𝑖 nach 𝑈𝑖 . Dann ist

die orthogonale Summe 𝜎 = 𝜎1 ⊥ 𝜎2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝜎𝑟 eine Isometrie von 𝑉 nach 𝑉 und

man erhält:

det𝜎 = det 𝜎1 ∗ det𝜎2 ∗ … ∗ det𝜎𝑟 𝟑.𝟑𝟏

Ist 𝜏 = 𝜏1 ⊥ 𝜏2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝜏𝑟 , wobei 𝜏𝑖 ebenfalls Isometrien von 𝑈𝑖 nach 𝑈𝑖 sind, so gilt:

𝜎𝜏 = 𝜎1𝜏1 ⊥ 𝜎2𝜏2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝜎𝑟𝜏𝑟 𝟑.𝟑𝟐

Beweis: 𝜎 =

𝜎1

⋱ 𝜎𝑟

mit den Blöcken, die berücksichtigen, dass die 𝜎𝑖 auf den 𝑈𝑖

operieren. Dann ist nach LinA 1: det𝜎 = det𝜎1 ∗ det𝜎2 ∗ … ∗ det𝜎𝑟

Sei 𝑋 = 𝐴1 + 𝐴2 +⋯+ 𝐴𝑟 . Dann ist

𝜎 𝜏 𝑋 = 𝜎 𝜏 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯+ 𝐴𝑟 = 𝜎 𝜏1(𝐴1) + 𝜏2(𝐴2) +⋯+ 𝜏𝑟(𝐴𝑟)

= 𝜎1 𝜏1 𝐴1 + 𝜎2 𝜏2 𝐴2 +⋯+ 𝜎𝑟 𝜏𝑟 𝐴𝑟

SATZ 3.5: Sei 𝑉 ein nicht-singulärer Vektorraum, sprich rad 𝑉 = 0, und sei 𝑈 irgendein

Unterraum von 𝑉. Dann gilt immer:

dim𝑈 + dim𝑈⊥ = dim𝑉 , 𝑈⊥⊥

= 𝑈 𝟑.𝟑𝟑

rad 𝑈 = rad 𝑈⊥ = 𝑈 ∩ 𝑈⊥ 𝟑.𝟑𝟒

Der Unterraum 𝑈 ist nicht-singulär 𝑈⊥ ist nicht-singulär. Ist 𝑈 nicht-singulär, dann

gilt: 𝑉 = 𝑈 ⊥ 𝑈⊥ 𝟑.𝟑𝟓

Wenn 𝑉 = 𝑈 ⊥ 𝑊, dann sind 𝑈 und 𝑊 nicht-singulär und 𝑊 = 𝑈⊥ .

Beweis:

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Da der Kern der Bilinearform 0 ist, folgt 𝟑.𝟑𝟑 aus der allgemeinen Theorie

der Bilinearformen.

𝟑.𝟑𝟑 und 𝟑.𝟐𝟏 implizieren 𝟑.𝟑𝟒 :

𝑈 ≔ 𝑈⊥ Dann gelten: rad 𝑈⊥ = 𝑈⊥ ∩ 𝑈⊥ ⊥ = 𝑈⊥ ∩ 𝑈

und rad 𝑈 = 𝑈 ∩ 𝑈⊥

Wenn 𝑈 nicht-singulär ist, dann zeigt 𝟑.𝟑𝟒 , dass 𝑈⊥ nicht-singulär ist und

dass die Summe 𝑈 + 𝑈⊥ direkt ist, da der Schnitt leer ist.

Weil die Dimensionen gleich sind, erhält man 𝟑.𝟑𝟓 .

Ist 𝑉 = 𝑈 ⊥ 𝑊, dann ist 𝑊 ⊂ 𝑈⊥ und dim𝑊 = dim𝑉 − dim𝑈 = dim𝑈⊥;

deswegen ist 𝑊 = 𝑈⊥ und rad 𝑈 = 𝑈 ∩ 𝑈⊥ = 0.

2.4 ISOTROPE VEKTORRÄUME

DEFINITION 3.7: Ein Vektorraum heißt isotrop, falls alle Produkte zwischen zwei Vektoren 0 sind. Der

Null-Vektorraum und das Radikal eines Vektorraums sind Beispiele für isotrope

Vektorräume.

Ein Vektor 𝐴 heißt isotrop, falls 𝐴2 = 0. In einer Symplektischen Geometrie ist jeder

Vektor isotrop.

SATZ 3.6: Sei 𝑉 ein Vektorraum mit einer Orthogonalen Geometrie und nimm an, dass jeder

Vektor von 𝑉 isotrop ist. Dann ist 𝑉 isotrop.

Beweis: Unter unserer Annahme ist die Geometrie orthogonal und symplektisch. Es gilt

deswegen:

𝑋𝑌 = −𝑌𝑋 = 𝑌𝑋

Das impliziert, dass 𝑋𝑌 = 0, da wir annehmen, dass in einer Orthogonalen Geometrie

die Charakteristik des Körpers nicht 2 ist.

Der folgende Spezialfall spielt eine besondere Rolle in der allgemeinen Theorie (Motivation für den nächsten Unterabschnitt):

Wir nehmen an:

dim𝑉 = 2 𝑉 nicht-singulär (sprich rad 𝑉 = 0)

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∃ 𝑁 ∈ 𝑉 wobei 𝑁 ≠ 0 isotrop (sprich 𝑁2 = 0)

Wenn 𝐴 irgendein Vektor ist, der nicht im von 𝑁 aufgespannten Unterraum < 𝑁 > , dann wird 𝑉 von

𝐴 und 𝑁 aufgespannt und es gilt: 𝑉 = < 𝑁,𝐴 >.

Wir versuchen nun einen anderen isotropen Vektor 𝑀 zu bestimmen, so dass gilt: 𝑁𝑀 = 1 und

𝑀2 = 0 (für die Isotropie).

Setze 𝑀 = 𝑥𝑁 + 𝑦𝐴 (𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾), dann ist 𝑁𝑀 = 𝑦𝑁𝐴, denn:

𝑁𝑀 = 𝑁 𝑥𝑁 + 𝑦𝐴 = 𝑥𝑁2 + 𝑦𝑁𝐴 = 0 + 𝑦𝑁𝐴 = 𝑦𝑁𝐴

Wäre 𝑁𝐴 = 0, dann wäre 𝑁 ∈ rad 𝑉. Dies ist aber ein Widerspruch, denn wir haben angenommen,

dass 𝑉 nicht-singulär ist.

Deswegen ist 𝑁𝐴 ≠ 0 und wir können 𝑦 eindeutig bestimmen, so dass 𝑁𝑀 = 1 ist.

Im symplektischen Fall gilt 𝑀2 = 0 automatisch, so dass jedes 𝑥 möglich ist.

Hat 𝑉 eine Orthogonale Geometrie, muss 𝑥 bestimmt werden:

Da:

𝑀2 = 𝑥𝑁 + 𝑦𝐴 2 = 𝑥2𝑁2 + 2𝑥𝑦𝑁𝐴+ 𝑦2𝐴2 = 2𝑥𝑦𝑁𝐴+ 𝑦2𝐴2

folgt:

𝑀2 = 0 ⟺ 2𝑥𝑦𝑁𝐴+ 𝑦2𝐴2 = 0

bzw.:

𝑀2 = 0 ⟺ 𝑥 =−𝑦2𝐴2

2𝑦𝑁𝐴

Diese eindeutige Bestimmung von 𝑥 ist möglich, da 2𝑦𝑁𝐴 ≠ 0.

Wir haben nun also für beide Geometrien

𝑉 = < 𝑁,𝑀 >

𝑁2 = 𝑀2 = 0

𝑁𝑀 = 1

Andersherum:

Wenn 𝑉 = < 𝑁,𝑀 > eine Ebene ist, können wir auf ihr eine Geometrie einrichten, die durch die

Bilinearform mit Gram’scher Matrix G gegeben ist, für die gilt:

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𝑔11 = 𝑔22 = 0

𝑔12 = 1

𝑔21 = 1 im orthogonalen Fall und 𝑔21 = −1 im symplektischen Fall

(zur Erinnerung: 𝑁𝑀 = 𝑀𝑁 bei orthogonaler, 𝑁𝑀 = −𝑀𝑁 bei symplektischer Geometrie.

Dann gilt auf jeden Fall 𝑁2 = 𝑀2 = 0 und 𝑁𝑀 = 1

sowie 𝐺orthogonal = 0 11 0

bzw. 𝐺symplektisch = 0 1−1 0

Betrachte nun einen Vektor 𝑋 ∈ 𝑉, dann lässt sich 𝑋 schreiben als 𝑋 = 𝑥𝑁 + 𝑦𝑀 (𝑥,𝑦 ∈ 𝐾).

Ist 𝑋 ∈ rad 𝑉, dann ist:

𝑋𝑀 = 0 und 𝑋𝑀 = 𝑥𝑁 + 𝑦𝑀 𝑀 = 𝑥𝑁𝑀 + 𝑦𝑀2 = 𝑥. Also ist dann 𝑥 = 0.

𝑁𝑋 = 0 und 𝑁𝑋 = 𝑁 𝑥𝑁 + 𝑦𝑀 = 𝑥𝑁2 + 𝑦𝑀𝑁 = 𝑦. Also ist dann 𝑦 = 0.

Daraus folgt, dass 𝑉 nicht-singulär ist, da nur 𝑋 = 0𝑁 + 0𝑀 = 0 ∈ rad 𝑉 ist.

Nimm nun an, dass 𝑉 = < 𝑁,𝑀 > eine orthogonale Geometrie hat. 𝑋 = 𝑥𝑁 + 𝑦𝑀ist isotrop, wenn

𝑋2 = 2𝑥𝑦 = 0, da 𝑋2 = 𝑥𝑁 + 𝑦𝑀 2 = 𝑥2𝑁2 + 2𝑥𝑦𝑁𝑀 + 𝑦2𝑀2 = 2𝑥𝑦. Daraus lässt sich folgern:

𝑦 = 0, dann ist 𝑋 = 𝑥𝑁 oder aber

𝑥 = 0, dann ist 𝑋 = 𝑦𝑀

2.5 HYPERBOLISCHE EBENEN UND RÄUME

DEFINITION 3.7: Eine nicht-singuläre Ebene, die einen isotropen Vektor enthält, heißt hyperbolische

Ebene. Sie kann immer durch ein Paar von Vektoren 𝑁,𝑀 aufgespannt werden, für

die gilt:

𝑁2 = 𝑀2 = 0, 𝑁𝑀 = 1

Man nennt ein solches geordnetes Paar 𝑁,𝑀 hyperbolisches Paar. Wenn 𝑉 eine

nicht-singuläre Ebene mit einer Orthogonalen Geometrie ist und 𝑁 ≠ 0 ein isotroper

Vektor von 𝑉, dann gibt es genau ein 𝑀 in 𝑉, so dass 𝑁,𝑀 ein hyperbolisches Paar

ist. Die Vektoren 𝑥𝑁 und 𝑦𝑀 sind die einzigen isotropen Vektoren von 𝑉.

DEFINITION 3.9: Eine orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen 𝑃1,𝑃2,𝑃3,… ,𝑃𝑟 heißt

hyperbolischer Raum: 𝐻2𝑟 = 𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑃𝑟 .Er ist nicht-singulär und hat die

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Dimension 2𝑟.

Man nennt einen Raum irreduzibel, wenn er nicht als orthogonale Summe von geeigneten

Unterräumen geschrieben werden kann. Wegen 𝟑.𝟐𝟔 ("𝑉 = rad 𝑉 ⊥ 𝑈") können wir sehen, dass

ein irreduzibler Raum notwendigerweise entweder nicht-singulär (dann ist rad 𝑉 = 0, und dann ist

𝑉 = 𝑈) oder isotrop sein muss (dann ist rad 𝑉 = 𝑉). Ist er isotrop, dann ist seine Dimension 1 da jede

direkte Zerlegung eines isotropen Raumes auch eine orthogonale Zerlegung ist.

Um den nicht-singulären Fall zu diskutieren, unterscheiden wir zwei Fälle:

1) Orthogonale Geometrie: Wegen Satz 3.6 muss 𝑉 einen nicht-isotropen Vektor 𝐴 enthalten. Der

von 𝐴 aufgespannte Unterraum 𝑈 =< 𝐴 > ist nicht-singulär und 𝟑.𝟑𝟓 zeigt, dass 𝑈⊥ = 0

und dim𝑉 = 1.

2) Symplektische Geometrie: Sei 𝑁 ≠ 0 ein beliebiger Vektor von 𝑉. Weil rad 𝑉 = 0, gibt es ein

𝐴 ∈ 𝑉, so dass 𝑁𝐴 ≠ 0. Die Ebene 𝑈 = < 𝑁,𝐴 > ist nicht-singulär und 𝟑.𝟑𝟓 zeigt wieder,

dass 𝑈⊥ = 0 und 𝑉 = 𝑈.

SATZ 3.7: Ein Raum mit einer Orthogonalen Geometrie ist eine orthogonale Summe der

Geraden:

𝑉 =< 𝐴1 > ⊥ < 𝐴2 > ⊥ ⋯ ⊥< 𝐴𝑛 >

Die 𝐴𝑖 werden orthogonale Basis von 𝑉 genannt.

𝑉 ist nicht-singulär kein 𝐴𝑖 ist isotrop.

Ein nicht-singulärer symplektischer Raum ist eine orthogonale Summe von

hyperbolischen Ebenen, mit anderen Worten ist er ein hyperbolischer Raum. Seine

Dimension ist immer gerade.

2.6 FORTSETZUNGEN VON ISOMETRIEN UND DER SATZ VON WITT

SATZ 3.8:

𝑉 nicht-singulär, 𝑈 ein Unterraum von V

𝑈 = rad 𝑈 ⊥ 𝑊

𝑁1,𝑁2,… ,𝑁𝑟 sei eine Basis von rad 𝑈

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1) Wir können Vektoren 𝑀1,𝑀2 ,… ,𝑀𝑟 ∈ 𝑉 finden, so dass 𝑁𝑖 ,𝑀𝑖 ein hyperbolisches Paar ist und

die hyperbolischen Ebenen 𝑃𝑖 =< 𝑁𝑖 ,𝑀𝑖 > sind orthogonal zueinander und orthogonal zu 𝑊.

𝑉 enthält deswegen einen nicht-singulären Raum

𝑈 = 𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑃𝑟 ⊥ 𝑊

welcher wiederum 𝑈 enthält.

2) Sei 𝜎:𝑈 → 𝑉′ mit 𝑉′ nicht-singulär. Dann können wir 𝜎 zu einer Isometrie 𝜎 :𝑈 → 𝑉′ fortsetzen.

Beweis:

zu 1) IND.-ANF.: Für 𝑟 = 0 klar.

Sei 𝑈0 ≔ < 𝑁1,𝑁2 ,… ,𝑁𝑟−1 > ⊥ 𝑊.

𝑈0 ⊥ 𝑁𝑟 aber 𝑁𝑟 ∉ 𝑈0 𝑁𝑟 ∈ 𝑈0⊥ und 𝑁𝑟 ∉ rad 𝑈0

⊥ = rad 𝑈0 = < 𝑁1,𝑁2,… ,𝑁𝑟−1 >

𝑁𝑟 ∉ rad 𝑈0⊥ ∃ 𝐴 ∈ 𝑈0

⊥ mit 𝑁𝑟𝐴 ≠ 0

die Ebene < 𝑁𝑟 ,𝐴 > ist nicht-singulär und < 𝑁𝑟 ,𝐴 > ⊆ 𝑈0⊥

𝑁𝑟 ,𝑀𝑟 lässt sich finden, also ex. hyperbolische Ebenen 𝑃𝑟 =< 𝑁𝑟 ,𝑀𝑟 >

da 𝑃𝑟 ⊂ 𝑈0⊥ 𝑈0 ⊥ 𝑃𝑟 𝑈0 ⊆ 𝑃𝑟

⊥ (nicht-singulär)

dim rad 𝑈0 = 𝑟 − 1

Induktion:

𝑈1 = < 𝑁1,𝑁2,… ,𝑁𝑟−2 >⊥ 𝑊 𝑃𝑟−1 =< 𝑁𝑟−1 ,𝑀𝑟−1 >

𝑈0 ⊥ 𝑃𝑟 ⊥ 𝑊 = 𝑈1 ⊥ 𝑃𝑟−1 ⊥ 𝑃𝑟 ⊥ 𝑊

𝑈1 ⊥ 𝑃𝑟−1 ⊥ 𝑃𝑟 ⊥ 𝑊 = 𝑈2 ⊥ 𝑃𝑟−2 ⊥ 𝑃𝑟−1 ⊥ 𝑃𝑟 ⊥ 𝑊

…

𝑈 ≔ 𝑈𝑟 = 𝑃1 ⊥ 𝑃2 ⊥ ⋯ ⊥ 𝑃𝑟 ⊥ 𝑊

zu 2) Da 𝜎 Isometrie, wird die geometrische Struktur, die es zulässt, 𝑈 zu 𝑈 zu

konstruieren, nach 𝑉′ vererbt. Dort ist dann auch, wie oben, die Konstruktion von 𝑈 ′

möglich. Die Isometrie 𝜎 bildet 𝑁𝑖 und 𝑀𝑖 entsprechend auf die 𝑁𝑖′ und 𝑀𝑖 ′ ab.

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SATZ 3.9: (Satz von Witt)

𝑉,𝑉′ nicht singuläre Vektorräume

𝑈 ein Unterraum von V

𝜌:𝑉 → 𝑉′ eine Isometrie

𝜎:𝑈 → 𝑉′ eine Isometrie

Dann kann 𝜎 zu einer Isometrie von 𝑉 nach 𝑉′ fortgesetzt werden.

Beweis:

1. Betrachte nur nicht-singuläre Unterräume, denn nach Satz 3.8 lässt sich aus jedem 𝑈 ein 𝑈

konstruieren, welches nicht singulär ist und es ein 𝜎 gibt, so dass 𝑈 und 𝑉′ isometrisch sind.

2. Symplektische Geometrie:

Da 𝑉 nicht-singulär ist, lässt sich 𝑉schreiben als 𝑉 = 𝑈 ⊥ 𝑈⊥ . Da rad 𝑈 = 0 folgt rad 𝑈⊥ = 0,

deswegen 𝑉′ = 𝑈′ ⊥ 𝑈′⊥ .

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Bleibt zu zeigen: Es gibt Isometrie zwischen 𝑈⊥ und 𝑈′⊥ .

Da es Isometrie 𝜌 zwischen 𝑉 und 𝑉′ gibt, gilt:

dim𝑉 = dim𝑉′ dim𝑈 + dim𝑈⊥ = dim𝑈′+ dim𝑈′⊥

Es Isometrie 𝜎 zwischen 𝑈 und 𝑈′ gibt, gilt:

dim𝑈 = dim𝑈′ dim𝑈⊥ = dim𝑈′ ⊥

noch zu zeigen: 𝑈⊥ ,𝑈′⊥ sind nicht-singulär.

Annahme: Sie sind es. Dann gilt: rad 𝑈⊥ ≠ 0 ≠ rad 𝑈′⊥

. Daraus folgt: rad 𝑉 ≠ 0. Widerspruch!

𝑈⊥ ,𝑈′⊥ sind also nicht-singulär, außerdem symplektische Geometrie, nach Satz 3.7 lassen sich

die Räume also in hyperbolische Räume umwandeln:

A

lso ist die gesuchte Isometrie 𝜎 .

3. Orthogonale Geometrie

Annahme: Satz gilt für Unterräume mit kleinerer Dimension als die von 𝑈, d.h. man kann

𝜎:𝑈 ⊃ 𝑈𝑘𝑙 . → 𝑉′ fortsetzen.

Nimm an: 𝑈 = 𝑈1 ⊥ 𝑈2 und 𝑈1,𝑈2 sind echte Unterräume von 𝑈. Sei 𝑈1′ ≔ 𝜎(𝑈1) und

𝜏:𝑈1 → 𝑈1′ , d.h. 𝜏 ≡ 𝜎 𝑈1

. Dann kann 𝜏:𝑉 → 𝑉′ nach Annahme fortgesetzt werden, da 𝑈1

kleinere Dimension hat als 𝑈.

Der Raum 𝑈1⊥ wird dabei genauso in den Raum 𝑈1

′⊥ abgebildet. Das bedeutet, dass 𝑈1⊥ und 𝑈1

′⊥

isometrisch sind.

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𝜎 bildet 𝑈2 (orthogonal zu 𝑈1nach Zerlegung) nach 𝑈1′⊥ ab (beachte dabei 𝜎(𝑈2) ⊆ 𝑈1

′⊥). Dann

kann diese Abbildung wieder fortgesetzt werden, da dim𝑈2 < dim𝑈. Wir nennen diese

Fortsetzung 𝜆: 𝑈1⊥ → 𝑈1

′⊥ . Die gesuchte „Gesamtfortsetzung“ ist dann 𝜏 ⊥ 𝜆.

4. Bleibt der Fall, dass 𝑈 nicht-singulär und irreduzibel ist, d.h. es ist keine orthogonale Zerlegung

möglich. Sei dementsprechend 𝑈 =< 𝐴 > eine Gerade und 𝐴2 ≠ 0, da 𝑈 nicht-singulär ist. Sei

𝐶 = 𝜎 𝐴 , dann gilt 𝐶2 = 𝐴2, da 𝜎 Isometrie ist und die Länge erhalten bleibt. Wir erinnern

uns: Es gibt Isometrie 𝜌:𝑉 → 𝑉 ′ . Dann ∃!𝐵 ∈ 𝑉 ∶ 𝜌 𝐵 = 𝐶.

Wir wollen 𝐴2 = 𝐵2. Wenn wir eine Isometrie 𝜏 von 𝑉 nach 𝑉 finden, die 𝐴 nach 𝐵 abbildet,

dann ist 𝜌 ∘ 𝜏 die gesuchte Isometrie 𝑉 → 𝑉′, die 𝐴 nach 𝐶 abbildet.

Konstruktion von 𝜏:

Da 𝐴2 = 𝐵2 gelten soll, gilt: 𝐴2 − 𝐵2 = 0 = 𝐴 + 𝐵 (𝐴 − 𝐵), d.h. (𝐴 + 𝐵) und (𝐴 − 𝐵) sind

orthogonal. Sie können nicht beide isotrop sein, denn: 2𝐴 = 𝐴 + 𝐵 + (𝐴 − 𝐵) ist nicht

isotrop.

Sei o.B.d.A. 𝐴 − 𝐵 der nicht-isotrope Vektor.

Da 𝐴 + 𝐵 und 𝐴 − 𝐵 orthogonal zueinander sind, gehört 𝐴 + 𝐵 zu der Hyperebene

𝐻 =< 𝐴 − 𝐵 >⊥ .

Dann ist < 𝐴 − 𝐵 > ⊥ < 𝐴 − 𝐵 >⊥ = 𝑉

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Sei 𝑣 ∈ 𝑉 und

𝜇 𝑣 = 𝑣, falls 𝑣 ∈ < 𝐴 − 𝐵 >⊥ −𝑣, falls 𝑣 ∈ < 𝐴 − 𝐵 >

Dann ist:

𝜇 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐵,

𝜇 𝐴 − 𝐵 = −𝐴 + 𝐵

Addiert man beide Gleichungen erhält man:

𝜇 𝐴 + 𝐵 + 𝜇 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐴 + 𝐵

2𝜇 𝐴 = 2𝐵

𝜇 𝐴 = 𝐵

Ist 𝐴 + 𝐵 der isotrope Vektor, dann 𝜇 𝐴 = −𝐵. Nimm Abbildung 𝜈:𝑉 → 𝑉,𝑋 ⟼

−𝑋(offensichtlich eine Isometrie) und 𝜈 𝜇 𝐴 = 𝐵 (fertig.)

DEFINITION: Ein isotroper Untervektorraum 𝑈 heißt maximal isotrop, wenn 𝑈 kein echter

Unterraum eines anderen isotropen Untervektorraums von 𝑉 ist.

SATZ 3.10: Alle maximalen isotropen Unterräume von einem nicht-singulären Raum 𝑉 haben

dieselbe Dimension 𝑟. 𝑟 heißt Index von 𝑉.

Beweis: Seien 𝑈1 ,𝑈2 maximal isotrope Unterräume mit dim𝑈1 ≤ dim𝑈2. Dann können wir

eine injektive lineare Abbildung von 𝑈1 nach 𝑈2 finden. Da 𝑈1 ,𝑈2 beide isotrop sind,

dann gibt es eine Isometrie zwischen beiden. Wegen Satz von Witt folgt, dass diese

Isometrie zu einer Isometrie 𝜎:𝑉 → 𝑉 fortgesetzt werden kann. 𝜎 𝑈1 ⊂ 𝑈2 und

deswegen 𝑈1 ⊂ 𝜎−1 𝑈2 . Der Raum 𝜎−1 𝑈2 ist wieder isotrop. Da 𝑈1 aber maximal

isotrop ist, folgt 𝑈1 = 𝜎−1 𝑈2 . Dies zeigt, dass dim𝑈1 = dim𝑈2.

SATZ 3.11: Die Dimension eines maximal Hyperbolischen Unterraums ist 2𝑟, wobei 𝑟 der Index

von 𝑉 ist.

KOROLLAR: (Kürzungssatz von Witt)

𝑉 und 𝑉 ′ isometrisch

𝑉 ist nicht-singulär

𝑈 ein Unterraum von 𝑉

𝑈 und 𝑈′ ⊆ 𝑉′ isometrisch

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Dann folgt:

𝑈⊥ und 𝑈′⊥ isometrisch.

Beweis: Die Isometrie von 𝑈 nach 𝑈′ lässt sich nach Satz von Witt fortsetzen zu einer

Isometrie von 𝑉 nach 𝑉′. Diese Isometrie bildet auch von 𝑈⊥ nach 𝑈′⊥ ab.

KOROLLAR (SATZ 3.12): 𝑉 ist nicht-singulär. 𝑈1 ,𝑈2 isometrische Unterräume von 𝑉 𝑈1

⊥ ,𝑈2⊥ sind

isometrisch.

Beweis: Es gibt Isometrie von 𝑉 𝑉, nämlich 𝑖𝑑. Sei 𝜎:𝑉 → 𝑉 die Isometrie zwischen 𝑈1 und 𝑈2

fortgesetzt. Deswegen bildet 𝜎 auch 𝑈1⊥ nach 𝑈2

⊥ ab.

2.7 DREHUNGEN UND SPIEGELUNGEN

SATZ 3.13: Sei 𝑉 = < 𝑁1 ,𝑀1 >⊥< 𝑁2 ,𝑀2 >⊥ ⋯ ⊥< 𝑁𝑟 ,𝑀𝑟 > ein hyperbolischer Raum

und 𝜎:𝑉 → 𝑉 Isometrie wobei 𝜎 𝑁𝑖 = 𝑁𝑖 für alle 𝑁𝑖 . Dann ist 𝜎 eine Rotation und es

gilt:

𝜎 𝑁𝑖 = 𝑁𝑖 , 𝜎 𝑀𝑖 = 𝑁𝜈𝑎𝜈𝑖 +𝑀𝑖

𝑟

𝜈=1

Die Matrix (𝑎𝑖𝑗 ) ist symmetrisch, wenn die Geometrie symplektisch ist und

schiefsymmetrisch, wenn sie orthogonal ist.

Beweis: (für den Spezialfall 𝑟 = 1)

Dann ist ℬ = {𝑁,𝑀} die Basis von 𝑉.

𝜎 𝑁 = 𝑁

𝜎 𝑀 = 𝑎𝑁 + 𝑏𝑀

Da 𝑉 hyperbolischer Raum, gilt:

0 = 𝜎 𝑀 2

= 𝑎2𝑁2 + 2𝑎𝑏𝑁𝑀 + 𝑏2𝑀2 = 2𝑎𝑏

1 = 𝜎 𝑀 ∗ 𝜎 𝑁 = 𝑎𝑁 + 𝑏𝑀 ∗ 𝑁 = 𝑏

Aus 𝑏 = 1 folgt: 𝑎 = 0.

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Daher ist 𝜎 𝑀 = 𝑀 und die Matrix 𝑎𝑖𝑗 = 1 00 1

, det 𝑎𝑖𝑗 = 1, daher Rotation.

Für den allgemeinen Fall genauso, Matrix 𝐴 hat dann die Form:

1⋱

⋱1

𝑋

0

1⋱

⋱1

und det𝐴 = 1, daher Rotation.

BEZEICHNUNG: Die Abbildung 𝑖𝑑:𝑉 → 𝑉,𝑋 ↦ 𝑋 wird mit 𝟏 bezeichnet.

Die Abbildung 𝜎:𝑉 → 𝑉,𝑋 ↦ −𝑋 wird mit – 𝟏 bezeichnet.

DEFINITION: Eine Isometrie 𝜎 eines nicht-singulären Raum 𝑉 heißt Involution, wenn 𝜎2 = 𝟏.

SATZ 3.14: Wenn 𝑐ℎ𝑎𝑟(𝐾) ≠ 2, dann ist jede Involution von der Form −𝟏𝑈 ⊥ 𝟏𝑊 .

Beweis: Nimm an dass 𝜎2 = 𝟏. Dann gilt: 𝑋𝑌 = 𝜎 𝑋 𝜎(𝑌) [Isometrieeigenschaft] und

𝜎 𝑋 ∗ 𝑌 = 𝜎2 𝑋 ∗ 𝜎 𝑌 = 𝟏 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝜎(𝑌)

Daraus folgt: 𝜎 𝑋 − 𝑋 ∗ 𝜎 𝑌 + 𝑌 = 𝜎 𝑋 𝜎 𝑌 + 𝜎 𝑋 𝑌 − 𝑋𝜎 𝑌 − 𝑋𝑌 = 0

Deswegen sind 𝑈 = 𝜎 𝑉 − 𝑉 und 𝑊 = 𝜎 𝑉 + 𝑉 orthogonal zueinander.

Ein Vektor 𝜎 𝑋 − 𝑋 aus 𝑈 wird auf seinen Gegenvektor abgebildet, ein Vektor +

𝜎 𝑋 + 𝑋 wird auf sich selbst abgebildet. Daraus folgt, dass 𝑈 ∩𝑊 = 0. Weil jeder

Vektor 𝑋 geschrieben werden kann als 𝑋 = −1

2 𝜎 𝑋 − 𝑋 +

1

2 𝜎(𝑋 + 𝑋) gilt:

𝑉 = 𝑈 ⊥ 𝑊 und 𝜎 = −𝟏𝑈 ⊥ 𝟏𝑊 .

DEFINITION 3.10: Sei 𝑐ℎ𝑎𝑟(𝐾) ≠ 2. Wenn 𝜎 = −𝟏𝑈 ⊥ 𝟏𝑊 und 𝑝 = dim𝑈 ist, dann nennen wir 𝑝 den

Typ der Involution 𝜎. Es gilt dann det𝜎 = −1 𝑝 . Weil 𝑈 nicht-singulär sein muss, ist

der Typ 𝑝 eine gerade Zahl, wenn 𝑉 symplektisch ist. Wenn 𝑉 orthogonal ist, dann

kann 𝑝 irgendeine Zahl ≤ 𝑛 = dim𝑉 sein. Eine Involution vom Typ 𝑝 = 1 wird

Symmetrie in Bezug zur Hyperebene 𝑊 genannt (Spiegelung). Eine Involution des

Typs 2 ist eine 180° Rotation (Drehung).

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Der Grund für die Benennung Symmetrie sollte klar sein: 𝑈 =< 𝐴 > ist eine nicht-singuläre Gerade,

𝑈⊥ = 𝑊 eine nicht-singuläre Hyperebene und das Bild eines Vektors 𝑥𝐴 + 𝐵 (mit 𝐵 ∈ 𝑊) ist

– 𝑥𝐴 + 𝐵. Der folgende Satz charakterisiert die Isometrien ±𝟏𝑉 .

SATZ 3.15:

𝑉 nicht-singulär

𝜎:𝑉 → 𝑉 Isometrie, welche alle Geraden von 𝑉 festhält

Dann 𝜎 = ±𝟏𝑉

Beweis:

Wenn 𝜎 die Gerade < 𝑋 > festhält, dann 𝜎 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑎 und für ein 𝑌 ∈ < 𝑋 > haben wir: 𝜎 𝑌 =

𝜎 𝑋𝑏 = 𝜎 𝑋 ∗ 𝑏 = 𝑋 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑌 ∗ 𝑎.

Dieses 𝑎 kann immer noch von der Gerade < 𝑋 > abhängen, wenn 𝜎 jeder Gerade von 𝑉 festhält.

Wenn < 𝑋 > und < 𝑌 > verschiedene Geraden sind, dann sind 𝑋 und 𝑌 linear unabhängige Vektoren.

Wir haben einerseits

𝜎 𝑋 + 𝑌 = 𝑋 + 𝑌 ∗ 𝑐

und andererseits

𝜎 𝑋 + 𝑌 = 𝜎 𝑋 + 𝜎 𝑌 = 𝑋 ∗ 𝑎 + 𝑌 ∗ 𝑏

Ein Vergleich zeigt: 𝑎 = 𝑐 = 𝑏 und dann gilt: 𝜎 𝑋 = 𝑋 ∗ 𝑎 mit demselben 𝑎 für alle 𝑋.

Seien 𝑋,𝑌 Vektoren, so dass gilt: 𝑋𝑌 ≠ 0, dann 𝑋𝑌 = 𝜎 𝑋 𝜎 𝑌 = 𝑋 ∗ 𝑎 ∗ 𝑌 ∗ 𝑎 = 𝑋𝑌 ∗ 𝑎2. Daraus

folgt: 𝑎2 = 1. Also ist 𝑎 = ±1.